Praktikumsbericht Mathematik - Humboldt

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Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Didaktik der Mathematik
Schulpraktische Studien im Fach Mathematik
Frau Swetlana Nordheimer
Bericht zum Unterrichtspraktikum
im Fach Mathematik
vom 13. September bis 8. Oktober 2010
betreuende Fachdidaktikerin:
Swetlana Nordheimer
Verfasserin:
XXXXX
[email protected]
geboren am: XX.XX.XXXX
Studienziel: Master of Education
Fachkombination: XXXXX, Mathematik
Matrikelnummer: XX XX XX
Schule:
XXXXX-Gymnasium
Berlin Mitte, Klasse 9
Schulform: Gymnasium
Mentorin: XXXXX
letzte Änderung:
3. September 2010
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen
1
2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang
2
3 Sachanalyse
3.1 Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . .
3.2 Existenz von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten
3.2.3 Gesetze für partielles Wurzelziehen . . . . .
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6
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4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
4.1 Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe . . . . . . . . .
4.2 Didaktische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
5.1 Kompetenzen oder Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen und Begründung
der Medienwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster) . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Geplante Tafelbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Reflexion der Stunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
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14
6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
6.1 Der Zensurenspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Auswertung und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Hospitation
7.1 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Mathematische Begriffsbildung und
Sprechweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Reflexion zu Protokoll I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Reflexion zu Protokoll II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Reflexion und Zusammenfassung
20
9 Literaturverzeichnis
9.1 Schulbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial . . . . . . .
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Praktikumsbericht Mathematik
Autor
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I
Inhaltsverzeichnis
A Anhang
A.1 Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte und Quotienten . . .
A.2 Arbeitsblatt A1 : Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Arbeitsblatt A2 : Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz
A.4 Arbeitsblatt A3 : Beseitigen von Wurzeln im Nenner . . . . . . . . . . . .
A.5 Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . .
A.5.1 Ü1 : Tägliche Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 H1 : Hausaufgabe zum 04.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 H2 : Hausaufgabe zum 01.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Sitzplan der XX, Raum 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Auflistung der hospitierten Stunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont . . . . . . . . . . .
A.9 Leistungskontrolle Gruppe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10 Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11 Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK . . . . . . . . . . . . . .
A.12 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma . . . . . .
A.13 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse XX . .
B Selbstständigkeitserklärung
Praktikumsbericht Mathematik
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vi
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xiv
xv
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Autor
II
1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen
1. Klassensituation und Sozialisationserscheinungen
Das XXXXX-Gymnasium ist eine staatliche Europaschule mit deutsch-griechischem Schwerpunkt1 in Berlin-Mitte, die durch ihre Ausrichtung von einer multikulturellen Schülerschaft
mit einem hohen Migrationshintergrund geprägt ist.
Die Klasse XX des XXXXX-Gymnasiums mit 28 Schülern2 setzt sich aus 11 Mädchen und
17 Jungen zusammen. Der Klassenverband wird durch eine heterogene Leistungsstruktur
geprägt. Der Zusammenhalt unter den Schülern ist zu dem Zeitpunkt des Unterrichtspraktikums als schwach zu bezeichnen, da mit Beginn des neuen Schuljahres die drei Klassen
der Jahrgangsstufe aufgelöst und zwei neue Klassenverbände gebildet worden sind. Obwohl
die Schüler im gemeinsamen Umgang teilweise distanziert sind, kann das soziale Klima als
angenehm bezeichnet werden. Der hohe Anteil der Schüler mit Migrationshintergrund (86
% der Schüler haben einen muslimischen Hintergrund, der Rest ein afrikanisches, polnisches
oder kanadischen Elternteil.) stellt im gemeinsamen Schulalltag nur selten ein Problem dar,
weil das gesprochene Deutsch nicht akzentfrei ist, jedoch durch die gemachten Fehler nicht
allzu stark beeinträchtigt wird.
Die Lerngruppe präsentiert sich auf den ersten Blick als aufmerksame Klasse mit vereinzelten
leistungsstarken Schülern. Jedoch erweist es sich als schwierig, die Schüler dauerhaft für die
Mathematik zu begeistern, da sie sich schnell ablenken und nur bedingt motivieren lassen,
eigene Rechnungen durchzuführen oder Tafelanschriebe in ihren Hefter zu übernehmen. Die
Ansprechbarkeit der Klasse gestaltet sich durch die neue Klassenzusammensetzung als problematisch. Abschweifungen vom Thema und ein hoher Lautstärkepegel erfordern regelmäßig
die Aktivierung der Aufmerksamkeit durch den Lehrer. Die Notwendigkeit der Anleitung und
Aufmerksamkeit erschwert Gruppen- oder Freiarbeiten, weil die Schüler langsam zu Ergebnissen gelangen und sich nur kurz konzentrieren können. Da diese Arbeitsmethoden jedoch
durch praktische Anwendungen geübt werden, erfolgt im Anschluss meistens eine Sicherung
der Inhalte im Klassenverband.
Zwei Schüler erweisen sich als verhaltensauffällig und stören durch Zwischenrufe den Unterricht sowie ihre Mitschüler. Der eine Schüler hat bereits eine Klasse wiederholt, zeigt sich
trotzdem selten gewillt, sich am Unterricht zu beteiligen und verweigert auch die Mitarbeit.
Der andere Schüler ist schwer zu motivieren und versucht, durch Fragen den Unterrichtsverlauf zu stören. Wenn er sich jedoch angesprochen fühlt, arbeitet er elanvoll mit.
Obwohl die Klasse einen eigenen Klassenraum besitzt, sind die Arbeitsbedingungen durch eine nicht nutzbare Tafelhälfte eingeschränkt. Ein Overheadprojektor ist vorhanden, allerdings
findet sich keine leere Wand, an die sich das Bild projizieren lässt, so dass Tafelanschriebe
kurz sein müssen und der Overheadprojektor schlecht eingesetzt werden kann.
1
2
Vgl. Homepage des XXXXX-Gymnasiums, www.XXXXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010; vgl. Homepage
der Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung, http:// www.berlin.de/sen/bildung/,
letzter Zugriff: 01.12.2010.
Im Folgenden werden die Schülerinnen und Schüler gleichermaßen als Schüler bezeichnet, um eine bessere
Lesbarkeit zu garantieren. Auch Lehrerinnen und Lehrer werden gleichermaßen als Lehrer bezeichnet.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
1
2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang
2. Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den
Gesamtlehrgang
In der Einheit Rechnen und Operationen mit Wurzeltermen wird der Umgang mit Quadratwurzeln und Wurzeltermen geübt. Die Schüler sollen Quadratwurzeln addieren, subtrahieren,
multiplizieren und dividieren. In der Doppeljahrgangsstufe 9/10 ist das Thema Rechnen mit
Quadratwurzeln im Berliner Rahmenlehrplan3 als Teilbereich des Themenfeldes: P1 9/10
Neue Zahlen entdecken, Zentrale Leitidee: Zahl verankert. Obwohl das Rechnen mit Wurzeln als einer von fünf Unterpunkten der Zwei-Schlüssel-Kompetenz aufgeführt ist, nimmt
das Üben und die Festigung dieser Kompetenz viel Zeit in Anspruch, so dass der Unterrichtsabschnitt wie folgt geplant und selbst unterrichtet wurde, wobei die hervorgehobene Stunde
in dem ausführlichen Unterrichtsentwurf vorgestellt wird:
Stunde
1. Stunde
5. Stunde
Stundenthema
•Zusammenhang von Quadrieren und Radizieren
•Satz: Lösungsmenge der Gleichung x2 = a
27.09.2010 •Lösungsmenge der Gleichung x2 = a
•Definitionsmenge von Wurzeltermen
30.09.2010 •partielles Wurzelziehen
•Darstellung von Mengen an der Zahlengerade
01.10.2010 Umformung von Wurzeltermen mit Hilfe
•der Rationalität des Nenners
•der Binomischen Formeln
•des Distributivgesetzes
04.10.2010 Lernbuffet: Umformung von Wurzeltermen
6. Stunde
07.10.2010
Üben/ Festigen mit einer Aufgabensammlung
7. Stunde
08.10.2010
•Durchführung des Tests
√
√
•Die Kubikwurzel 3 x und die n-te Wurzel n x
2. Stunde
3. Stunde
4.
Stunde
Datum
20.09.2010
Art
Doppelstunde
Doppelstunde
Einzelstunde
Einzelstunde
Doppelstunde
Einzelstunde
Einzelstunde
Obwohl das Stundenthema im Mathematikbuch4 zum Selbstlernen angeboten wird, handelt
es sich um ein vertiefendes Stundenthema mit dem Ziel, die drei Themenschwerpunkte in
Hinblick auf das Lösen von Wurzelgleichungen zu festigen.
Als Voraussetzung werden für die Behandlung der Quadratwurzel u.a. der sichere Umgang
mit Brüchen und das Wissen über die Eigenschaften der rationalen und irrationalen Zahlen
benötigt. Die Schüler müssen das Distributivgesetz und die binomischen Formeln beherrschen sowie grundlegende Eigenschaften der Quadratwurzel kennen.
Durch die Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen erreichen die
3
4
Vgl. Berliner Rahmenlehrplan, S. 44.
Elemente der Mathematik 9 Berlin, Schroedel, 2009, S. 31 f.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
2
3 Sachanalyse
Schüler eine qualitativ höhere Ebene des mathematischen Operierens. Das Üben von Umformungen der Quadratwurzel erleichtert es den Schülern, sich später erfolgreich mit der
Behandlung von Potenzen und Potenzgleichungen auseinander zusetzen. Der sichere Umgang mit Quadratwurzeln bildet die Basis für die Behandlung quadratischer Funktionen und
Gleichungen, durch die sie außermathematisch dann sehr gut motiviert werden können. Das
folgende Thema, der Satz des Pythagoras, baut auf dem Wissen über Quadratwurzeln auf.
Hier erfolgt neben der innermathematischen Motivierung eine außermathematische Motivierung anhand zahlreicher Beispiele wie das Berechnen von Höhen, die die Schüler im Alltag
anwenden können.
Das Themenfeld der reellen Zahlen, also auch die Quadratwurzel, bildet eine unverzichtbare Grundlage für fundamentale Sätze der Analysis der kommenden Schuljahre bis in die
Sekundarstufe II. Durch die Auseinandersetzung mit Quadratwurzeln und damit der Gegenoperation des Quadrierens erhalten die Schüler eine differenzierte und tiefgründigere Sicht
auf Möglichkeiten zur Vereinfachung von Termen, die ihnen das Rechnen und den weiteren
Umgang damit erleichtern.
3. Sachanalyse
Für die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den reellen Zahlen R werden der sichere
Umgang mit den vier Grundrechenarten (+, −, · und :) auf Q vorausgesetzt. Wie üblich
werden hier die Addition und die Substraktion zur Addition zusammengefasst, da man die
Substraktion auch als Addition einer negativen Zahl auffassen kann. Das gleiche gilt für die
Multiplikation und die Division, da die Division eine Multiplikation mit dem Kehrwert einer
Zahl ist. Weiterhin ist die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der rationalen Zahlen
Q notwendig.
Die reellen Zahlen lassen sich durch die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den irrationalen Zahlen I hin zu den reellen Zahlen R motivieren. Die Charakterisierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen5 erlaubt es, R aus Q zu konstruieren.
Einerseits kann R als die Menge der Klasse aller rationalen Intervallschachtelungen betrachtet werden, wobei [an , bn ] und [An , Bn ] zwei Intervallschachtelungen darstellen. Diese gehören
derselben Klasse an, wenn an ≤ Bm , An ≤ bm ∀ n, m N.
Die zweite Möglichkeit ist es, die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen zu
konstruieren. Zwei Cauchy-Folgen gehören derselben Klasse an, wenn ihre Differenzenfolge
eine Nullfolge ist.
Die dritte Möglichkeit stellt die Konstruktion von R als dedekindscher Schnitt rationaler Zahlen dar. R wird zerlegt in zwei disjunkte Teilmenge A und B, für die gilt: a < b ∀ a A, b B.
Die in der Schule übliche Möglichkeit besteht darin, den Zahlraum der rationalen Zahlen Q
um den Zahlraum der irrationalen Zahlen I zu erweitern und diese zu R zusammenzufassen.
Hierzu kann entweder der Weg über Intervallschachtelungen oder die Idee der Cauchy-Folgen
5
Vgl. Filler, Andreas: 2. Vorlesung, Folie 3.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
3
3 Sachanalyse
gewählt werden. Die Unterrichtseinheit baut auf der Herleitung über die Intervallschachtelung auf, so dass diese durch die Betrachtung der Darstellbarkeit von Brüchen als Dezimalzahlen näher betrachtet werden soll.
3.1. Eigenschaften der reellen Zahlen
Die reellen Zahlen R sind bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe G, d.h. sie haben
folgende Eigenschaften:6
1.
Assoziativität: ∀ a, b, c G : (a + b) + c = a + (b + c)
2.
Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e G, ∀ a G : a + e = e + a = a
3.
Existenz eines inversen Elements: ∀ a G ∃ b G : a + b = b + a = e
4.
Kommutativität: ∀ a, b G : a + b = b + a
Des Weiteren ist (R, +) abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b G : (a + b) G.
Bezüglich der Multiplikation sind die reellen Zahlen R ein kommutativer Monoid M , sie
haben also die folgenden Eigenschaften:7
1.
Assoziativität: ∀ a, b, c M : (a · b) · c = a · (b · c)
2.
Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e M, ∀ a M : a · e = e · a = a
3.
Existenz von multiplikativen Inversen: ∀ a M, a 6= 0 ∃ a−1 M : a · a−1 = 1.
4.
Kommutativität: ∀ a, b M : a · b = b · a
Es handelt sich hierbei um keine Gruppe, da zu Null kein inverses Element vorliegt. Schließt
man diese jedoch aus und definiert die Existenz von multiplen Inversen wie oben, so ist
(R∗ , ·) eine abelsche Gruppe. Sie ist ebenfalls abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b M : (a · b) M .
Zusätzlich gilt auf (R, +, ·) das Distributivgesetz: ∀ a, b, c M : a · (b + c) = a · b + a · c.
Auf Grundlage der Menge der natürlichen Zahlen N lässt sich die Menge der reellen Zahlen
R durch Äquivalenzrelationen konstruieren.
Betrachte die Menge N∗ x N∗ mit N∗ = N\{0}. Die Relation ist definiert durch
(a, b):(c, d) ⇔ a · d = b · c
mit den Zahlenpaaren (a, b), (c, d) N∗ x N∗ . Weiterhin ist sie eine Äquivalenzrelation, da sie
folgende Eigenschaften erfüllt:
6
7
1.
Reflexivität: (a, b):(a, b) ∧ (c, d):(c, d)
2.
Symmetrie: (a, b):(c, d) ⇔ (c, d):(a, b)
3.
Transitivität: (a, b):(c, d) ∧ (c, d):(e, f ) ⇒ (a, b):(e, f )
Vgl. Timmann: Repetitorium der Analysis, S. 15 f.
Timmann, S. 16.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
4
3 Sachanalyse
Die Menge der reellen Zahlen R ist gleich der Menge aller Äquivalenzklassen von N∗ x N∗
bezüglich der oben definierten Relation, wobei M(a) die Äquivalenzklasse von a M mit
M (a) := {b M : b : a} ist. Die Addition und die Multiplikation sind beide wohldefiniert,
kommutativ und assoziativ ∀ (a, b), (c, d) R mit:
(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
(a, b) + (c, d) = (a · d + b · c)
Die reellen Zahlen lassen sich anordnen. Für die Ordnungsrelation gilt für a, b R genau eine
der folgenden Beziehungen (Trichotomie-Eigenschaft):
a<b
a=b
a>b
Ferner gilt: ∀ a, b, c R
a<b∧b<c⇒a<c
a<b⇔a+c<b+c
a 6= 0 ∧ b 6= 0 ⇒ a · b > 0
Sei M definiert als M := {(a, b) N x N : b 6= 0} Menge von Paarzahlen, deren zweiter Eintrag
von Null verschieden ist. Zwei Paare (a1 , b1 ) und (a2 , b2 ) sind äquivalent zueinander, wenn
a1
= ab22
gilt:
b1
Da die Notwendigkeit der Existenz reeller Zahlen aus der Intervallschachtelung und der Vollständigkeit der reellen Zahlen hergeleitet wird, ist eine Definition der Intervallschachtelung
und der daraus resultierenden Vollständigkeit von R notwendig.
Definition8 : Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I1 , I2 , I3 , ... kompakter Intervalle, kurz
(In ), mit den Eigenschaften:
1)
In+1 ⊂ In für n = 1, 2, 3, ...
2)
Zu jedem > 0 gibt es ein Intervall In mit einer Länge |In | < ε.
Satz9 : Zu jeder Intervallschachtelung in R gibt es eine reelle Zahl, die allen ihren Intervallen
angehört. (Intervallschachtelungsprinzip)
3.2. Existenz von Wurzeln
Als Konsequenz aus der Vollständigkeit von R lässt sich die Existenz von Wurzeln beweisen.10
Satz: Zu jeder reellen Zahl a > 0 und jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine reelle Zahl
b > 0 mit bn = a.
Anders ausgedrückt: ∀ a R und n R ∃! b R mit bn = a. Dieses b heißt die n-te Wurzel
√
1
von a mit der Bezeichnung: b = a n oder b = n a Es gilt: Potenzen mit rationalem Exponent
r Q, r = pq , p Z, q N, q 6= 0 werden für x > 0 definiert durch
√
p
√
xr = x q := q xp = ( x)p
8
9
10
Königsberger, S. 11.
Königsberger, S. 12.
Vgl. Königsberger, Beweis auf S. 12 f.
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5
3 Sachanalyse
3.2.1. Die Quadratwurzel
Die Unterrichtseinheit behandelt den Umgang mit reellen Zahlen und Quadratwurzeltermen,
weshalb die Quadratwurzeln im Folgenden definiert wird:
Sei a > 0 eine Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Wenn x die Wurzel von
a ist, gilt für x 6= 0: x2 = a ⇔ x = xa , ansonsten ist x 6= xa . Dann konvergiert die Folge,
basierend auf dem arithmetischen Mittel x0 = 12 (x + xa ) gegen die Wurzel aus a.
Satz:11 Seien a
> 0 reelle Zahlen. Die Folge (xn )nN sei durch
xn+1 := 21 (xn + xan )
rekursiv definiert. Dann konvergiert die Folge (xn ) gegen die Quadratwurzel von a, d.h.
gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung x2 = a.
Nach Forster wird für a ≥ 0 die eindeutig bestimmte nichtnegative Lösung der Glei√
chung x2 = a mit a bezeichnet. 
Die Gleichung x2 = a hat folgende Lösungen:
 a=0:x=0
L=
√
a>0:± a
>
0 und x0
Definition (in der Schule gebräuchlich): Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise
√
√
a oder 2 a, a heißt Radikand) versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert
a ergibt. Die Quadratwurzel in nichtnegativ.
√
Satz: ∀ a R gilt: a2 = |a|
3.2.2. Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten
Auf Grundlage der Definition und des Satzes aus Kapitel 3.2.1 lassen sich die beiden Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten auf dem Zahlenraum der reellen Zahlen in R herleiten.
√
√ √
W1 ∀ a, b ≥ 0, a, b R :
a· b= a·b
W2
√
√a
b
∀ a, b ≥ 0, a, b R :
=
q
a
b
Der Beweis findet sich im Anhang A.1 auf Seite i.
3.2.3. Gesetze für partielles Wurzelziehen
Neben den bereits genannten Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung sind
die drei Gesetze für das partielles Wurzelziehen elementar, um Terme umformen zu können.
Sie lassen sich mit Hilfe des Satzes und den Gesetzen für Produkte und Quotienten beweisen.
√
√ √
√
√
√
P1 ∀ a, b R, b ≥ 0 : a2 b = |a| · b
Beweis: a2 b = a2 b = |a| · b
P2
∀ a, b R, a ≥ 0, b 6= 0 :
P3
∀ a, b R, b > 0 :
11
q
a2
b
q
=
a
b2
2
|a
√
b
=
√
a
|b|
Beweis:
q
Beweis:
q
a2
b
a
b2
=
=
√
a2
b
√
a
b2
=
=
|a|
b
√
a
|b|
Forster, Otto: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig 1983,
S. 34; Beweis auf S. 34 f.
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6
4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt
und zu der Unterrichtsreihe
4.1. Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe
Eine Einführung der Quadratwurzel und ihrer Rechenoperationen ist auf verschiedene Arten
möglich. Die erste Möglichkeit besteht in der deduktiven Spezialisierung der allgemeinen
n-ten Wurzel hin zu der Quadratwurzel als Spezialfall. Diese Variante, wie sie universitär
beschritten wird, stellt für die Schule jedoch keine gute Möglichkeit dar, da diese Darstellung sich als zu abstrakt für die Schüler erweist und der induktive Umkehrschluss von der
Quadratwurzel hin zur Kubikwurzel schülernäher ist.
Die Einführung der Quadratwurzel ist durch die Mentorin über eine Intervallschachtelung als
Berechnung der Quadratwurzel über einen nicht abbrechenden Dezimalbruch erfolgt.12 Eine
weitere Möglichkeit hätte in der Konstruktion eines Quadrates und seiner Diagonale ohne
√
explizite Berechnung von 2 bestanden, an dem die Schüler die Wurzel geometrisch erfahren hätten.13 Nach der Betrachtung der Eigenschaften von abbrechenden und periodischen
Dezimalbrüchen wird der kognitive Konflikt der Länge der Quadratdiagonale erzeugt. Das
Zuhilfenehmen der Inkommensurabilität erleichtert es, den Beweis der Irrationalität einer
Wurzel zu führen und hebt die besondere Eigenschaft der irrationalen Zahlen, die Nichtdarstellbarkeit als gewöhnlicher Bruch, hervor.
Als Einstieg in die selbstständig geplante Unterrichtsreihe wird zunächst der Zusammenhang
zwischen dem Quadrieren und Radizieren sowie die Lösungsmenge der Gleichung x2 = a herausgearbeitet. Darauf aufbauend wurden die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten mit
ihren speziellen Anwendungen und die Darstellung von Wurzeltermen an der Zahlengerade
erarbeitet. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, um Umformungsschritte und das Verständnis für die Gesetze zu erleichtern und vorzubereiten. Hiervon ausgehend ist es jedoch schwer,
den weiteren Umgang mit Wurzeltermen für die Schüler außermathematisch zu motivieren.
Sie kennen bereits die Darstellbarkeit einer Wurzel an der Zahlengerade, die Rechenregeln
und ihre Anwendung sind jedoch nur sehr mühsam durch viele Übungsaufgaben erlernbar.
Es fällt den Schülern schwer nachzuvollziehen, warum es notwendig ist, die Definitionsmenge
eines Wurzelterms zu betrachten, trotz dass sie sich der Nichtnegativität einer Wurzel bewusst sind. Ausgewählte Gegenbeispiele, bei denen der Radikand beispielsweise negativ ist,
sollen die Notwendigkeit zur Betrachtung der Definitionsmenge innermathematisch motivieren, ohne auf den zu komplizierten Begriff der Konvergenz einer Folge zurückzugreifen. Die
Darstellbarkeit der Definitionsmenge an der Zahlengerade wurde gewählt, um den Schülern
einen optischen bzw. geometrischen Zugang zu dieser Problematik für das bessere Verständnis anzubieten. Der Schluss von der Quadratwurzel zur Kubikwurzel erlaubt es, die Einheit
sinnvoll abzuschließen, da der Spezialfall über die Betrachtung der Kubikwurzel auf die all12
13
Vgl. Elemente der Mathematik 9, S. 20; Lambacher Schweizer 9, Klett 2008, S. 12; Mathematik heute
9, Schroedel 1992, S. 7.
Vgl. z.B. Hahn, Dzewas: Mathematik 9, Westermann 1995, S. 72.
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4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
gemeine Behandlung der n-ten Wurzel erweitert wird.
Es wäre möglich, die Darstellung von Wurzelfunktionen bei der intuitiven Einleitung von
Wurzeln voraus zunehmen.14 Diese Möglichkeit wurde allerdings nicht gewählt, um den
Schwerpunkt nicht auf den Funktionsbegriff zu legen. Dieser hätte die Schüler vermutlich
irritiert, da es notwendig gewesen wäre, sich zusätzlich zu der neuen Thematik im Umgang
mit Wurzeln auch mit dem Funktionsbegriff und der Darstellung von Funktionsgraphen auseinander zusetzen.
4.2. Didaktische Reduktion
Die Einführung der reellen Zahlen R erfolgt nicht axiomatisch, sondern basierend auf dem
kognitiven Konflikt der Notwendig der Erweiterung des Zahlbereiches von Q. Für die Herstellung des Zusammenhanges zwischen den rationalen Zahlen werden diese um die irrationalen
Zahlen I erweitert und die bisher geltenden Eigenschaften beibehalten. Q und I werden als
Erweiterung des Zahlbereiches zu R zusammengefasst. Hier gilt der axiomatische Aufbau,
ohne dass er mit den Schülern explizit behandelt wird.
Da eine Betrachtung der Wurzel vom Spezialfall der Quadratwurzel hin zur n-ten Wurzel
erfolgt, wird für die Quadratwurzel folgende vereinfachte Definition gebraucht:
√
√
Definition: Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise a oder 2 a, a heißt Radikand)
versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Die Quadratwurzel ist
nichtnegativ.
Die Definition der Quadratwurzel nach Forster15 wird hier deutlich vereinfacht, da der in der
Sachanalyse gegebene Begriff der Konvergenz von Folgen nicht benutzt werden kann, da auf
ihn nur intuitiv zurück gegriffen werden kann. Dies wurde durch die Intervallschachtelung
zwar approximativ veranschaulicht, jedoch wird mit der oben genannten vereinfachten Definition der Quadratwurzel gearbeitet, ohne auf die Definition der Intervallschachtelung nach
Königsberger auf Grund ihrer Abstraktheit zurückzugreifen. Der Satz zur Quadratwurzel
wird den Schülern durch die Betrachtung des Betrages auf der Zahlengerade ohne Beweisführung näher gebracht.
Der Beweis für die Wurzelgesetze für Produkte wird zu Beginn der Unterrichtseinheit an der
Tafel vorgeführt und analog von den Schülern für Quotienten behandelt. Hiermit soll eine
Heranführung an das mathematisch korrekte Führen von Beweisen auf Schulniveau erreicht
werden. Trotz dass beide Beweisführungen16 für den Unterricht relevant sind, wird nicht der
Weg über die Betrachtung der Eigenschaften gewählt, sondern die zweite Beweisführung, da
hier die Operationen bei einer Gleichung für Schüler leichter nachzuvollziehen sind.
Der Unterrichtsstoff der Einheit wird teilweise im zweiten Abschnitt stark vom formalen
Denken hin zum intuitiven Umgang mit Wurzeltermen vereinfacht, um dem Niveau der
Schüler und dem Bedürfnis nach Anwendung angepasst zu werden. Die Gesetze für das partielle Wurzelziehen, die Anwendung des Distributivgesetzes und der binomischen Formeln
14
15
16
Vgl. Hahn/ Dzewas: Mathematik 9, S. 72.
Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.
Vgl. Beweisführung im Anhang A.1 auf Seite i.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
8
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
sowie das Rationalmachen des Nenners erfolgen ohne Beweisführung, damit sich die Schüler
auf die Anwendung dessen konzentrieren können. Die Betrachtung der Definitionsmengen
von Wurzeltermen erfolgt lediglich durch das Berechnen bzw. Aufstellen in mathematischer
Schreibweise D = {Variable R|Variable. . . }. Hierbei wird als didaktische Reduktion nicht
weiter auf die Eigenschaften von Mengen auf universitärem Niveau eingegangen, sondern
inhaltlich-anschaulich erklärt.
Auch der Begriff der Wurzel als Konvergenz einer Folge wird den Schülern nicht näher gebracht, da die Schuldefinition mittels einer Intervallschachtelung hergeleitet, aber nicht als
explizite Folge charakterisiert wurde. Die Quadratwurzel als Produkt zweier Zahlen bietet
eine leichter zu begreifende Möglichkeit des Begriffs und bereitet zugleich das Verständnis
für den Satz des Pythagoras und die Potenzgesetze vor. Trotzdem wird das Verhalten einer
Folge verbal beschrieben.
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen R wird in der Klasse als Dichtheit der reellen Zahlen
behandelt, ohne dass jedoch der Begriff der Stetigkeit genannt wird. Die Notwendigkeit der
Stetigkeit wird zwar in Bezug auf das Stopfen der Löcher auf der Zahlengerade impliziert
und von einem intuitiven Begriff der Stetigkeit ausgegangen, jedoch würde eine Behandlung
der Stetigkeit mittels der ε − δ−Sprache zu abstrakt sein.
5. Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der
Umformung von Wurzeltermen
Die im folgenden beschriebene Stunde wurde am 1. Oktober 2010 in der Klasse XX des
XXXXX-Gymnasiums unterrichtet. Das Thema der Einzelstunde lautet Umformen von Wurzeltermen mit den binomischen Formeln, dem Distributivgesetz und durch das Rationalmachen des Nenners.
5.1. Kompetenzen oder Lernziele
•
Die Schüler kennen die reellen Zahlen, ihre grundlegenden Eigenschaften und können
auf diesem für sie neuen Zahlenraum sicher addieren, subtrahieren, multiplizieren und
dividieren. (Kompetenzziel der Unterrichtsreihe)
Die Schüler im oberen Leistungsniveau
•
formen Wurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzes um
und erkennen Gesetzmäßigkeiten. Sie machen den Nenner von Wurzeltermen rational,
indem sie sinnvoll erweitern und dabei die binomischen Formeln zur Hilfe nehmen.
•
bearbeiten in Gruppen zügig und zielführend die gestellten Aufgaben und erläutern
der Klasse an der Tafel selbstständig ihre gemeinsam ausgewählten Übungsaufgaben.
(soziale Kompetenz)
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
9
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Die Schüler im unteren Leistungsniveau
•
formen Wurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzes
um, können aber keine eigenen Aufgaben formulieren. Sie machen den Nenner von
Wurzeltermen rational, indem sie sich an den Beispielaufgaben orientieren.
•
bearbeiten in Gruppen langsam die gestellten Aufgaben und erläutern auf Nachfrage
den Rechenweg ihrer gemeinsam gewählten Übungsaufgaben.
5.2. Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse
In den vorangegangenen Stunden wurden die Eigenschaften der Quadratwurzel 17 und die
damit verbundenen Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten 18 eingeführt. Auch mit Hilfe
des partiellen Wurzelziehens, der Bestimmung der Definitionsmenge einer Wurzel und ihrer
Darstellung an der Zahlengerade sind die Schüler für Umformungstechniken und das graphische Verständnis sensibilisiert worden. Die Hausaufgabe diente zur Festigung des Wissens
über partielles Wurzelziehen und die Wurzelgesetze.
Trotz dass der Klassenraum verhältnismäßig klein ist für eine Klasse mit 28 Schülern, wird
eine offene Form des Unterrichts gewählt, um diese den Schülern näher zubringen und das
eigenständige Arbeiten zu fördern. Um keine Zeit während der Stunde zu verlieren, werden
bereits in der Pause zuvor die Tische zu sechs Gruppentischen à zwei bzw. drei Tische zusammengestellt. Da die Schüler in der vergangenen Stunde geäußert haben, dass sie gerne
die praktische Anwendung der Umformung von Wurzeltermen üben würden, ist die heutige
Stunde als Übungs- und Anwendungsstunde ausgelegt, in der aber trotzdem eine inhaltliche
Vertiefung erfolgt.
Die Schüler müssen sich ein Thema selbstständig erarbeiten und dieses dem Rest der Klasse vorstellen. Die Form des selbstverantwortlichen Lernens fällt der Klasse großteils sehr
schwer. Deshalb ist das Aufgabenblatt so konzipiert, dass anhand vorgebener Beispiele das
inhaltliche Konstrukt erarbeitet, verstanden und dann an selbst gewählten Beispielaufgaben
verdeutlicht werden soll. Obwohl die binomischen Formeln und das Distributivgesetz als bekannt vorauszusetzen sind, hat sich in den vergangenen Stunden gezeigt, dass davon nicht
ausgegangen werden kann. Deshalb sind diese auf dem jeweiligen Arbeitsblatt abgedruckt,
damit die Bearbeitung der Blätter nicht aufgrund mangelnden Vorwissens beeinträchtigt
wird.
In den beiden folgenden Stunden werden zwei verschiedene Formen der Übung für die Schüler
angeboten. Beiden Varianten, das Lernbuffet und die Aufgabensammlung, liegen dieselben
Aufgaben zu Grunde, so dass jeder Schüler als Vorbereitung für den Test vor den Herbstferien
und die Klassenarbeit nach den Ferien die für ihn optimale Lernstrategie finden, sein Wissen
bündeln und festigen kann.
17
18
Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.
Vgl. Kapitel 3.2.2 auf Seite 6.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
10
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
5.3. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen und
Begründung der Medienwahl
Die geplante Stunde steht an dieser Stelle der Unterrichtseinheit, da sie elementare Bearbeitungsstrategien von Wurzeltermumformungen behandelt und als letzter inhaltlicher Baustein
für die Lernerfolgskontrolle fehlt. Die Schüler erhalten zur Wurzeltermumformung einige Beispiele, an denen sie ihr Wissen erweitern und ihr Verständnis vertiefen können.
Die Verbindung von theoretischem Wissen und der praktischen Anwendung durch Übungsaufgaben erweist sich in dieser Klasse als besonders notwendig, da es vielen Schülern schwer
fällt, Sätze oder Definitionen sachlogisch korrekt zu durchdenken. Die Möglichkeit, die Herleitung der Rechengesetze, die angewandt werden, an der Tafel zu erklären und diese in Form
eines Satzes zu notieren, erscheint hier nicht sachdienlich. Bei der Wahl eines gelenkten Unterrichtsgesprächs hätten sich nur vereinzelte Schüler mit Wortmeldungen beteiligt und der
Großteil wäre passiv geblieben, hätte nicht zugehört oder gestört. Bei der Erarbeitung der
Themen in Einzelarbeit wären die Schüler jedoch nicht miteinander in Interaktion getreten,
so dass diese Möglichkeit der Unterrichtsgestaltung verworfen wurde.
Als Einstieg wurde die Form der täglichen Übung gewählt. Der Stundenbeginn wird deutlich
signalisiert, die Schüler können zur Ruhe kommen und durch die Konzentration in der Bearbeitung wird eine didaktisch wertvolle Arbeitsathmosphäre geschaffen. Die einzelne Lösung
der diktierten Aufgaben zeigt jedem Schüler einzeln auf, wo seine individuellen Schwächen
liegen und was er noch einmal wiederholen sollte. Normalerweise erfolgt der Vergleich der
Ergebnisse in der Partnerarbeit. Wegen der schwierigen Vergleichsmöglichkeiten der graphischen Darstellungen werden diese als Ergebnissicherung ausnahmsweise an der Tafel eingezeichnet. Außerdem können im Hinblick auf die Lernerfolgskontrolle und die Klassenarbeit
formale Fehler direkt beseitigt werden, so dass sich keine falsche Darstellung einprägt.
Das Vorstellen der Gruppenarbeit und das Erklären der drei Gruppen ermöglicht die Zielangabe der Stunde. Die Schüler erfahren, worin die Schwerpunkte der Stunde liegen und auf
welche Weise sie diese erarbeiten sollen. Der Lehrervortrag ermöglicht es, notwendige Informationen zum Ablauf der Stunde und Organisatorisches kompakt und schnell zu erklären.
Gleichzeitig können Schülerfragen geklärt und offene Probleme direkt gelöst werden.
Für die Erarbeitungsphase wurde die Form der Arbeitsblätter gewählt, da drei verschiedene
Themen erarbeitet und durchdacht werden sollen. Die Gruppengröße von 4-5 Schülern wurde
gewählt, da hier jeder Schüler der jeweiligen Gruppe gezwungen ist, sich an der Erarbeitung
zu beteiligen, ohne sich zurücklehnen zu können. Trotzdem liegt die Last der Verantwortung
nicht bei einem einzelnen Schüler, sondern verteilt sich optimalerweise gleichmäßig auf die
Gruppenmitglieder. Um Ergebnisse erzielen zu können, müssen sie in Interaktion miteinander treten. Obwohl die sechs Gruppen sechs mögliche Themen suggerieren, ist eine Auswahl
der drei genannten Themen erfolgt, da es sonst zu viele inhaltlich neue Schwerpunkte für die
Stunde gäbe. Es ist für die Schüler bereits schwierig genug, sich mit drei neuen Vertiefungsbereichen auseinander zu setzen. Schwierigkeiten können in der Erarbeitungsphase in Form des
fachlichen Verstehens und in der Gruppendynamik entstehen. Das Verständnis des Inhalts
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
11
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
wird, wie bereits beschrieben, durch die Informationsboxen auf dem Arbeitsblatt und die
Beispielaufgaben erleichtert. Die farblichen Hervorhebungen erleichtern das Erkennen von
Zusammenhängen. Das Anleiten zum Zusammenarbeiten muss sukzessive gefördert werden.
Falls Probleme in einer Gruppe auftreten sollten, kann der Lehrer als Vermittlungsperson
zur Verfügung stehen oder auch die Gruppen zur intensiven Bearbeitung auffordern.
Nach dieser Phase ist bei verlängerter Erarbeitungszeit ein Ende der Stunde möglich. Um
einen sinnvollen Stundenabschluss zu gewähren, würden die zu diesem Zeitpunkt erarbeiteten Übungsaufgaben zwischen den jeweiligen Partnergruppen ausgetauscht und die weitere
Bearbeitung als Hausaufgabe gestellt werden. Die Präsentation für die anderen vier Gruppen
würde auf die folgende Stunde verschoben werden, so dass hierdurch ein Aufgreifen und eine
Wiederholung der Stundeninhalte erfolgen kann, ohne dass ein inhaltlicher Bruch zustande
kommt.
Die Sicherung der Ergebnisse soll in einer Präsentationsphase stattfinden. Die Unterrichtsform ermöglicht den Schülern, das freie Sprechen und das Erklären sowie das Schreiben an der
Tafel zu üben. Die Verbalisierung der mathematischen Fachbegriffe wie sinnvoll Erweitern
und die Kennzeichnung der angewendeten Rechengesetze ermöglicht es den anderen Schüler,
die Themen, die sie selbst nicht bearbeitet haben, zu verstehen, die Rechenwege nachzuvollziehen und auf die gestellten Übungsaufgaben direkt anzuwenden. Der Tafel wurde der
Vorzug gegenüber dem Overhead-Projektor gegeben, da für diesen eine nicht vorhandene
freie Wand notwendig wäre.
Die Hausaufgabe besteht aus Anwendungsaufgaben zu den drei behandelten Themengebieten und dient als Festigungsmöglichkeit für das Gelernte. Die Schüler sollen die Algorithmen
verinnerlichen und verstehen können.
Als Reserve dient die Hausaufgabenbesprechung zu der heutigen Stunde.
5.4. Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster)
Phase/
Zeit
Lehrerhandeln
Schülertätigkeiten
Lerninhalte/
Ziele
(Stichpunkte)
Einstieg
10:00 10:10 Uhr
Begrüßung der Schüler (S)
durch die Lehrerin (L).
Durchführung einer täglichen
Übung: L liest den Arbeitsauftrag vor, notiert die Mengen
und zeichnet die Zahlengeraden an der Tafel an.
Stelle die Menge graphisch an der
Zahlengerade dar oder nenne die
Menge, für die Zeichung gilt.
Praktikumsbericht Mathematik
S öffnen ihr Übungsheft, notieren das
Datum, hören den
Arbeitsauftrag
und schreiben die
Mengen
in
das
Übungsheft.
Sie
lösen die Aufgaben
eigenständig, nennen
die Mengen, stellen
sie graphisch an
der Tafel dar und
korrigieren mögliche
Fehler.
Autor
Verschriftlichung
von gesprochenen
Mengen,
Darstellung von
Mengen an der
Zahlengerade
Sozialform/
Materialien
Einzelarbeit,
Unterrichtsgespräch
(Ü1 , Heft)
12
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Einleitung
10:10 10:15 Uhr
L erklärt den Ablauf der kommenden Stunde.
Wie ihr bemerkt habt, sind die Tische in Gruppen zusammengestellt.
Wir werden heute in sechs Grup-
S finden sich in den
Gruppen zusammen,
hören zu und klären
eventuelle Verständnisprobleme.
inhaltiche und
formale Zielangabe
Lehrervortrag
pen mit jeweils 4-5 Schülern arbeiten. Die drei Themen werden immer von zwei Gruppen bearbeitet,
so dass ihr euch hinterher gegensei-
L teilt Gruppen ein, erklärt Arbeitsauftrag und gibt Bearbeitungszeit vor.
L steht für Rückfragen zur
Verfügung.
tig ergänzen könnt.
Erarbeitung
10:20 10:30 Uhr
S erhalten A1 , A2 , A3
und lesen den Arbeitsauftrag und bearbeiten die Aufgaben.
selbständiges
GruppenErarbeiten von arbeit
neuen Inhalten, (A1 , A2 , A3 )
produktive Interaktion in der
Gruppe
mögliches Stundenende, HA: S formen die von den Partnergruppen gefundenen Terme um.
Präsentation L moderiert bei auftretenden S nennen ihr The- Präsentation
Gruppenund Übung Problemen.
ma, geben eine Über- von Ergebnis- arbeit
10:30 schrift an, rechnen sen,
Verbali- (Heft)
10:45 Uhr
ein Beispiel an der sierung
von
Tafel vor und erläu- Rechenwegen
tern den Rechenweg.
Sie schreiben einen
weiteren Term für ihre Mitschüler an die
Tafel.
Stundenende, HA H1 : S. 32, Nr. 3 d - f, 9, S. 33, Nr. 15 c, d
Reserve:
L fordert S auf, ihre Haus- S vergleichen ihre Finden
von PartnerHausaufgabe aufgaben zu vergleichen. Bei Ergebnisse und set- Fehlern
und arbeit
Fehlern werden auftretende zen einen Haken bei eigenständige
(H2 , Heft)
Probleme benannt und mit richtigem Lösungs- Korrektur bzw.
seinem Sitznachbarn geklärt. weg und Ergebnis. Korrektur
in
Während des Vergleich kon- Bei Problemen su- Partnerarbeit.
trolliert L die Vollständig- chen sie gemeinsam
keit der Hausaufgaben bei den mit ihrem SitznachSchülern.
barn den Fehler und
korrigieren ihn.
5.5. Geplante Tafelbilder
Da sich die Schüler selbstständig Aufgaben ausdenken müssen, sind die Beispielaufgaben
exemplarisch für das Tafelbild aufbereitet worden.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
13
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln
√
√
√
√
Beispiel: (5 + 13) · (5 − 13) = (5 + 13) · (5 − 13)
√
= 52 − 132 = 25 − 13 = 12
√
√
√
√
√
√ √
√
Übung: ( 3 + 12)2 = ( 3 + 12)2 = 32 + 2 3 12 + 122
√
√
= 15 + 2 3 · 12 + 12 = 27 + 2 36 = 27 + 2 · 6 = 27 + 12 = 39
Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz
√
√
√
√
√ √
√
Beispiel: 7 · (1 + 7) = 7 · (1 + 7) = 7 · 1 + 7 · 7
√
√
√
√
√
= 7 + 7 · 7 = 7 + 49 = 7 + 7
√
√
√
√
√ √
√ √
√ √
√ √
Übung: ( 25b + 25c) − ( 16b + 16c) = ( 25 b + 25 c) − ( 16 b + 16 c)
√
√
= 25(b + c) − 16(b + c) = 5(b + c) − 4(b + c) = b + c
Beseitigen von Wurzeln im Nenner (Den Nenner rational machen)
Beispiel:
Übung:
10
√
5
=
1√
3+ 5
√
10 √5
√
5 5
=
√
√
10
√ 5 = 10 5 =
5
5·5
√
√
1·(3−
5)√
3− 5
√
√ 2
=
2
(3+ 5)(3− 5)
3 − 5
=
√
2 5
=
√
3− 5
9−5
=
√
3− 5
4
Die weiteren Materialen wie die Tägliche Übung und die Hausaufgaben befinden sich im
Anhang A.5.3 auf Seite vi. Der Sitzplan der Klasse XX findet sich im Anhang A.6 auf
Seite vi.
5.6. Reflexion der Stunde
Der Beginn der Stunde gestaltet sich insoweit problematisch, dass die Schüler nicht zur Ruhe
finden. Deshalb stehen die Schüler, nach Absprache mit der Mentorin, zu Beginn der Stunde
auf, um einen gemeinsamen Anfang zu finden. Leider hat sich gezeigt, dass die Schüler trotz
des wiederkehrende Rituals nur schwer aus der Lebendigkeit der vorangegangenen Pause in
die Aufmerksamkeit des Unterrichtsgeschehens finden. Die tägliche Übung unterstützt diesen
Wechsel und es hat sich gezeigt, dass diese Art des Stundenbeginns sinnvoll ist. Die Schüler
nehmen gerne die Möglichkeit wahr zu zeigen, was sie gelernt haben. Aus den Reaktionen
bei dem Vergleichen konnte daraus geschlossen werden, dass das graphische Darstellen von
Wurzeltermen an der Zahlengerade zwei Drittel der Klasse kaum mehr Schwierigkeiten bereitet. Durch das langsame „zur Ruhe kommen“ ist jedoch zu viel Zeit verloren gegangen,
die am Ende der Stunden fehlt.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
14
6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Bereits aus den Reaktionen bei dem Umstellen der Tische und während des Lehrervortrages
hat sich gezeigt, dass die offene Arbeitsform des Gruppenlernens bei einem Teil der Schüler
als unnötig angesehen wird. Sie präferieren den Frontalunterricht, haben sich in den Gruppen
jedoch erstaunlich ruhig und angenehm verhalten. Auch wenn einzelne Schüler immer wieder
dazu angehalten werden mussten, sich mit der Thematik auseinander zusetzen, haben die
Schüler innerhalb der Gruppen jedoch gute Ergebnisse erzielen können. Bei der Vermittlung
des Unterrichtsinhaltes in einem Frontalunterricht hätten sich vermutlich die anderen Schüler ablenken lassen.
Leider hat sich die Bearbeitungszeit des Aufgabenzettels als zu kurz kalkuliert erwiesen. Es
hat sich bestätigt, dass die Klasse sehr langsam Aufgaben bearbeitet und vor allem langsam rechnet. Die Hälfte der Schüler arbeitet sehr schnell, macht aber regelmäßig gravierende
Fehler. Die andere Hälfte gelangt zu einem richtigen Ergebnis, braucht dafür jedoch eine
sehr lange Bearbeitungszeit. Die Arbeit in Gruppen kommt diesem differierten Arbeitsverhalten entgegen, da die Schüler sich gegenseitig austauschen, was sie in dieser Stunde auch
ausführlich getan haben. Leider hat sich die Bearbeitungszeit derart verlängert, dass die
Präsentation einer der drei Gruppen in die folgende Stunde verschoben werden musste. Dies
stellt allerdings kein Defizit dar, da so die Inhalte wiederholt und aufgefrischt werden konnten.
Eine kleine Veränderung scheint auf dem Aufgabenzettel zu dem Rationalmachen des Nenners sinnvoll. Die Schüler haben bei einer Summe oder einer Differenz im Nenner nur mit
Hilfe erkannt, dass der Nenner zu einer binomischen Formel ergänzt werden und diese dann
angewandt werden muss. Ein Hinweis auf dem Aufgabenzettel erleichtert beim nächsten Mal
die Bearbeitung, da es sich hierbei zusätzlich noch um die am anspruchsvollsten zu bearbeitende Arbeitsgruppe handelt. Ansonsten kann gesagt werden, dass die Stunde in Bezug auf
die Erfüllung der anfangs formulierten Lernziele theoretisch sehr gut konzipiert worden ist.
Leider hat nur ein Teil der Schüler alle drei Kompetenzen erlangen können, da die Klasse
sehr langsam lernt und es vielen Erklärungsversuchen bedarf. Im Umgang mit der Anwendung der binomischen Formeln und dem Distributivgesetz haben die meisten Schüler jedoch
die angestrebten Lernziele erreichen können.
6. Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Die Durchführung der dargestellten Lernerfolgskontrolle (LEK)19 ist am Ende der Unterrichtseinheit Rechnen mit Quadratwurzeln in der Klasse XX durchgeführt worden. Die LEK
besteht aus jeweils fünf Aufgaben und ist, wegen der begrenzten räumlichen Situation, in
zwei Varianten A und B durchgeführt worden, um Täuschungsversuche zu verhindern. In
Absprache mit der Lehrerin wurden die Umformung von Wurzeltermen, die Angabe des
19
Die beiden Aufgabenblätter mit den Aufgabenstellungen befinden sich, zusammen mit dem Erwartungshorizont, einer aufgabenspezifischen Verteilung der Punkte und einer Einteilung in die drei Aufgabenbereiche im Anhang im Kapitel A.8 auf Seite xi.
Praktikumsbericht Mathematik
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15
6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Definitionsbereiches eines Wurzelterms und seine graphische Darstellung sowie die Lösungsmenge einer einfachen quadratischen Gleichung als Inhalte gestellt. Die letzte Aufgabe wurde
als Textaufgabe gestellt und die Schüler mussten die Wurzelgesetze für den Beweis kreativ
anwenden. Da bei dieser Aufgabe eigene Überlegungen ohne erfolgte Vorgabe des Lösungsweges notwendig sind, ist diese Aufgabe so gewählt worden, dass sie bewältigt werden musste,
um eine Note im sehr guten Bereich zu erlangen. Durch die einfache Anwendung der Wurzelgesetze in Aufgabe 1 jedoch soll gewährleistet werden, dass die Schüler den Test bewältigen
können.
6.1. Der Zensurenspiegel
Note
Anzahl
1
-
2
3
3
3
4
5
5
13
6
2
Im Anhang ist, zusätzlich zu der detaillierten Aufschlüsselung nach Aufgaben (Anhang A.10
auf Seite xiv) auch der Bewertungsmaßstab für Mathematik (Anhang A.11 auf Seite xv)
einzusehen, auf den in der Auswertung Bezug genommen wird.
6.2. Auswertung und Reflexion
Der Notenspiegel bildet leider die schwache Leistungen der Klasse relativ gut ab. Ein Großteil der Klasse arbeitet entweder sehr langsam und sorgfältig, kann sich dafür die Zeit nicht
gut einteilen, oder bearbeitet die Aufgaben schnell und unkonzentriert, woraus viele Fehler
resultieren. Die LEK ist verhältnismäßig schlecht ausgefallen. Lediglich drei Schüler haben
im guten Notenbereich abgeschnitten. Die ungenügenden Leistungen haben sich im Unterricht bereits durch den Unwillen, sich am Unterrichtsgeschehen zu beteiligen, angedeutet.
Insgesamt darf die LEK von den Aufgaben her nicht als zu schwer angesehen werden. Obwohl
es in der LEK 24 Punkte zu erreichen gab, wurde auf Wunsch der Mentorin der strengere
Maßstab für weniger als 20 Punkte20 angesetzt mit der Begründung, dass die Aufgaben die
Unterrichtsinhalte in sehr gut zu lösender Weise wiederspiegeln. Auf Basis des positiveren
Maßstabs wäre folgende Verteilung der Noten erfolgt: 3x Note 2, 4x Note 3, 9x Note 4, 8x
Note 5, 2x Note 6. Als Zeitangabe wurden 20 Minuten kalkuliert und den Schüler standen
schlussendlich 25 Minuten zur Verfügung. Auch wenn sechs Schüler bereits vor Abgabeschluss
fertig waren, sollte bei zukünftigen Leistungskontrollen mehr darauf geachtet werden, dass
die Schüler ausreichend Zeit für die Bearbeitung erhalten.
Auf Grund der vielen Unterrichtsinhalte konnte nur schwer eine wirkliche Schwerpunktsetzung innerhalb der Aufgaben erfolgen. Jede Aufgabe deckt einen Themenbereich ab, der
explizit behandelt worden ist. Im Einzelnen ist aufgefallen, dass es einigen Schülern schwer
fällt, die verschiedenen Wurzelgesetze angemessen anzuwenden. Dem Großteil der Klasse hat
20
Vgl. die Maßstabstabelle im Anhang A.11 auf Seite xv.
Praktikumsbericht Mathematik
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16
7 Hospitation
es kaum Schwierigkeiten bereitet, die Wurzel über einem Bruch durch Umformungen aufzulösen oder zwei Wurzeln miteinander richtig zu multiplizieren. Trotz zweifacher Behandlung
und der Klärung aller dazu auftretenden Fragen haben die Schüler jedoch die Notwendigkeit
des Betrages bei Wurzeltermen nicht verinnerlicht. Da in der Unterrichtsstunde, in der dieser
thematisiert wurde, Probleme im Verständnis der Schüler aufgetreten sind, wurde das Thema
erneut aufgegriffen. Die graphische Darstellung von Definitionsmengen an der Zahlengerade
wurde großteils erfolgreich umgesetzt und beim Rationalmachen des Nenners sinnvoll erweitert. Für einige Schüler stellt die Verknüpfung mit den binomischen Formeln hierbei noch
ein Problem dar. Weiterhin musste, auch zum Entsetzen der Lehrerin, festgestellt werden,
dass die Schüler trotz zahlreicher Hinweise und Ausführungen Wurzelterme nicht möglichst
weit kürzen. Hierdurch sind seitens der Schüler viele unnötige Punkte verschenkt worden.
Trotz einer ausführlichen Übungsphase vor der LEK haben sich die Schülern schwer mit dem
Rechnen von Wurzeltermen getan. Zukünftig sollte eine direkte Verknüpfung von Theorie
und praktischer Anwendung erfolgen. In den ersten beiden Stunden sind zu schwere Einstiegsbeispiele gewählt worden, da die Klasse in einem sehr niedrigen Leistungsniveau anzusiedeln
ist. Die Übungsphase ist von den Schülern sehr gut aufgenommen worden, jedoch muss in
dieser Klasse vermehrt das Augenmerk auf das Üben gelegt werden, durch das Inhalte noch
besser verinnerlicht werden können. Durch die Anwendung ist es sehr wahrscheinlich, dass
das Rechnen zukünftig schneller automatisiert wird.
Ein Hinweis seitens der Mentorin lässt schlussendlich das Abschneiden des Schüler vielleicht besser verstehen. Nach ihren Beobachtungen hätte die LEK auf Grund des erteilten
Unterrichts ohne größere Probleme gut bewältigt werden müssen. Die Schüler haben sich
interessiert am Unterrichtsgeschehen beteiligt und die Praktikantin im Unterricht ohne Einschränkungen als Lehrperson anerkannt. Die Schlussfolgerung, zu Hause zu lernen und sich
auf die LEK vorzubereiten, wurde allerdings nicht gezogen, da die Relevanz der LEK für die
Halbjahresnote von den meisten Schülern nicht ernst genommen wurde.
7. Hospitation
Die tabellarische Auflistung der hospitierten Stunden findet sich im Anhang A.7 auf Seite vii.
7.1. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Mathematische
Begriffsbildung und Sprechweisen
Datum: 13.09.2010
Uhrzeit: 08:55-09:40 Uhr
Klasse: LK Ma
Fach: Mathematik
Stundenthema: Kollinearität, Komplanarität und lineare (Un-)Abhängigkeit
Hospitationsschwerpunkt: Das Lernen mathematischer Begriffe
Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt Mathematische
Begriffsbildung und Sprechweisen befindet sich im Anhang A.12 auf Seite xvi.
Praktikumsbericht Mathematik
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17
7 Hospitation
7.2. Reflexion zu Protokoll I
Das Wiederholen der Kollinearität und der Besonderheit der Parallelität stellt ein gutes
Einstiegsbeispiel dar, an dem die Definition der Kollinearität wiederholt werden kann. Die
Lehrerin festigt den Begriff der Kollinearität durch eine Realdefinition21 , mit der artbildende
Merkmale wiederholt werden. In der anschließenden Übung müssen vorhandene Wissensstrukturen auf die Aufgabe transferiert werden. Die Verbalisierung der berechneten Ergebnisse festigt das inhaltliche Verständnis, auf dem die mathematische Vorgehensweise beruht.
In der fortschreitenden Begriffsbildung der Kollinearität wird diese noch einmal realdefiniert,
da die Schüler das Ergebnis interpretieren müssen.
Der Übergang zur linearen (Un-)Abhängigkeit wird als eine Konventionaldefinition22 eingeführt. Durch die Überschrift ist für die Schüler direkt ersichtlich, was das Thema der
Stunde ist. Jedoch wird zunächst nur die lineare Abhängigkeit von Vektoren definiert, um
hier den Bezug zur Kollinearität, dem Bekannten, herzustellen. Die objektive-logische Begriffsbildungsform ermöglicht es den Schülern, an bekannte Wissensstrukturen anzuknüpfen
und sich eine eigene Struktur zu erarbeiten. Das weniger komplexe sekundäre Konzept der
Kollinearität und Parallelität von Vektoren wird erweitert zu einem komplexen sekundären
Konzept23 der Begriffsbildung, der linearen Abhängigkeit von Vektoren.
Die Trennung von linearer Abhängigkeit und der Erweiterung zu linearer Unabhängigkeit
stellt eine sinnvolle mathematische Weise dar, diese beiden zusammenhängenden Begriffe
einzuführen. Da sie auseinander hergeleitet werden (Ist dies nicht der Fall, so heißen die
Vektoren linear unabhängig.), ist es gut, erst eine Verknüpfung der linearen Abhängigkeit
mit Bekanntem zu ermöglichen und anschließend den Begriff zu erweitern. Die Schülerantwort in Bezug auf die Komplanarität zeigt, dass zumindest einige Schüler den Begriff in ihre
Wissensstruktur sinnvoll einordnen konnten.
Leider zeigt sich anhand der beiden Beispiele, dass die Schüler der 11. und der 12. Klasse sich
schwer mit der Bearbeitung der Aufgabe tun. Im Gegensatz zu den Schülern der 13. Jahrgangsstufe finden sie nur schwer einen Ansatz, die lineare Unabhängigkeit durch Darstellung
einer Linearkombination zu zeigen bzw. zu widerlegen. Auch die Darstellung des linearen
Gleichungssystems in der letzten Beispielaufgabe bereitet einigen Schüler große Probleme.
Hier fehlt grundlegende Kompetenzen, um erfolgreich eine Untersuchung von Vektoren auf
lineare (Un-)Abhängigkeit durchzuführen. Die Lehrerin weist die entsprechenden Schüler an
sich diese Fähigkeiten schleunigst selbst anzueignen, da im Unterricht dazu keine Zeit vorhanden ist und sie die LGS bereits umformen können müssten.
Der Verweis auf das Kriterium für lineare (Un-)Abhängigkeit ist folgerichtig, aber es ist für
manche Schüler vielleicht zu theorielastig. Deshalb ist die Verknüpfung von Beispielen mit
der Definition und dem Bezug auf bekannte Wissensstrukturen ein guter Weg, den Begriff für
möglichst viele Schüler begreifbar zu machen. Das Anwendungsbeispiel der Erwärmung ist
21
22
23
Vgl. Zech, S. 255.
Vgl. Zech, S. 255.
Vgl. Ausubel in Zech, S. 258.
Praktikumsbericht Mathematik
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18
7 Hospitation
ein abstraktes Anwendungsbeispiel, um sich die lineare Abhängigkeit der einzelnen Faktoren
zu vergegenwärtigen.
7.3. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele im
Mathematikunterricht
Datum: 13.09.2010
Uhrzeit: 10:55-12:45 Uhr
Klasse: XX
Fach: Mathematik
Stundenthema: Darstellung von gemischt periodischen Dezimalzahlen als Bruch
Hospitationsschwerpunkt: Erkennen und Anwendung von Lösungsstrategien und Rechenalgorithmen
Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt Motivation im
Mathematikunterricht befindet sich im Anhang A.13 auf Seite xix.
7.4. Reflexion zu Protokoll II
Der Einstieg wird geschickt durch den Lehrer motiviert, da durch die tägliche Übung die
besonderen Eigenschaften der rein periodischen und abbrechenden Dezimalzahlen und der
Umwandlungsalgorithmus wiederholt und aktiviert werden. Die bewusste Auswahl von unterschiedlichen Beispielen (z.B. ein negativer Radikand, Quadratzahlen,...) motiviert die Schüler, spielerisch an das Rechnen heranzugehen. Die Reaktion eines Schülers zeigt, dass bereits
beim Diktieren der Aufgaben überlegt wird, wie der Lösungsweg aussehen könnte. Die Themenangabe für die folgende Unterrichtsstunde macht den Schülern deutlich, was sie lernen
sollen und wie der Lehrer den Stoff vorstrukturiert hat. Damit motiviert er nach Zech24 bis
zu diesem Zeitpunkt auf zwei Arten: erstens fördert er durch die tägliche Übung den Wettbewerbsgedanken, der durch die gemeinsame Kontrolle in eine Zusammenarbeit zwischen
den Schülern übergeleitet wird. Die Zielorientierung ist als Form der Leistungsmotivation
die zweite Variante der Motivation.
Leider stellt sich heraus, dass viele Schüler trotz der vorhergehenden Umformungsalgorithmen enorme Probleme bei der Umformung gemischt periodischer Dezimalzahlen in einen
Bruch haben. Das Vorrechnen an der Tafel ermöglicht es jedem Schüler, seine Fehler selbst
zu finden und zu korrigieren. Nach der enaktiven Phase zeigt sich der Lehrer hilfsbereit und
geht auf die Lernschwierigkeiten der Schüler ein, was nach Zech25 Motivation durch Selbsttätigkeit und emotionale Zuwendung bezeichnet wird.
In der Übungsphase werden die Schüler durch die Logik der Beispielbildung fasziniert und
rufen bereits nach dem Anschreiben der dritten Aufgabe die beiden folgenden laut in die
Klasse. Durch die Wiederholung der Rechenschritte und der Erweiterung mit „9“ im Nenner
kann ein Teil der Klasse mit seinem Wissen glänzen und mündliche Punkte sammeln.
24
25
Zech, S. 207.
Zech, S. 207.
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19
8 Reflexion und Zusammenfassung
Der Lehrer motiviert geschickt die Gleichheit von 1 und 0, 9, indem er Unklarheit über
das Ergebnis lässt und die Schüler entdeckend zu einem scheinbar unmögliches Ergebnis
gelangen.26 Indem die Schüler selbstständig begründen sollen, warum die Gleichheit gilt,
beschäftigen sie sich mit der Faszination der Darstellbarkeit zweier Zahlen, die inhaltlich
dasselbe ausdrücken, aber optisch vollkommen verschieden aussehen. Der Beweis über die
Darstellung als geometrische Reihe27 würde vielleicht vereinzelte Schüler durch den erhöhten
Schwierigkeitsgrad ansprechen, jedoch würde es den Großteil der Klasse überfordern. Die
Eingabe des Bruchs in den Taschenrechner fördert das spielerische Entdecken der Schüler
und die Bedeutung des Unendlichen.
Zu Beginn der Stunde motiviert der Lehrer geschickt, jedoch fühlen sich die Schüler geprüft.
Im Verlauf der Stunde wird ihr Interesse durch den Darstellungskonflikt geweckt, den der
Lehrer durch eine gute offene Fragestellung erreicht. Allerdings erfolgt die Beweisführung
sehr schnell, so dass ein Teil der Schüler dem Unterricht nicht mehr aufmerksam folgen
kann, sondern sich aus der Diskussion und Ideenfindung heraushält.
8. Reflexion und Zusammenfassung
Als Rückblick auf das Praktikum hat sich dieses als sehr lehrreich erwiesen. Ich durfte mich
als Lehrperson in einer sehr angenehmen Umgebung ausprobieren und stetige Erfolge in meiner Unterrichtsvorbereitung und vor allem in der Durchführung sehen können. Auch wenn
ich anfangs deutlich zu schwere Beispiele ausgewählt habe, konnte ich den Schwierigkeitsgrad
im Laufe des Praktikums angemessen anpassen, so dass am Ende der Unterrichtseinheit die
Schüler nicht überfordert, aber gleichzeitig passend gefordert wurden.
Zu Anfang habe ich den Unterricht in Absprache mit meiner Mentorin wochenweise vorbereitet unter Zielangabe der Inhalte der LEK. Auf Grund des Lernstandes der Klasse mussten
diese allerdings jeweils modifiziert werden, da sich Lernschwierigkeiten aufgezeigt haben, auf
die mit den Schülern eingegangen werden musste. So ist eine grobe Übersicht sinnvoll gewesen, beim nächsten Mal ist eine noch genauere Planung der Unterrichtsreihe im vorhinein
aber bestimmt noch hilfreicher, da man sich bereits mit möglichen Problemfällen auseinander setzen muss. Auf diese Weise können Schwierigkeiten vorweg genommen werden.
Beispielsweise würde ich die Behandlung der Definitionsmenge eines Wurzelterms und die
Lösungsmenge einer einfachen quadratischen Gleichung getrennt voneinander behandeln.
Der ähnlich klingende Wortlaut hat die Schüler irritiert, so dass eine Trennung der Begriffe
sinnvoll ist.
Als weitere Erfahrung habe ich festgestellt, dass die Schüler mich zwar als Lehrperson akzeptiert, aber nicht vollkommen ernst genommen haben. Anweisungen zur Wiederholung
oder Beruhigungsmaßnahmen wurden galant ignoriert, so dass meine Mentorin vereinzelt
die Schüler auf meinen Status aufmerksam machen musste. Ich gehe aber davon aus, dass
im Referendariat dieses Problem nicht besteht, da ich dort einen anderen rechtlichen Status
26
27
Vgl. Zech, S. 206.
Vgl. o.A.: Verschieden und doch gleich, S. 52.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
20
8 Reflexion und Zusammenfassung
besitze und dort auch die Legitimation habe, Noten zu geben.
Es hat sich während der Hospitation gezeigt, dass vereinzelt versucht wird, neue Formen des
Unterrichtens anzuwenden und eine Öffnung des Unterrichts zu ermöglichen. Leider zeigen
sich die Schüler oft ablehnend gegenüber diesen Versuchen und bevorzugen den Frontalunterricht. Natürlich müssen sie an neue Methoden langsam herangeführt werden, aber die
Umsetzung der Konzepte der Universitäten in den Schulen wird noch lange dauern, bis sie
von den Schülern vollständig akzeptiert sind.
Während des Praktikums habe ich mich sehr gut durch meine Mentorin betreut gefühlt.
Sie hat mich in ihre Kurse von Beginn an mitgenommen und nur wenige Hinweise vorweg
gegeben, so dass ich mich selbst ausprobieren konnte. Die Hinweise zu meinen Stundenplanungen waren sehr hilfreich, ohne in der Gestaltung der Stunde eingeengt zu sein. Das
Feedback meiner Mentorin, die Hinweise meiner Dozentin und die praxisnahen Vorschläge
einer abgeordneten Lehrerin haben mir sehr geholfen. Ich habe aus den Besuchen mit den
anschließenden Gesprächen viele hilfreiche Hinweise erhalten, die in den folgenden Stunden
zum Gelingen beigetragen haben.
Abschließend kann ich sagen, dass das Praktikum mich in meiner Wahl des Lehramtstudiums bestärkt hat. Es wird bewusst, wieviel Zeit für eine gute Vorbereitung von Unterricht
benötigt wird. Aber die Anstrengung, die der Lehrerberuf mit sich bringt, wird dadurch
ausgeglichen, dass man mit Menschen zusammen arbeiten kann und versuchen darf, diesen
das eigene Interesse und die Begeisterung für die Mathematik weiterzugeben.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
21
9 Literaturverzeichnis
9. Literaturverzeichnis
9.1. Schulbücher
Elemente der Mathematik 9:
Heinz Griesel u.a. [Hrsgs.], Schroedel, Berlin 2009.
Lambacher Schweizer:
Mathematik für Gymnasien 9, Christina Drüke-Noe u.a. [Hrsgs.], Klett 2008.
Mathematik heute 9:
Heinz Griesel, Helmut Postel [Hrsgs.], Schroedel 1992.
Mathematik 9:
Hahn/ Dzewas, Jutta Cukrowicz, Jürgen Dzewas [Hrsgs.], Westermann 1995.
Mathematik 13.1 Leistungskurs:
Anton Bigalke, Norbert Köhler u.a. [Hrsgs.], Sekundarstufe II Berlin, Cornelsen 2001.
9.2. Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial
Berliner Rahmenlehrplan:
http://www.berlin.de/imperia/md/content/sen-bildung/schulorganisation/lehrplaene/
sek1_mathematik.pdf, letzter Zugriff: 30.11.2010.
Filler, Prof. Dr. Andreas:
Vorlesungsskript: Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, WS 2010/11.
Forster, Otto:
Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig
1983.
Homepage des XXXXX-Gymnasiums:
Link: www.XXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010.
Homepage Berliner Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung:
Link: http://www.berlin.de/sen/bildung/besondere_angebote/staatl_europaschule/,
01.12.2010.
Königsberger, Konrad:
Analysis 1, Berlin 1995.
Timmann, Steffen:
Repetitorium der Analysis, Hannover 2006.
O.A.: Verschieden und doch gleich.
Eine kleine, ganz schlichte Fangfrage zeigt, dass es nicht einfach ist, Zahlen darzustellen, in: Unendlich (plus eins), Spektrum der Wissenschaft (2/10).
Zech, Friedrich:
Grundkurs Mathematikdidaktik. Theoretische und praktische Anleitung für das
Lehren und Lernen von Mathematik, Weinheim (8) 1996.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
22
A Anhang
A. Anhang
A.1. Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte und
Quotienten
Beweis zu W1
√
√ √
Behauptung: a · b ist die Wurzel aus dem Produkt a · b. Es gilt: ( a · b)2 = a · b
√ √
a) Z.z.: Das Quadrat von a · b ist a · b.
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √
( a · b)2 = ( a · b) · ( a · b) = a · a · b · b = a · b
√ √
b) Z.z.: a · b ist nichtnegativ.
√
√
Laut Definition ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da a und b nichtnegativ sind
√ √
⇒ Produkt a · b ist auch nichtnegativ.
√
√ √
Aus a) und b) ⇒ a · b = a · b
alternativ:
√
√
√ √
√ √
√ √
√ √
a · b = a · b ⇔ ( a · b)2 = ( a · b)2 ⇔ ( a · b) · ( a · b) = a · b
√ √ √ √
⇔ a· a· b· b=a·b⇔a·b=a·b
Beweis zu W2
Die Behauptung
√
√a
b
=
q
a
b
bedeutet:
a)
Z.z.: Das Quadrat von
b)
Z.z.:
√
√a
b
√
√a
b
√
√a
b
ist die Wurzel aus dem Quotienten ab .
√
ist ab .
( √ab )2 =
√
√a
b
·
√
√a
b
=
√ √
√a·√a
b· b
ist nichtnegativ.
Laut Definition
ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da
√
a
⇒ Quotient √b ist auch nichtnegativ.
√
√
=
a
b
a und
√
b nichtnegativ sind
q
Aus a) und b) ⇒ √ab = ab
alternativ:
√
√
q
q
a
√a =
√a )2 = ( a )2 ⇔
⇔
(
b
b
b
b
√
( √a)2
( b)2
=
a
b
⇔
a
b
=
a
b
Beide Beweismöglichkeiten der beiden Gesetze sind für den Unterricht relevant, jedoch zeigt
die zweite Beweisführung leichter nachzuvollziehende Operationen bei einer Gleichung auf,
so dass diese für den Unterricht gewählt wird.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
i
A Anhang
A.2. Arbeitsblatt A1 : Umformung von Wurzeltermen durch die
binomischen Formeln
Übungszettel
Umformen von Wurzeltermen
1. Oktober 2010
Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln
Aufgabe:
1.
Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2.
Forme folgende Wurzelterme mithilfe der Binomischen Formeln um. Vergleiche anschließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.
(5 +
3.
√
√
13) · (5 − 13)
√
√
( 20 + 5)2
Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Anwenden der Binomischen Formeln
Beispiel: Verwandle folgende Terme in Summen:
√
√
1) ( 2 + 18)2
√
√
2) ( a − b)2
√
√
√
√
3) ( a + b) · ( a − b)
Lösung: Durch Anwenden der binomischen Formeln erhälst du:
√
√
√ 2
√ √
√ 2
√
1) ( 2 + 18)2 = 2 + 2 2 18 + 18 = 2 + 2 36 + 18 = 2 + 2 · 6 + 18 = 32
√
√ 2
√ 2
√
√ √
2) ( a − b)2 = 2 − 2 a b + b = a − 2ab + b
√
√
√
√
√ 2 √ 2
3) ( a + b) · ( a − b) = a − b = a − b
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
ii
A Anhang
A.3. Arbeitsblatt A2 : Umformung von Wurzeltermen mit dem
Distributivgesetz
Übungszettel
Umformen von Wurzeltermen
1. Oktober 2010
Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz
Aufgabe:
1.
Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2.
Forme folgende Wurzelterme mithilfe des Distributivgesetzes um. Vergleiche anschließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.
√
3.
7 · (1 +
√
√
√
√
√
( 25b + 25c) − ( 16b + 16c)
7)
Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Anwenden des Distributivgesetzes
Distributivgesetz:
a · (b + c) = a · b + a · c
Beispiel:
Verwandle folgende Terme in Summen:
1) (10 +
√ √
2) 2
2)
√ √
a( a − b)
√
√
√
3) ( 3x − x + 1) x
Lösung:
Durch Anwenden des Distributivgesetzes erhälst du:
√ √
√
√ √
√
1) (10 + 2) 2 = 10 · 2 + 2 · 2 = 10 2 + 2
√ √
√ √
√
√
2) a( a − b) = a · a − a · b = a − b a
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
3)( 3x − x + 1) x = 3x · x − x · x + 1 · x = 3x2 − x + x
√
√
= 3x − 1 · x + x
√
√
=( 3 − 1)x + x
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
iii
A Anhang
A.4. Arbeitsblatt A3 : Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Übungszettel
1. Oktober 2010
Umformen von Wurzeltermen
Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Aufgabe:
1.
Lies dir die unten stehenden zwei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2.
Forme folgende Wurzelterme um und vereinfache sie, indem du die Wurzel im Nenner
eliminierst. Vergleiche anschließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.
10
√
5
3.
1√
3+ 5
Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Beispiel:
Forme den linken Term so um, dass du den rechten erhälst:
1)
√
2 3
3
√2
3
2)
√
2( 2+3)
7
2√
3− 2
Lösung: Durch Erweitern der Brüche erhälst du Terme, in denen keine Wurzeln mehr im
Nenner erscheinen:
√
2
2·
1) √3 = √3·√33
2)
2√
3− 2
=
=
√
2 3
3
√
2(3+
2)√
√
(3− 2)(3+ 2)
Praktikumsbericht Mathematik
=
√
2(3+ 2)
√ 2
32 − 2
=
Autor
√
2( 2+3)
9−2
=
√
2( 2+3)
7
iv
A Anhang
A.5. Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben
A.5.1. Ü1 : Tägliche Übung
Aufgaben:
1) Stelle D = {x R|x < −2} graphisch dar.
2) Nenne die Menge, für die gilt:
3) Stelle die Menge A an der Zahlengerade dar: A = {a R|a ≥ −1}
4) Nenne die Menge, für die gilt:
Lösungen:
1)
2) D = {z R|z < 1}
3)
4) A = {a R|a = 2}
A.5.2. H1 : Hausaufgabe zum 04.10.2010:
Elemente der Mathematik 9 (2008):
S. 32, Nr. 3: Vereinfache durch Ausmultiplizieren bzw. Dividieren.
√
√
√
d) w uv 2 − v u3 v + u uv
√
√
√
e) u3 vw − uv 3 − uvw3
√
√
√
f) a c5 + bc c3 + c2 c
S. 32, Nr. 9: Berechne im Kopf.
√
√
a) ( 3 − 27)2
√
√
√
√
b) ( 7 − 13) · ( 7 − 13)
c)
√
169 − 2 · 13 · 17 + 289
√
S. 33, Nr. 15: Beseitige zuerst die Wurzel im Nenner. Verwende dann 3 ≈ 1, 7 und
√
5 ≈ 2, 2 für die Berechnung von Näherungswerten. Was ist einfacher, die umgeformten
Terme zu berechnen oder die gegebenen?
c)
d)
√ 1√
3+ 5
2√
3− 5
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
v
A Anhang
A.5.3. H2 : Hausaufgabe zum 01.10.2010:
Elemente der Mathematik 9 (2008):
S. 29, Nr. 15:
√
√
a) 12 = 2 3
√
√
b) 72 = 4 2
√
√
c) 125 = 6 2
√
√
d) 180 = 6 5
√
√
e) 125 = 5 5
√
√
f) 192 = 8 3
√
√
g) 360 = 6 10
√
√
h) 525 = 5 21
S. 29, Nr. 18:
√
√
a) 2 · 17 = 68
√
√
b) 7 · 10 = 490
√
√
c) 0, 5 · 28 = 7
d)
√
3
· 11
4
q
11
6
·
6 √ 11
e)
f) 2 ·
=
q
99,
q16
11
√6
=
3, 25 =
√
√
g) 10 · q17, 33 =
q 1733
1
h) 2, 5 · 50 = 18
13
A.6. Sitzplan der XX, Raum 252
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
vi
A Anhang
A.7. Auflistung der hospitierten Stunden
Die dunkelgrün hervorgehobenen Stunden wurden neben den unterrichteten Stunden in der
Klasse 9|2 zusätzlich alleine oder im kooperativen Unterricht unterrichtet.
Datum
Zeit
Klasse
13.09.10 08:00- LK Ma
09:40
Schüler- Fach
anzahl
19
Mathematik
13.09.10 10:00- 10g
10:45
25
Mathematik
13.09.10 10:55- 9|2
12:45
28
Mathematik
13.09.10 13:5015:25
14.09.10 15:3017:05
16.09.10 10:0011:40
Logik I
11
Logik
II
LK Ma
15
Mathematik
Mathematik
Mathematik
16.09.10 12:0012:45
17.09.10 08:0008:45
17.09.10 10:0010:45
17.09.10 10:5511:40
17.09.10 12:0012:45
20.09.10 08:0009:40
9|2
28
Logik I
11
9|2
28
Logik
II
LK Ma
15
LK Ma
19
20.09.10 13:50- Logik I
15:25
11
Mathematik
20.09.10 15:30- AG
16:15 Mathe
12
Mathematik
Praktikumsbericht Mathematik
19
19
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Autor
Stundenthema
Komplanarität/
Kollinearität, lineare
(Un-) Abhängigkeit
Berechnungen
im
Dreieck mit Sinus,
Cosinus, Tangens
Abzählbarkeit und
Dichtheit der rationalen Zahlen
LEK, Fehlersuche in
Beweisen
LEK, Fehlersuche in
Beweisen
Herleitung
Geradengleichung,
Lagebeziehungen im
Raum
Die
irrationalen
Zahlen
Terme und Termumformungen
LEK, Eigenschaften
rationale Zahlen
Terme und Termumformungen
LEK, Kollinearität
und Identität
Identität, Parallelität,
windschief,
Schnitt von Geraden
Tautologien, Negationen
Känguruh-Aufgaben
Hospitationsschwerpunkt
Lernen von mathematischen Begriffen
Transfer von Textaufgaben in mathemische Formeln
Lernen mathematischer Begriffe
Hinterfragen von
Operationen
Hinterfragen von
Operationen
Motivation durch
Beispiele
Gestaltung des Tafelbildes
Lernen von Begriffen
Motivation
von
Sätzen
Lernen von Begriffen
Erarbeitung durch
Fragen
Meldeverhalten
Übersetzung von
Denkstrukturen in
die Logik
Selbstkontrollmechanismen
vii
A Anhang
21.09.10 15:30- Logik
17:05 II
15
Mathematik
Tautologien, Negationen
23.09.10 10:00- LK Ma
11:40
19
Mathematik
27.09.10 8:0009:40
28.09.10 15:3017:05
01.10.10 08:0008:45
01.10.10 10:5511:40
LK Ma
19
Logik
II
Logik I
15
Logik
II
15
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Mathematik
Identität, Parallelität,
windschief,
Schnitt von Geraden
Übung für die Klausur, Spurpunkte
alternative/konjunktive Normalform
alternative/konjunktive Normalform
alternative/
konjunktive
Normalform
Klausurbesprechung,
Geradenscharen
11
01.10.10 12:00- LK Ma
12:45
19
Mathematik
05.10.10 15:30- Logik
17:05 II
15
Mathematik
08.10.10 08:00- Logik I
8:45
11
Mathematik
08.10.10 10:55- Logik
11:40 II
08.10.10 12:00- LK Ma
12:45
15
Mathematik
Mathematik
Praktikumsbericht Mathematik
19
Autor
Assoziativität,
Idempotenz,
Distributivität,
Verschmelzungsgesetz
LEK, Schülervortrag
vollständige Induktion
LEK, Schaltalgebra
Übersetzung von
Denkstrukturen in
die Logik
Festigung
durch
Üben
Erkennen von Lösungsstrategien
Möglichkeiten der
Termumformung
Möglichkeiten der
Termumformung
Möglichkeiten der
Termumformung
korrekte mathematische Aufschreibweisen
Lösungsstrategien
Gestaltung des Tafelbildes
Motivation durch
Beispiele
Klausurbesprechung, Verbalisierung von
lin. Unabhängigkeit Schülerlösungen
viii
A Anhang
A.8. Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont
Name:
2. LEK
Thema: Umformen von Wurzeltermen
MA XX, Gruppe A
08.10.2010
Aufgabe
1: Vereinfache soweit wie möglich.
q
√
36
= 96 = 23
a) 81 = √36
81
√
√
√
√
b) 10 · 16, 9 = 10 · 16, 9 = 169 = 13
√
√
√
√ √
√
c) 5 · 5x2 = 5 · 5x2 = 25x2 = 25 · x2 = 5|x|
√
√
√ 2
√
√
√ √
d) (2 v − 2) · (2 v + 2)
(für v ≥ 0) = 2 · 2 · v · v − 2 = 4v − 2
√ √
√ 2
√ √
√ 2
√
√
√
√
e) ( 3− 6)2 = 3 − 2 3 6 + 6 = 3 − 2 3 · 6 + 6 = 9 − 2 18 = 9 − 2 2 · 9 = 9 − 6 2
√
√
√
√
√
(für a ≥ 0) = (5 + 7 − 2) a = 10 a
f) 5 a + 7 a − 2 a
Aufgabe 2:
Mache
den√Nenner rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)
√
√
2
2 √6
2 6
√
√
a) 6 = 6 6 = 6 = 36
√
√
√
√
2− 3
3√
2− 3
b) 2+1√3 = (2+√2−
=
3
=
=
2
−
4−3
1
3)(2− 3)
Aufgabe 3: Löse die Gleichung x2 − 3 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)
x2 − 3 = 0
|+3
√
|
x2 = 3
√
√
√
|x| =
3
x = 3vx = − 3
√ √
L = {− 3; 3}
Aufgabe 4:
√
a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms 3x − 6 und stelle ihn graphisch dar.
3x − 6 ≥ 0 | + 6
3x ≥ 6 | : 3
x ≥ 2
D = {x R|x ≥ 2}
b) Bestimme die Menge, für die gilt:
D = {x R|x < 1}
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
ix
A Anhang
Aufgabe 5:
Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:
√
√
√
8 + 18 = 50. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.
√
√
√
√
√ √
√ √
√
√
√ √
√
√
8 + 18 = 4 · 2 + 2 · 9 = 4 2 + 2 9 = 2(2 + 3) = 5 = 2 25 = 2 · 25 = 50
alternativ:
√
√
8 + 18
√
√
4·2+ 9·2
√ √
√ √
4 2+ 9 2
√
(2 + 3) 2
√
5 2
Form:
Punkte:
=
=
=
=
=
√
50
√
25 · 2
√
√
25 · 2
√
5 2
√
5 2
Ergebnis:
Note:
Kenntnisnahme der Eltern:
Verteilung der Punkte:
Aufgabe 1: (AFB I)
a) 1 Punkt: Wurzel ziehen
b) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen
c) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichen
d) 1 Punkt: Anwendung der binomischen Formel
e) 2 Punkte: Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehen
f) 1 Punkt: Anwendung des Distributivgesetzes
Aufgabe 2: (AFB II)
a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikation
zweier Wurzeln
b) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendung
der binomischen Formel
Aufgabe 3: (AFB II)
2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
x
A Anhang
Aufgabe 4: (AFB II)
a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmung
des Definitionsbereiches
b) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik
Aufgabe 5: (AFB III)
3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwortsatz
A.9. Leistungskontrolle Gruppe B
Name:
2. LEK
Thema: Umformen von Wurzeltermen
MA XX, Gruppe B
08.10.2010
Aufgabe
1:
Vereinfache soweit wie möglich.
q
√
9
81
81
=3
a) 144 = 144 = 12
√
√
√
√ 4
b) 19, 6 · 10 = 1, 96 · 10 = 196 = 14
√
√
√
√ √
c) 12a2 · 3 = 36a2 = 36 a2 = 6|a|
√
√
√ √
√
√ √
√
(für p ≥ 0) = 3 · 3 · p · p − 7 · 7 = 9p − 7
d) (3 p − 7) · (3 p + 7)
√ √
√ 2
√ √
√ 2
√
√
√
√
e) ( 6− 2)2 = 6 − 2 6 2 + 2 = 6 − 2 6 · 2 + 2 = 8 − 2 12 = 8 − 2 4 · 3 = 8 − 4 3
√
√
√
√
√
f ) 6 x + 3 x − 11 x
(für x ≥ 0) = (6 + 3 − 11) x = −2 x
Aufgabe 2:
√
a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms 5x + 10 und stelle ihn graphisch dar.
5x + 10 ≥ 0
| − 10
5x ≥ −10 | : 5
x ≥ −2
D = {x R|x ≥ −2}
b) Bestimme die Menge, für die gilt:
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xi
A Anhang
D = {x R|x < −2}
Aufgabe 3:√ Mache √
den Nenner
rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)
√
15
15
3 √
3 15
3
√
√
a) 15 = 15 15 = 15 = 5
√
√
√
√
√
2)√
6(2+ 2)
6(2+ 2)
3(2+ 2)
√
b) 2−6√2 = (2−6(2+
=
=
=
=
6
+
2
4−2
2
1
2)(2+ 2)
Aufgabe 4: Löse die Gleichung x2 − 7 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)
x2 − 7 = 0
|+7
√
x2 = 7
|
√
√
√
|x| =
7
x = 7vx = − 7
√ √
L = {− 7; 7}
Aufgabe 5:
Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:
√
√
√
12 + 48 = 108. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.
√
√
√
√
√ √
√ √
√
√
√ √
12 + 48 = 4 · 3 + 3 · 16 = 3 · 4 + 3 · 16 = 3(2 + 4) = 36 = 3 36 =
√
√
3 · 36 = 108
alternativ:
√
√
12 + 48
√
√
4 · 3 + 3 · 16
√ √
√ √
3 · 4 + 3 · 16
√
3(2 + 4)
√
36
Form:
Punkte:
=
=
=
=
=
√
108
√
36 · 3
√ √
36 3
√
6 3
√
36
Ergebnis:
Note:
Kenntnisnahme der Eltern:
Verteilung der Punkte:
Aufgabe 1: (AFB I)
a) 1 Punkt: Wurzel ziehen
b) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xii
A Anhang
c) 2 Punkte:
d) 1 Punkt:
e) 2 Punkte:
f) 1 Punkt:
Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichen
Anwendung der binomischen Formel
Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehen
Anwendung des Distributivgesetzes
Aufgabe 2: (AFB II)
a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmung
des Definitionsbereiches
b) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik
Aufgabe 3: (AFB II)
a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikation
zweier Wurzeln
b) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendung
der binomischen Formel
Aufgabe 4: (AFB II)
2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge
Aufgabe 5: (AFB III)
3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwortsatz
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xiii
A Anhang
A.10. Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK
Zur Vereinfachung sind die Aufgabentypen der Leistungskontrolle B in dieselbe Reihenfolge
gebracht worden wie bei der Leistungskontrolle A.
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
a)
1
1
1
1
2
1
0
1
2
1
0
1
1
0
1
2
0
0
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Aufgabe
b) c) d)
1
1 0
2
2 1 12
2 1 1
0 0 1
0 1 0
0 0 0
2 1 0
2 1 12
0 0 0
2 1 0
2 1 12
1
1 12
2
2 1 0
0 1 0
0 0 0
2 1 12
2 1 1
2 1 0
2 1 1
2 1 12
2 1 1
2 1 1
2 1 0
0 1 1
2 0 12
2 0 1
1
2
e)
1
1 21
2
1 21
1 21
0
1 21
2
f)
0
1
1
0
0
0
1
2
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
1 21
1
2
2
1
2
1
2
1
1 21
1 21
1
0
1
0
1
2
2
1 21
Praktikumsbericht Mathematik
1
2
1
2
a)
1 21
1 21
1 21
1 21
1 21
0
1 21
2
0
1 21
1 21
1 21
1 21
1 21
1 21
0
1 21
1 21
1 21
2
1 21
1 21
1 21
1 21
2
2
3
b)
1
1
2
2
1 12
0
1 12
2
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
1
2
1 12
1 12
1
1
1
2
1
0
1
1 12
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1 12
1
Autor
4
a)
1
1
3
0
1
2
1
2
0
3
1
1
0
1
1
0
1
2
1 21
3
2
2
1
0
2 21
0
3
2
5
Punkte
%
Note
0
0
3
1
0
0
0
3
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2/2 ⇒ 9 21 /24
2/2 ⇒ 13 12 /24
2/2 ⇒ 21/24
2/2 ⇒ 11/24
2/2 ⇒ 9 21 /24
2/2 ⇒ 3/24
0/2 ⇒ 9/24
2/2 ⇒ 21/24
1/2 ⇒3/24
1/2 ⇒ 10 12 /24
2/2 ⇒ 9 21 /24
2/2 ⇒ 9 21 /24
2/2 ⇒ 11 12 /24
1/2 ⇒ 11/24
1/2 ⇒ 5/24
2/2 ⇒ 12/24
1/2 ⇒11/24
2/2 ⇒ 13 21
2/2 ⇒ 16 12 /24
2/2 ⇒ 16/24
2/2 ⇒ 15 12 /24
2/2 ⇒ 11 12 /24
2/2 ⇒ 11 12 /24
2/2 ⇒ 12/24
2/2 ⇒ 20/24
2/2 ⇒ 15/24
39, 6
56,3
87,5
45,8
39,6
12,5
37,5
87,5
12,5
43,8
39,6
39,6
47,9
41,7
20,8
50
45,8
56,3
68,8
66,6
65
47,9
47,9
50
83,3
62,5
5
4
2
5
5
6
5
2
6
5
5
5
5
5
5
4
5
4
3
3
3
5
5
4
2
4
b)
1
2
0
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
0
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
2
1
2
1
1
2
xiv
A Anhang
A.11. Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK
Bewertun9..§!}laßstab für Mathematik und Physik
S1a
Sekl
Sekl
Note
1
bis 20
Punkte
über
20
Punkte
95%
90%
2
80% .
750/0
3
65%
60%
4
500/0
45%
5
20%
20Yo
Notenpunkte
15
14
13 .
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6
< 20%
ärz z 10
< 20'%
0
Tests
100%
95%
90%
85%)
800/0
75%
70%
65%
60%
·55%-50%
45%
35%
20%
10%
<10%
a s re
I
95%
90'%
85%
80%
75%
70%
65%
60%
55%
50%
45%
36%
270/0
18%
9%
<9%
Abbildung A.1: Bewertungsmaßstab von LEK und Klasuren der Sekundarstufen I und II der Fachkonferenzen Mathematik und Physik, XXXXX-Gymnasium, bereitgestellt von Frau
XXXXX.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xv
A Anhang
A.12. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma
Phase/
Lehrerhandeln
Schülertätigkeiten
Lerninhalte
Einstieg
Lehrerin (L) fordert auf, die
Bei einem Trapez muss ein Paar
Sicherung
8:55 Uhr
vergangene Aufgabe zur Un-
kollinearer Vektoren Die Vektoren
Ergebnisse,
tersuchung eines Trapez vor-
sind für r = 2 kollinear. Das heißt,
Wiederholung
zustellen. Stellen Sie bitte kurz
dass beide Seiten parallel sind und
Ihre Ergebnisse zu der Aufgabe
es sich um ein Trapez handelt.
Zeit
der
vor, bei der untersucht werden
sollte, ob es sich bei dem Rechteck um ein Trapez handelt.
Übung
L schreibt drei Punkte an die
S lösen die Aufgabe und ein S
Transfer
09:01 Uhr
Tafel.
stellt seinen Rechenweg an der
Wissensstruk-
geg.: A(1|2|4), B(3|4|3), C(5|6|2)
Tafel vor.
turen auf neue
Prüfen Sie, ob C durch ein Viel-
Um zu prüfen, ob die drei Punkte
faches von A und B darstellbar
auf einer Geraden liegen, untersucht
# »
# »
man, ob AB und BC kollinear zu
~ und BC
~
ist. Alternativ: Sind AB
09:12 Uhr
von
Aufgabe
kollinear?
einander sind:
# »
# »
AB = r · BC,r R    
2
1
3
     
# » ~
     
AB = b−~a = 4−2 =  2 
     
−1
4
3
     
2
3
5
     
# »






BC = ~c−~b = 6−4 =  2 
     
3
−1
2
# » # »
Da AB = BC, ist r = 1.
L weist darauf hin, dass ein
Wir haben eine Strecke AC mit dem
Interpretation
Antwortsatz bzw. eine Inter-
Mittelpunkt B.
von
pretation der Ergebnisse not-
Die Länge der Strecke AC ist dop-
se in verbale
wendig ist.
pelt so lang wie AB.
Wo liegen die Punkte auf der Ge-
Die Strecke AB und BC sind gleich
rade?
lang.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
Ergebnis-
Sprachweise
xvi
A Anhang
09:17 Uhr
L schreibt das Stundenthema
Vektoren sind linear abhängig, wenn
Zielangabe, Be-
an die Tafel.
sie komplanar sind.
griffsbildung,
„Lineare
Abhängigkeit
und
Aufbau
Unabhängigkeit“
Def.:
Die
bekannte Wisn
~a1 , ~a2 , ..., ~an
auf
Vektoren
heißen
sensstrukturen
linear
abhängig, wenn einer der Vektoren als Linearkombination der
anderen darstellbar ist.
Was fällt Ihnen dazu ein?
09:21 Uhr
Nein, das ist nicht genug. Was
Komplanarität kann man in ei-
macht den Unterschied aus?
ner Ebene untersuchen, hier nicht.
Komplanarität ist ein Spezialfall der
Abhängigkeit.
09:24 Uhr
untersucht
S hören zu, kommentieren und
Verdeutlichung
Dreidimensionalen,
stellen Nachfragen bei Unklarhei-
durch Anwen-
ten.
dungsbeispiel
L ergänzt das Tafelbild. Ist
S ergänzen das Tafelbild in ihrem
Erweiterung
dies nicht der Fall, so heißen die
Heft.
der
Komplanarität
man
lineare
im
Abhängigkeit
im
n-
Dimensionalen.
L nennt Beispiel: Erwärmung
einer Eisenstange und die dabei
entstehende Helligkeit bei der
Erwärmung. Es ist zwar nicht
vorstellbar,
aber
Betrachtung
der
durch
die
Temperatur
begreifbar.
09:27 Uhr
Vektoren linear unabhängig.
lin.
Ab-
hängigkeit zur
L verweist auf das Kriterium
Unabhängig-
für lineare Abhängigkeit und Un-
keit
abhängigkeit, dass die Schüler
nicht auswendig können, aber bei
Nachfrage ausdrücken müssen.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xvii
A Anhang
09:30 Uhr
Wo sieht man den Unterschied
Gar nicht. und verweist auf die
Unterschiede
beim Rechnen von Komplanari-
Dimensionalität (Komplanarität im
zwischen Kom-
tät und linearer Unabhängigkeit?
Dreidimensionalen)
planarität und
Unter uns. Im Dreidimensiona-
lin.
Unab-
len gibt es maximal drei linear
hängigkeit,
unabhängige Vektoren. Der vier-
Herausar-
te ist linear abhängig...
beiten
von
Eigenschaften
09:32 Uhr
L stellt Aufgabe aus dem
S lösen die Aufgabe. Sie sind line-
Anwendung
Buch von Bigalke/ Köhler:
ar abhängig, weil außer der trivialen
von Gelerntem,
Mathematik 13.1, S. 46, Nr.
1
Lösung nochdie 
Lösungr = 
2, s = 1
−3
6
 
 
  ~

1 
existiert: 2  4  + 1  −2  = 0
 
 
4, 5
−9
8a und 
d.

6
 
 
a) Sind  4  und
 
−9
ar unabhängig?
09:35 Uhr


−3
 
 
 −2  line 
4, 5
Transfer
auf
Aufgabe
L schreibt die zweite Aufgabe
S lösen die Aufgabe und er-
Übung,
Fes-
andieTafel:
gänzen an der Tafel. Daraus
tigung
von
ergibt
Wissensstruk-
 
1
1
1
 
 
 
 
 
 
r −2 + s  2  + t 0 =
 
 
 
1
−1
3
~0; r, s, t R
Praktikumsbericht Mathematik

sich
das
folgende
r
s
t
rechte Seite
1
1
1
0
−2
2
0
0
3
−1
1
0
1
1
1
0
0
4
2
0
0
−4
2
0
1
1
1
0
0
4
2
0
0
0
0
0
Autor
GS:
turen
xviii
A Anhang
A.13. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse
XX
Phase/
Lehrerhandeln
Schülertätigkeiten
Lerninhalte
die
S begrüßen L, holen ihre
Ziel des Einstieges:
fordert
Übungshefte heraus und
Festigung
notieren
ter
Zeit
Einstieg
Lehrerin
10:55 Uhr
Schüler
sie
auf,
(L)
(S)
ihre
herauszuholen.
begrüßt
und
Übungshefte
Sie
diktiert
die
diktierten
Aufgaben in ihrem Heft.
vier Aufgaben der täglichen
bekann-
mathematischer
Inhalte,
Aktivierung
von Wissen
Übung.
1. „Wandle um in eine Dezimalzahl: “
2. Wandle um in einen Bruch:
3. Berechne folgende Wurzeln:
q
√
√
121
144 , −64, 625
4. Aus welchen Zahlen besteht die
Ha,
das
geht
ja
gar
nicht!
Menge der rationalen Zahlen?
Übung
L weist S an, die Aufgaben al-
S versuchen, die Aufgaben
Umwandlung
11:00 Uhr
leine und ohne Nutzung des
einzelnd ohne Nutzung des
↔
Taschenrechners zu lösen.
Taschenrechners zu lösen.
Eigenschaften
Bruch
Dezimalzahl,
der
rationalen Zahlen
11:08 Uhr
L fordert zum Vergleich der
S nennen ihre Ergebnisse
Anwendung bekann-
Aufgaben auf.
und klären Probleme im
ter Regeln
Klassengespräch.
Die Definition für die rationalen Zahlen Q lautet: Die
Menge der rationalen Zahlen
besteht aus allen abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen.
Hausauf-
L leitet die Kontrolle der
S nennen ihre Lösungen,
gaben
Hausaufgaben ein und bittet
vergleichen und korrigie-
11:14 Uhr
S, ihre Ergebnisse nacheinan-
ren sie gegebenenfalls.
der laut zu nennen.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xix
A Anhang
11:17 Uhr
L leitet neue Phase ein.
S versuchen, in Einzelar-
Umwandlung
Bisher haben wir rein periodische
beit die Dezimalzahl in
gemischt periodischen
und abbrechende Dezimalzahlen
einen
Zahl in einen Bruch
(in Brüche) umgewandelt. Jetzt
Bruch
umzuwan-
einer
deln. Dabei zeigt sich, dass
arbeiten wir mit gemischt periodischen Dezimalzahlen.
L schreibt Aufgabe an die Tafel:
viele S Probleme damit
haben.
Formt die gemischte periodische
Dezimalzahl in einen Bruch um:
0, 16
11:20 Uhr
L fordert einen S auf, die Auf-
S
stellt
seine
Lösung
gabe an der Tafel vorzurech-
an der Tafel vor und
der
Problemstellung
nen, um für alle eine Muster-
kommentiert
im
Klassenverband
lösung und einen Rechenalgo-
Mitschüler stellen Fragen
mit Hinterfragen der
rithmus zu liefern.
und korrigieren gemein-
Lösbarkeit
sie.
Seine
gemeinsames
Lösen
sam Fehler.
0, 16
= 0, 1 + 0, 06
= 0, 1 + 0, 1 · 0, 6
= 0, 1 + 0, 1 ·
= 0, 1 +
6
9
6
90
=
1
10
+
2
30
=
5
30
=
1
6
11:26 Uhr
L schreibt fünf Aufgaben an
S
Übung
die Tafel und bittet S, sie als
zimalzahlen
Bruch umzuformen.
darzustellen, haben aber
a) 0, 4163
b) 0, 258
grundlegende
c) 0, 258
d) 0, 258
den
e) 0, 258
versuchen,
die
als
DeBruch
Transfer von Rechenalgorithmen
Probleme,
Rechenalgorithmus
der Beispielaufgabe auf
die Übungsaufgaben zu
transferieren.
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xx
A Anhang
Ergebnis-
L erkennt die Schwierigkeiten
S beginnt, den Lösungs-
sicherung
der S, die Umformung vor-
weg zu Aufgabe a) an der
11:33 Uhr
zunehmen und lässt exempla-
Tafel vorzurechnen und
risch Aufgabe a) an der Tafel
wird parallel bei gemach-
lösen.
ten Fehlern von seinen
Mitschülern korrigiert.
Fortsetzung L stellt Nachfragen zu den ReErgebnis-
chenschritten des Schülers an
sicherung
der Tafel.
12:00 Uhr
Wie verschiebt man Kommata
S vervollständigt den Lösungsweg an der Tafel.
0, 4163
= 0, 41 + 0, 0063
= 0, 41 + 0, 01 · 0, 63
Kommaverschiebung
bei Dezimalzahlen,
Addition
von
Brü-
chen,
(Kommaverschiebung)
bei Dezimalzahlen?
=
Wie addiert man Brüche?
(Bruchdarstellung)
Wie stellt man eine periodische
Dezimalzahl als Bruch dar?
=
=
41
100
41
100
41
100
+ 0, 01 ·
+
+
63
99
21
· 1
33 100
7
1100
kgV,
Umwandlung
eines
Bruches
↔
Dezimalzahl
(Addition von Brüchen)
=
=
41·11+7
1100
229
458
= 550
1100
Man addiert Brüche, indem
man sie gleichnamig macht.
12:08 Uhr
L weist S darauf hin, wie nicht
S können nun wesentlich
systematische Erwei-
Übung
endende periodische Dezimal-
besser den Algorithmus
terung des Nenners
zahlen als Bruch dargestellt
anwenden und stellen die
zur Darstellung von
Dezimalzahlen hauptsäch-
Dezimalzahlen
lich in Einzelarbeit als
Bruch
werden.
0, 639 wird dargestellt durch
639
999 .
Periodische Dezimalzahlen werden als Bruch immer mit einer
9, 99, 999, ... im Nenner darge-
als
Bruch dar und vergleichen
mit ihrem Partner.
stellt.
L gibt erneut Zeit, die restlichen
Dezimalzahlen umzuformen.
HausaufgabeL schreibt die Hausaufgaben
S notieren die Aufgaben
12:26 Uhr
an die Tafel.
in ihrem Hausaufgaben-
Wandle um:
heft, wandeln um und ver-
a) 0,101
b) 0, 101
c) 0, 101
d) 0, 101
Praktikumsbericht Mathematik
gleichen die Ergebnisse.
Autor
xxi
A Anhang
Problem-
Was ist mit dieser periodischen
S versuchen, die Dezimal-
Gleichheit
stellung
Dezimalzahl: 0, 99?
zahl nach gewohnten Re-
zimalzahlen
geln umzuwandeln und ge-
verschiedener Darstel-
12:31 Uhr
langen sehr schnell eigen-
von
Debei
lungsform
ständig zu einer Lösung
mit Begründung:
0, 99 ist gleich 1, denn 0, 99
sind
12:33 Uhr
99
99 ,
was wieder 1 ist.
L schreibt 1, 9 an die Tafel
S nennen Lösungen 1, 9
und fragt nach dem umge-
ist gleich
formten Bruch. Nach verschie-
schreiben
19 18 19
9 , 9 , 99
Transfer des Gelern-
und
ten auf andere Auf-
anschließend
gaben; Probleme der
denen Lösungsvorschlägen der
den richtigen Lösungweg
Eingabe von periodi-
Schüler schreibt sie das richti-
von der Tafel ab.
schen Dezimalzahlen
ge Ergebnis an die Tafel und
in den Taschenrechner
erklärt es.
1, 9 = 1 +
9
9
=1+1=2
Übung
L schreibt Übungsaufgaben
S lösen die Aufgaben in
12:36 Uhr
an die Tafel, um das Verständ-
Einzelarbeit
nis zu festigen.
schenrechner.
0, 09 0, 9 0, 59 0, 59
Ein
S
ohne
gibt
Ta-
trotzdem
Eine Periode ist nicht in den Taschenrechner eingebbar, da Stellen fehlen würden. Eine Periode
ist kein endlicher Bruch.
1,999999 in den Taschenrechner ein und stellt die
Frage Warum kommt da
nicht 2 raus?
Sicherung
L lässt die Ergebnis vorlesen
S lesen ihre Lösungen vor,
12:39 Uhr
und vergleichen.
vergleichen ihre Ergebnis-
Es gibt keine 9er Periode.
se und korrigieren sie gegebenenfalls.
0, 09 = 0, 1 =
0, 9 =
9
99
=
1
11
0, 59 = 0, 6 =
0, 59 =
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
1
10
3
5
59
99
xxii
B Selbstständigkeitserklärung
B. Selbstständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst sowie keine anderen Quellen
und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe.
Berlin, den 3. Dezember 2010
Praktikumsbericht Mathematik
Autor
xxiii