Formelsammlung Elektrotechnik

Formelsammlung
Formelsammlung Elektrotechnik
Christopher Beck
11. April 2017
Beck
Formelsammlung Elektrotechnik
Christopher Beck
11. April 2017
Diese Formelsammlung ist noch nicht vollendet und steht daher unter ständiger
Weiterentwicklung und Verbesserung. Bei Fragen zum aktuellen Stand oder nach einer
neueren Version, einfach per E-Mail melden.
Auflage: 0, Version: 0.1.6 Stand: 11. April 2017
Diese Formelsammlung erhebt keinen Anspruch auf Richtigkeit und Vollständigkeit.
Verbesserungsvorschläge sowie gefundene Fehler nehme ich aber gerne entgegen.
eMail: [email protected]
GPG-Fingerprint: AE1A C931 2BAF C5A1 F0BE 2083 3117 1121 2F9D 4F14
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Vorwort
Liebe Leser,
Ihr haltet nun eine (noch unvollständige) Formelsammlung in den Händen, die während
der Prüfungsvorbereitung in diversen Fächern an der Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg entstanden ist. Die Idee für die Formelsammlung entstand in der
Vorlesung zu GET1, da zu dieser Prüfung alle Unterlagen erlaubt waren und war anfangs nur für den Eigengebrauch gedacht. Ein herzlicher Dank geht hier an Anne Sacher,
die diese Formelsammlung ebenfalls zur Prüfungsvorbereitung nutzte und viele sinnvolle
Anregungen lieferte. Nachdem auch ein Teil für die Folgevorlesung GET2 hinzugefügt
wurde und die Formelsammlung auch von anderen Kommilitonen genutzt wurde, lag es
auf der Hand, diese weiter zu führen.
Der momentane Stand dieser Formelsammlung ist noch weitab vom Zustand Aus”
gereift“ entfernt, was bedeutet, dass viele Teile unvollständig sind und sicherlich viele
Fehler enthalten sind. Ich bin sehr bemüht, diese Missstände zu beheben, doch reicht
die Zeit neben der Arbeit hierfür oft nicht aus. Deswegen bin ich auf Eure Mithilfe angewiesen: Gebt mir Feedback! Sowohl bei gefundenen Fehlern, als auch bei Wünschen
oder Änderungsvorschlägen. Ich werde mich bemühen, diese einzuarbeiten und diese Formelsammlung so weiter zu verbessern. Schreibt mir einfach eine E-Mail und gebt dabei
bitte die Version und das Datum der Ausgabe an. Vielen Dank!
Christopher Beck
3
Danke
Für Feedback, gefundene Fehler und Verbesserungsvorschläge danke ich
Cornelia Speidel, Bastian Bauer
Ein besonders großer Dank...
...geht an Frau Anne Sacher, die, wie im Vorwort bereits erwähnt, in der Anfangszeit
viele Verbesserungsvorschläge lieferte.
...gebührt auch Frau Ingrid Ullmann, die im weiterem Verlauf viel durch Diskussion
beigetragen und einige Fehler gefunden und verbessert hat.
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Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.1. GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Stationäres Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Einfache elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . .
1.1.4. Das stationäre Magnetfeld . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Das zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld
1.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . .
1.1.7. Energie und Leistung bei Wechselspannung . . . .
1.2. GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Quelle und Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen . . . . . . . . .
1.2.3. Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Mehrpolige Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7. Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. GET3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Einschwingvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Operationsverstärker (OpAmps) . . . . . . . . . .
1.3.6. Messschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Halbleiterbauelemente
2.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Intrinsischer Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Dotierter Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Ladungsträger im Halbleiter in elektrischem Feld
2.1.4. Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator . . . . . .
2.1.6. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7. Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
3. Schaltungstechnik
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3.1. Grundlegende Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2. Bipolartransistpr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Maxwellsche Gleichungen
4.1. Integrale Darstellung . . . . . . . . . . . . .
4.2. Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich . .
4.4. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen
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5. Elektromagnetische Felder
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
5.1.1. Elektrostatik . . . . . . . .
5.1.2. Stationäres Strömungsfeld .
5.1.3. Stationäres Magnetfeld . . .
5.1.4. Elektrodynamik . . . . . . .
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6. Hochfrequenztechnik
6.1. PB . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Wellenausbreitung
6.1.2. Bauteile . . . . . .
6.1.3. Leitungstheorie . .
6.2. HF . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Streuparameter . .
6.3. Antennen . . . . . . . . .
6.3.1. Antennentypen . .
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7. Photonik
7.1. Akives Medium . .
7.2. Gauß-Strahl . . . .
7.3. Resonatoren . . . .
7.4. Gaslaser . . . . . .
7.5. Laserdioden . . . .
7.6. Lichtwellenleiter . .
7.7. Photonik 2 . . . . .
7.7.1. Polarisation
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8. Regelungstechnik
8.1. Regelungstechnik A . . . . . .
8.1.1. Modellbildung . . . . .
8.1.2. Stabilitätskriterien und
8.1.3. Reglerentwurf . . . . .
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Systemtheorie .
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Inhaltsverzeichnis
8.1.4. Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Anhang
A.1. Stromrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1. Anschauliche Begründung . . . . . . . . . . . . .
A.1.2. Begründung durch die Maxwellschen Gleichungen
A.1.3. Welche Ladungen beachtet werden... . . . . . . .
A.2. Geometrische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. (Natur)konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Mathematik GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1. Geometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2. Wichtige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . .
A.5.3. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6. Mathematik GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1. Mathematische Methoden . . . . . . . . . . . . .
A.6.2. Diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7. Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.1. Laplace-Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . .
A.7.2. Laplace-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Smith-Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9. Mathematik RT-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.1. Umformungen grad . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.2. Umformungen div . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.3. Umformungen rot . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.4. Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.5. Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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103
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106
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Abbildungsverzeichnis
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . .
Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . .
Kondensator mit Anfangswertgenerator
Spule mit Anfangswertgenerator . . . .
Dezibel Werte (20 lg (·)) . . . . . . . .
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6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
Brechung und Fresnelgesetze
HF-ESB Widerstand . . . .
HF-ESB Kondensator . . . .
HF-ESB Spule . . . . . . . .
Lecherleitung . . . . . . . .
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.
.
.
.
.
.
.
64
65
66
67
72
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strecke im Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . .
Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit Störgrößenaufschaltung
Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . .
.
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.
90
90
91
91
91
91
A.1. Positive Ladungen, die von einer Elektrode durch eine Hüllfläche tritt . .
93
.
.
.
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.
1
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.1. GET1
1.1.1. Elektrostatik
Coulombsches Gesetz ()
~ = QQ1 ~r
F
4π0 r3
Es gilt für den Ortsvektor ~r: ~r = ~rP − ~rQ .
~
E-Feld
der Punktladung (1-1.3)
~
E
~ = Q ~r
E
4π r3
~ = Q e~ρ
E
4πr2
Q
Bekommt man auch durch Integration um eine Punktladung Q heraus (dielektrische Flussdichte)
~
Kraft auf eine Ladung im E-Feld
(1-1.2)
~
F~ = QE
Linienladungsdichte λ ()
λ=
dQ
ˆd l
Q=
λdl
l
3
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Flächenladungsdichte σ ()
σ=
dQ
dA
¨
~ bei leitenden Oberflächen.
σ entspricht D
σdA
Q=
A
Raumladungsdichte ρ ()
Meist wird die so erhaltene Ladung mir der
berechneten Ladung aus dem elektrischem
Fluss gleichgesetzt. Man betrachte hier die
Maxwellgleichungen. Auf diese Weise erhält
~
man das E-Feld.
dQ
ρ=
dV
˚
ρ0 d V
Q=
Vk
Permittivität ()
= 0 r
r = (1 + χe )
Flussdichte ()
= r 0 . 0 ist eine Naturkonstante.
~ = E
~
D
Elektrischer Fluss I ()
¨
ψ bezeichnet den elektrischen Fluss aus der
Fläche A.
~ · dA
~
D
ψ=
AK
Elektrischer Fluss II ()
‹
~ · dA
~=ψ
D
Q=
AK
4
Es wird nun das Hüllflächenintegral berechnet. ψ bezeichnet den elektrischen Fluss aus
der Fläche A. Nimmt man Q an, integiert die
nur von ρ abhängige Flussdichte über A so
kann man nach dem Feld der Punktladung
auflösen.
1.1. GET1
Elektischer Fluss im Raum ()
Umläuft man eine geschlossene Fläche (nicht
über einen elektisch geladenen Körper!) so
ist ψ = 0. Also was reingeht geht auch raus.
‹
~ · dA
~=0
D
Flussdichte auf leitenden Oberflächen ()
~ = ~n · E
~ =σ
Dn = ~n · D
Heißt
auf
ner
leitenden
Oberfläche entspricht die Flussdichte der
Flächenladungsdichte
Elektrische Spannung ()
ˆP2
~ · d~s = ϕ1 − ϕ2
E
U12 = ϕ12 =
˛
0=
P1
~ · d~s
E
Aus letzerem folgt die Maschenregel. Der
vermeindliche Vorzeichenfehler (Obergrenze
- Untergrenze) begründet sich aus der Defi´P1
~ · d~s.
nition des Potentials ϕ1 = − E
P0
Kapazität eines Kondensators ()
Q
=
C=
U
‚
AK
´
s
~ · dA
~
E
~ wird durch den elektrischen Fluss beE
Q
stimmt. Danach setzt man C = ´ E·d
~ ~s mit
s
~ Dies setzt allerdem zuvorberechneten E.
dings Kenntniss der Feldverteilung vorraus.
~ · d~s
E
Energie im Kondensator ()
1
1
W = CU 2 = QU
2˚
2
1
~D
~ dV
=
E
2
Dies folgt durch Integration. Letzteres aus
der Energiedichte
Energiedichte (I-1.101)
1~ ~
·D
we = E
2
Kondensatorbauformen
5
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Paralleldrahtleitung
Parallelschaltung
Cges =
X
CK
πl
C=
Reihenschaltung
ln
X 1
1
=
Cges
Ck
Plattenkondensator
C=
Horizontaler Draht
A
d
C=
Kugelkondensator
C = 4π
√
a+ a2 −d2
d
ba
b−a
2πl
ln 4h
d
vertikaler Draht
Zylinderkondensator
C=
2πl
ln ddai
C=
ln
2πl
q
2l
d
4h+l
4h+3l
1.1.2. Stationäres Strömungsfeld
Elektrischer Strom ()
dQ
I=−
dt
Ladung pro Zeit. Für die Erklärung des Vorzeichens siehe Anhang A.1
Ohmsches Gesetz ()
~ = J~
κE
U = RI
Letztere Form erhällt man durch Integration. κ ist die spezifische Leitfähigkeit
Elektrischer Widerstand ()
l
R=
κA
κ ist eine Materialkonstante (die spezfische
Leitfähigkeit)
Leitwert ()
G=
6
1
R
1.1. GET1
Spezifischer Widerstand ()
1
κ
ρR (T ) = ρR,20◦ C (1 + α∆T )
ρR (T ) = ρR,20◦ C (1 + α∆T + β(∆T )2 )
ρR =
In Letzteren Formeln wird die Änderung von
ρ durch die Temperatur approximiert.
Stromdichte ()
Aus letzterem folgt die Knotenregel (was
reinfließt muss auch wieder raus). Achtung:
Es
‚ gibt auch die Kontinuitätsgleichung I =
~J · d A,
~ welche für Elektroden untersch.
¨
‹
~=I
J~ · dA
~=0
J~ · dA
A
Potentials gilt.
Elektrische Leistung ()
P = I 2R =
U2
= UI
R
Elektrische Energie ()
ˆ
WE =
P dt
t
Verlustleistungsdichte (I-2.53)
˚
˚
pv d V =
P =
V
V
~ · J~ d V
E
1.1.3. Einfache elektrische Netzwerke
Maschenregel ()
X
U =0
Folgt aus
¸
~ d~s = 0
E
C
M asche
7
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Knotenregel ()
X
Folgt aus
I=0
‚
~J d A
~ =0
A
Knoten
Spannungsteiler ()
U1
R1
=
U2
R2
U = U1 + U2
U1 = U
I = I1 = I2
R1
R1 + R2
Stromteiler ()
I1
R2
=
I2
R1
U = U1 = U2
I1 = I
I = I1 + I2
R2
R1 + R2
Leistungsanpassung ()
RL = Ri
U2
PL max = 0
4Ri
Bei der Spannungsquelle mit U0 mit dem Innenwiderstand Ri und dem Lastwiderstand
RL
Wirkungsgrad η ()
η=
PL
· 100%
Pges
Reihenschaltung von R
Rges =
8
X
Rk
Parallelschaltung von R
X 1
1
=
Rges
Rk
1.1. GET1
1.1.4. Das stationäre Magnetfeld
Magnetische Flussdichte ()
~ = µH
~
B
Vs
[B] = 2
m
A
[H] =
m
Oersted’sches Gesetz ()
Das Gesetz gilt für einen Leiter. Umkreist
man mehrere Leiter enthällt man statt I
die Durchflutung Θ. Im Dauermagneten gilt
in
¸ Folge des nicht vorhandenen Stromes
~ s = 0. Achtung beim Dauermagneten!
Hd~
˛
~ s=I
Hd~
Durchflutung Θ ()
˛
¨
~
H(ρ)d~
s=Θ=
~ A
~
Jd
Bei Spulen: N ist die Wicklungszahl
A
Θ=
X
In = N I
n
Kraft auf einen Leiter im Magnetfeld ()
˛
F~ = I
~ r)]
[d~r × B(~
Lorentzkraft ()
~
F~ = q~v × B
Magnetischer Fluss ()
¨
~ · dA
~
B
Φ=
A
9
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Integrieren um einen Magneten ()
‹
Das beweist, dass es keine magnetischen Monopole gibt
~ · dA
~=0
B
A
magnetische Spannung ()
Vm12
ˆP 2
~ · d~s
= H
Analoge Behandlung wie im elektrischem
Fall
P1
Vm = RM Φ = Θ
magnetischer Widerstand (Reluktanz) ()
Rm =
l
µA
magnetischer Leitwert ()
Λm =
1
= AL
Rm
L = N 2 AL , wenn perfekt gekoppelt
Feldstärke eines Linienleiters ()
~ = I e~φ
H
2πρ
~ = Iρ e~φ
H
2πa2
außerhalb
Man erhällt sie durch Anwendung des Oerstedschen Gesetztes
innerhalb
Durchflutung einer Spule ()
Θ = NI
10
1.1. GET1
Induktivität ()
N
L=
˜
A
~ · dA
~
B
I
=
N ΦA
= N 2 AL
I
Φ = N ΦA . ΦA ist der Fluss in einer Leiter~ als Kernquerschnittsfläche.
schleife mit dA
Bei symmetrischen Anordnungen nimmt
~ und daraus dann
man I an, berechnet H
Φ. Letztlich kürzt sich dann I wieder weg
(analog zur Kapazität)
Gegeninduktivität ()
M=
Φ21
= N1 N2 AL
i1
Analog zur Induktivität, nur dass der Fluss
der Wicklung 2 der durch die Wicklung 1
fließt genommen wird sowie der Strom der
Wicklung 1.
Induktivität einer Doppelleitung (1-5.68)
L=l
µ0 1
b
( + ln )
π 4
a
Länge l, Abstand b und Leiterradius a
Spulen
Toroidspule
Zylinderspule
~ = e~ϕ N i
H
2πρ
~ = e~x N i
H
l
Induktivitäten versch. Anordnungen
Ringspule
Paralleldrahtleitung
N 2A
L=µ
2πrm
l
L ≈ µ ln
π
Zylinderspule
L=µ
N 2A
l
2a
D
Kreiswindung
Koaxialleitung1
l
L = µ ln
2π
1
Da
Di
D
D
L = µ0
ln
+ 0, 08
2
d
Achtung, die Innere Induktivität des Innenleiters bleibt hier unberücksichtigt!
11
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.5. Das zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld
~ - Feld ()
Bewegter Leiter im B
E = vx B
U12 = lvx B = −
dΦ
dt
Faraday’sches Induktionsgesetz ()
˛
~ 0 · d~s = − d
E
dt
C
¨
~ · dA
~
B
A
d ΦA
dΦ
= −N
u(t) = Ri(t) = −
dt
dt
Die Fläche A umschließt die Kontur C.
~0 = E
~ bei ruhender Kontur. A
~ und C sind
E
rechtshändig miteinander verknüpft
Koppelfaktoren ()
µ
Φ21
=
Φ11
L11
M
k=√
L11 L22
KL =
Gegenindiktivität einer Doeppelleitung (1-6.38)
¨
Φ21r =
~ · dA
~ = µ0 i1 l ln b
B
2π
a
A2
Φ21l
Φ21
L21
µ0 i 1
d
=−
l ln
2π
c
bc
µ0 i1
=
l ln
2π
ad
Φ21
µ0 l bc
=
=
ln
i1
2π ad
Seite 255. Erhällt man durch stures ausintegrieren mit dem Megnetfeld einer Doppel~ = e~ϕ −i1
leitung H
2πρ
Energiegehalt des Feldes (6.56)
1
1
Wm = L11 I12 + M I1 I2 + L22 I22
2
2
12
Dies gilt für einen Trafo mit 2 Wicklungen.
Für eine einfache Spule entfallen die Komponenten mit L22 und M .
1.1. GET1
Energiedichte (I-6.63 I-6.66)
ˆB
H · dB
wm =
0
1~ ~
= H
·B
2
˚
˚
1
~ ·B
~ dV
H
Wm =
wm d V =
2
V
V
Daher hat man dann auch die Hystereseverluste
Das Übersetzungsverhältniss beim idealen Übertrager (I-6.99)
up
is
= = ü
us
ip
Np
ü =
Ns
up ip = us is
Dies gilt beim idealem Übertrager.
Die Widerstandstransformation (I-6.100)
up
ü
Re =
= üus = ü2 R2
ip
is
Hier wird der Widerstand R2 der Sekundärseite als Re ersetzt, also währe Re
statt des Übertragers angeschlossen.
Trafogleichung (1-6.80)
d i2
d i1
−M
dt
dt
d i2
d i1
u3 = R2 i2 − M
+ L22
dt
dt
u0 = R1 i1 + L11
Bei Last ohne Quelle an der Sekundärseite
gilt u3 = 0.
Trafogleichung mit Ersatzschaltbild (1-6.86)
d i1
d(i2 − i1 )
−M
ersatzschaltbild!!
dt
dt
d(i1 − i2 )
d i2
0 = R2 i2 − M
+ (L22 − M )
dt
dt
u0 = R1 i1 + (L11 − M )
13
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Zusammenhänge zwischen Strom und Spannung
Widerstand
u(t) = Ri(t)
U = RI
Bauteil
Zeitabhängig
Zeitunabhängig
Spule
uL = L dditL
UL = 0
Kondensator
iC = C ddutC
IC = 0
1.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom
Da dieses Kapitel in [3] und der Vorlesung GET II vertieft wird, ist es ratsam sich Kapitel 1.2 ebenfalls anzuschauen.
Gleichrichtwert (2-1.9)
1
|u| =
T
tˆ
0 +T
|u(t)| d t
Mittelwert aus dem Betrag
t=t0
Effektivwert ()
XEf f
v
u
u ˆT
u1
=t
x2 (t) d t
T
0
Für eine beliebige Größe x(t). Letztere Formel gilt für Komplexe Größen
|X̂|
= √
2
Die Komplexe Spannung ()
Die Größe u kann als komplexe Größ u geu(t) = Re(u(t)) + jIm(u(t))
schrieben werden. TODO: Da des Zeigerdia= û[cos (ωt + ϕU ) + j sin (ωt + ϕU )]
grambild rein
= ûejϕU ejωt
Schwingkreise ()
ω0 = √
14
1
LC
Dies ist die Resonanzfrequenz sowohl für den
Parallelschwingkreis als auch für den Serienschwingkreis. Hier verschwindet beim Serienschwingkreis =(Z) und beim Parallelschwingkreis =(Y )
1.1. GET1
Schwingkreisgüte ()
1
Qs =
R
r
Die Güte taucht ebenfalls in der Komplexen
Frequenz s auf.
L
C
Bauteil
Widerstand
Spule
Kondensator
Impedanz
Z=R
Z = jωL
1
Z = jωC
Admittanz
Y = R1
1
Y = ωL
Y = ωC
Allgemeines ()
û = Z î
X
ûm = 0
m
X
îk = 0
Es gelten die gleichen Gesetzten wie in Kap.
3. Die Phase des Stromes zur Spannung
ändert sich bei Z = R nicht.
k
Z=
1
Y
Berechnungsschritte
• Gleichung nach Tabelle 2.1 [2, S.33] mit den größen aus obiger Tabelle aufstellen.
• auf gesuchte größe Auflößen
• Größe in Polarform bringen
• Zeitabhängige Phase eωt anmultiplizieren
• Zahl auf |z|(cos ωt + ϕ +  sin ωt + ϕ) bringen
• <(z) angeben
15
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.7. Energie und Leistung bei Wechselspannung
Scheineistung ([2], Formel 2.154)
[S] = V A
P : Wirkleistung ([P ] = W )
Q: Blindleistung ([Q] = V Ar)
p
S = U I = P 2 + Q2
Komplexe Leistung ([2], Formel 2.156)
1 ∗
S = ûî = P + jQ
2
1 |û|2
=
2 Z∗
[S] = V A
P : Wirkleistung ([P ] = W )
Q: Blindleistung ([Q] = V Ar)
Wirkleistung ()
P =
2
γ wird Leistungsfaktor genannt und vor alUef
1
f
2
= Ief
f RL = ûî cos (ϕu − ϕi ) lem bei Antriebsmaschinen angegeben.
{z
}
RL
2 |
γ
Blindleistung ()
1
Q = ûî sin (ϕu − ϕi )
2
1.2. GET2
Beachten Sie bitte, dass sich in [3] die verwendeten Symbole geändert haben.
Größe
komplexe Spannung
komplexer Strom
16
Buch 1-2
û
î
Buch 3
U
I
1.2. GET2
1.2.1. Quelle und Last
Umrechnung von Quellen ([3], Formel 1.6)
U q = Iq · Zi
1
Zi =
Yi
Umrechnung einer realen Spannungs- und
Stromquelle ineinander.
Leistungsanpassung ([3], Formel 1.14)
1 |U q |2
8 Re(Z i )
1 |I q |2
=
8 Re(Y i )
Pmax =
für Z L = Z ∗i
Pmax
für Y L = Y ∗i
Dies gilt entsprechend der Leistungsanpasung für Gleichstrom und -spannung für das
Komplexe.
Ersatzquellen ([3], Formel 1.18-1.20)
• Leerlaufspannung bestimmen
Iq
• Kurzschlussstrom bestimmen
Yi
• Impedanz bestimmen
Uq
U = 0 → I = I KS = I q =
Zi
2 dieser Fälle müssen ausgeführt werden,
U
1
Impedanzbestimmung → − = Z i =
letzterer klappt nicht bei gesteuerten
I
Yi
Quellen. Es langt da die direkt aneinander
leigenden Widerstände zu nehmen.
I = 0 → U = U LL = U q =
Wirkungsgrad ()
η=
PL
PW V
Damit kann man einiges abürzen
4RL Ri
=
(Ri + RL )2 + (Xi + XL )2
17
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen
Ähnlichkeitssatz ([3], Formel 2.13)
• Annahme eines Stromes I nS
I
In
= nS
Uq
U qS
I
I n = U q nS
U qS
• Rückrechnung zur Quellspannung U qS
• Berechnung von I n
Achtung: dies gilt nur für linear abhängige
Netzwerke. Bei mehreren Quellen muss
einzeln berechnet und überlagert werden.
Zu Quellenversatz und -substitution siehe [3, S. 35ff].
Satz von Miller (Admittanz) ([3], Formel 2.16)
U2
U1
I0
= 1 = Y p (1 − V U )
U1
I 02
1
=
= Y p (1 −
)
U2
VU
VU =
Y p1
Y p2
Siehe [3, S. 38f], dort wird das durch die Bilder klar
Satz von Miller (Impedanz) ([3], Formel 2.16)
I2
I1
U0
= 1 = Z s (1 + V I )
I1
U 02
1
=
= Z s (1 +
)
I2
VI
VU =
Z s1
Z s2
18
Siehe [3, S. 39f], dort wird das durch die Bilder klar
1.2. GET2
Stern-Dreieck-Umwandlung ([3], Abb. 2.17)
Y10
Y 12
Y 13
Y 23
Y 10 Y 20
= P
Y
Y 10 Y 30
= P
Y
Y 20 Y 30
= P
Y
Y30
Y13
Y12
Y20
Y23
Abbildung 1.1.: Stern-DreieckUmwandlung
Gilt nur bei konstanter Frequenz!
Dreieck-Stern-Umwandlung ([3], Abb. 2.18)
Z13
Z12
Z 10
Z 20
Z 30
Z 12 Z 13
= P
Z
Z 12 Z 23
= P
Z
Z 13 Z 23
= P
Z
Z10
Z30
Z23
Z20
Abbildung 1.2.: Stern-DreieckUmwandlung
Gilt nur bei konstanter Frequenz!
Theorem von Tellegen ([3, S. 51])
UT · I = IT · U = 0
UT · I∗ = (I∗ )T · U = 0
Dies besagt, dass die Summe aller Zweigleistungen im eingeschwungenen stationärem
Zustand im zeitlichen Mittel null sind.
Reziprozitäts-Theorem ([3], Formel 2.46)
U 1b I 1a + U 2b I 2a = U 1a I 1b + U 2a I 2b
Des heißt auch Umkehrsatz. Siehe [3, S. 53].
19
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.2.3. Netzwerkanalyse
Maschenstromverfahren
Achtung: Das Maschenstromverfahren funktioniert nur bei Spannungsquellen, Stromquellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen!
Vorgehensweise
• Maschen und Maschenströme wählen
• Beziehungen zw. Maschen- und Zweigströmen aufstellen (Inzidenzmatrix)
• Maschenregel anwenden (Gleichung mit Impedanzmatrix, [3], Formel 3.8)
• Gleichungssystem lösen
• Zweigströme mit Inzidenzmatrix berechnen
• Zweigspannungen ermitteln
Inzidenzmatrix ([3], Formel 3.3)
Jedes Element aij enthällt das Vorzeichen
des die Impedanz i durchfließenden Maschenstromes (Spalte j).
A
Impedanzmatrix ()
• In den Hauptdiagonalen die Summe
der in der Masche M n vorkommenden
Impedanzen.
 P


P
ZM1
..
.
Z M n|M 1
···
..
.
···

Z M 1|M n

..
 = ZM
P .
ZMn
P
• Die Elemente außerhalb werden durch
die Summe der Impedanzen gebildet
die von den angrenzenden Maschenströmen gemeinsam durchflossen werden.
Impedanzmatrix-Gleichung ([3], Formel 3.8)

ZM
20

 P
U qM 1
IM 1

 

..
·  ...  = 

.
P
IM n
U qM n
Das Vorzeichen der in einer Masche vorhandenen Spannungsquellen UqM n ist entsprechend des Zählpfeilsystems zu wählen.
1.2. GET2
Zweigströme ([3], Formel 3.3)

 

I1
IM1
 .. 
 . 
 .  = A ·  .. 
In
IM n sind die Maschenströme.
IMn
I = A · IM
Knotenpotentialverfahren
Achtung: Das Knotenpotentialverfahren funktioniert nur bei Stromquellen, Spannungsquellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen!
Vorgehensweise
• Referenzknoten und K − 1 Knotenspannungen festlegen
• Beziehungen zwischen Knoten- und Zweigspannungen aufstellen (Inzidenzmatrix)
• Kirchhoffsche Knotenregel auf K − 1 Knoten anwenden mit Knotenspannungen
als Variablen
• Lineares Gleichungssystem lösen
• Zweigspannungen über Inzidenzmatrix aus den Knotenspannungen berechnen
• Zweigströme ermitteln
Inzidenzmatrix ()
Vom Knoten weg: −1, zum Knoten hin +1.
Admittanzmatrix ()

P
Y K1
..
.
··· −
...


P
− Y Kn|K1 · · ·
P
P

Y K1|Kn

..
 = YK
.
Y Kn
• In den Hauptdiagonalen stehen die
Summen der an den jeweiligen Knoten
angrenzenden Admittanzen
• In die anderen Elemente wird die negative Summe der sich zwischen den
jeweiligen Knoten befindenden Admittanzen eingetragen
21
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Admittanzmatrix-Gleichung ()

 P

I qK1
U K1

 

YK ·  ...  =  ... 
P
U Kn
I qKn
Vorzeichen der Quelle: Zum Knoten +, vom
Knotrn −
Knotenspannungen ()
1.2.4. Zweipole
Komplexe Frequenz ([3], Formel 4.9)
s = σ + ω
σ bezeichnet die Dämpfungskonstante.
ω0
σ=−
2Q0
Mithilfe der komplexen Frequenz lassen sich Impedanz und Admittanz nach folgender
Tabelle schreiben:
Impedanz
Admittanz
22
R
R
L
sL
C
1
sC
1
R
1
sL
sC
1.2. GET2
Komplexe Impedanzfunktion
Man Bildet von einer Schaltung am einfachsten die Kettenbruchfunktion. Aus dieser
lässt sich der Aufbau der Schaltung auch leicht ablesen.
Realisierbarkeit einer Impedanzfunktion als Schaltung
• Pol- und Nullstellen wechseln sich ab
• Alle koeffizienten sind positiv und reel
• Die Grade des Zählers und Nenners unterscheiden sich um maximal ±1
• Polstellen müssen einfach sein
Normierung ([3], Formel 4.71)
s
ω0
ω0 L
Ln =
R0
Cn = ω0 CR0
sn =
Diese Normierung führt man als Rechenerleichterung bei der Anwendung des Foster’schen Theorems durch
Normierte Impedanzfunktion durch Partialbruchzerlegung Z(s) ()
Z n (s) = a∞ s +
n
X
i=1
A0
Ai s
+
2
+ pi
s
s2
nachdem man die Impedanzfunktion auf diese Form gebracht hat kürzt man die Mittelteile mit deren Zähler und erhällt eine Form
aus der man den Schaltungsaufbau herauslesen kann
23
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Beispiel zur Impedanzfunktion ()
Dies stellt die normierte komplexe Impedanzfunktion zu folgender Schaltung dar:
Z(s) =
1
+
as
1
1
ds
+
1
1
1
+ cs
bs
1.2.5. Mehrpolige Netzwerke
1.2.6. Zweitore
Tabellen für die Matrizen finden sich in [3, S. 126-132 / 144-146].
Betriebsverhalten von Zweitoren
Transmittanz / Betriebsübertragungsfaktor ([3], Formel 6.131)
r
S 21 = 2 ·
R1 U 2
·
R2 U q1
Betriebsdämpfung ([3], Formel 6.137)
1
dB
|S 21 |
PW V
= 10 log
dB
Praus
adB
B = 20 log
24
1.2. GET2
Symmetrisches Zweitor ([3], Formel 6.39)
Z a ermittelt man durch die Gleichtaktanre1
gung (Leerlauf hinten)
Z 11 = Z 22 = (Z a + Z b )
Z b ermittelt man durch die Gegentaktanre2
1
gung (Kurzschluss hinten)
Z 12 = Z 21 = (Z a − Z b )
2
S. 139
Weitere Bedingungen: Y 11 = Y 22 , Y 12 = Y 21 und A11 = A22 , detA = 1.
Rückwirkungsfreies Zweitor ([3], Formel 6.24, 6.25)
Y 21 6= Y 12 ; Z 21 =
6 Z 12 ; H 12 6= −H 21
Y 12 = 0; Z 12 = 0; H 12 = 0
S. 135
Spannungsübertragungsfaktor ([3], Formel 6.143)
A
U1
1
=
= A11 + 12
U2
R2
Ü U
Stromübertragungsfaktor ([3], Formel 6.145)
I1
1
= −A22 − A21 · R2
=
I2
Ü I
Serienschaltung ()
Zges = Z1 + Z2
Schaltbild S. 155 Abb 6.26
Parallelschaltung ()
Yges = Y1 + Y2
Schaltbild S. 158 Abb 6.30
Kettenschaltung ()
Ages = A1 · A2
Schaltbild S. 164 Abb 6.39
25
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.2.7. Fourier-Reihen
Sinus-Cosinus-Darstellung ()
f (t) = a0 +
∞
X
Dies ist die Sinus-Cosinus-Darstellung einer
(âk cos (kωt) + b̂k sin (kωt)) Fourier-Reihe
k=1
Amplituden-Phasen-Darstellung ()
f (t) = c0 +
∞
X
k=1
ĉk cos (kωt − ϕk )
Dies ist die Amplituden-Phasen-Darstellung
einer Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung ()
f (t) =
∞
X
dk ejkωt
Dies ist die Komplexe Darstellung einer
Fourier-Reihe
k=−∞
Fourier-Koeffizienten ()
1
a0 =
T
âk =
b̂k =
dk =
2
T
2
T
1
T
ˆt+T
f (t0 ) d t0
t
t+T
ˆ
f (t0 ) cos (kωt0 ) d t0
f (t0 ) sin (kωt0 ) d t0
t
t+T
ˆ
0
f (t0 ) · e−jkωt d t0
t
26
Mit k = 1, 2, 3, ...
t
t+T
ˆ
1.2. GET2
Umrechnung Trigonometrisch - Amplituden/Phasendarstellung ()
c 0 = a0
q
ĉk = â2k + b̂2k
(
arctan ( âb̂kk ),
für âk > 0
ϕk =
b̂k
arctan ( âk ) + π, für âk < 0
âk = ĉk cos ϕk
b̂k = ĉk sin ϕk
Umrechnung Komplex - Amplituden/Phasendarstellung ()
ĉk = 2|dk |
ϕk = arg(d∗k )
d−k = d∗k
Sollte rel. fix gehn
Umrechnung Komplex - Trigonometrisch ()
a0 = d0
âk = 2<(dk ),
b̂k = −2=(dk )
für k = 1, 2, 3, ...
Bedenke: die d−k braucht man so bei der
Umrechnung nicht. Rechnet man in Komplexe um bildet man die einfach als KomplexKonjugiertes
Effektivwert bei Fourier-Reihen ([2], Formel 3.56)
XEf f
Uef f
v
u
∞
u
1X 2
2
t
= a0 +
(â + b̂2k )
2 k=1 k
v
Dieser Effektivwert entspricht dem aus der
u
∞
X
u
Û
Wechselstromrechnung bekanntem Effektivk
= tU02 +
wert. Weiteres steht im Script Kapitel 7.6
2
K=1
v
u
∞
X
u
Ûk
2
2
t
= U0 +
Uk,ef
mit Uk,ef f = √
f
2
K=1
27
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Scheitelfaktor ()
ξ=s
Û
∞
P
2
Uk,ef
f
k=1
Formfaktor ()
s
F =
∞
P
2
Uk,ef
f
k=1
|U | ist der Gleichrichtwert
|U |
Klirrfaktor ()
v
uP
u ∞ U2
u
u k=2 k,ef f
k =uP
t∞ 2
Uk,ef f
Eigentlich haut man oben den ersten Vorkommenden Koeffizienten weg und unten
nicht.
k=1
Klirrkoeffizient ()
kµ = s
Uµ,ef f
∞
P
2
Uk,ef
f
k=1
Grundschwingungsgehalt ()
g = k1 = s
U1,ef f
∞
P
k=1
28
2
Uk,ef
f
1.2. GET2
Welligkeit ()
s
∞
P
2
Uk,ef
f
k=1
w=
U0
Momentanleistung ()
Wenn das gefragt ist ausrechnen. Additionstheoreme sind dann meist gegeben
p(t) = u(t) · i(t)
Wirkleistung in Amplituden-Phasen-Darstellung ()
Pw = U0 I0 +
∞
X
1
k=1
= U0 I0 +
∞
X
k=1
2
Ûk Iˆk cos (ϕu − ϕi )
Uk,ef f Ik,ef f k cos (ϕu − ϕi )
Scheinleistung ()
PS = Uef f Ief f
v
u
∞
X
u
2
t
U2
= U +
0
k,ef f
k=1
v
u
∞
X
u
2
2
t
· I0 +
Ik,ef
f
k=1
Sonderfälle und Symmetrien
Gerade Funktion Eine Funktion f (t) ist gerade, wenn gilt: f (t) = f (−t). Einfachste
gerade Funktion ist der Kosinus. Ein Gleichanteil kann ebenfalls vorhanden sein.
Ungerade Funktion Eine Funktion f (t) ist ungerade, wenn gilt: f (t) = −f (−t). Einfachste ungerade Funktion ist der Sinus. Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden.
Alternierende Funktion Eine Funktion f (t) ist alternierend, wenn gilt: f (t) = −f (t +
T /2). Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden.
29
1. Grundlagen der Elektrotechnik
T /2-periodische Funktion Eine Funktion f (t) ist T /2-periodisch, wenn gilt: f (t) =
f (t + T /2).
Fourier-Koeffizienten bei geraden Funktionen ()
b̂k = 0
ĉk = |âk |,
ϕ
1.3. GET3
1.3.1. Laplace-Transformation
Es sei hier auf die Korrespondenztabellen aus Anhang A.7 sowie in [4, S. 35 / 38] und
[2, S. 253ff] verwiesen.
Einseitige Laplace-Transformation ([4], Formel 3.39)
ˆ∞
f (t) · e−st d t
F (s) = L{f (t)} =
0
Dies ist die Definitionsgleichung der einseitigen Laplace-Transformation. Sie kann für
kausale Signale anstalle der beidseitigen verwerndet werden.
Widerstandsgleichung ([4], Formel 3.145)
UR (s) = RIR (s)
30
1.3. GET3
Kondensatorgleichung ([4], Formel 3.149)
uC (0− )
IC (s) = sC UC (s) −
s
−
IC (s) uC (0 )
+
UC (s) =
sC
s
A
[IC (s)] =
Hz
[UC (s)] =
V
Hz
Abbildung 1.3.: Kondensator mit Anfangswertgenerator
Spulengleichung ([4], Formel 3.153)
iL (0− )
UL (s) = sL IL (s) −
s
−
UL (s) iL (0 )
IL (s) =
+
sL
s
V
[UL (s)] =
Hz
[IL (s)] =
A
Hz
Abbildung 1.4.: Spule mit Anfangswertgenerator
Anfangswerttheorem ([4], Formel 3.107)
lim f (t) = f (0+ ) =
t→0
lim sF (s)
<(s)→∞
Hiermit kann man bei gegebener
Übertragungsfunktion den Anfangswert
vor dem Einschwingen berechnen.
Endwerttheorem ([4], Formel 3.108)
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
Hiermit kann man bei gegebener
Übertragungsfunktion den Endwert nach
dem Einschwingen berechnen.
31
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Berechnung des Amplitudenbetrags in dB ([4], Formel 3.235)
|G(jω)| = 20 · lg |G(jω)|dB
Residuensatz ()
Das Residuum entsprich hier dem Koffizienten A bei der Partialbruchzerlegung der
A
Form s−s
0
lim (s − s0 )F (s) = Res
s→s0
Wert
2
dB
6
Wert
0, 5
dB
−6
Wert
dB
Wert
dB
Abbildung 1.5.: Dezibel Werte (20 lg (·))
Bode-Diagramme
Amplitudengang
1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen
2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen
3. Bei ω → 0 beginnen:
(a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0:
(b) pro Pol bei s = 0:
(c) pro Nullstelle bei s = 0:
Steigung 0dB / Dekade
Steigung −20dB / Dekade
Steigung +20dB / Dekade
4. Gerade Linie bis zu nächsten Eckfrequenzen
5. Für jeden Pol Steigung um 20dB/Dekade verringern, für jede Nullstelle erhöhen.
6. Beschriftung der Vertikalen Achse durch ausrechnen von |G(jω)| in einem waagrechten Bereiches des Bode-Diagramms
7. Ecken um 3dB pro Pol/Nullstelle abrunden
[4, S. 65]
32
1.3. GET3
Phasengang Man Beachte: Ein negatives Vorzeichen dreht die Phase um π!
1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen
2. Bei ω → 0 beginnen:
(a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0:
(b) pro Pol bei s = 0:
(c) pro Nullstelle bei s = 0:
Phase 0◦
Phase −90◦
Phase +90◦
3. Gerade Linie bis 0, 1· nächste Eckfrequenz
4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede nullstelle addiert 90◦ über einen Bereich von 0, 1·
Eckfrequenz bis 10· Eckfrequenz verteilt. A schwach gedämpfter Komplexer Pol
hüpft direkt um 180◦ .
5. Phasenskizze Glätten, so dass arctan-Verläufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro
Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1· Eckfrequenz und 10· Eckfrequenz.
1.3.2. Nichtlineare Bauelemente
Es ist hier zu beachten, dass hier einige Prinzipien wie man sie von Linearen Netzwerken
her kennt nicht mehr gelten.
Berechnung mit Ersatzquellen
Diese Methode funktioniert gut wenn keine Einschwingvorgänge untersucht werden und
bis auf das Nichtlineare Bauelement die restliche Schaltung zu einer Ersatzquelle umtransformiert werden kann. Man beachten hierzu auch das Kapitel 1.2.1.
33
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Berechnung durch Ersatzspannungsquelle
1. Übriges Netzwerk zu einer Ersatzspannungsquelle umtransformieren
2. Zwischen den Anschlussklemmen des Nichlinearen Bauelements eine Hilfsspannung
einführen
3. Die Gleichung des Bauelements auf die i(u) auflösen
4. Einen Maschenumlauf über die Hilfsspannung bilden
5. i(u) des Bauelements in die Gleichung einsetzten
6. Lösen
1.3.3. Einschwingvorgänge
Kondensator ()
i(t) = C
du
dt
Bei der Lösung von DGLs ist nach Trennung
der Variablen von u(t = 0) bist u(t) zu integrieren.
Beim Kondensator ist die Spannung immer
stetig, der Strom kann springen.
Spule ()
u(t) = L
di
dt
Bei der Lösung von DGLs ist nach Trennung
der Variablen von i(t = 0) bist i(t) zu integrieren.
Bei der Spule ist der Strom immer stetig, die
Spannung kann springen.
Anfangswerte
Bauteil
Kondensator
Spule
34
Mit Quelle verbunden
uC (0) = uc
iL (0) = iL
Von Quelle getrennt
uC (0) = 0
iL (0) = 0
1.3. GET3
Vorgegensweisen
Vorgehen im Zeitbereich
1. Differentialgleichung aufstellen (durch Maschenumläufe o.Ä.)
2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3)
3. DGL lösen
Vorgehen im Laplacebereich
1. Gleichung aufstellen (durch Maschenumläufe o.Ä. wie in Kapitel 1.3.1)
2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3)
3. Auf gesuchte Größe auflösen
4. Rücktransformieren in den Zeitbereich
1.3.4. Fehlerrechnung
Absoluter Fehler ([4], Formel 5.1)
F =A−W
Hier bezeichnet F den Fehler, A den angezeigten Wert und W den wahren Wert
Relativer Fehler ([4], Formel 5.2)
A−W
· 100%
W
F
=
· 100%
W
f=
Hier bezeichnet f den relativen Fehler, F
den absoluten Fehler, A den angezeigten
Wert und W den wahren Wert
Fortpflanzung des Systematischen Absoluten Fehlers ([4], Formel 5.11)
n X
∂y
∆y =
∆x
i
∂xi
Die zu messende Größe wird hier nach den
fehlerhaften Größen abgeleitet
i=1
35
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.3.5. Operationsverstärker (OpAmps)
Idealer Opamp ([4], Formel 7.1, 7.2)
uA = V0 uD = V0 (uP − uN )
| {z }
uD
uD = 0 ∧ uP = uN ,
iN = iP = 0
für V0 → ∞
1.3.6. Messschaltungen
Abgleichbedingung Brücke ([4], Formel 9.46)
Bild...
Z 2Z 3 = Z 1Z 4 ⇒ U D = 0
äquivalente Abgleichbedingungen einer Brücke ([4], Formel 9.50, 9.51)
Z i = Ri + jXi
R2 R3 − X2 X3 = R1 R4 − X1 X4
X2 R3 + R2 X3 = X1 R4 + R1 X4
Bei unteren Gleichungen müssen erfüllt sein.
Es müssen somit 2 unabhängig voneinander
abgleichbare Elemente vorhanden sein.
Diagonalspannung bei der Brücke ([4], Formel 9.21)
R4
R2
−
UD = UE
R1 + R2 R3 + R4
R2 R3 − R1 R4
= UE
(R1 + R2 )(R3 + R4 )
36
Das Schaltbild ist in [4, S. 242]
2. Halbleiterbauelemente
2.1. Grundlagen
2.1.1. Intrinsischer Halbleiter
Intrinsische Ladungsträgerkonzentration ()
p
Eg
ni = NC · NV exp −
2kT
2
ni = n0 · p 0
Intrinsisches Ferminiveau ()
EF i
1
EC + EV
+ kT · ln
=
2
2
NV
NC
Effektive Zustandsdichten Elektronen/Löcher ()
NC = 2
2πm∗e kT
h2
; NV = 2
2πm∗h kT
h2
2.1.2. Dotierter Halbleiter
Ladungsträgerkonzentrationen ()
EF − EC
EF − EF i
= ni · exp
n = NC · exp
kT
kT
EV − EF
EF − EF i
p = NV · exp
= ni · exp −
kT
kT
37
2. Halbleiterbauelemente
Ferminiveau ()
EF = EF i + kT ln
n
ni
bzw. EF = EF i − kT ln
p
ni
2.1.3. Ladungsträger im Halbleiter in elektrischem Feld
Driftstromdichte ()
JDrift = q(pµp + nµn )E = σE
Elektrischer Widerstand ()
l
σA
R=
Diffusionskonstante ()
Dn/p =
kT
µn/p
q
Dielektrische Relaxation ()
τd =
0 r
σ
Diffusionslänge ()
Lp/n =
p
Dp/n τp/n
Debye-Länge ()
s
LD =
38
0 r kT
q2p
2.1. Grundlagen
2.1.4. Halbleiterdioden
Diffusionsspannung ()
UDiff
kT
ln
=
q
NA ND
n2i
Weite der Raumladungszone ()
s
wRL = xn + xp =
20 HL UDiff
q
1
1
+
NA ND
mit xp NA = xn ND und x2p NA + x2n ND =
20 HL UDiff
q
Weite der Raumladungszone bei abruptem pn-Übergang ()
s
wRL = xn + xp =
20 HL UDiff
qNA/D
Sperrschichtkapazität ()
CS =
0 HL
·A
wRL
Sperrsättigungsstromdichte ()
JS =
qn2i
Dp
Dn
+
Ln NA Lp ND
=
qn2i
Ln
Lp
+
τn NA τp ND
2.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator
Bulkpotential ()
EF i − EF
ΦB =
= kT · ln
q
NA
ni
bzw. kT · ln
ni
ND
39
2. Halbleiterbauelemente
Austrittsarbeit des Halbleiters ()
qΦHL = qχHL +
Eg
+ qΦB
2
Austrittsarbeitsdifferenz ()
qΦM HL = q(ΦM − ΦHL )
Flachbandspannung ()
UF B = ΦM HL −
QIs
CIs
Weite der Raumladungszone ()
wRL
r
r
20 HL
20 HL
= −
ΦS bzw.
ΦS
qND
qNA
Maximale Weite der Raumladungszone ()
wRL,max
r
40 HL
= −
ΦB
qN
Einsatzspannung ()
UT h = UF B + 2ΦB −
QHL
CIs
Ladung im Halbleiter(flächenbezogen!) ()
p
QHL = ± 40 HL qN |ΦB | (+ : n − HL; − : p − HL)
Isolatorkapazität (flächenbezogen!) ()
CIs =
40
0 Is
xIs
2.1. Grundlagen
Gesamtkapazität des Kondensators ()
Cges =
CIs CHL
CIs + CHL
2.1.6. MOSFET
Kanalwiderstand ()
RC = ρ
l
xC W
Drainstrom (n-Kanal: + ; p-Kanal: -) ()
ID = ±β(UG − UT h )UD
linearer Bereich
UD
ID = ±β (UG − UT h )UD −
Triodenbereich
2
ID = ±β(UG − UT h )2
Sättigungsbereich
Transkonduktanz ()
β = µp/n CIs
W
L
Substratstreufaktor ()
γ=∓
√
20 HL qN
CIs
(p-Kanal: -, N = ND ; n-Kanal: +, N = NA )
Ladung im Halbleiter bei angelegter Sperrspannung ()
QHL,Sp. = ±
p
20 HL qN |2ΦB − UB |
(p-Kanal: +; n-Kanal: -)
Durchbruchspannung bei angelegter Sperrspannung ()
UT h,Sp. = UF B + 2ΦB + γ
p
|2ΦB | − UB
41
2. Halbleiterbauelemente
2.1.7. Optoelektronik
Wellenlänge ()
λ=
c
ν
Energie ()
Eph = h · ν
Absorptionsbedingung ()
Eph ≥ Eg
Impuls ()
pph =
42
h
ν
3. Schaltungstechnik
Dieses Kapitel befasst sich mit analogen Schaltungen der Elektrotechnik und deren
Grundlagen
3.1. Grundlegende Bauelemente
3.1.1. Diode
Schaltbild...
Stromkennlinie ()
U
D
ID = IS e n·UT − 1
ID : Strom durch die Diode
IS :
UD :
n:
UT :
Hierbei ist der Bahnwiderstand nicht
berücksichtigt, denn die Gleichung wäre
sonst nicht auf den Diodenstrom auflösbar.
Spannungskennlinie ()
UD = n · UT ln
ID
+ ID RB
IS
Vereinfachtes Modell ()
Dies stellt eine sehr stark vereinfachte
Näherung dar. Für analytische Lösungen
wird diese gerne verwendet, da durch die
e-Funktion nichtlineare Gleichungen entstehend, die nur noch numerisch gelöst werden
können.
3.1.2. Bipolartransistpr
43
4. Maxwellsche Gleichungen
Zur Übersicht sind hier die Maxwellschen Gleichungen mit ihrer prinzipiellen Bedeutung
in vektorieller Form angegeben. Die Formulierung mittels Quaternionen ist momentan
in Bearbeitung.
4.1. Integrale Darstellung
Maxwell 1 (Induktionsgesetz) (Schmidt 3.1)
Dies ist auch als Induktionsgesetz bekannt. Zu beachten ist, dass die Kurve C auch im Vakuum / in irgend ei¨
˛
˛
nem Medium umlaufen werden kann. So~
~ d~s
~ d~s = − ∂
B(t)
d A~ + (~v × B)
E(t)
mit besagt diese Gleichung dass ein Zeitlich
∂t
A
C
C
veränderliches Magnetfeld immer mit einem
zeitlich veränderlichen E-Feld in Verbindung
ist und gemeinsam auftritt.
Maxwell 2 (Amperesches Gesetz) (Schmidt 3.2)
Dies ist aus GET1 bekannt. Allerdings ist
hier noch der sog. Verschiebungsstrom zu
finden. Seine Bedeutung ist leicht am Bei¨
˛
¨
spiel des Kondensators zu erkennen: Lässt
~
~
~J(t) d A~ + ∂
D(t)
d A~
H(t)
d~s =
man einen Kondensator von einer Wechsel∂t
A
C
A
|
{z
} stromquelle speißen, so fließt Strom obwohl
Verschiebungsstrom der Ideale Kondensator perfekt Isoliert. Die~
ser Stromfluss geschiet durch das E-Feld
in
Form des Verschiebungsstroms.
Maxwell 3 (Coulombsches Gesetz) (Schmidt 3.3)
‹
˚
~
D(t)
d A~ =
A
ρ(t) d V
V
45
4. Maxwellsche Gleichungen
Maxwell 4 (Schmidt 3.4)
‹
~
B(t)
d A~ = 0
A
Da sich der magnetische Fluss schließt, ist
das Hüllflächenintegral über diesen 0. Dies
bedeutet, dass das Magnetfeld ein Quellenfreies Feld ist.
Kontinuitätsgleichung ()
‹
~J d A~ = − ∂Q
∂t
∂Q
I=−
∂t
Fließt ein Strom von einem geladenen
Körper weg, so verschwinden auf diesem Ladungen. Mann kan sich dies vorstellen, dass
der geladene Körper ein voller Eimer Wasser ist und die Wassermolekühle Ladungen
repräsentieren. Schüttet man den Eimer aus,
entsteht ein Wasserstrom und das Wasser
im Eimer verschwindet. Achtung: Da hierbei Ladungen vom Körper wegtransportiert
werden, ist das Hüllflächenintegral über ~J
nicht 0!
4.2. Differentielle Form
Diese Darstellung erhällt man durch Anwendung des Satzes von Stokes und Gauß
Maxwell 1 (Schmidt 3.5)
∂ ~
B(t)
∂t
∂
~
= − rot A(t)
∂t
~
rot E(t)
=−
~ bezeichnet das magnetische VektorpotenA
~ = rot A.
~
tial. Es gilt: B
Maxwell 2 (Schmidt 3.6)
~
rot H(t)
= ~J(t) +
∂ ~
D(t)
|∂t {z }
Verschiebungsstromdichte
Maxwell 3 (Schmidt 3.7)
~
div D(t)
= ρ(t)
46
Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Die
Quellen des elektrischen Felds sind Ladungen.
4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich
Maxwell 4 (Schmidt 3.8)
Das magnetische Feld ist ein Quellen freies
Feld.
~
div B(t)
=0
Kontinuitätsgleichung ()
Sagt aus, dass bei einem fließenden Strom,
Ladungen bewegt werden.
∂
div ~J = − ρ
∂t
4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich
Dies gilt nur allerdings nur für zeitharmonische Größen! Für allgemein zeitabhängige
Größen, sind die integralen und differentiellen Formen zu verwenden.
Maxwell 1 (Schmidt 3.33)
~
~
rot E(ω)
= −jω B(ω)
Maxwell 2 (Schmidt 3.34)
~
rot H(ω)
= ~J(ω) +
~
jω D(ω)
| {z }
Verschiebungsstromdichte
Maxwell 3 (Schmidt 3.35)
~
div D(ω)
= ρ(ω)
Maxwell 4 (Schmidt 3.36)
~
div B(ω)
=0
47
4. Maxwellsche Gleichungen
4.4. Randbedingungen
~
E-Feld
an der Grenzfläche ()
~2 −E
~ 1) = σ
~n · (E
~1−D
~ 2) = 0
~n · (D
~2 −E
~ 1) = 0
~n × (E
Man beachte die Entsprechenden komponenten (tangential und normal) der
Feldstärke / Flussdichte.
~
H-Feld
an der Grenzfläche ()
~2−B
~ 1) = 0
~n · (B
~2−H
~ 1) = K
~
~n × (H
Achtung: Einheitsvektoren beachten durch
das Kreuzprodukt!
Dirichlet Randbedingung Als Dirichlet Randbedingung werden Randbedingungen bezeichnet, bei denen der Randwert direkt als Potentialgröße gegeben ist.
ϕe = Wert
~ = Wert
A
(4.1)
(4.2)
Von Neumann Randbedingung Als Von Neumann Randbedingung werden Randbedingungen bezeichnet, bei denen der Randwert als Ableitung der Potentialgröße gegeben
ist.
∂ϕe
= Wert
∂n
(4.3)
~ oder Ef v bzw. Hf v oder Bf v. Man beachte, dass
Dies entspricht der Vorgabe von D
dies eine Ableitung nach der Normalen n ist.
48
4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen
4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen
Magnetisches Vektorpotential ()
~ nicht eindeutig definiert:
Allerdings ist A
0
~
~
A = A + grad(ψ) würde wegen rot grad(ψ)
genau das selbe liefern. Also ist ψ als Freiheitsgrad vorhanden.
~ = rot A
~
B
Coulomb-Eichung ()
~ =0
div A
Lorenz-Eichung ()
~ + µ
div A
∂
Φ=0
∂t
Eichtransformation ()
~0=A
~ + grad(V )
A
∂V
Φ0 = Φ −
∂t
V bezeichnet hierbei die Eichfunktion. Jedes beliebige V , welches diese Bedingungen
erfüllt, kann zur Eichung des magnetischen
Vektorpotentials verwendet werden.
49
5. Elektromagnetische Felder
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
5.1.1. Elektrostatik
Es empfiehlt sich hier in GET1 nachzulesen.
Die elektrische Feldstärke (2.11)
~ = − grad ϕe
E
˛
~ d~s = 0
E
⇒
C
~ =0
rot E
Feld und Potential einer Raumladung (2.18, 2.19)
˚
1
ϕr (~rP ) =
4π0
V
˚
~ rP ) = 1
E(~
4π0
1
ρ(~rQ ) d VQ
r
~r
ρ(~rQ ) d VQ
r3
Man geht hier von bekannter Raumladung
ρ aus. Am Punkt ~rP kann man dann das
Potential / die Feldstärke berechnen indem
mal ρ stur über das Volumen aufintegriert.
V
Ergibigkeit (Divergenz) des E-Feldes (2.13)
‹
˚
~ dA
~ =
D
A
‹
˚
~ dV =
div D
V
~ =ρ
⇒ div D
ρdV
V
Dies ist das Coulombsche Gesetz
~ =0
(−∇ϕe ) d A
A
51
5. Elektromagnetische Felder
Poisson- / Laplace-Gleichung (2.14, 2.15)
ρ
∆ϕe = − ,
0
∆ϕe = 0,
Poisson-Gleichung
Laplace-Gleichung
Die Poisson-Gleichung findet Anwendung
bei vorhandener Raumladung. Ist man außerhalb dieses Bereichs, so verwendet man
die Laplace-Gleichung als Sonderfall. Sie
wird oft auch einfach als Feldgleichung bezeichnet.
Feld / Potential eines Dipols (2.54-2.56)
~ e = ~eMe = ~eQs
M
1 ~rP
· (~rQ1 Q1 + ~rQ2 Q2 )
ϕe (~rP ) =
4π0 rP2 rP
~eQs ~rP
1 ~ ~rP
=
=
Me ·
2
4π0 rP rP
4π0
rP
~ = − grad(ϕe )
E
Hierbei zeigt ~e von der negativen Ladung
zur positiven Ladung. Man kann es für
räumlich dicht beieinanderliegenden Ladungen anwenden.
Komplexes Feld / Potential einer Linienladung ()
~ = ~eρ λ0 l ,
E
2π0 ρ
1
~ = ~eρ λ0
E
,
2π0 ρe−jϕ
| {z }
Reelles Feld
Komplexes Feld
1/z ∗
ρ
λ0
ln
,
Reelles Potential
2π0
c
jϕ λ0
ρe
p(z) = −
, Komplexes Potential
ln
2π0
c
| {z }
ϕe (ρ) = −
z/c
ψ
= ϕe − j
0 l
52
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
Lösungsverfahren
Verfahren I Felder bei symmetrischen Ladungsverteilungen
Dieses Verfahren ist bereits aus GET1 bekannt. Man kann es immer bei symmetrischen
Geometrien verwenden. Bedingung hierfür ist u.A., dass die Flussdichte auf einer entsprechenden Oberfläche, welche die Anordnung vollständig umschließt, einen konstanten
~ unabhängig von ρ, es kann also D
~ angegeben
Wert haben muss (z.B. Kugel: Hier ist D
werden, wenn man Q annimmt). Auch bei symmetrischen Ladungsverteilungen ist es
möglich.
1. Über den Fluss das elektrische Feld allg. bestimmten
2. Falls Raumladungen vorhanden: Aus diesen allg. die Ladung bestimmen
3. Ladung und Fluss gleichsetzen und auf das Feld auflösen
Verfahren II Integration über die Ladungsverteilung
Dieses Verfahren kann genuttz werden, wenn die Ortsverteilung der Ladungsträger bekannt ist und der Raum überall gleiche Materialeigenschaften besitzt.
1. ~r = ~rP − ~rQ angeben
2. r angeben
3. Integrationsgrenzen bestimmen
~ oder ϕ einsetzen
4. In die entsprechende Formel für E
Verfahren III Vergleich mit bekannten Feldbildern
Hierfür werden Äquipotentialflächen benötigt. Man geht von einer einfachen Anordnung
aus, z.B. eine Linienladung, setzt Äquipotentialflächen dran und kann so z.B. das Feld
eines dicken Drahtes berechnen.
Verfahren IV Spiegelungsverfahren
Hierfür wird eine Ebene benötigt, auf der das Potential den Wert 0 (jaja, ich weiß, es
geht nur im Bezug auf irgendwas, aber ihr wisst schon, wie ichs meine ;)) hat. Dann kann
man die Anordnung spiegeln, so dass diese Bedingung erfüllt ist und die Feldverteilung
angeben.
53
5. Elektromagnetische Felder
Teilkapazitäten
Maxwellsche Potentialkoeffizienten (2.160)

 
ϕe1
p11 p12
 ϕe2   p21 p22
  
 ..  =  ..
..
 .   .
.
ϕen
pn1 pn2
  
. . . p1n
Q1


. . . p2n   Q2 

·  .. 
. . . .. 


.
. 
. . . pnn
Qn
Nachdem ϕe ∼ Q gilt, kann man
die Maxwellchen Potentialkoeffizienten pik
einführen. Dieses Gleichungssystem kann
man nun nach den den Ladungen auflösen
Maxwellsche Kapazitätskoeffizienten (2.165)

 
Q1
k11 k12
 Q2   k21 k22
  
 ..  =  ..
..
 .   .
.
Qn
kn1 kn2
  
. . . k1n
ϕe1
Dies ist das nach den Ladungen aufgelöste


. . . k2n   ϕe2 

−1
·



. . . ..   ..  Gleichungssysten von oben mit k = p
.
.
. . . knn
ϕen
Teilkapazitäten (2.168)
Cii =
n
X
kik
Da noch a Bildle nei
k=1
Cik = −kik
Bestimmung der Teilkapazitäten Man kann entweder die Potentiale annehmen oder
die Ladungen und dann rumrechnen. Über die Ladungen ist es meist einfacher.
Ladungen (Achtung!! Hierbei wird der Abstand der Teile zueinander als sehr groß angenommen, da so das Potential des Körpers alleine näherungsweise gilt!):
1. Q annehmen
2. ϕei berechnen (wie üblich)
3. Jetzt hat man schon die Potentialkoeffizienten
4. Gleichungssystem auf Q auflösen
5. Die Kapazitätskoeffizienten durch Vergleichen oder Lösen des LGS bestimmen
6. Die Teilkapazitäten ausrechnen
54
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
5.1.2. Stationäres Strömungsfeld
Ohmsches Gesetz (3.9)
~ = 1 ~J
− grad ϕe = E
κ
Dies ist aus GET1 bekannt
Randbedingungen (3.18)
1
1~
J2 − ~J1
0 = ~n ×
κ
κ
2
1
0 = ~n · ~J2 − ~J1
Folgt direkt aus den Randbedingungen des
elektrischen Felds
Feldgleichung ([5], Formel 3.11, 3.12)
div ~J = 0
∆ϕe +
1
grad κ · grad ϕe = 0,
für κ = κ(~r)
κ
∆ϕe = 0, für κ = const.
5.1.3. Stationäres Magnetfeld
Oersted’sches Gesetz ()
˛
~ · d~s = I
H
C
~ = ~J
rot H
An Stellen nicht veschwindende Stromdichte
weißt das Magnetfeld Wirbel auf (zur Veranschaulichung betrachte man sich den Stromdurchflossenen Draht mit dem in ϕ gerichteten Magnetfeld)
55
5. Elektromagnetische Felder
magnetische Flussdichte (4.93)
˛
¨
~ d~s
A
~ · dA
~ =
B
Φ=
C
A
~ =0
div B
˚
‹
~ dV = 0
~
~
div B
B · dA =
Magnetische Flussdichte ist Quellenfrei (im
Gegensatz zur elektrischen Flussdichte)
V
A
magnetisches Vektorpotential (4.8, 4.23)
~ = rot A
~
B
~ = −µ0~J
∆A
˚
µ
~
A(~rP ) =
4π
V
¨
µ
~ rP ) =
A(~
4π
1~
J(~rQ ) d VQ
r
~ verwechseln! K
~ ist
Nicht mit der Fläche A
hierbei der Strombelag
1~
K(~rQ ) d AQ
r
A
magnetisches Skalarpotential (4.15)
~ = − grad Vm
H
Dies ist das analogon zum elektrostatischen
Potential ϕe und ist auch aus GET1 bereits
bekannt.
Biot-Savart ([5], Formel 4.22, 4.26)
˚
~J(~rQ ) × ~r
r3
V
˛ ~
I
r
~ rP ) =
H(~
d~sQ × 3
4π
r
C
¨
~ rP ) = 1
~ rQ ) × ~r d AQ
K(~
H(~
4π
r3
~ rP ) = 1
H(~
4π
A
56
• ~r für die Kurve allg. bestimmen
• ~s entlang der Kurve allg. bestimmen
• r bestimmen (geht aus ~r)
• Ausrechnen (wird oft mathematisch
hässlich)
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
Feld einer dünnen Leiterschleife (4.25, 4.26)
~ rP ) = µI
A(~
4π
˛
1
d~sQ
r
C
˛ ~r
I
~
H(~rP ) =
d~sQ × 3
4π
r
C
¨
~r
I
~Q
Vm (~rP ) =
· dA
4π
r3
A
magnetischer Dipol (4.49, 4.50)
~ m = ~nMm = ~nIA
M
~rP
1 ~
Mm · 3
Vm (~rP ) =
4π
rP
~rP
µ0 ~
~
A(~rP ) =
Mm × 3
4π
r
~ m · grad ~rP
~ rP ) = − 1 M
H(~
4π
rP3
letzteres Folg als Spezialfall aus der
kreisförmigen, sehr dünnen und kleinen
Leiterschleife (also so ne gaaaanz putzige).
Des vom Dipol hervorgerufene Feld hängt
nur von der umschlossenen Fläche, nicht von
der Geometrie der Stromschleife ab. Man
kann auch bei einer gegebenen Stromdichte die Fläche parametriesieren und I durch
Integration der Stromdichte bestimmen.
komplexes magnetisches Potential (4.76)
µI z
ln
2π c
µI ρ
ϕ
= − ln +j −µI
| 2π{z c}
| {z2π }
Pm (z) = −
Die Herleitung erfolgt analog wie im elektrostatischen Fall. Man sieht hier sehr gut,
dass das alles das selbe ist, nur anders ;).
Pmi = µVm
=Pmi
=A(ρ)
Energie des Magnetfelds ([5], Formel 4.119)
1~ ~
·B
wm = H
2
˚
˚
Muss über V = V∞ integriert werden
1
~
~
Wm =
wm d V =
Am · J(~rQ ) d VQ
2
V
V
57
5. Elektromagnetische Felder
Induktivitäten räumlicher Massivleiter ([5], Formel 4.136, 4.138)
˚ ~ ~
Ji Aik
·
dV
Lik =
Ii Ik
V
µ0
=
4π
˚ ˚
V
1 ~Ji ~Jk
·
dV dV
rik Ii Ik
V
Induktivität einer dünnen Leiterschleife ([5], Formel 4.145)
Li =
Im Üblichen nur proportional zu l, nicht
von was andrem Abhängig. Daher kann das
auch für andere Leiterschleifen und Leiteranordnungne, die entsprechend lang sind
übertragen werden.
µl
8π
Induktivitätsmatrix ([5], Formel 4.147)

 
Φ1
L11 L12
 Φ2   L21 L22
  
 ..  =  ..
..
 .   .
.
Φn
Ln1 Ln2
  
. . . L1n
I1
 I2 
. . . L2n 
   Lik wird oft auch als Mik geschrieben.
..  ·  .. 
...
.  .
. . . Lnn
In
5.1.4. Elektrodynamik
Bisher waren alle Größen von der Zeit unabhängig, d. h. es galt, dass alle zeitlichen
Ableitungen zu 0 werden.
Elektrisches Feld ()
~
~ = − grad(ϕe ) − ∂ A
E
∂t
58
Jetzt muss zusätzlich ein Feldanteil durch
Induktion berücksichtigen.
6. Hochfrequenztechnik
6.1. PB
Leistungsbilanz im EM-Feld
Energiedichte im E/M-Feld ()
1
d We (t)
= 0 E 2 (t)
dV
2
d Wm (t)
1
wm (t) =
= µ0 H 2 (t)
dV
2
we (t) =
Leistungsbilanz im Frequenzbereich ()
‹
˚
1 ~
0 ∗r ~ 2
∗
∗
~
~
(E × H ) d A − jω
E d V
2
2
V
{z
} |
{z
}
|A
Pps +jPps
Ppe +jPpe
˚
˚
µ0 µr ~ 2
1 ~ 2
+ jω
σ E d V
H d V +
2
2
| V
{z
} |V
{z
}
Ppm +jPpm
Pv
˚
1~ ~∗
E · JQ d V = 0
+
2
|V
{z
}
PpQ +jPpQ
59
6. Hochfrequenztechnik
Frequenzabhähnige Leistungsanteile ()
00
0
0
00
˚
Pe + Pm = (r ω − r ω )
0
2
2
~ E d V
{zV
}
dielektrische Verluste
˚
µ0 ~ 2
00 0
0
00
+ (µr ω − µr ω )
H d V
2
|
{zV
}
magnetische Verluste
˚
0 ~ 2
0
0
− jr ω
E d V
2
V
|
{z
}
elektrische Feldleistung
˚
µ0 ~ 2
0
0
+ jµr ω
H d V
2
V
|
{z
}
|
Man erhällt diese Leistungsanteile durch
einsetzten der komplexen Materialparameter µr und r ind die frequenzabhähnigen
Leistungsanteile der Leistungsbilanz.
Die elektrische und magnetische Feldleistung pendelt (sie geht gegenseitig ineinander über). Die dielektrischen Verluste entstehen z.B. dadurch, dass Dipole bei der Umpolung umkippen (Mikrowellenherd!).
magnetische Feldleistung
6.1.1. Wellenausbreitung
Helmholtz-Gleichung ()
∂2 ~
E=0
∂t2
2
~ =0
~ − µ ∂ H
∇2 H
∂t2
~ − µ
∇2 E
Dies folt aus den Maxwellgleichungen. Beschrieben ist das auf Seite 18 im Skript.
Wellezahl k ([6], Formel 4.27)
√
k =ω µ
Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle ()
1
vP h = √
µ
ω
k
60
µ wurde experimentell bestimmt und legt
zusammen mit c0 den Wer von 0 fest. Hiermit ist auch die Wellenzahl verknüpft.
6.1. PB
Skintiefe ([6], Formel 4.86)
1
δ=p
πf µ(ω)σ(ω)
Wellenlänge ()
λ0 = wπf =
c0
f
Gilt im Vakuum.
Wellenlänge ()
λ0
λ= √
r
=
λ0
n
Gilt im Medium. Hiebei bezeichnet n den
Brechungsindex.
Flächenwiderstand ([6], Formel 4.93)
R =
l
σ(ω) δ(ω)l
| {z }
A
1
=
σ(ω)δ(ω)
Hochfrequenzwiderstand ()
l
σδb
l
, Draht m. Durchmesser d
=
σδπd
RHF =
Feldwellenwiderstand ([6], Formel 4.02)
ZF = (1 + j)R ,
leitendes Medium Man muss also aufpassen wo sich die Welle
r
ausbreitet. Im Vakuum gilt Z0 = 120π Ω
µ
=
,
nichtleitendes Medium
61
6. Hochfrequenztechnik
Snellius’sches Brechungsgesetz ()
sin α
n2
=
=
sin β
n1
r
Für die Bezeichnungen betrachte man Abb.
6.1.
2
=n
1
Winkel der Totalreflexion ()
n2
sin (αT ) =
=
n1
r
Tritt nur auf, wenn die Welle vom optisch
dichten ins optisch dünne Medium fällt. Angewendet wird dies u.A. in Glasfasern.
r1
r2
Brewsterwinkel ()
n2
=
αB = arctan
n1
r
r1
r2
Das paralell polarisierte Licht wird unter
diesem Winkel nicht reflektiert
E-Feld einer linear polarisierten EM-Welle ()
+ −jkz
− +jkz
Ex (t) =<(E0x
e
+ E0x
e
) · ejωt
+
cos (ωt − kz + ϕ+ )+
Ex (t) = E0x
−
E0x cos (ωt + kz + ϕ− )
62
6.1. PB
Magnetfeld einer EM-Welle Um das Magnetfeld einer EM-Welle zu berechnen, bedient man sich der Maxwellgleichungen:
Aus
~
∂B
~
−
=∇×E
∂t
folgt im Frequenzbereich
j
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
z
y
z
x
x
y
~
~ex +
~ey +
~ez
−
−
−
H(ω)
=
ωµ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Nun folgt die Berechnung des H-Feldes (hier am Beispiel einer sich in ~ez -Richtung ausbreitenden linear polarisierten EM-Welle, deren E-Feld in richtung ~ex zeigt).
∂Ex
∂Ex
j
~
~ey + −
~ez
H(ω) =
ωµ
∂z
∂y
+ −jkz
− +jkz + −jkz
− +jkz ∂(E0x
e
+ E0x
e
)
j
∂(E0x
e
+ E0x
e
)
~ey + −
~ez
=
ωµ
∂z
∂y
k
− +jkz
(E + e−jkz + E0x
e
)
= ~ey
ωµ 0x
mit
k
ωµ
=
1
ZF
folgt z.B. für die Hinlaufende Welle:
+ −jkz
~ + = ~ey E0x e
H
ZF
Hierraus lässt sich der Pointing-Vektor berechnen.
Pointing-Vektor ()
∗
~± × H
~ ± = ±~ez E ± H ± ∗
~S± = 1 E
0,z
0,z
2
± 2
± 2
1
1 E0,z = ± ~ez
= ± ~ez Z F H0,z
2
ZF
2
Der Pointing-Vektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der EM-Welle und ist ein Maß für
die transportierte Leistung. Er stellt eine
Flächenleistungsdichte dar.
63
6. Hochfrequenztechnik
Fresnelgesetze ()
Er||
Ee||
Er⊥
Ee⊥
Eg||
Ee||
Eg⊥
Ee⊥
tan (α − β)
tan (α + β)
sin (α − β)
=−
sin (α + β)
2 cos α sin β
=
sin (α + β) cos (α − β)
2 cos α sin β
=
sin (α + β)
=
αα
β
Abbildung 6.1.: Brechung und Fresnelgesetze
senkrechter Einfall ([6], Formel 4.61 4.62)
Er||
n2 − n1
Er⊥
=
=r
=−
Ee||
Ee⊥
n2 + n1
Eg||
2n1
Eg⊥
=
=g
=−
Ee||
Ee⊥
n2 + n1
Dies stellt den Sonderfall der Fresnelgesetze
für α = 0 dar. Bei Leistungsverhältnissen ist
dies zu quadrieren.
Antireflexschicht ()
√
r1 · r2 = n1 · n2
λ
λ0
λ0
d= = √
=
4
4 AR
4nAR
AF =
64
√
6.1. PB
6.1.2. Bauteile
Widerstand
CK
CW
LZ
LW
RN
Abbildung 6.2.: Ersatzschaltbild des Widerstands mit allen Verlusten [6, S. 47 Abb. 5.7]
Hierbei gilt:
LZ : Induktivität des Zuleitungsdrahtes
LW : Induktivität der Wicklungen
CK : Kapazität der Kontaktkappen
CW : Kapazität der Wicklungen
RN : Nennwiderstand
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 5.8 - 5.10)
d R(T )
|T =TN + · · ·
dT
≈RN [1 + T KR (T − TN )]
d R(T )
|T =TN
T KR =
RN d T
R(T ) =RN +
Der Temperaturkoeffizient T KR hat die oft
die Einheit [T KR ] = ppm
.
K
65
6. Hochfrequenztechnik
Kondensator
LZ
RZ
RK
RD Riso
C
Abbildung 6.3.: Ersatzschaltbild des Kondensators mit allen Verlusten [6, S. 69 Abb.
6.15]
Hierbei gilt:
LZ : Induktivität des Zuleitungsdrahtes
RZ : Widerstand des Zuleitungsdrahtes
RK : Widerstand der Kontakte
RD , Riso : Widerstände im Dielektrikum
C: Nennkapazität
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 6.55 - 6.57)
d C(T )
|T =TN + · · ·
dT
≈CN [1 + T KC (T − TN )]
d C(T )
|T =TN
T KC =
CN d T
C(T ) =CN +
Der Temperaturkoeffizient T KC hat die oft
die Einheit [T KR ] = ppm
.
K
Verlustwinkel d. Dielektrikums ()
00
tan δ =
r
GP
GP
=
0 =
r
BP
ωC 0
Komplexwertige Dielektrizitätszahl ()
r = r (1 − j tan (δ ))
66
6.1. PB
Güte des Dielektrikums ()
Pq 0
1
Q = = 00r =
Pv
r
tan δ
Güte des Kondensators ()
Pq 1
QC = =
0
Pv
R1 ωC (1 + tan2 δ ) + tan δ
Spule
RH
RW
RCu
RW W
L
CW
RD
Abbildung 6.4.: Ersatzschaltbild der Spule mit allen Verlusten [6, S. 102 Abb. 7.24]
Hierbei gilt:
RH : Hystereseverluste
RW : Wirbelstromverluste
RCu : Widerstand des Zuleitungsdrahtes
RW W : Wirbelstromverluste in der Wicklung
CW : Wicklungskapazität
RD : Verschiebungsstromverluste der Wicklungskapazität
L : Nenninduktivität
67
6. Hochfrequenztechnik
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 7.61 - 7.64)
d µA (T )
|T =TN + · · ·
dT
≈µA,N [1 + T Kµ (T − TN )]
d µA (T )
T Kµ =
|T =TN
µA,N d T
d L(T )
|T =TN + · · ·
L(T ) =LN +
dT
≈LN [1 + T KL (T − TN )]
d L(T )
|T =TN
T KL =
LN d T
µA (T ) =µA,N +
Der Temperaturkoeffizient T KL hat oft die
Einheit [T KR ] = ppm
.
K
Verlustwinkel und Güte der Spule ()
tan δL = tan δH + tan δW +
{z
}
|
tan δµ
tan δW W + tan δC + tan δCu
|
{z
}
Man beachte für diese ganzen Verlustwinkel
[6, S. 101ff].
=0 ohne Streufelder
QL =
1
tan δL
Permeabler Verlustwinkel δµ ([6], Formel 7.75)
00
tan δµ =
RS
µr
RS
=
0 =
µr
XS
ωL0
δµ beinhalltet die Hystereseverluste (RH )
sowie die Wirbelstromverluste (RW ). Also
hauptsächlich die Verluste im Spulenkern.
Hystereseverlustfaktor ([6], Formel 7.78)
Pv,H RH
=
tan δH = Pq ωL
68
6.1. PB
Wirbelstromverlustfaktor ([6], Formel 7.79)
00
µA
sinh x − sin x
=
0
sinh x + sin x
µA
s
f
mit x = s
fw
tan δW =
Zuleitungsverlustfaktor ([6], Formel 7.81)
tan δCu
RCu
=
ωL
Man beachte, dass bei hohen Frequenzen der
Skineffekt bei der Bestimmung von RCu zu
beachten ist.
Flussverdrängung und Wirbelströme Wenn ein elektrisch leitfähiges Medium von
einem magnetischen Wechselfeld durchflossen wird, bilden sich Wirbelströme aus.
Grundlegend gilt:
Wirbelströme ()
∂ ~
B(t)
∂t
~
E(t)
= ρ~J(t)
1∂ ~
∇ × ~J(t) = −
B(t)
ρ ∂t
~
∇ × E(t)
=−
Hier besagt das Induktionsgesetz nichts anderes als dass ein zeitlich veränderliches Magnetfeld die Rotation einer Stromdichte hervorruft.
6.1.3. Leitungstheorie
Reflexionsfaktor ([6], Formel 9.30, 9.31)
rx =
Rx − Z`
Rx + Z`
rL bezeichnet den Reflexionsfaktor an der
Leitung, ri den an der Quelle und rA den an
der Last. Anstatt der Resistanzen können
auch Impedanzen stehen.
Wellenwiderstand ([6], Formel 9.57)
s
Z` =
R0 + jωL0
G0 + jωC 0
Man kann also einen bestimmten Wellenwiderstand einer Leitung durch die entsprechenden, eig. nur von der Geometrie
abhängigen Größen auslegen.
69
6. Hochfrequenztechnik
Dämpfungsmaß ([6], Formel 9.59)
0
α=
0
R
G
p 0 0 +
2
2 L /C
r
L0
C0
!
·
1
cosh
δR −δG
2
Phasenmaß ([6], Formel 9.60)
√ 0 0
δR − δG
β = ω L C cosh
2
Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.61)
v=
ω
1
1
=√ 0 0 ·
δ −δ
β
L C cosh R 2 G
Wellenwiderstand ([6], Formel 9.62)
p 0 0 L /C
δR + δG
δR − δG
Z` =
· cosh
− j sinh
cosh δG
2
2
Leistungstransport der allg. Leitung ()
P (`) = P (0)e−2α`
Für hin und rücklaufende Welle.
Reflexionsfaktor ([6], Formel 10.21)
r(d) = rA e−2γd
r(l − z) = rA e
70
−2α(l−z) −j2β(l−z)
e
Mit d = l − z.
6.1. PB
Verlustarme Leitung Hier gelten mit der Näherung cosh
Formeln:
δR −δG
2
≈ 1 folgende
Dämpfungsmaß ([6], Formel 9.63)
0
0
R
G
α≈ p 0 0 +
2
2 L /C
r
L0
C0
Phasenmaß ([6], Formel 9.64)
√
β ≈ ω L0 C 0
Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.65)
v=
1
ω
≈√ 0 0
β
LC
Wellenwiderstand ([6], Formel 9.66)
r
Z` ≈
L0
C0
Die Lecherleitung
Die Lecherleitung stellt ein wirkungsvolles Instrument zur Impedanzanpassung dar und
kann bei sehr hohen Frequenzen als reaktives Bauelement fungieren.
71
6. Hochfrequenztechnik
I1
0
(a) Schema der Lecherleitung
0
R dz
L dz
0
U1
G dz
I2
0
C dz
U2
(b) ESB der inifinitesimal kurzen Lecherleitung
Abbildung 6.5.: Lecherleitung
Wellenwiderstand ()
s
Z` =
R0 + jωL0
G0 + jωC 0
Eingangsimpedanz ([6], Formel 10.24)
ZE =
U1
ZA + Z` tanh γ`
Z`
=
I1
Z` + ZA tanh γ`
ZA : Abschlussimpedanz (Lastimpedanz)
Z` : Leitungsimpedanz
`: Leitungslänge
Stehwellenverhälltnis ([6], Formel 11.24)
VSWR =
|Umax |
1 + |rA |
=
|Umin |
1 − |rA |
Das Stehwellenverhältnis kann gemessen
werden.
Reflexionsfaktor und Eingangsimpedanz bei lmin ()
Die Abkürzug steht für Voltage Standing
Wave Ratio.
72
6.1. PB
Berechnung der Abschlussimpedanz einer Leitung Aufgrund der Messung von
VSWR kann man die Abschlussimpedanz an einer Messleitung bestimmen.
1. VSWR bestimmen
2. rE (lmin ) eintragen (geht über ZE (lmin ))
3. um
lmin
λ
zurückdrehen.
Strom- und Spannungsextrema einer Leitung ()
Aus U = RI (ab Diagramm veranschaulichten!) folgt Imax aus Umin und umgekehrt. Beachtet man nun mal die Achsenbeschriftung
des SD, welche ja VSWR wiederspiegeln, so
wird deutlich dass diese Formeln nichts anderes sind als die Entnormierung von R usw.
Umin
m · Z`
Umax
=
VSWR · Z`
Imax =
Imin
Leistung an der Lastimpedanz ()
1 |Umax |2
2 VSWR · Z`
1 |Umin |2
1
=
, mit m =
2 m · Z`
VSWR
PW =
So benötigt man ZA nicht bestimmen um die
Leistung daran zu berechnen.
Der Rechteckhohlleiter
cutoff-Frequenz ()
c0
qH
√
2π µr r
r m 2 n 2
qH = π
+
a
b
Für den Hmn Feldtyp. Die E-Feld Moden berechnen sich analog. Es gibt hier aber keine
Em0 und E0n Moden.
fc =
Dämpfungsmaß des verlustlosen Hohlleiters ()
√
αH = q H 1 − Ω2
, mit Ω =
f
fc
Dies gilt im Fall er Wellenausbreitung, nicht
im Dämpfungsfall!!
73
6. Hochfrequenztechnik
H10 -Welle im Rechteckhohlleiter ([6], Formel 12.129ff, S. 185)
1
λH10
=q
λ
1−
λ
Am besten dortn nachschaun. Die Wellenlänge wird halt oft gebraucht.
2a
Wirkleistung der H10 -Welle ([6], Formel 12.141f)
ab a 2 1
Ey x =
4
2
ZFH10
ab a 2
=
Hx x =
Z FH10
4
2
P10 =
An der Stelle x =
Feldes.
a
2
ist das Maximum des
Dämpfung durch Wandverluste ([6], Formel 12.152)
αWand,H10
Ω2 + 2 ab
R
· √
=
ZF bΩ Ω2 − 1
Mit Ω =
grml.
f
.
fc,H10
Sack mühsam zu tippen...
Koaxialleitung
[6, S. 192ff].
Transportierte Wirkleistung ([6], Formel 13.111)
1 Û 2
1
1
= Iˆ2 Z`
P = Û Iˆ =
2
2 Z`
2
Phasengeschwindigkeit ()
vP h = √
c0
r µr
Ganz normal wie im Dielektrikum
Phasenmaß ([6], Formel 13.14)
β=
74
2π
ω√
=
r µr
λ
c0
6.1. PB
Induktivitätsbelag ([6], Formel 13.15)
0
L =
µ0 µr a
ln
2π
b
Kapazitätsbelag ([6], Formel 13.16)
0
C =
2πr 0
ln ab
Leitungswellenwiderstand ([6], Formel 13.17)
r
µr a
ln
Z` = 60Ω
r
b
Folgt aus Z` =
q
L0
.
C0
Dämpfungsmaß ([6], Formel 13.20)
0
α≈
0
G Z`
R
+
= αL + αD
2Z`
2
Gilt für geringe Verluste.
αL : Leitungsverluste
αD : dielektrische Verluste
Das Smith-Diagramm
Ein paar Grundregeln Sozusagen die Verkehrsregeln, wie man da mit dem Zirkel
draufrumschrubben darf.
• Alle Impedanzen und Admittanzen werden normiert!
• Durch Spiegelung am Ursprung wandelt man eine Impedanz in eine Admittanz
um (und umgedreht)
• Umaufrichtung füerLeitungen is von Last zur Quelle im Uhrzeigersinn
• Beim Impedanzdiagramm wird I von rechts aufgetragen, U von links. Entsprechend umgedreht gilt das beim Admittanzdiagramm
• VSWR wird vom 0-Punkt aus gemessen und oben angetragen.
• Die Reflexionsfaktoren werden vom Mittelpunkt des SD gemessen und oben angetragen
75
6. Hochfrequenztechnik
6.2. HF
6.2.1. Streuparameter
Wellengrößen ()
p
1
Ui
√
+ ZLi Ii
ai =
2
ZLi
p
Ui
1
√
bi =
− ZLi Ii
2
ZLi
ai : hinlaufende Welle
bi : zurücklaufende Welle
Streumatrix ()
b1
S11 S12
a
=
· 1
b2
S21 S22
a2
für Zweitor
Reflexionskoeffizient ()
ZiE − ZLi
Si i =
ZiE + ZLi
= riE
Abschluss eines Zweitores mit angepasstem
Abschlusswiderstand. Das gibt dann an, was
das Zweitor an und für sich reflektiert
Reflexionsfaktortransformation ()
S12 S21
r1E = S11 + r2
1 − r2 S22
Z2 − ZL2
r2 =
Z2 + ZL2
Wenn das Zweitor mit Z2 statt ZL 2 abgeschlossen ist, gibt sich eine Reflexion am
Ende mit dem Reflexionsfaktor r2 . Dieser
Transformiert sich über das Zweitor als r1E .
Transmissionsparameter ()
Streuparameter einiger HF-Komponenten
Wellenquelle ()
76
6.2. HF
Leitung ()
S=
e−γl
0
0
e−γl
Dämpfungsglied ()
S=
0 s12
s21 0
|s21 | = |s12 | ≤ 0
a = 20 lg
1
dB
|221 |
Phasenschieber ()
S=
0
ejβl
ejβl
0
Richtungsleitung ()
S=
0 0
ejϕ 0
Asymmetrischer Phasenschieber ()
Dreitorzirkulator ()
Richtkoppler ()
77
6. Hochfrequenztechnik
Wilkinson-Leistungsteiler ()
6.3. Antennen
Feldstärkerichtcharakteristik ()
Et (ϑ, ϕ) Ht (ϑ, ϕ) =
CE,H (ϑ, ϕ) = Et,max Ht,max Leistungsdichterichtcharakteristik ()
S(ϑ, ϕ) CS (ϑ, ϕ) = Smax 6.3.1. Antennentypen
Patchantennen
Inset feed und so kram...
78
7. Photonik
Energie ()
E = hν = h
c
=h·f
λ
Kennt mer ja. Die Energier von Photonen
ist hier gequantelt, d. h. es ist hier jeweils
die Energie eines einzelnen Photons.
Phasenmaß ()
β=
2π
λ
7.1. Akives Medium
Besetzungsdichtenverhältnis ()
Das ist im Endeffekt die BoltzmannVerteilung
Wν −W µ
Nν
= e− kT
Nµ
Natürliche Linienbreite ()
1
∆fn =
2π
1
1
+
τ1 τ2
τ bezeichnet hier die Lebensdauer der
Zustände
Druckverbreiterung ()
1
∆fn =
2π
r
∆fn =
1
1
+
τ1 τ2
3
d2 p
4mkT
1
=
πτs
Hierbei ist τs = τ1 = τ2 als mittlere Zeit
zwischen zwei Stößen
d: Durchmesser des Mikrosystems
p: Gasdruck / Partialdruck
m: Masse des Mikrosystems
79
7. Photonik
Lorenzprofil ()
γL (t) =
(∆fL /2)2
2
π∆fL (f − f0 )2 + (∆fL /2)2
∆fL : Linienbreite
Dopplerverbreiterung ()
2fc
∆fD =
c
r
m: Masse des Mikrosystems
fc : Mittenfrequenz
2kT ln 2
m
Gauß-Profil ()
p
(f −f0 )2
2 ln(2) − (∆f
2 ln(2)
G /2)
e
γG (t) = √
π∆fG
∆fG : Linienbreite
Ratengleichung ()
−
d
[N2 (t) − N20 ] = A12 [N2 (t) − N20 ]
dt
N10 :
N1 :
N20 :
N2 :
A12 =
1
:
τ12
Absorbtion ()
d N1
= R21 N1 = −σ21 N1 φ
dt
dΦ
dφ
φ
d N1
=
=
mit Φ =
dt
dt
dx
c
Φ: Photonen pro Volumen
φ: Photononen pro Zeit und Fläche. Photonenflussdichte
Optische Leistungsdichte ()
I = hf φ
Beer-Lambertsches Absorbtionsgesetz ()
dI
|Abs. = −σ21 N1 I = −aI
dx
80
α = 2a muss ich nochmal nachschaun...
7.2. Gauß-Strahl
7.2. Gauß-Strahl
Divergenzwinkel ()
Θ=
λ
w0
=
πw0
zR
Einheit mrad
Krümmungsradius ()
R(z) = zR,x,y
z
zR,x,y
zR,x,y
+
z
Rayleight-Länge ()
2
2πw0x,0y
zR =
λ
Strahlparameterprodukt ()
Gilt für den Grundmode.
[SP P ] = mm mrad
λ
SP P = w0 Θ =
π
SPP höherer Moden ()
√
w0x,m = w0x 2m + 1
√
Θx,m = Θx 2m + 1
√
w0y,n = w0y 2n + 1
√
Θy,n = Θy 2n + 1
Und dann ins SPP des Grundmodes einsetzen
7.3. Resonatoren
Bei sphärischen Spiegeln gilt:
L: Länge des Resonators
ρ1 , ρ2 : Krümmungsradien der Spiegel
z1 , z2 : Spiegelabstände zum Tallienort
w0 , w1 , w2 : Tallienradius, Radius der Spiegel
81
7. Photonik
g-Parameter ()
L
ρ1
L
g2 = 1 −
ρ2
g1 = 1 −
Strahlweite ()
w12
s
=
=
Lλ
π
2
ρ2 − L
ρ1 − L
g2
g1 (1 − g1 g2 )
λρ1
π
r
L
ρ1 + ρ2 − L
Andersrum einfach Idices vertauschen. Gilt
für Strahlradius am Ort vom Spielgel 1
Taillenradius ()
Lλ
w02 =
π
s
g1 g2 (1 − g1 g2 )
(g1 + g2 − 2g1 g2 )2
Kleinsignalverstärkung ()
gks
λ2
= (N20 − N10 )
γ(t)
8πτspont
γ(t): Linienprofilfunktion
N20 − N10 : anfängliche Besetzugsdichtedifferenz
()
Gks = egks 2La
Anschwingbedingung ()
Gks V = R1 R2 T egks 2La ≥ 1
Da kann mit Kleinsignalverstärkung gerechnet werden
Stabilitätsbedingung ()
0 ≤ g1 · g2 ≤ 1
82
Ansonsten kommt in der Wurzel was negatives
7.4. Gaslaser
7.4. Gaslaser
Puh...
7.5. Laserdioden
So funktionsweise und Aufbauten...
DFB. Also mit dem lambda / 2... Schaff ich jetzt nur nimmer... Sorry!
7.6. Lichtwellenleiter
Maximaler Einkopplungswinkel ()
Θi,c = arcsin
1
n0
q
n2k − n2M
Numerische Apertur ()
N A = sin Θi,c
1
=
n0
q
n2k − n2M
Faserparameter V ()
2πρ
NA
V =
λ
Multimodig ab V ≥ 2, 405. Anzahl der Mo2
den M ≈ V2
Dispersion und Dispersionskonstante ()
∆T = D · L · ∆λ
d β1
2πc
D=
= − 2 β2
dλ
λ
[D] = ps/nm km
83
7. Photonik
7.7. Photonik 2
7.7.1. Polarisation
Stokes-Vektor ()
  

S0
2P0
  

~S = S1  = 2P1 − 2P0 
S2  2P2 − 2P0 
S3
2P3 − 2P0
S0 : Gesamtleistung
S1 : Linear H-V
S2 : Linear ±45◦
S3 : RZP - LZP
Bildung der Leistungen: Die Leistung wird
auf vier Pfade aufgeteilt. P0 ist 50%
gedämpfte Gesamtleistung, P1 ist die Leistung des linear horizontal Polarisierten
Lichts, P2 die des um +45c irc polarisierten
und P3 die des rechtszirkular polarisierten.
Wird meist auf S0 normiert.
Polarisationsgrad ()
p
DOP =
S12 + S22 + S32
S0
Poincare-Kugel ()
Fasst man den Stokes Vektor auf als ~S3D =
~ex S1 + ~ey S2 + ~ez S3 und spannt damit ein
Koordinatensystem auf, so entsteht diese
Poincare-Kugel.
84
8. Regelungstechnik
8.1. Regelungstechnik A
Es empfiehlt sich, SiSy und GET3 nochmal anzuschauen. Die Beiblätter (
falls nützlich.
Prinzipielles Vorgehen:
) sind eben-
1. Beschreibung des Systems im Frequenzbereich
2. Darstellen als System und Linearisierung gemäß Kapitel 8.1.1
3. Untersuchung auf Stabilität gemäß Kapitel 8.1.2
4. Herauslesen von Anforderungen an den Regler aus den Stabilitätsbedingungen
5. Wahl eines Reglers und Auslegung gemäß Kapitel 8.1.3
8.1.1. Modellbildung
Es sind grob folgende Schritte zu tun:
1. Bestimmen der beschreibenden Gleichungen und Zeichnen des Struckturbildes
2. Bestimmung des Betriebspunktes
3. Angeben der Betriebspunktabweichungen in der Form ∆x = x(t) − xB
4. Linearisierung aller nichtlinearen Gleider (also alles wie multiplizierer und nichtlineare Fkts) des Systems im Betriebspunkt (Taylorreihe)
5. Zeichnen des neuen, linearisierten Struckturbildes
Einfaches ersetzen der Funktionalen Glieder durch die linearisierten Funktionen
Beachten der linearisiert Gleichung der Multiplizierer: Diese werden zu Summen. Hierzu die Gleichungen vergleichen
85
8. Regelungstechnik
Der Betriebspunkt Am Betriebspunkt gelten folgende Eigenschaften:
• Alle geregelten Größen haben einen konstanten Wert
• Die Regelgröße wird konstant, da das System in der gewünschten Form läuft und
ja die geregelten Größen konstant sind
• Folglich sind alle zeitlichen Ableitungen 0
Man muss also in seinem Regelkreis alle Größen durch Einsetzen der obigen Eigenschaften bestimmen
Betriebspunktabweichung ()
∆f = f (t) − fB
Linerarisierter Größe nach nichtlinearem Block ()
g(t) = f (x(t))
d f (x(t))
g(t) ≈ f (xB ) +
|x=xB (x(t) − xB )
| {z }
d x(t)
Hier wird lediglich die Taylorreihe nach dem
gB
d f (x)
g(t) − gB ≈
|
(x(t) − xB )
| {z } | d x{z x=xB} |
{z
}
∆g
K
ersten Glied abgebrochen
∆x
∆g ≈ K∆x
8.1.2. Stabilitätskriterien und Systemtheorie
Ein System ist dann stabil, wenn keine Polstellen einen positiven Realteil haben (HurwitzKriterium). Ebenso ist ein Regelkreis stabil, wenn die −1 immer links von der Ortskurve
von G(r) · G(s) liegt (Nyquist-Kriterium).
Generell gelten folgende Regeln:
• GR (s) oder G1 (s) (also vor dem Störeingriff) hat I-Verhalten (Pol bei s = 0) =>
es kann stationär ausgeregelt werden
86
8.1. Regelungstechnik A
Minimalphasiges System ()
Kontinuirliche Systeme, die keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene haben, heißen
minimalphasig.
H(s) = HM (s) · HA (s)
H(s) ist ein allpasshaltiges / nicht minimalphasiges System.
Durchtrittsfrequenz ()
Sie befindet sich im Bode-Diagramm an der
Stelle, wo die Phasenreserve ist.
|GO (jωD )| = 1
Hurwitz-Kriterium
• Alle Koeffizienten ai (i = 0, ..., n) von 1 + GO (s) sind positiv
• Alle Hurwitz-Determinanten sind > 0
Hurwitz-Determinanten ()
D1 = an−1
an−1 an−3 D2 = an an−2 Für allgemeines Dn : D2 nehmen, über an−1
mit an−2 , an−3 usw nach oben weitermachen
und dann diagonal nach unten
Nyquist-Kriterium
Nyquist-Formel ()
W+ = r0 π + a0
π
2
Diese Winkeländerung muss die Ortskurve
von ω = 0 bist ω = ∞ durchlaufen (heißt:
Stöckchen mit Reiszwecke auf −1 + 0j ranbabben und mit der Spize dir Kurve entlangfahrn)
87
8. Regelungstechnik
vereinfachtes Nyquist-Kriterium ()
arg{GO (jωD )} > −π
Sind im Nenner mehr s als im Zähler (δ > 0)
und es hat maximal 2 Pole bei s = 0 und
V > 0, dann isses genau dann stabil, wenn
die Ortskurve den Punkt −1 links liegen
lässt. Dann liegt auch der Durchtrittspunkt
durch die 0dB-Line oberhalb von −π
8.1.3. Reglerentwurf
Ziel ist es, einen Regler zu entwerfen, der die Ausgangsgröße durch verändern der Eingangsgröße trotz der Störgröße auf dem Soll-Wert hällt. Hierzu muss die Strecke mit dem
Regler stabil sein. Der Soll-Wert ohne Störung wird durch die Steuerung (Kap. 8.1.3)
eingestellt.
Steuerungsentwurf
Anforderungen an die Sollverlaufsfkt Die Sollverlaufsfkt muss folgendes erfüllen:
• Differenzgrad δ der ÜF überprüfen: Die Sollverlaufsfkt muss δ mal stetig diffbar
sein
• Die Sollverlaufsfkt muss alle instabilen Pole der ÜF besitzen
Steuersignal bestimmen Wie folgt wird nun das Steuersignal aus gegebenem Sollverhalten bestimmt
1. Sollverlaufsfkt abschnittsweise definieren
2. Konstanten durch Vergleich der Randpunkte der Fkt und Ableitungen bestimmen
Hier die Stetigkeit beachten! (also es muss δ − 1 mal stetig diffbar sein, sprich
nirgends springen)
3. Aus G(s) die DGL des Systems bilden
4. Sollverlaufsfkt in die DGL einsetzen (also auch die Ableitungen)
5. Steuersignal u(t) auslesen und als abschnittsweise definierte Fkt angeben
88
8.1. Regelungstechnik A
Reglerauslegung
Kriterien für einen Regler Es müssen vom Regler also folgende Kriterien erfüllt werden:
• Niemals instabile Pol- / Nullstellen von GS (s) in GO (s) herauskürzen!
• G(s) hat stabile Polstellen der Form 1 + Ti s
Der Regler muss diese im Nenner haben
Der Regler wird nun ausgewählt (also P, I, D, PI, PID Regler) und anhand der Vorgaben
dimensioniert. Als Vorgaben gibt es die Phasenreserve ϕR und die Amplitudenreserve AR . Die bestimmung der Reglerparameter erfolgt nun durch die Ortskurve, das
Bode-Diagramm oder rechnerisch.
Phasenreserve ()
Also bei geg. Phasenreserve ωD berechnen
ϕR = | − 180◦ | − |arg(GO (jωD ))|
und dann durch || = 1 KR bestimmen.
|GO (jωD )| = 1
Die Ortskurve Blöd zu zeichnen
Oft reicht folgendes aus:
1. lim G(jω)
ω→0
2. lim G(jω)
ω→∞
3. Landet hier beides auf der Realachse ⇒ Faktor KR kann mehr oder weniger abgelesen werden
4. ={G(jω)} = 0 ⇒ gibt Schnittpunkt mit Realachse an
5. Jetzt sieht man ja, obs die bei −1 schneidet oder net.
Kann man also das vereinfachte Nysquist-Kriterium heranziehen, braucht man die Kurve
auch gar nicht malen. In allen anderen Fällen genügt das meist für eine Skizze. Muss man
Ortskurven Funktionen zuordnen, genügt es oft auch, das Anfangs- und Endwerttheorem
der Laplace-Trafo herzunehmen (geht auch bei Sprungantworten).
89
8. Regelungstechnik
Bild fehlt!
Abbildung 8.1.: Ortskurve
Das Bode-Diagramm Siehe GET3 fürs Zeichnen
Abbildung 8.2.: Bode-Diagramm
Nach dem Zeichnen mit KR = 1:
• Bei −180◦ gerade Linie nach oben zur Betragskennlinie zeichnen
• Von −180◦ + ϕR aufwärts eine Line zeichnen (kann mehrere Möglichkeiten geben)
• Dort wo die 2. Linie die Betragskennlinie schneidet, muss 0dB sein → durch Wahl
von KR Diagramm verschieben
Jetzt hat man KR bestimmt. Auch liegt dort die Durchtrittsfrequenz ωD
90
8.1. Regelungstechnik A
8.1.4. Regelkreise
Überall ist die Strecke wie folgt drin:
Abbildung 8.3.: Strecke im Regelkreis
Fürungsgrößenaufschaltung Kommt an die Zwei-Freiheitsgrade-Regelung nan
1. Differenzgrad δ von G(s) bestimmen
2. Als Funktion GwS ein Teil nach BP 16 nehmen mit gleichem δ und nach Angabe
allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung Simple Form: Steuerung erzeugt Steuerungssignal, Regler regelt die Störung raus.
Bild fehlt!
Abbildung 8.4.: allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung
Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit Störgrößenaufschaltung bla fasel
Bild fehlt!
Abbildung 8.5.: Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit Störgrößenaufschaltung
Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung bla fasel
Bild fehlt!
Abbildung 8.6.: Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung
91
A. Anhang
A.1. Stromrichtung
Oftmals wird die elektrische Stromstärke I als
I=
∂Q
.
∂t
(A.1)
definiert. Aber das gilt für die physikalische Stromrichtung, obwohl im selben Zusammenhang von der technischen geredet wird und die Ladungen der Quelle betrachtet
werden. Tatsächlich müsste es in diesem Fall
I=−
∂Q
.
∂t
(A.2)
heißen. Ansonsten wäre die Sinke gemeint.
A.1.1. Anschauliche Begründung
Eine Anschauliche Begründung für die These erhält man, indem man sich die Anordnung in Abb. A.1 ansieht. Hier Treten von einer positiv geladenen Elektrode (in Blau
dargestellt) positive Ladungen aus. Die technische Stromrichtung ist als die Richtung der
positiven Ladungsträger definiert. Ebenfalls zeigt das elektrische Feld, was ja die selbe
Richtung hat, wie die Stromdichte, von der positiv geladenen Elektrode weg. Somit ist
der Strom I positiv, wenn dieser Ebenfalls aus der Hüllfläche mit der Flächennormalen
~n austritt.
+e
~n
+Q
Abbildung A.1.: Positive Ladungen, die von einer Elektrode durch eine Hüllfläche tritt
93
A. Anhang
Betrachtet man die Ladung Q auf der Elektrode, so nimmt diese durch einen Austritt
von von positiven Ladungen ab. Dies bedeutet, dass
∂Q
<0
∂t
(A.3)
gilt. Da gemäß der Definition der technischen Stromrichtung der Strom gleich der Ladungsänderung ist, und dieser in diesem Falle positiv und in Bewegungsrichtung der
positiven Ladungsträger gerichtet sein muss, so muss
I=−
∂Q
∂t
(A.4)
gelten, damit I > 0.
A.1.2. Begründung durch die Maxwellschen Gleichungen
Aus
~
rot H(t)
= ~J(t) +
∂ ~
D(t)
∂t
(A.5)
folgt durch die Bildung der Divergenz
∂
~
~
div D(t)
div rot H(t)
= div ~J(t) +
|
{z
}
∂t
(A.6)
=0
und Anwendung des Coulombschen Gesetzes
div ~J(t) = −
∂
ρ(t) .
∂t
(A.7)
Diese Gleichung ist als Kontinuitätsgleichung bekannt. Man kann diese durch Integration
über das Volumen und durch Anwendung des Satzes von Gauß in die Integrale Form
bringen:
˚
˚
∂
~
ρ(t) d V
(A.8)
div J(t) d V = −
∂t
V
V
‹
~J(t) d A~ = − ∂Q(t) .
(A.9)
∂t
A
Hierbei bezeichnet
‹
~J(t) d A~
A
den Strom aus der Hüllfläche A~ . Da ~J ebenfalls von der positiven Elektrode weg zeigt,
ist das gesamte Integral positiv. Es gilt also
I(t) = −
94
∂Q(t)
.
∂t
(A.10)
A.2. Geometrische Zusammenhänge
A.1.3. Welche Ladungen beachtet werden...
Betrachtet man statt der Quellladungen die Ladungen an der Sinke, so dreht sich das
Vorzeichen um! Man überlege sich dies mit dem Quellen- und Lastzählpfeilsystem im
. Dies lässt sich ebenfalls aus dem
Hinterkopf. So gilt z. B. am Kondensator I(t) = ∂Q(t)
∂t
dielektrischen Verschiebungsstrom herleiten.
A.2. Geometrische Zusammenhänge
Oftmals werden einige geometrische Zusammenhänge bei der Berechnung benötigt.
Kosinussatz ()
γ
a
2
2
b
2
c = a + b − 2ab cos (γ)
α
β
c
A.3. (Natur)konstanten
µ0 = 4π · 10−7 AVms
0 = 8, 854 · 10−12 VAms
ZF0 = 120π Ω
kB = 1, 38 · 10−23 J/K = 8, 613 · 10−5 eV/K
h = 6, 6262 · 10−34 J s = 4, 136 · 10−15 eV s
A.4. Einheiten
Da oftmals die ein- oder andere Einheit nicht so ganz bekannt ist: Hier eine kleine Liste.
Watt: W = VA
Ohm: Ω = V
=
A
H
s
=
s
F
C
Farad: F = V
= Ωs = AVs
Vs
Henry: H = A = Ω s
95
A. Anhang
A.5. Mathematik GET1
A.5.1. Geometrische Formeln
Kreisfläche
Kreisringfläche
AK = r2 π
2
2
AK = π(raußen
− rinnen
)
Mantelfläche Zylinder
Zylindervolumen
AM = 2πrh
VZ = r2 πh
Kugelvolumen
Kugeloberfläche
4
AK = r3 π
3
AK = 4πr2
~ eines Linienleiters in karthesischen Koordinaten (Aufgabe 22 L3)
H
i −e~x (y − y0 ) + e~y (x − x0 ) Dies gilt für einen um x0 und y0 verschobei
p
e~ϕ =
nen Linenleiter auf einen Punkt bei x und
2πρ
2πρ
(y − y0 )2 + (x − x0 )2
y. Zur herleitung ersetzt man e~ϕ wie hinten
i −e~x (y − y0 ) + e~y (x − x0 )
im Buch sowie ρ nach Pythagroas.
=
2π (y − y0 )2 + (x − x0 )2
~ =
H
A.5.2. Wichtige Stammfunktionen
ˆ
ˆ
1
1
dx = − + C
2
x
x
1
dx = ln x + C
x
ˆπ
sin θ d θ = − cos π−cos 0 = −(−1)−(−1) = 2
0
A.5.3. Komplexe Zahlen
Umrechnung in Polarkoordinaten ()
z = a + b = |z| · eϕ
b
ϕ = arctan
für a > 0
a
b
für a < 0
= arctan + π
a
96
Die Unterscheidung bei der Phase ist für
den Taschenrechner wichtig da dieser sonst
falsche Winkel liefert (negatives a und positives b wäre wie positives a und negatives
b)
A.6. Mathematik GET2
A.6. Mathematik GET2
A.6.1. Mathematische Methoden
Partialbruchzerlegung ()
A
x − NS
A
B
+
(x − N S) (x − N S)2
(As + B)
(x2 + x + 1)
As
x2 + a
As + B
(x + a)2
Dies sind gängige Ansätze für die Paritalbruchzerlegung. Sie ist sehr nützlich.a
a
Man beachte: Wenn man eine komplexe holomorphe Funktion hat ist es bei der ersten Form
schneller den Faktor a über den Residuensatz zu
bestimmen. Dies ist in Kapitel 1.3.1 erwähnt.
Partielle Integration ()
ˆ
ˆ
0
u v d x = uv +
uv 0 d x
A.6.2. Diverses
sin (φ) = cos (φ −
π
)
2
97
A. Anhang
A.7. Laplace
A.7.1. Laplace-Korrespondenzen
38
3 Ausgleichsvorgänge, Frequenz-Transformation und Übertragungsverhalten
Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen
f (t)
F (s)
δ(t)
1
ε(t)
1/s
ε(t) · tn /n!
(n = 0, 1, · · ·)
ε(t) · tn e−αt /n!
(n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1
ε(t) · cos βt
s/(s2 + β 2 )
ε(t) · sin βt
β/(s2 + β 2 )
ε(t) · sin(βt + ϕ)
(s · sin ϕ + β · cos ϕ)/(s2 + β 2 )
ε(t) · cos(βt + ϕ)
(s · cos ϕ − β sin ϕ)/(s2 + β 2 )
ε(t) · e−αt sin(βt + ϕ)
[(s + α) sin ϕ + β · cos ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]
ε(t) · e−αt cos(βt + ϕ)
[(s + α) cos ϕ − β · sin ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]
(s + α)/ (s + α)2 + β 2
β/ (s + α)2 + β 2
ε(t) · e−αt cos βt
ε(t) · e−αt sin βt
ε(t) · t cos βt
(s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2
ε(t) · t sin βt
2βs/(s2 + β 2 )2
ε(t) · t2 sin βt
2β(3s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )3
ε(t) · t2 cos βt
2(s3 − 3β 2 s)/(s2 + β 2 )3
(s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 )
2β 2 / s(s2 + 4β 2 )
ε(t) · cos2 βt
ε(t) · sin2 βt
ε(t) · cosh βt
ε(t) · sinh βt
ε(t) ·
t
2β
ε(t) ·
sin βt
t
sinh(βt)
√
ε(t) · 1/ πt
p
ε(t) · 2 t/π
Übernommen aus [4, S. 38]
98
1/(sn+1 )
s/(s2 − β 2 )
β/(s2 − β 2 )
s/(s2 − β 2 )2
arctan βs
√
1/ s
√
1/(s s)
A.7. Laplace
A.7.2. Laplace-Sätze
3.5 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation
35
3.5.10 Endwert-Theorem
Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt
der Grenzwert f (t → ∞) der zugehörigen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden,
ohne diese direkt zu kennen [36]
lim f (t) = lim sF (s).
t→∞
(3.108)
s→0
3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen
In Tabelle 3.1 sind nochmals die in den vorhergehenden Abschnitten diskutierten mathematischen Operationen bei der Laplace-Transformation zusammengestellt.
Tabelle 3.1. Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen
f (t)
F (s)
Bezeichnung
c1 f1 (t) + c2 f2 (t)
c1 F1 (s) + c2 F2 (s)
(Überlagerung)
1
s
(Integration)
Rt
0
f (τ ) dτ
F (s)
df (t)
dt
s F (s) − f (0+ )
dn f (t)
dtn
sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − ...
... − sn−2 f ′ (0+ ) − · · ·
· · · − f (n−1) (0+ )
f1 (t) ∗ f2 (t)
F1 (s) · F2 (s)
tn · f (t)
(−1)n
ε(t − t0 ) · f (t − t0 )
e−st0 F (s)
Zeitverschiebung
e−s0 t f (t)
F (s + s0 )
Frequenzverschiebung
f (ct)
1
F
c
lim f (t) = f (0+ )
t↓0
lim f (t)
t→∞
s
c
lim
Re(s)→∞
Multiplikationssatz
(c > 0)
sF (s)
lim sF (s)
s→0
Produkt im Laplace-Ber.
dn F
dsn
(Differentiation)
Dehnung/Stauchung
(Anfangswert-Theorem)
(Endwert-Theorem)
Übernommen aus [4, S. 35]
99
Smith-Diagramm
A. Anhang
(Impedanzdiagramm)
Name:
zu Aufgabe
_____________
Nr.: ______
80
0.9
1.0
70
60
0.6
2.0
6
0.0
0
14
5
0.0
3.0
4.0
0.3
1 50
0.21
0.8
30
0.04
0
0.4
ne
n)
0.4
0.2
0.22
1.0
5.0
20
0.2
0.02
0.8
0.23
0.1
+ ZX
1 90
50
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
0.9
1.0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1.5
10
0.8
1.0
5.0
0.47
0.2
0
22
0.4
4
0.4
5
0.4
0.6
2.0
0.3
0.2
1.5
0.35
1.0
0.9
0.34
2 90
2 80
0.36
2 70
0.37
0.38
0.8
3
2 40
0.7
0.3
3 00
0.6
2
0
31
0.5
1
0.39
2 60
2 50
0.40
23
0
3
0.4
2
0.4
0.41
100
0
0.3
Erläuterungen zum Transformationsweg:
0.3
0
32
0.4
3.0
0.46
0.8
2 10
1.0
4.0
0.29
3 30
0.3
0.28
3 40
2 00
0.48
0.27
0.6
3 50
0.4
0.26
20
- XZ
0.2
0.1
0.25
0
1 80
0.2
50
50
0.01
20
0.24
0.4
1 70
0.6
10
10
R
Z
0.0
8
50
40
0
0.0
0.1
0.2
1.0
0.03
1 60
0.1
7
9
0
0.02
0.01
0.1
0.6
0.49
0.2
0.3
0.1
0.08
0.06
0.04
0.4
0.5
0.16
0.1
(in
0.15
0.5
0
13
0.14
90
1.5
1 20
7
1 10
0.8
8
0.0
0.0
g(
r)
ar
0.09
0.13
0.12
0.11
1 00
0.7
(
l
l/
ß
au
)
en
0.2
0.6
reflektierte Leistung
VSWR = Umax / Umin
0.10
0.3
0.4
0.7
0.5
0.8
0.6
0.7
0.9
0.8
0.9
1.0
1.0
1.0
1.0
0.9
0.8
1.2
0.7
1.4
0.6
1.6
0.5
Reflexionsfaktor r
2.0
1.8
0.4
0.3
3.0
0.2
5.0
4.0
0.1
10.0
20.0
¥
0.0
m = Umin / Umax
Bezugswellenwiderstand
Z = ______
A.9. Mathematik RT-A
A.9. Mathematik RT-A
Taylor-Polynom ()
tn (x) =
n
X
dk f (x)
k=0
d xk
|x=x0 (x − x0 )k
101
A. Anhang
A.10. Vektoranalysis
A.10.1. Umformungen grad
Der Gradient ist definiert als die Multiplikation des Nabla-Operators mit einer Skalaren
Funktion:
∇ · ψ = grad ψ
~r
1
=− 3
r
r
∂Φ(~r)
~er
grad Φ(~r) =
∂r
grad
grad(ψ1 ψ2 ) = ψ1 grad ψ2 + ψ2 grad ψ1
A.10.2. Umformungen div
Die Divergenz ist definiert als die Skalare Multiplikation des Nabla-Operators mit einer
Vektoriellen Funktion:
D
E
~ = div B
~
∇, B
A.10.3. Umformungen rot
Die Rotation ist definiert als die Vektorielle Multiplikation des Nabla-Operators mit
einer Vektoriellen Funktion:
~ = rot B
~
∇×B
Kugelkoordinaten ()
1
∂(Aϕ sin ϕ)
~er
r sin (ϑ)
∂ϑ
1
1 ∂Ar ∂(rAϕ )
~eϑ
+
−
r sin ϑ ∂ϕ
∂r
1 ∂(Åϑ ∂Ar
~eρ
+
−
r
∂r
∂ϑ
~ =
∇×A
102
A.10. Vektoranalysis
A.10.4. Laplace-Operator
A.10.5. Integralsätze
Stokes (Albach 42, 43)
˛
¨
~ d~s
B
~ dA
~ =
rot B
¨
C
A
˛
~ =−
grad ψ × d A
ψ d~s
C
A
Gauß (Albach 44, 45)
˚
‹
~ dV =
div B
˚V
~ dA
~
B
A
‹
~
ψdA
grad ψ d V =
V
A
103
Literaturverzeichnis
[1] Albach, M.:
Grundlagen der Elektrotechnik 1
München: Pearson Studium, 2008
[2] Albach,M:
Grundlagen der Elektrotechnik 2
München: Pearson Studium, 2005
[3] Schmidt, L.-P.; Schaller, G.; Martius, S.:
Grundlagen der Elektrotechnik 3
München: Person Studium 2006, ISBN 978-3-8273-7107-2
[4] Lerch, R.:
Elektrische Messtechnik, 5. Auflage
Berlin Heidelberg: Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-05454-9
[5] Albach, M.; Skript zur Vorlesung Elektromagnetische Felder 1
[6] L.-P. Schmidt, Skript zur Vorlesung Passive Bauelemente und deren HF-Verhalten
105
Stichwortverzeichnis
Ähnlichkeitssatz, 18
Anfangswerttheorem, 31
Antireflexschicht, 64
Bauelemente
nichtlinear, 33
Betriebsübertragungsfaktor, 24
Betriebsdämpfung, 24
Betriebspunkt, 86
Biot-Savart, 56
Bode-Diagramme, 32
Amplitudengang, 32
Phasengang, 33
Boltzmann-Verteilung, 79
Brechungsgesetz, 62
Coulomb, 3
cutoff-Frequenz, 73
Dezibel, 32
Dielektrizitätszahl, 66
Diode, 43
Stromkennlinie, 43
Dipol, 52
magnetisch, 57
Divergenz, 102
Effektivwert, 14
Fourier-Reihe, 27
Endwerttheorem, 31
Energiedichte, 59
Fehler
Absoluter Fehler, 35
Fortpflanzung
systematischer, 35
Relativer Fehler, 35
Fehlerrechnung, 35
Feld
elektrisches, 51
Raumladung, 51
Feldgleichung
Strömungsfeld, 55
Formfaktor, 28
Fourier
Momentanleistung, 29
Scheinleistung, 29
Wirkleistung, 29
Fourier-Koeffizienten, 26
Fourier-Reihen, 26
Amplituden-Phasen, 26
Komplex, 26
Sinus-Cosinus, 26
Frequenz
Komplex, 22
Fresnelgesetze, 64
Güte
Dielektrikum, 67
Kondensator, 67
Gesetz
Coulombsches, 45
Ohm, 55
Gleichrichtwert, 14
Gradient, 102
Grundschwingungsgehalt, 28
Hurwitz-Kriterium, 87
Hystereseverlustfaktor, 68
Induktivität
Doppelleitung, 11
107
Stichwortverzeichnis
Spule, 11
Induktivitäten
Diverse, 11
Induktivitätsmatrix, 58
Integration
Partiell, 97
Klirrfaktor, 28
Klirrkoeffizient, 28
Knotenpotentialverfahren, 21
Admittanzmatrix, 21
Inzidenzmatrix, 21
Knotenspannungen, 22
Koaxialleitung, 74
Dämpfungsmaß, 75
Induktivitätsbelag, 75
Kapazitätsbelag, 75
Leitungswellenwiderstand, 75
Phasengeschwindigkeit, 74
Phasenmaß, 74
Komplexe Impedanzfunktion, 23
Kondensator
Energie, 5
Impedanz, 15
Impedanz (Z(s)), 22
Kapazität, 5
Schaltungen/Bauweisen, 5
Kontinuitätsgleichung, 47
Kosinussatz, 95
Kraft
Lorentz, 9
Magnetfeld, 9
Lösungsverfahren
I, 53
II, 53
III, 53
IV, 53
Laplace-Gleichung, 52
Laplace-Transformation, 30
einseitig, 30
Kondenstor, 31
Spule, 31
Widerstand, 30
108
Lecherleitung, 71
Leistung
Blind-, 16
Komplex, 16
Schein-, 16
Wirk-, 16
Leistungsanpassung
Gleichstrom/Spannung, 8
Komplex, 17
Leistungsbilanz, 59
Frequenzbereich, 59
Leitung
Lecher, 71
Verlustarm, 71
Leitungstheorie, 69
Magnetfeld
Energie, 57
Maschenstromverfahren, 20
Impedanzmatrix, 20
Inzidenzmatrix, 20
Zweigströme, 21
Maxwell
differentielle Form, 46
Freuquenzbereich, 47
integrale Darstellung, 45
Randbedingungen, 48
Messbrücke
Diagonalspannung, 36
Messschaltungen, 36
Miller
Admittanz, 18
Impedanz, 18
minimalphasig, 87
Modellbildung, 85
Nyquist-Kriterium, 87
vereinfacht, 88
Operationsverstärker, 36
Partialbruchzerlegung, 97
Phasengeschwindigkeit, 60
Pointing-Vektor, 63
Poisson-Gleichung, 52
Stichwortverzeichnis
Quelle
Ersatz, 17
Substitution, 18
Umrechnung, 17
Laplace, 30
Transistor
Bipolar, 43
Transmittanz, 24
Randbedingungen
stationäres Strömungsfeld, 55
Rechteckhohlleiter, 73
H10 − W elle, 74
Wandverluste, 74
Reflexionsfaktor, 69
Reglerentwurf, 88
Residuensatz, 32
Rotation, 102
Umwandlung
Dreieck-Stern, 19
Stern-Dreieck, 19
Satz
Gauß, 103
Stokes, 103
Scheitelfaktor, 28
Schwingkreis
Güte, 15
Resonanzfrequenz, 14
Skintiefe, 61
Smith-Chart, 75
Spannungsübertragungsfaktor, 25
Spule
Impedanz, 15
Impedanz (Z(s)), 22
Schaltungen/Bauweisen, 11
Stabilitätskriterien, 86
Stehwellenverhälltnis, 72
Steuerungsentwurf, 88
Stromübertragungsfaktor, 25
Wellenlänge im Medium
Medium, 61
Wellenlänge im Vakuum
Vakuum, 61
Wellenzahl k, 60
Welligkeit, 29
Widerstand
Hochfrequenz, 61
Wirbelströme, 69
Wirbelstromverlustfaktor, 69
Wirkungsgrad, 17
Teilkapazitäten, 54
Temperaturabhähngigkeit
Kondensator, 66
Spule, 68
Widerstand, 65
Theorem
Anfangswert, 31
Endwert, 31
Reziprozität, 19
Tellegen, 19
Transformation
Vektorpotential, 56
Verlustwinkel
Dielektrikum, 66
Permeabler, 68
Spule, 68
Zwei-Freiheitsgrade-Regelung
all., 91
kaskadiert, 91
Störgrößenaufschaltung, 91
Zweitor
Kettenschaltung, 25
Parallelschaltung, 25
Rückwirkungsfrei, 25
Serienschaltung, 25
Symmetrisch, 25
Zweitore
Betriebsverhalten, 24
109