Highlights der Mathematik

Schöne Forme(l)n
Highlights der Mathematik
Thomas Westermann
7.
Lange Nacht der Mathematik
Was ist Mathematik überhaupt?
Definition der Mathematik über die Objekte:
- Punkt, Gerade, Ebenen, ...
- Zahlen
- Analysis (Differenzial- und Integralrechnung)
- ...
Definition der Mathematik über die Methoden:
- Beweise
- Beweise
- Beweise
Definition der Mathematik über die Strukturierung
- Strukturierung der Objekte/Dinge
- Beschreibung von Zusammenhängen/Strukturen
- Modellierung/Beschreibung der realen Welt
0, Symbole
Bedeutsame
2
2
2
Schöne
Formeln
a b  c
Elegante Beweise
q
2 
p
Schöne(ste)
??? Formel
E  mc
2
Wichtige Gesetze
2
z

z
 c
Schöne(ste)
n 1
n Formen
i Imaginäre

1
Einheit
e, 
Interessante Zahlen
Was ist überhaupt „schön“?
Bedeutung: schön = eine angenehme Wirkung auf die Sinne haben;
angenehm, gut, anständig, ...
Herkunft: althochdeutsch scon;
ansehnlich, glänzend, rein, herrlich
Synonyme: schön = ansprechend, anziehend, ästhetisch;
attraktiv, hübsch, faszinierend; ...
Gegenwörter: hässlich, unschön;
schlecht, unangenehm, ...
Aus: de.wiktionary.org/wiki/schön
Schöne Formel gesucht
schöne Formel gesucht
Von: robuѕto, 22.11.2010 21:14 Uhr
tach!
ein freund von mir ist physiker(doktor) und zahlen-geek.
zu seinem dreisiger bekommt er von mir einen zinnkrug
(dem biere ist er auch nicht abgeneigt..).
auf den deckel will ich eine schöne formel/gleichung,
mit dem ergebniss 30 oder 29,9999..., eingravieren.
ich habs nicht so mit diesen dingern, also nun die frage
...
sollte schon knackig sein, aber auch nicht zu lang.
tja und stimmen sollte sie auch
dank im voraus!
0 Antworten zu dieser Frage
http://www.wer-weiss-was.de/Anfragen/www_de/archiv/458206/schoene-formel-gesucht.html
Schöne Formel gefunden?
http://board.gulli.com/thread/1197127-schoene-formeln-mathe-physik-informatik-/2/
Ohne Kommentar ...
Warpfaktor 1 bis (9)10
Die Warpgeschwindigkeit bezeichnet eine Überlichtgeschwindigkeit,
welche mit dem Warpantrieb erreicht wird. Sie wird durch Warpfaktoren
in einer Warpskala angegeben.
Die Warpgeschwindigkeit selbst beginnt erst bei Warpfaktor 1.
2372 stellt William Riker fest, dass die USS Enterprise mit Warp 4 für
die 70.000 Lichtjahre etwa 700 Jahre benötigen würde.
Spock berechnet 2268 für eine 990 Lichtjahre lange Flugstrecke bei
Warp 8,4 eine Flugzeit von 11,337 Stunden.
Widersprüche zwischen verschiedenen Warpfaktorangaben
Es gibt einige widersprüchliche kanonische Fakten zu den Warpreisen unter Berücksichtigung
der erwähnten Warpfaktoren, welche unabhängig von den Angaben aus den Referenzwerken
auftauchen.
Weitere Infos unter: http://de.memory-alpha.org/wiki/Warpfaktor
Gesichert ist bisher allerdings nur ...
Eine sehr schöne Formel…
m0c 2
2
2
v
1  
c
E  mc
E 
kurz
Wirklich?
knackig
…und stimmen tut sie auch!
Atome der Mathematik: Natürliche Zahlen
1, 2, 3; viele
1, 2, 3, 4, ... , 9, 10, 11, ... usw.
 Prinzip der natürlichen Zahlen:
1. Sie beginnen bei 1.
2. Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger.
 Es gibt  viele natürliche Zahlen
N = {1, 2, 3, 4, ...}
natürliche Zahlen
Schöne natürliche Zahlen?
a
b
Pythagoras
a2 + b2 = c2
c
DIE schöne Formel!!!
Pythagoräische Zahlen:
Zahlen-Kombination a, b, c mit a2 + b2 = c2
Beispiele:
32 + 42 = 25 = 52
52 + 122 = 169 = 132
Gibt es noch weitere pythagoräische Zahlen?
Pythagöräische Zahlen
Ja!
n:
1
2
3
4
5
6
n2 :
1
4
9
16
25
36
:
3
5
7
9
11
(n+1)2 - n2 = 
Formel:
n2 +  = (n+1)2
bzw.
Pythagoräisches Tripel, wenn  eine ungerade Quadratzahl:
 = 9 = 2n1+1

n1 = 4

16 + 9 = 25
 = 25 = 2n2+1

n2 = 12

144 + 25 = 169
 = 49 = 2n3+1

n3 = 24

242 + 72 = 252
 = 81 = 2n4+1

n4 = 40

402 + 92 = 412
Elegante Struktur
Faszinierende Atome: Primzahlen
Primzahlen: Eine natürliche Zahl p>1 heißt Primzahl,
wenn sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Siebverfahren des Eratosthenes
Kleverer Algorithmus!
Primzahlen
Große Primzahlen:
Zahl
217-1=131071
231-1=2.147.483.647
…
230 402 457-1
232 582 657-1
243 112 609-1
Dezimalstellen
6
10
Jahr
1588
1772
Entdecker/Computer
Cataldi
Euler
9 152 052
9 808 358
12 978 189
2005
2006
2008
Cooper/GIMPS Pentium 4
Cooper/GIMPS Pentium 4
Smith.../GIMPS
Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Angenommen es gäbe nur endlich viele: p1, p2, ..., pn > 1
Dann ist
m := p1 p2 ... pn + 1
größer als 1 und größer als die größte Primzahl pn.
m wird durch keine der Zahlen p1, p2, ..., pn geteilt.
Damit ist m eine Primzahl.
Die ist im Widerspruch zur Tatsache, dass pn die größte Primzahl ist!
Knackiger Beweis
Ganze und gebrochene Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
ganze Zahlen
Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte
ein Drittel abgeben muss?
Lösung:
1 1 1 1 1 3 1 2 1

  
 
2 32 2 6
6
6 3
Q = {p/q: p  Z und q  N}
gebrochenrationale Zahlen
Noch mehr Zahlen?
a
b
Pythagoras
a2 + b2 = c2
c
Beispiel:
d
1
1
d 2 = 12 + 12 = 2
d 2
Ist d ein Molekül??
Was sind dies für Zahlen?
Wenn Molekül, dann
Quadrieren der Gleichung:
2
p
q
2
p
mit p und q teilerfremd?
2
2
q
p2 = 2 q2  p2 ist gerade  p ist gerade 
 4 m2 = 2 q2
 q2 = 2 m2
p=2m
 q ist gerade
Widerspruch!
Elegante Argumentation
Wenn kein Molekül, was dann??
Supermoleküle: Zahlenfolgen
(an) n  N = a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
n
1
2
1
an  1  (1)
n
3
...
an
0
1.5
0.666
1.) Explizites Bildungsgesetz:
n
...
10
100
1000
1.1
1.01
1.001
 CAS
2.) Rekursives Bildungsgesetz
a0  1
2
1
an 1  ( an  )
an
2
 konvergente Folgen: an  a: besitzen Grenzwert a
 divergente Folgen:
besitzen keinen Grenzwert
Reelle Zahlen
Reelle Zahlen
= {gebrochenrationale Zahlen und
Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}
e  lim (1 
n 
2  lim a n
1 n
)
n
mit
n 
  lim a n
n 
mit
a n 1 
1
2
(a n 
) und a 0  1
2
an
a n 1  3 2 n 1 r  r 2 
an
32
n 1
und a1  6 r
Bedeutende konstruktive Formeln
Schönheiten liegt in der Natur …
Konstruktion komplexer Zahlen
x  px  q  0
2
x1/2
p
 
2
p2
q
4
DIE Mitternachtsformel 
x2  1  0
x1/2   1
 Nein. Leider!!
i  1

Imaginäre Einheit
Darstellung komplexer Zahlen
iR
c
c2

i
1
c  re  i im
im
re
c1  3  2 i
c2  4  i
R
Schönste Formen
Iteration mit komplexen Zahlen
zn 1  z  c
2
n
Wir starten immer mit z0=0.
Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab.
 CAS
Die einfache Iterationsformel erzeugt komplizierte, phantastische Objekte
mit beliebig feiner Substruktur  Mandelbrotmenge
c fest, z0 variabel  Juliamenge
Komplexe Zahlen im Kreis
c  re  i im
iR
i
c
1
c  cos( )  i sin( )
c  cos( )  i sin( )  ei
Eulersche Formel

0
re
 t

im
R
1
c  ei  t
 CAS
ei  cos( )  i sin( )
Eulersche Formel
   / 2: e
  : e
i
i
2
 cos( )  i sin( )  i
2
2
 cos( )  i sin( )
 1
  2 : ei 2  cos(2 )  i sin(2 )
1
i 3
  3 : e
2
2
 cos(3 )  i sin(3 )
2
 i
2
e
2 i
1
kurz
knackig
…und stimmen tut sie auch!
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!
Und noch eine schöne Mathematiknacht!!
Ende
Literatur:
Albrecht Beutelspacher: Kleines Mathematikum, Goldmann Verlag 2011.
Helmut Neunzert, Bernd Rosenberger: Oh Gott, Mathematik. Teubner Verlag 1997.
Hans Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel, dtv ???
Ian Stewart: Das Rätsel der Schneeflocke
Martin Aigner, Günter Ziegler: Das BUCH der Beweise, Springer Verlag.
de.wiktionary.org/wiki/schön
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
http://www.wer-weiss-was.de/Anfragen/www_de/archiv/458206/schoene-formel-gesucht.html
http://board.gulli.com/thread/1197127-schoene-formeln-mathe-physik-informatik-/2/
http://de.memory-alpha.org/wiki/Warpfaktor
http://en.memory-alpha.org/wiki/Warp_factor
Ideengeber für diesen Vortrag
Pythagoras
750 v. Chr.
(Satz von Pythagoras)
Euklid
300 v. Chr.
(Elemente, Primzahlensatz)
Eratosthenes
200 v. Chr.
(Siebverfahren)
Rudolph
1525
(Mitternachtsformel)
Euler
1748
(Das e)
Gauß
1811
(Komplexe Zahlenebene)
Cauchy
1821
(Folgenkonzept)
Koch
1904
(Schneeflocke)
Einstein
1905
(E=m c2)
Mandelbrot
1982
(Fraktale)
Chakotay168
2008
(Warpfaktorformel)
2010
(Schneefeld)
2372
(Warpfaktor 4)
Riker