Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik
Woche 5
12. Mai 2014
Inhalt der heutigen Vorlesung
I
FO über Wörtern
I
Ehrenfeucht-Fraı̈ssé Spiele
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
“das Wort beginnt mit a’s”
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
“das Wort beginnt mit a’s”
Gegenbeispiele:
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end)
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
“das Wort beginnt mit a’s”
Gegenbeispiele:
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end)
“die Länge des Wortes ist gerade”
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
“das Wort beginnt mit a’s”
Gegenbeispiele:
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end)
“die Länge des Wortes ist gerade”
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end) ∧ (∀x.X (x) ⇔
Pa (x))
Die Logik erster Stufe über Wörtern
Definition
Eine MSO Formel ist eine Formel der Logik erster Stufe (FO) wenn
sie keine zweitstufigen Quantoren benutzt.
Beispiele:
I
∀x∃y .Pa (x) ⇒ (y > x ∧ Pb (y ))
“rechts von allen a’s liegt ein Wort das mindestens ein b
enthält”
I
∃x∀y .(y ≤ x) ⇒ Pa (y )
“das Wort beginnt mit a’s”
Gegenbeispiele:
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end)
“die Länge des Wortes ist gerade”
I
∃X .(∀x.X (x) ⇔ ¬X (x + 1)) ∧ X (0) ∧ ¬X (end) ∧ (∀x.X (x) ⇔
Pa (x))
(ab)∗
Sternfreie erweiterte reguläre Ausdrücke
Definition
Ein sternfreier erweiterter regulärer Ausdruck ist ein durch die
folgende Grammatik abgeleiteter Ausdruck.
e ::= ∅ | | a ∈ Σ | e + e | e ∩ e | ¬e | e.e
Beispiele
I
Σ∗ :
Sternfreie erweiterte reguläre Ausdrücke
Definition
Ein sternfreier erweiterter regulärer Ausdruck ist ein durch die
folgende Grammatik abgeleiteter Ausdruck.
e ::= ∅ | | a ∈ Σ | e + e | e ∩ e | ¬e | e.e
Beispiele
I
Σ∗ : ¬∅
Sternfreie erweiterte reguläre Ausdrücke
Definition
Ein sternfreier erweiterter regulärer Ausdruck ist ein durch die
folgende Grammatik abgeleiteter Ausdruck.
e ::= ∅ | | a ∈ Σ | e + e | e ∩ e | ¬e | e.e
Beispiele
I
Σ∗ : ¬∅
I
alle Wörter ohne a:
Sternfreie erweiterte reguläre Ausdrücke
Definition
Ein sternfreier erweiterter regulärer Ausdruck ist ein durch die
folgende Grammatik abgeleiteter Ausdruck.
e ::= ∅ | | a ∈ Σ | e + e | e ∩ e | ¬e | e.e
Beispiele
I
Σ∗ : ¬∅
I
alle Wörter ohne a: ¬(¬∅.a.¬∅)
Der Satz von McNaughton Papert
Sei L eine Sprache, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. es gibt eine FO Formel ϕ, so dass L = L(ϕ)
2. es gibt einen erweiterten sternfreien regulären Ausdruck e, so
dass L = L(e)
Der Satz von McNaughton Papert
Sei L eine Sprache, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. es gibt eine FO Formel ϕ, so dass L = L(ϕ)
2. es gibt einen erweiterten sternfreien regulären Ausdruck e, so
dass L = L(e)
Beispiele
FO
Formel
∃x.Pa (x)
∀x.Pa (x)
∀x.Pa (x) ⇔ Pb (x + 1)
wobei Σ = {a, b}.
regulärer
Ausdruck
Σ∗ aΣ∗
a∗
(b + ).(ab)∗
sternfreier erweiterter
regulärer Ausdruck
¬∅.a.¬∅
¬(¬∅.b.¬∅)
¬(¬∅.(bb + aa).¬∅) ∩ (¬∅.b)
Definierbarkeit in FO über Wörtern
Bekannt: Äquivalenz zwischen FO über Wörtern und sternfreien
erweiterten regulären Ausdrücken
aber!
Satz
Nicht alle regulären Sprache sind durch einen sternfreien regulären
Ausdruck definierbar.
D.h.: MSO6= FO (über Wörtern).
Definierbarkeit in FO über Wörtern
Bekannt: Äquivalenz zwischen FO über Wörtern und sternfreien
erweiterten regulären Ausdrücken
aber!
Satz
Nicht alle regulären Sprache sind durch einen sternfreien regulären
Ausdruck definierbar.
D.h.: MSO6= FO (über Wörtern).
Beweis:
Wir werden jetzt beweisen, dass (aa)∗ nicht sternfrei (=FO)
definierbar ist.
Wir brauchen ein Spiel dazu.
Ehrenfeucht-Fraı̈ssé Spiele
k
Setup des Gu,v
-Spiels
I
2 Spieler: Spoiler und Duplicator
I
Spielfeld: 2 Wörter u und v aus Σ∗
I
Rundenzahl: k ∈ N
k
Spielregeln des Spiels Gu,v
I
jede Runde wird wie folgt gespielt:
1. Spieler S wählt ein Wort (u oder v )
2. Spieler S wählt eine Position i ≤ |u| (oder i ≤ |v |)
3. Spieler D wählt eine Position j in dem jeweils anderen Wort
und verbindet die Positionen durch eine Linie
I
I
Verträglichkeit mit Pa (a ∈ Σ) und
Verträglichkeit mit < beachten
I
Spieler D verliert, wenn er nicht wählen kann
I
Spieler D gewinnt, wenn festgelegte Rundenzahl k erreicht ist
Beispiel
abba
abbracadabra
Beispiel
abba
abbracadabra
Übung: Geben Sie eine Gewinnstrategie für Spieler S an.
Beispiel
abba
abbracadabra
Übung: Geben Sie eine Gewinnstrategie für Spieler S an.
Mit r oder c oder d anfangen.
Beweis des Satzes
Lemma 1
k gdw es eine FO Formel
Spieler S hat eine Gewinnstrategie für Gu,v
ϕ gibt, so dass
I
ϕ höchstens Quantorenrang k hat, und
I
u, I |= ϕ und v , I 6|= ϕ.
Dies lässt sich nicht durch Induktion über k zeigen, die folgende
stärkere Aussage schon:
Beweis des Satzes
Lemma 1
k gdw es eine FO Formel
Spieler S hat eine Gewinnstrategie für Gu,v
ϕ gibt, so dass
I
ϕ höchstens Quantorenrang k hat, und
I
u, I |= ϕ und v , I 6|= ϕ.
Dies lässt sich nicht durch Induktion über k zeigen, die folgende
stärkere Aussage schon:
Lemma 1’
k−` gdw es eine FO Formel
Spieler S hat eine Gewinnstrategie für Gu,v
ϕ gibt, so dass
I
ϕ höchstens Quantorenrang k − ` hat, und
I
u, I [x` →
7 a` , . . . , x1 7→ a1 ] |= ϕ(x1 , . . . , x` ) und
v , I [x` →
7 b` , . . . , x1 7→ b1 ] 6|= ϕ(x1 , . . . , x` ),
wobei die ai (bi ) Positionen in u (v ) sind und ` ≤ k.
Beweis “⇐”:
per Induktion über die Anzahl k − ` der Quantoren in ϕ (o.B.d.A
in Pränexform):
k-`=0: dann setzt sich ϕ(x1 , . . . , x` ) nur aus boolschen Kombination
atomarer Formeln zusammen, d.h.aus Pa (x) (a ∈ Σ) und
x <y
I
nach Vorr. gilt u, I [x` 7→ a` , . . . , x1 7→ a1 ] |= ϕ(x1 , . . . , x` ) und
v , I [x` 7→ b` , . . . , x1 7→ b1 ] |= ¬ϕ(x1 , . . . , x` )
y anschaulische Darstellung: steigt Spieler S nach der `-ten
Runde in das Spiel ein hat er sofort gewonnen, dies folgt aus
der Belegung der freien Variablen
Beispiel: ab, I [y 7→ 1, x 7→ 0] |= x < y und
ba, I [y 7→ 0, x 7→ 1] 6|= x < y
k-` > 0: sei ϕ = ∃x`+1 Qk−` ϕ(x1 , . . . , x` )
I
nach Vorr. gilt wiederrum
u, I [x` 7→ a` , . . . , x1 7→ a1 ] |= ∃x`+1 Qk−` ϕ(x1 , . . . , x` ) und
v , I [x` 7→ b` , . . . , x1 7→ b1 ] |= ∀x`+1 ¬Qk−` ϕ(x1 , . . . , x` )
I
d.h. es gibt eine Position a`+1 ≤ |u|, so dass
u, I [x`+1 7→ a`+1 , x` 7→ a` , . . . , x1 7→ a1 ] |=
Qk−` ϕ(x1 , . . . , x` , x`+1 ), Spieler S wählt diese
I
Spieler D muss Position b`+1 ≤ |v | wählen, aber es gilt
v , I [x`+1 7→ b`+1 , x` 7→ b` , . . . , x1 7→ b1 ] 6|=
Qk−` ϕ(x1 , . . . , x` , x`+1 )
I
dies entspricht der Ind.-vor., d.h. es gibt eine Gewinnstrategie
k−`
für Gu,v
y aus dieser und der Wahl von S ergibt sich die Gewinnstrategie
k−`+1
für Gu,v
Was ist mit Allquantoren?
Beispiel
aaaabbb, I |= ∃x∀y .x < y ⇒ Pb (y ) und
aaabba, I 6|= ∃x∀y .x < y ⇒ Pb (y ).
Zum Beweis des Satzes benötigen wir noch folgendes:
Lemma 2
n
n
Sei u = a2 und v = a2 +1 für n ≥ 1.
k gdw k > n.
Dann hat Spieler S eine Gewinnstrategie für Gu,v
Beweis des Satzes
Satz
(aa)∗ ist nicht sternfrei definierbar.
Beweis: Durch Widerspruch.
Wir nehmen an, dass es eine FO Formel ϕ gibt, so dass
L(ϕ) = (aa)∗ . Dann gilt für jedes n
u = aa
. . . a} |= ϕ
| {z
2n
und
v = aa
. . . a} 6|= ϕ.
| {z
2n +1
Ferner sei k die Anzahl der Quantoren in ϕ. Aus Lemma 1 folgt
k gewinnt. Aus Lemma 2 folgt aber,
nun das Spieler S das Spiel Gu,v
dass n ≤ k sein muss. Dies widerspricht aber der Vorr., dass (aa)∗
Wörter gerader Länge für jedes n beschreibt.