Die Binomialverteilung - minus-p

Die Binomialverteilung
Anhand verschiedener Fragen möchten wir heute klären, was man unter der
Binomialverteilung versteht: z.B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem
Würfel bei 10-maligen Werfen genau 2-mal eine 6 zu werfen?
Der Bernoulliversuch
Frage: Was versteht man unter einem Bernoulliversuch?
Definition:
Ein Bernoulliversuch ist ein Zufallsversuch mit 2 möglichen Versuchsausgängen.
Der Versuchsausgang "Erfolg" tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der
Versuchsausgang "Misserfolg" geschieht mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 - p.
Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln p = 0,6 und q =0,4
Ergebnisse
rot
blau
Wahrscheinlichkeit
0,6
0,4
Bemerkung: Ein Zufallsversuch heißt Bernolliversuch, wenn die Ergebnismenge
zweielementig gewählt werden kann. S = {e1, e2} Es kann also jeder Zufallsversuch
als Bernoulliversuch interpretiert werden.
Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit 3 roten, 2 blauen und 5 grünen Kugeln
S = {rot, nicht rot} mit p = 0,3 und q = 0,7
Ergebnisse
Wahrscheinlichkeit
rot
0,3
nicht rot
0,7
Beispiele: Fußballspiel: Sieg oder kein Sieg Würfel: gerade oder ungerade
Definition: Eine Zufallsgröße heißt Bernoulligröße, wenn die
Wahrscheinlichkeitsverteilung den Wert 1 mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und
den Wert 0 mit der Misserfolgswahrscheinlichkeit 1-p annimmt.
X = xi
P(X = x i )
1
0,6
0
0,4
Definition: Die n-fache Realisierung eines Bernoulliexperimentes mit konstanter
Wahrscheinlichkeit p heißt Bernolli-Kette der Länge n und mit der
Erfolgswahrscheinlichkeit p. (n-maliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen)
Bemerkung: Ein mehrstufiger Zufallsversuch ist nur dann eine Bernoullikette, wenn
die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Anzahl der Stufen konstant ist.
Beispiele:
Zufallsversuch: 10-maliges Würfeln eines Tetraeders
Zufallsgröße: X beschreibt die Anzahl der geworfenen Einsen
Zufallsversuch: Aus einer Kiste mit sehr vielen Transistoren werden 10 Stück
entnommen und geprüft, ob sie defekt sind
Zufallsgröße: X beschreibt die Anzahl der defekten Transistoren
(Seite 1)
Die Binomialverteilung
Beispiel: Ein Sportler führt 4 Freiwürfe durch. Er trifft jeweils mit einer
Wahrscheinlichkeit von 10%.
X beschreibt die Anzahl der Treffer
Die Zufallsgröße nimmt folgende Werte an.
X = xi
P(X = x i )
0
?
1
?
2
?
3
?
4
?
Die Wahrscheinlichkeiten werden wir jetzt analysieren.
Bemerkung: Für einer Bernoullikette nimmt die Zufallsgröße X die Werte 0; 1; ...; n
an.
Ein Baumdiagramm könnte so aussehen:
Bemerkung: Für einen Pfad würde beispielsweise gelten:
2
2
P(A ) = ( 16 ) $ ( 56 )
(Seite 2)
Die Binomialverteilung
Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Würfe Treffer sind und die
beiden letzten Würfe keinen Treffer erbringen. Die Frage stellt sich, wie viele Pfade
es gibt, sodass genau 2-mal getroffen wird. Diese Frage können wir bereits
beantworten ....
EEMM ; EMEM ; EMME ; MEEM ; MEME ; MMEE.
Es sind also 6 fade.
Der Binomialkoeffizient und die Binomialverteilung
Problem: Wir wissen noch nicht, wie viele Pfade i.A. zu einem Ereignis einer
Bernoullikette gehören.
Bei Bernoullikette der Länge n mit den Ausgängen "Erfolg" und "Misserfolg" gibt es
n
k
=
n!
k!$(n−k)!
Möglichkeiten, dass genau k mal Erfolg und n-k mal Misserfolg vorhanden ist.
Sprechweise: n über k
Aufgabe:
Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten:
4
4
4
4
4
;
;
;
;
0
1
2
3
4
Lösung:
4
4
4
4
4
= 1;
= 4;
= 6;
= 4;
=1
0
1
2
3
4
Diese Zahlen können wir jetzt die vollständige Formel zur Berechnung der
Wahrscheinlichkeit der Bernoullikette angeben.
Satz: Für eine Bernoullikette mit den Parametern n und p gilt:
P(X = k) =
n
k
$ p k $ (1 − p) n−k
Bemerkung: Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p.
Dafür schreibt man manchmal ein großes B mit den Parametern n und p im Index.
B n;p (k) =
n
k
$ p k $ (1 − p) n−k
(Seite 3)
Die Binomialverteilung
Beispiel 1:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei 5-maligen Werfen genau
3 mal eine 6 zu werfen?
X ... Zufallsgröße, die die Anzahl der Sechsen beschreibt
X ist binomialverteilt n = 5 und p = 1/6
P(X = 3) = B 10, 1 (3) = ( 53 ) $ ( 16 ) $ ( 56 ) l 0, 03215
3
2
6
Beispiel 2: Ein Schüler hat für einen "Multiple-Choice-Test" nicht gelernt. Der Test
besteht aus 10 Fragen mit je vier Antworten. Es ist jeweils genau eine Antwort
richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mindestens die Hälfte
der Fragen richtig beantwortet.
Analyse:
Es handelt sich um eine Bernoullikette mit den Parametern n = 10 und p = 0,25.
Die Zufallsgröße X kann die Werte von 0 bis 10 annehmen.
Das Ereignis entspricht den Zahlen 5 bis 10.
P(X m 5) = P(X = 5 ) + P(X = 6 ) + ... + P(X = 10 )
= B 10;0.25 (5) + B 10;0.25 (6) + B 10;0.25 (7) + B 10;0.25 (8) + B 10;0.25 (9) + B 10;0.25 (10)
=
10
5
$ 0, 25 5 $ 0, 75 5 +
10
6
$ 0, 25 6 $ 0, 75 4 + ... +
10
10
$ 0, 25 10
= 0, 0781 = 7, 8%
Der Schüler beantwortet mit 7,8 % Sicherheit mindestens die Hälfte der Fragen
richtig.
Beispiel 3: Ein Spieler setzt beim Roulette 10-mal nacheinander auf rot.
Ereignis A: Es erscheint genau 5-mal rot.
Ereignis B: Es erscheint mindestens 5-mal rot.
Ereignis C: Es erscheint mindestens 1-mal rot.
p = 18
37
P(A) = P(X = 5) =
10
$ 18
37
5
5
$ 19
37
5
= 1 − 19
37
l 0, 2452
P(B) = P(X m 5) l 0, 5894
Antwort:
P(C) = P(X m 1) = 1 − P(X = 0)
10
l 0, 9987
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5-mal rot erscheint,
beträgt 24,52 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5-mal rot erscheint,
beträgt 58,94 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1-mal rot erscheint,
beträgt 99,87 %.
(Seite 4)
Die Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung eine binomialverteilten Zufallsgröße
Beispiel: Ein Sportler führt 4 Freiwürfe durch. Er trifft jeweils mit einer
Wahrscheinlichkeit von 10%. X beschreibt die Anzahl der Treffer
Beispiel:
P(X = 0 ) = B 4;0,1 (0) = 4 $ 0, 1 0 $ 0, 9 4 = 0, 6561
0
P(X = 1 ) = B 4;0,1 (1) = 4 $ 0, 1 1 $ 0, 9 3 = 0, 2916
1
P(X = 2 ) = B 4;0,1 (2) = 4 $ 0, 1 2 $ 0, 9 2 = 0, 0486
2
P(X = 3 ) = B 4;0,1 (3) = 4 $ 0, 1 3 $ 0, 9 1 = 0, 0036
3
P(X = 4 ) = B 4;0,1 (4) = 4 $ 0, 1 4 $ 0, 9 0 = 0, 0001
4
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X=k
0
1
P(X = k)
0, 6561
0, 2916
2
0, 0486
3
0, 0036
4
0, 0001
Bemerkung: Die Verteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße heißt
Binomialverteilung. Geeignete Darstellungen sind Histogramme.
Können Sie jetzt unsere Ausgangsfrage beantworten? Dann hätten Sie das Thema
verstanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel bei 10-maligen
Werfen genau 2-mal eine 6 zu werfen?
P(X = 2) = B 10;
1
6
(2) =
10
2
$
1
6
2
$
1
6
(Seite 5)
8
l 0, 2907