Mathematik NT 11 Analysis

Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 1
1
Reelle Funktionen
1.1
Grundbegriffe
1.1.1 Zahlenmengen und ihre Eigenschaften
In der Mathematik werden die Zahlen je nach Verwendung in Mengen eingeteilt. Man
unterscheidet zum Beispiel reelle, rationale, ganze und natürliche Zahlen.
Z-
N0
Q
R
Menge der reellen Zahlen IR umfasst alle Zahlen der „Schulmathematik“.
Menge der natürlichen Zahlen IN = {1;2;3;...} bzw. IN0 = {0;1;2;3;...}
Menge der ganzen Zahlen Z = {...;-2;-1;0;1;2;...}
Menge der rationalen Zahlen Q = {
z
z, n  Z , n  0 }
n
Die reellen Zahlen lassen sich auf einer Zahlengeraden anordnen:
-2
-1
0
1
2
2
Dabei wird folgende Zuordnung definiert:

Der reellen Zahl 0 wird ein Punkt der Geraden eindeutig zugeordnet

Der reellen Zahl 1 wird ein anderer Punkt der Geraden rechts von 0 zugeordnet

Der Zahl –1 wird ein Punkt der Geraden so zugeordnet, dass 0 die Mitte des
Intervalls [-1;1] ist.
Rationale Zahl
p
:
q
Irrationale Zahl:
Die Strecke, die p – q-tel der Einheitsstrecke angibt wird aufgetragen
Wird durch Intervallschachtelung bestimmt.
Mengen können angegeben werden durch:



die beschreibende Form:
L = {x | a < x < b}
ein Zahlenintervall:
L = ]a; b[
ein Intervall am Zahlenstrahl:
a
b
Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 2
Intervalle
Zusammenhängende Abschnitte der Zahlengeraden heißen Intervalle; sie sind Teilmengen
von IR.
a
b
Für a,b IR, a<b bezeichnet man
[a;b] = {x  IR | a ≤ x ≤ b}
]a;b[ = {x  IR | a < x < b}
]a;b] = {x  IR | a < x ≤ b}
[a;b[ = {x  IR | a ≤ x < b}
[F: S.206ff]
als (ab)geschlossenes Intervall
als offenes Intervall
oder
als halboffenes Intervall
Besondere Intervalle
IR+ = ]0;   [
IR- = ]   ;0[
IR 0 = [0;   [
ist die Menge der positiven reellen Zahlen außer Null
ist die Menge der negativen reellen Zahlen außer Null
ist die Menge der positiven reellen Zahlen einschließlich
IR 0 = ]   ;0]
ist die Menge der positiven reellen Zahlen einschließlich
Null
Null
Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 3
1.1.2 Der Funktionsbegriff
Eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element xD, mit D IR und D  , genau eine
reelle Zahl y IR zuordnet, heißt reelle Funktion.
Schreib- und Sprechweise:
f : x  f ( x), x  Df
f : y  f (x), x  Df
„Die Funktion f bildet x ab auf f von x, x Element von Df“
„Die Funktion f mit der Gleichung y gleich f von x, x Element
von Df“
übliche Bezeichnungen:
f, g, h ...
x
y
y = f(x)
Bezeichnung der Funktion
unabhängige Variable
abhängige Variable
Funktionsgleichung
Zuordnungsvorschrift
Funktionswert
Definitionsmenge der Funktion f
Wertemenge der Funktion f
Graph der Funktion f
x  f (x)
f(x)
Df
Wf
Gf
Beispiele:
1)
2)
3
f : x  x, Df  IR
2
II. Quadrant
I. Quadrant
III. Quadrant
IV. Quadrant
1

für x [3;1[
 2
g : x  2 x  2
für x [1 ; 4]

 x  2,5
Die Funktion g setzt sich aus zwei Funktionen
zusammen, deren Graphen eine Parabel und eine
Gerade beschreiben.
Die Funktion g heißt abschnittsweise definierte
Funktion. (Vgl: Abschnittsweise def. Fkt.)
Übungen:
S. 34/12
S. 35/13-15
S. 113/1d
(Darstellung von Funktionen mithilfe von Wertetabellen)
(Darstellung abschnittsweise definierter Funktionen)
Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 4
1.1.3 Eigenschaften reeller Funktionen
1.1.3.1 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Nullstellen
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Jeder Punkt auf der y-Achse hat die x-Koordinate 0. Man erhält deshalb die Koordinaten
des Schnittpunktes des Graphen der Funktion f mit der y-Achse, indem man x = 0 setzt
und f(0) berechnet.
Jeder Punkt auf der x-Achse hat die y-Koordinate 0. Man erhält deshalb die Koordinaten
der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der x-Achse, indem man y = 0 setzt
und die Lösungen der Gleichung f(x)= 0 bestimmt, die sogenannten Nullstellen.
Schnittpunkte mit der x-Achse, Nullstellen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion
f : x  3x  2, Df  IR
Schnittpunkt mit der y-Achse:
f (0)  3 0  2  2 
Sy(0;-2)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
f ( x)  0
3x  2  0
3x  2 
2
x
3
2
3
Sx( ;0)
Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 5
1.1.3.2 Symmetrie des Funktionsgraphen
Der Graph einer Funktion f : x  f ( x), x  Df ist
-
achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x  Df gilt:
f(-x) = f(x)
punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x  Df gilt:
f(-x) = - f(x)
Die Betrachtung von Funktionen deren Graphen diese Eigenschaften besitzen wird
vereinfacht. Durch Spiegelung an der y-Achse bzw. Drehung am Ursprung ergibt sich der
gegenüberliegende Teil des Graphen.
Beispiele
Die Funktion f(x) = x2 +2 besitzt den Graphen Gf.
Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse,
denn für alle x IR gilt:
f(-x) = (-x)2 +2 = x2 +2 = f(x)
Die Funktion g(x) = x3 besitzt den Graphen Gg.
Gg ist punktsymmetrisch zum Ursprung,
denn für alle x IR gilt:
g(-x) = (-x)3 = -x3 = - g(x)
Übung:
S.47/1
Reelle Funktionen
Analysis NT11 - 6
1.1.3.3 Schnittpunkte von Graphen
Die Schnittpunkte von Graphen zweier reeller Funktionen lassen sich durch Gleichsetzen der
Funktionsgleichungen bestimmen.
Beispiel
Die Graphen Gf und Gg der Funktionen f : x  x2 1 und f : x  4x  5 besitzen einen
gemeinsamen Punkt P(xP;yP).
f ( x)  g ( x)
x2 1  4x  5 | 5
x2  4  4x
x2  4x  4  0
Übung:
4  16 16
2
xP  x1 / 2  2
x1 / 2 
| 4x
y p  f (2)  22 1  3
 P(2;3)
Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Graphen Gp und Gg der reellen Funktionen
1
3
p : x   x2  x  und a)
2
2
g:xx4
b)
c)
1
1
g:x x
2
2
g : x  2x  2
Monotonie und Krümmungsverhalten (in Klassenstufe 12)
Lineare Funktionen
1.2
Analysis NT11 - 7
Lineare Funktionen
Die Funktion f : x  mx  t, x  IR heißt lineare Funktion.
(m und t sind beliebige reelle Zahlen, Parameter)
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
1.2.1 Steigung und Achsenabschnitt
vgl. Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung
Für die Steigung einer Geraden (Steigungsfaktor) m gilt:
m
y f ( x2 )  f ( x1 ) y2  y1


 tan mit f(x) = mx+t
x
x2  x1
x2  x1
Der y-Achsenabschnitt der Geraden g nennt man t. Für x=0 erhält man y=t und damit den
Schnittpunkt der Geraden g mit der y-Achse T(0;t).
Beispiele und Übungen: 52/2 und 3 ;
54/7
1.2.2 Schnittpunkte
Vgl. Schnittpunkte von Graphen
Merke:
Hinweis:
Eine Gerade g2, die senkrecht zu einer beliebigen Geraden g1 verläuft, heißt
Normale von g1.
Es gilt m1·m2 = -1.
Senkrechte ist nicht im Lehrplan Mathematik Nichttechnische AR
1.2.3 Aufstellen von Geradengleichungen
vgl. Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung
Übung: 53/5 und 6
Lineare Funktionen
Analysis NT11 - 8
1.2.4 Lineare Gleichungen
Eine Gleichung heißt linear, wenn sie sich in der Form ax b  0 mit a, b  IR darstellen
lässt.
Für die Lösungsmenge dieser Gleichung gilt:

1.Fall:


2.Fall:
3.Fall:
b
 b
ax  b  0  ax  b  x   ; L   
a
 a
a  0; b  0 : 0  x  0  0; L  IR
a  0; b  0 : 0  x  b  0  0  x  b; L  
a0
:
Beispiel:
2x  4  0  2x  4  x  2
Übungen: 55/1
1.2.5 Lineare Gleichungen mit Parameter
2
2

oder L   r  0
r
r

2.Fall: r  0; 0  x  2; L  
rx  4  6  rx  2 1.Fall: r  0; x 
0
0
r
2.Fall: r  0; 0  x  0; L  IR
rx  6  6  rx  0 1.Fall: r  0; x 
Übung:
56/2
Lineare Funktionen
Analysis NT11 - 9
1.2.6 Geradenscharen
Alle Geraden der Steigung m0 und mit der Gleichung gt : y  m0 x  t, x, t  IR heißen
Parallelenschar und t heißt Scharparameter der Geradenschar.
Beispiel:
gn : x  2x  n; n  IR
Alle Geraden mit dem gemeinsamen Büschelpunkt (x0 ;y0) und mit der Gleichung
gm : y  m( x  x0 )  y0 , x, m  IR heißen Geradenbüschel und m heißt Scharparameter der
Geradenschar.
Beispiel
gk : x  kx  2k  1; k  IR
Übung:
54/8-11
abschließende Übungen:
55ff/1-15
Lineare Funktionen
Analysis NT11 - 10
1.2.7 Lineare Ungleichungen
Eine Ungleichung heißt linear, wenn sie sich in der Form ax + b < 0 (ax + b > 0) mit
x, a, b IR und a ≠ 0 darstellen lässt.
Ungleichungen bei Relationen und Funktionen
Die Aussageform y ≤ 0,5 x + 2 kann in die lineare Funktion y = 0,5 x + 2 und die Relation
y < 0,5 x + 2 zerlegt werden. Der Graph der linearen Funktion ist eine Gerade. der Graph der
Relation ist eine Halbebene
Ungleichungen und Doppelungleichungen
Beispiele:
3x + 8 < 5
-4x – 5 ≤ 1
3x < -3
-4x ≤ 4
x < -1
x ≥ -1
oder
L = {x | x < -1}
oder
L = {x | x ≥ -1}
oder
L = ] -∞ ; -1 [
oder
L = [ -1 ; +∞ [
5x – 7 ≤ x + 1 ≤ 3x + 4
5x – 7 ≤ x + 1

4x ≤ 8

-2x ≤ 4
x≤2

x ≥ -2
x + 1 ≤ 3x + 5
4x – 7 < 3x ≤ x + 2
L = {x | -2 ≤ x ≤ 2}
oder
L = [-2 ; 2]
Übung:
59/1 Äquival. Umformungen
60/2 Ungleichungen
60/3 Doppelungleichungen.

3x ≤ x + 2
x<7

2x ≤ 2
x<7

x≤1
4x – 7 < 3x
L = {x | x ≤ 1}
oder
L = ] -∞ ; 1 ]
Lineare Funktionen
Analysis NT11 - 11
1.2.8 Anwendung linearer Funktionen
1.0
Im abgebildeten t-s-Diagramm sind die
Bewegungen zweier Personenwagen PKW
1 und 2 dargestellt.
1.1
Die Geschwindigkeit einer Bewegung
entspricht im t-s-Diagramm dem Anstieg
des Graphen. Bestimmen Sie mithilfe des
Diagramms die Geschwindigkeiten v1 und
v2 von PKW 1 und PKW 2.
1.2
Stellen Sie die entsprechenden Bewegungsgleichungen (Funktionsgleichungen der
abgebildeten Graphen) s1(t) und s2(t) auf.
1.3
Berechnen Sie den Zeitpunkt t0, bei dem beide Fahrzeuge auf „gleicher Höhe“ sind.
1.4
Berechnen Sie die Wege, die beide Fahrzeuge zum Zeitpunkt t0 zurückgelegt haben.
2.0
Im abgebildeten t-v-Diagramm ist die
Bewegung eines Zuges abgebildet. Der
Anstieg des Graphen entspricht der
Beschleunigung a des Zuges. Die Fläche
unterhalb des Graphen gibt den
zurückgelegten Weg an.
2.1
Ermitteln Sie die Beschleunigungen aI,
aII und aIII in den einzelnen Abschnitten.
2.2
Berechnen Sie den während der gesamten dargestellten Bewegung zurückgelegten
Weg s.
Übung:
57f/ 12;13 und 14
Lineare Funktionen
Analysis NT11 - 12
Wachstum
Bei einem vom Boden aus wachsenden Tropfstein hat man vor 4 Jahren eine Höhe von
0,73 m gemessen, nun ist er 0,79 m hoch. Man nimmt lineares Wachstum an.
a)
Wie hoch ist der Tropfstein nach 3, 5, 7, ..., x Jahren ?
b)
Stelle die Funktionsgleichung auf und zeichne den Graphen.
c)
Wie verändert sich die Höhe des Tropfsteins, wenn man ausgehend von einer
Beobachtung im Jahre x noch 2, 3, 4, ..., d Jahre wartet ?
d)
In wie vielen Jahren ist der Tropfstein voraussichtlich 1 m hoch ?
e)
Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich die Höhe des Tropfsteins ?
Quadratische Funktionen
1.3
Analysis NT11 - 13
Quadratische Funktionen
Die Funktion f : x  ax2  bx  c, x  IR heißt quadratische Funktion.
mit a, b, c IR  a ≠ 0.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Die Gleichung f : x  (x  xS )2  yS ; x  IR heißt Scheitelgleichung der quadratischen
Funktion und S(xS; yS) ist der Scheitel ihres Graphen.
Form- und Lageveränderungen der Parabel
1.
f : x  x2 ; x  IR
Der Graph von f ist eine Normalparabel
2.
f : x  ax2 ; x  IR, a  IR \{0}
Der Graph von f ist
a) für a = 1 eine Normalparabel
b) für a > 0 nach oben geöffnet
c) für a < 0 nach unten geöffnet
d) für a ]-1;0[  ]0;1[ gestaucht
e) für a < -1 oder a > 1 gestreckt
3.
f : x  x2  c; x, c  IR
Der Graph ist eine Normalparabel mit einem
entlang der y-Achse um c verschobenen Scheitelpunkt
4.
f : x  ( x  xS )2 ; x, xS  IR
Der Graph ist eine Normalparabel mit einem
entlang der x-Achse um xS verschobenen Scheitelpunkt
Übung: 64f / 1 – 5
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 14
1.3.1 Aufstellen von Funktionsgleichungen
Die allgemeine Funktionsgleichung y = ax2 + bx + c enthält die drei Parameter a, b und c.
Um diese zu ermitteln sind drei Angaben notwendig (z.B.: 3 Punkte durch die der Graph
verläuft oder ein Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt etc.)
Beispiel:
Der Graph einer quadratischen Funktion verläuft durch die Punkte A(2;4,5) und B(-1;3) und
hat an der Stelle s0 = 1 eine Nullstelle.
A:
4,5 = a·22 + b·2 + c
(I)
B:
3 = a·(-1)2 + b·(-1) + c
(II)
Nst:
0 = a·12 + b·1 + c
(III)
A:
4,5 = 4a + 2b + c
B:
3= a - b+c
(II)
Nst:
0= a + b+c
(III)
I-II)
(I)
1,5 = 3a + 3b
(IV)
I-III) 4,5 = 3a + b
(V)
→
b = -1,5
b in V) 4,5 = 3a –1,5
→
a=2
a;b in III) 0 = 2 - 1,5 + c
→
c = 0,5
V-IV)
3 = -2b
Die Gleichung der quadratischen Funktion lautet damit: f(x) = 2x2 – 1,5x + 0,5.
Übung:
66/ 8 Aufstellen von Funktionsgleichungen
66/ 9 – 12
vermischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 15
1.3.2 Quadratische Gleichungen und Linearfaktoren
1.3.2.1 Nullstellen
Die Nullstellen der quadratischen Gleichung f : x  ax2  bx  c,
a, b,c, x  IR  a  0
lassen sich durch Lösen der quadratischen Gleichung 0  ax2  bx  c bestimmen.
Dabei ist folgendes zu beachten:
Die quadratische Gleichung ax2  bx  c  0,
a, b, c, x  IR  a  0 hat
(1) zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn b2  4ac  0 :
x1 
 b  b2  4ac
,
2a
x2 
 b  b2  4ac
2a
2
(2) eine doppelte reelle Lösung, wenn b  4ac  0 :
x1,2 
b
2a
(3) keine reelle Lösung, wenn b2  4ac  0
Der Radikant b2  4ac heißt Diskriminante der Gleichung 0  ax2  bx  c .
Beispiel: siehe 1.1.3 Schnittpunkte von Graphen
Übung:
71/ 1-4
1.3.2.2 Linearfaktorzerlegung
Hat die quadratische Gleichung 0  ax2  bx  c die Lösungen x1 und x2, dann gilt:
ax2  bx  c  a( x  x1 )(x  x2 ) .
(x-x1 und x-x2 heißen Linearfaktoren)
Beispiel:
Die Funktion f(x) = x2 - 5x + 6 hat die Nullstellen: x1 = 2 und x2 = 3.
Damit lässt sich die Funktion f auch folgendermaßen schreiben: f(x) = (x-2)(x-3).
Die Funktion g(x) = x2 + 6x + 9 hat die Nullstellen: x1,2 = -3 .
Damit lässt sich die Funktion g auch folgendermaßen schreiben: g(x)=(x+3)(x+3)=(x+3)2.
Die Funktion h(x) = x2 + 6 hat keine Nullstellen.
Damit lässt sich die Funktion h nicht in Linearfaktoren zerlegen.
Übung:
73/ 10
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 16
1.3.3 Schnittpunkte der Graphen
1.3.3.1 Parabel – Gerade
Haben eine Gerade
g: y = mx + t , x,m,t ∈ IR
und Parabel
p: y = ax² +bx + c , x,a,b,c ∈ IR, a ≠ 0 miteinander
-
zwei Schnittpunkte, so nennt man die Gerade g Sekante von p
-
einen Schnittpunkt, so nennt man die Gerade g Tangente der Parabel und den
„Schnittpunkt“ Berührungspunkt,
-
keinen Schnittpunkt, so nennt man die Gerade g Passante von p
Bsp.: p : y = -1/2 x² - x + 3/2
g : y = -1/2 x + ½
h: y=x+4
ft : y = -2x + t
(Welche Gerade der Schar ist Tangente/Passante/Sekante der
Parabel?)
Übung:
S. 75 / 19 b, a Schnittpunkte mit Parameter
S. 73 / 11
Gleichung mit Parameter
1.3.3.2 Parabel – Parabel
Beispiel
p1:
y = 3/2x²-x-1/2
p2 :
y = -1/2x² - x + 3/2
Übung: S. 75 / 17 - 18
Welche Geraden der folgenden Geradenscharen sind Tangenten der Parabel mit der
1
1
Funktionsgleichung p(x) = 2x² + x – 2
a)
ga: y = 2x + a
b)
ht : y = -x + t
c)
kb : y = b
d)
tk : y = -3x + k
e)
lm : y = mx – 5
*für Experten
f)
mc: y = cx + 2c + 1
* für Experten
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 17
1.3.4 Quadratische Ungleichungen
Eine Ungleichung heißt quadratisch, wenn sie in der Form ax² + bx + c > 0; a ≠ 0 vorliegt.
Beispiel:
Für welche Werte von x gilt: f(x) < 0, mit f(x) = x² - 4x + 3
(oder x² - 4x + 3 < 0 )
1)
Fallunterscheidung
1)
Term faktorisieren
x² - 4x + 3 = 0
x1 = 1; x2 = 3
x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)
2)
Das Produkt (x-1)(x-3)
wird negativ, wenn
3)
1. Fall:
x-1 > 0 und x-3 < 0
L1 = ]1;3[
2. Fall:
x-1 < 0 und x-3 > 0
L2 = {}
gesamte Lösungsmenge angeben:
L = L1 U L2 = ]1;3[
Übung:
2)
3)
Anschaulich
1)
Term als Parabel darstellen
2)
Lage der x-Achse zur Parabel bestimmen (ggf: Nullstellen ermitteln)
3)
Lösungsmenge ablesen und angeben
Vorzeichentabelle
1)
vgl 1) oder 2)
2)
VZT erstellen
x<
1
<x<
3
<x
VZ(x-1)
-
0
+
+
+
VZ(x-3)
-
-
-
0
+
VZ f(x)
+
0
-
0
+
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 18
1.3.5 Parabelscharen
1
2
Die quadratischen Funktionen pk : y   x 2  (1  k)x  2k  2, x  IR,k  IR . Die Graphen
Gpk sind nach unten geöffnete Parabeln. Deren Lage ist abhängig vom Parameter k.
Bestimmen Sie Lage und Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter k.
1
2
Lösen der Gleichung:  x2  (1 k ) x  2k  2  0
Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl der Nullstellen (vgl.1.3.2)
1
D  (1 k )2  4( )(2k  2)  1 2k  k 2  4k  4  k 2  2k  3
2
1. Fall: D = 0 (eine doppelte Nst.)
Graph der Diskriminante
k 2  2k  3  0
k1 = -3; k2 = 1
für k1 = -3: x1 / 2 
für k2 = 1: x1 / 2 
 (1  k )
4
1
2( )
2
 (1  k )
0
1
2( )
2
-3
1
k
2. Fall: D < 0 (keine Nst.)
k 2  2k  3  0
Lk = ] -3 ; 1 [
3. Fall: D > 0 (zwei Nst.)
k 2  2k  3  0
Lk = ] -∞ ; -3 [ U ] 1 ; +∞ [
 (1  k )  k 2  2k  3  (1  k )  k 2  2k  3

 1  k  k 2  2k  3
1
1
2( )
2
x2  1  k  k 2  2k  3
x1 
Übung:
81/ 6 und 7
Quadratische Funktionen
Analysis NT11 - 19
1.3.6 Anwendungen quadratischer Gleichungen
Der Benzinverbrauch eines Autos hängt von seiner Geschwindigkeit ab. Bei einer Untersuchung wird der Benzinverbrauch eines Autos in Liter je 100 gefahrene Kilometer gemessen.
Die Geschwindigkeit des Autos wird dabei in km/h angegeben. Die größte Geschwindigkeit,
die das Auto fahren kann, beträgt 150 km/h. Die Maßzahl des Benzinverbrauchs wird mit V
und die Maßzahl der Geschwindigkeit mit x bezeichnet. Folgende Messreihe wird
aufgenommen:
x
V
30
7,0
75
6,25
120
10
Vereinfachend wird zunächst angenommen, dass die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs
von der Geschwindigkeit durch eine ganzrationale Funktion zweiten Grades (quadratische
Funktion) beschrieben werden kann.
1.1
Stellen Sie den Funktionsterm V(x) auf und geben Sie die Definitionsmenge DV der
Funktion V an. [Teilergebnis: V(x) 
1.2
1 2 2
x - x 10 ]
900
15
Ermitteln Sie rechnerisch die Geschwindigkeit, bei der der Benzinverbrauch am
geringsten ist, und geben Sie diesen an.
1.3
Ermitteln Sie den Geschwindigkeitsbereich, in dem der Verbrauch unter 6,25 Liter je
100 gefahrene Kilometer (bzw. 10 Liter) bleibt.
1.4
Stellen Sie die Funktion V geeignet grafisch dar und ermitteln Sie mit Hilfe Ihres
Diagramms den Benzinverbrauch, wenn das Auto mit einer konstanten
Geschwindigkeit von 100 km/h (bzw. 150 km/h) fährt.
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Geogebra!
Ganzrationale Funktionen
1.4
Analysis NT11 - 20
Ganzrationale Funktionen
1.4.1 Potenzfunktionen
Die Funktion f : x  xn , x  IR, n  IN heißt Potenzfunktion vom Grad n.
Beispiele:
f(x) = x3 , x IR
1)
2)
g(x) = x5 , x IR
f(x) = x4 , x IR
g(x) = x6 , x IR
Eigenschaften der Potenzfunktionen
Für die Potenzfunktionen gilt:

Ist der Grad n eine ungerade Zahl, dann
o sind die Graphen symmetrisch zum Ursprung und enthalten die Punkte (-1; -1)
und (1; 1)
o ist der Wertebereich der Funktion Wf = IR.

Ist der Grad n eine gerade Zahl, dann
o sind die Graphen symmetrisch zur y-Achse und enthalten die Punkte (-1; 1)
und (1; 1)
o ist der Wertebereich der Funktion Wf = IR0 .
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 21
1.4.2 Ganzrationale Funktionen
Die Funktion f : x  an xn  an1xn1  ... a2 x2  a1x1  a0 , x  IR, n  IN0 mit reellen
Koeffizienten a0, a1, ..., an-1, an , an ≠ 0 heißt ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) vom
Grad n.
Beispiele
1
4
3
f ( x)  x4  x2  , x  IR
6
3
2
1)
ist eine ganzrationale Funktion
vierten Grades.
f ( x) 
2)
1 5 9 3
x  x , x  IR
20
20
ist eine ganzrationale Funktion
fünften Grades.
Eigenschaften der Polynomfunktionen
Für die Polynomfunktionen gilt:

Hat die Funktion nur Summanden mit ungeraden Exponenten, dann
o sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ist der Grad n eine gerade Zahl, dann
o sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
Übung:
S.97/ 1;2;3
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 22
1.4.3 Nullstellen und Polynomdivision
Zur Ermittlung der Nullstellen von Funktionen höheren Grades (n > 2) stehen verschiedene
Möglichkeiten zur Verfügung:
Beispiele:
1)
Funktion in Linearfaktorschreibweise
f ( x)  ( x  2)( x  3)2
0  ( x  2)( x  3)2
 x1  2; x2 / 3  3
2)
Ausklammern einer Potenz von x
f ( x)  x4  x3  2x2
0  x 4  x3  2 x 2
 ( x2  x  2) x2
 x1 / 2  0; x2  2; x2  1
3)
Substitution
f ( x)  x4  5x2  4
0  x 4  5x 2  4
0  z 2  5z  4
 z1  1;
z2  4
x2 = z
Lösung für z:
x4  1;
x2  4
x1  1; x2  1; x3  2; x4  2
z = x2
Lösung für x:
4)
Polynomdivision
f(x) = x3 - 2x2 – 5x + 6
mit der bekannten Nullstelle x1 = 1
( x3  2x2  5x  6) : ( x 1)  x2  x  6
 ( x3  x 2 )
 x 2  5x
 (x2  5x)
x2  x  6  0
 6x  6
 (6x  6)
x2  2; x3  3
0
damit lässt sich die Funktion wie folgt schreiben:
f(x) = (x – 1) (x + 2 ) ( x – 3 )
Übung:
S.100 a-g
Ganzrationale Funktionen
Zerlegungssatz:
Analysis NT11 - 23
Ist x0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion n-ten Grades Pn, so
Pn ( x)  ( x  x0 )  Pn1( x)
gilt:
(Division durch x - x0 geht auf)
Der Zerlegungssatz zeigt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens
n voneinander verschiedene Nullstellen haben kann, das sich der Faktor (x - xi) für jede
Nullstelle xi ausklammern lässt.
Sind Nullstellen einer ganzrationalen Funktion nicht bekannt, so können diese durch
Probieren ermittelt werden:
Ist f : x  an xn  an1xn1  ... a2 x2  a1x1  a0 , x  IR eine ganzrationale Funktion mit
ganzzahligen Koeffizienten ai , so müssen ganzzahlige Nullstellen Teiler des konstanten
Terms a0 sein.
Beispiel:
f(x) = x3 - 17x2 + 95x - 175 mit unbekannter, aber vorhandener Nullstelle
Die Nullstelle x1 muss ein Teiler von 175 = 5 · 5 · 7 sein.
f(5) = 53 – 17(5)2 + 95(5)- 175 = 0
Probieren:
→
( x3 17x2  95x 175) : ( x  5)  x2 12x  35
 ( x3  5 x 2 )
12x2  95x
 (12x2  60x)
x2 12x  35  0
35x 175
 (35x 175)
0
 f ( x)  ( x  5)2 ( x  7)
Übung:
LB. S. 105
x2  5; x3  7
x1 = 5
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 24
Vielfachheit einer Nullstelle
Lässt sich eine ganzrationale Funktion Pn wie folgt schreiben:
Pn(x) = (x-x1)k · Pn-k(x), wobei Pn-k(x1) ≠ 0, so heißt x1 eine k-fache Nullstelle von Pn.
An einer Nullstelle mit ungerader Vielfachheit wechselt die Funktion ihr Vorzeichen, an einer
Nullstelle mit gerader Vielfachheit nicht.
Beispiele:
f ( x)  ( x 1)2  ( x  3)
f ( x)  ( x  2)2  x3  ( x 1)
Felderabstreichen
vgl. LB. S. 106
f ( x)  ( x  2)2  x3  ( x 1)
Vorzeichentabelle
2
VZ (x+2)
VZ x3
VZ (x-1)
VZ f(x)
Übung:
x<
+
+
-2
LB. S. 107/ 1
<x<
+
+
0
<x<
+
+
-
1
<x
+
+
+
+
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 25
1.4.4 Ganzrationale Funktionen mit Parameter
Gegeben sind folgende ganzrationale Funktionen, mit der Nullstelle x1 = –3:
fk : x  2x3  8x2  (6  k)x  3k; x, k  IR
1.
Zeige, dass x1 = –3 für alle Werte von k eine Nullstelle von fk ist und zerlege damit
den Term in ein Produkt mit genau einem Linearfaktor.
fk (–3) =
Polynomdivision:
(2x3+8x2+(6+k)x+3k):(x+3)=
=>
2.
fk (x) = (x
)·(
)
Ermittle in Abhängigkeit von k die Lage der Nullstellen sowie deren Vielfachheit.
2x2+2x+k=0
=> D =
1.Fall: D = 0 (eine weitere doppelte Nullstelle)
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 26
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 27
Übungen
Die folgenden Funktionen besitzen die angegebene Nullstelle. Bestimmen Sie alle weiteren
Nullstellen in Abhängigkeit von k  IR und geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen an.
a) fk : x  3x3  (k  9)x2  (3k  3)x  9 , x  IR ,
x1 = 3
b) fk : x  kx  (k  4)x  5x 1 , x  IR ,
x1 = 1
c) fk : x  x  (k  4)x  (4k 1)x  4 , x  IR
x1 = 4
d) fk : x  3x  9x  (k  6)x  k , x  IR
x1 = –1
e) fk : x  2x3  (2k 1)x 2  (k 1)x  k , x  IR
x1 = k
3
2
3
2
3
2
(aus: Schneider, Stein: Mathematik 11 – technische Ausbildungsrichtung, Winklers Verlag,
Braunschweig, 2004)
Lösungen: (ohne Angabe der Nullstellen, selbst versuchen ;-))
a) –3x² + kx - 3
(k<-6 oder k>6) und k≠10:
k = 10:
k = -6:
k = 6:
-6 < k < 6:
b) kx² - 4x + 1
k < 4 und k ≠ 0 und k ≠ 3:
k = 0:
k = 3:
k = 4:
k > 4:
c) x² - kx + 1
(k < -2 oder k > 2) und k ≠
k = 174 :
k = -2:
k = 2:
-2 < k < 2
d) 3x² + 6x + k
k < 3:
k = 3:
k > 3:
e) –2x² + x + 1
k  IR \ { 12 ;1} :
k = 1:
k =  12 :
fk hat drei einfache Nullstellen
f10 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f-6 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f6 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
fa hat eine einfache Nullstelle
fk hat drei einfache Nullstellen
f0 hat zwei einfache Nullstellen
f3 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f4 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
fk hat eine einfache Nullstelle
17 : f
k
4
hat drei einfache Nullstellen
f17/4 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f-2 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f2 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
fk hat eine einfache Nullstelle
fk hat drei einfache Nullstellen
f3 hat eine dreifache Nullstellen
fa hat eine einfache Nullstelle
fk hat drei einfache Nullstellen
f1 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
f-1/2 hat zwei Nullstellen (doppelt und einfach)
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 28
Abschlussprüfung an FOS 2004 – Analysis AI
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1 ( x  3) 2  ( x 2  k ) mit k  IR und
Gegeben sind die reellen Funktionen f k : x  27
D fk  IR .
Es sei zunächst k  9 . Ermitteln Sie in Abhängigkeit von k die Lage der Nullstellen
sowie deren Vielfachheit. Unterscheiden Sie dabei die Fälle k>0, k=0 und k<0.
1 ( x  3)2  ( x 2  9)
Im folgenden sei k = –9 und f 9 (x)  27
Zeigen Sie, dass f-9 eine einfache und eine dreifache Nullstelle besitzt. Geben Sie
jeweils auch die Lage dieser Nullstellen an.
Zeichnen Sie den Graphen G f9 für  6  x  3,5 mit Hilfe einer geeigneten
Wertetabelle. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm
Abschlussprüfung an FOS 2001 – Analysis AII
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Gegeben sind die reellen Funktionen
f k : x  f k ( x); D fk  IR
f k ( x)   14 ( x3  kx2  2kx  8) mit k  IR
Zeigen Sie, dass x1 = 2 für alle Werte von k eine Nullstelle von fk ist und zerlegen Sie
damit den Term fk(x) in ein Produkt mit genau einem Linearfaktor.
Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktion fk neben x1=2 noch mindestens
eine weitere Nullstelle besitzt. Achten Sie dabei auch auf die Sonderfälle k=-6 und
k = 2.
Berechnen Sie nun k so, dass die Funktion fk bei x2 = –2 eine doppelte Nullstelle hat.
Im folgenden sei k = 2.
Zeichnen Sie den Graphen G f2 für  4  x  2,5 mit Hilfe einer geeigneten
Wertetabelle. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm
Abschlussprüfung an FOS 1999 – Analysis AI
3.
Gegeben sind die reellen Funktionen
g p : x  g p ( x); Dg p  IR
g p ( x)  x3  p 2 x mit pIR
3.1.
Untersuche Sie den Graphen Gg p der Funktion gp in Bezug auf Symmetrie und
bestimmen Sie die Anzahl und Lage sämtlicher Nullstellen der Funktion gp in
Abhängigkeit von p.
Abschlussprüfung an FOS 1998 – Analysis AII
4.
Gegeben sind die reellen Funktionen
f k : x  f k ( x); D fk  IR
fk ( x)  19 ( x4  kx2  9x2  9k ) mit k  0 k  IR .
4.1.
4.2.
Untersuchen Sie den Graphen G fk in Bezug auf Symmetrie.
Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm fk(x) auch in der Form
f k (x)  19 (x2  k)(x2  9) schreiben lässt, und ermitteln Sie die Anzahl, Lage und
Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k.
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 29
1.4.5 Aufstellen von Funktionsgleichungen
Das Profil eines Berghanges lässt sich durch den Graph
einer ganzrationalen Funktion 3. Grades beschreiben.
Der Graph enthält die Punkte A(-4;4,5); B(-2;3);
C(0;5,5) und D(1;4,5). Für die weitere Bearbeitung des
Hanges ist die Funktionsgleichung wichtig.
allgemeine Funktionsgleichung 3. Grades:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Aufstellen eines Gleichungssystems:
A:
B:
C:
D:
4,5 = -64a + 16b – 4c + d
3 = -8a + 4b – 2c + d
5,5 = 0a + 0b +0c + d
4,5 = a + b + c + d
→
d = 5,5
(I)
(II)
(III)
-2II)
2III)
5= 16a – 8b + 4c
-2= 2a +2b + 2c
I-2II)
4 = -48a + 8b
II+2III) -4,5 = -6a + 6b
(IV)
(V)
-8V)
36=48a – 48b
IV-8V) 40 = -40b
b in IV) 4 = -48a – 8
→
→
b=-1
a = - 0,25
a;b in III) -1 = -0,25 – 1 + c
→
c = 0,25
d einsetzen und –5,5 berechnen
-1 = -64a + 16b – 4c
-2,5= -8a + 4b – 2c
-1 = a + b + c
→
f(x) = -0,25x3 – x2 + 0,25x + 5,5 = -0,25(x3 + 4x2 – x – 22)
Übungen:
Bestimmen Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen:
1.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse,
verläuft durch die Punkte A(0; 4) und B(1; 4,5) und hat für x = 2 eine Nullstelle.
[Lösung: -0,5|0|1|0|4]
2.
Der zum Ursprung symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion 5. Grades hat für
x = 2 eine doppelte Nullstelle und verläuft durch den Punkt A(1; -3).
[Lösung: -1/3x((x-2)²(x+2)²]
3.
Der Aufsprunghügel einer Skischanze hat die Form des Graphen einer Funktion der
Gleichung: h(x) = ax3 + bx2 + c, x [0;140]. Folgende Stützpunkte sind bekannt:
(0m;80m), (60m;50m) und (120m; 20m).
[Lösung: 1/14400|-1/80|80]
LB. S. 108/ 2-6
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 30
1.4.6 Anwendung ganzrationaler Funktionen
Aufgaben im Lehrbuch Technik S. 107
Kosten – Erlös – Gewinn
In den Wirtschaftswissenschaften und auch in der Wirtschaftspraxis bedient man sich in
zunehmenden Maße mathematischer Methoden. Dabei sind zwei Zielrichtungen zu
unterscheiden:
Einerseits ist man bemüht, Entscheidungsmodelle zu entwickeln, die in konkreten
wirtschaftlichen Situationen helfen sollen, optimale Entscheidungen zu treffen. Andererseits
versucht man, Erklärungsmodelle zu entwickeln, die dazu dienen, wirtschaftliche Prozesse
einsichtig zu machen, Zusammenhänge aufzuzeigen und theoretische Folgerungen zu ziehen.
Die folgende Aufgabe entstammt der Kostentheorie. Dieser Aufgabe liegt folgende
Modellierung zu Grunde:
Das betrachtete Unternehmen erzeugt ein einziges Produkt. Bei gleichbleibender
Produktionstechnik können einige Produktionsmittel verändert werden, um mehr oder weniger
zu erzeugen. Die mengenmäßige Größe der Produktion bezeichnet man als Ausbringung und
misst sie durch eine natürliche Zahl x (bezogen auf eine Mengeneinheit (ME)). Die
Ausbringung kann jeden Wert eines Intervalls 0;x annehmen, wobei x die Kapazitätsgrenze
bezeichnet. In Abhängigkeit von der Ausbringung entstehen Kosten k(x). Es wird unterstellt,
dass die gesamte Produktion verkauft werden kann: hierdurch wird ein Erlös e(x) erzielt. k(x)
und e(x) werden in Geldeinheiten (GE) gemessen. Die Kosten- und Erlösfunktionen werden als
differenzierbar vorausgesetzt. Aus ihnen ergibt sie die Gewinnfunktion g(x) = e(x) – k(x). Das
Unternehmen verfolgt das Ziel, den Gewinn zu maximieren. Bei der Aufgabe wird auf die
Mengen- und Geldeinheit nicht näher eingegangen. Die in der Aufgabe verwendeten
Funktionen beziehen sich nicht auf konkrete Produktionsprozesse, sind aber dennoch
wirtschaftlich sinnvoll gewählt.
Produktionsbedingungen:
Kostenfunktion: k ( x)  0,01x3  9x2  3000x  250000
e( x)  2850x
Erlösfunktion:
a) Zeichne die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion (GeoGebra) für das Intervall 0;850.
b) Bei welcher Ausbringung ist der Gewinn maximal.
c) Die Funktion d ( x) 
k ( x)
beschreibt die durchschnittlichen Kosten. Bei welcher
x
Ausbringung sind die durchschnittlichen Kosten minimal? Vergleiche dieses Ergebnis
mit dem Ergebnis von Aufgabe b) und interpretiere es wirtschaftlich.
Ganzrationale Funktionen
1.4
Verknüpfung von Funktionen
Analysis NT11 - 31
Ganzrationale Funktionen
1.5
Analysis NT11 - 32
Abschnittsweise definierte Funktionen
Funktionen, bei denen für verschiedene Abschnitte des Definitionsbereiches unterschiedliche
Funktionsterme vorhanden sind, nennt man abschnittsweise definierte Funktionen.
Beispiel:
Portofunktion – jedem Paketgewicht ist ein Porto zugeordnet
für 0 kg  x  4 kg
für 4 kg  x  8 kg
für 8 kg  x  12 kg
für 12 kg  x  20 kg
5,90 €
6,80 €

p( x)  
7,70 €
9,50 €
y
8
6
4
2
0
Übung:
S.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
Ganzrationale Funktionen
Analysis NT11 - 33
Abschlussprüfung 2004 SII
2.0
Die nebenstehende Skizze zeigt den Querschnitt durch einen ausgehobenen Graben
und einen aufgeschütteten Erdwall.
Der Graph Gg ist der Graph der
abschnittsweise definierten Funktion
Erdw
all
Graben
g: x
1 2
 x  x für 0  x  4
4
x  4
für 4  x  k
k
mit k  IR  k > 4.
2.1
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Übergang vom Graben zum Erdwall stetig und
2.2
Stellen Sie die Maßzahl der Querschnittsfläche A(k) des Erdwalls in Abhängigkeit
von k dar.
(3 BE)
Klasse
11Knick“
Stetigkeit
„ohne
verläuft. und(612
BE)Differenzierbarkeit
1
2
(Mögliches Ergebnis: A(k )  k 2  4k  8)
aus Mathematik 11 – technische Ausbildungsrichtung, Winklers-Verlag
5.
Eine Wasserrutsche von 10m Höhe lässt sich von der Seite gesehen annähernd durch zwei
Parabeln beschreiben:
b( x  20m)2 für  20m  x  8,0m
h( x)   2
 ax 10m für  8,0m  x  0m
6.
Außerdem soll der Punkt (-8,0m; 6,0m) auf den Parabeln liegen.
a)
Berechnen Sie a und b.
b)
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt (-8,0m; 6,0m) an die Parabel
ax2 + 10m. Zeigen Sie, dass diese Tangente auch Tangente an b(x+20m)² ist und
berechnen Sie den Neigungswinkel der Tangente.
Der Querschnitt einer Schisprungschanze lässt sich durch eine abschnittsweise definierte
Funktion bestimmen.

ax2  50 für 0  x  20

h( x)  
bx  c für 20  x  60
d ( x  70)2  h für 60  x  65

Die Punkte (20; 42) und (60; 10) liegen auf der Schanze, der Absprung vom Schanzentisch in
einer Höhe von 7m entspricht dem Punkt (65;7).
a)
Bestimmen Sie alle Koeffizienten so, dass keine Sprünge im Anlauf auftreten.
b)
Welche Neigung hat das gerade Stück des Anlaufs?
c)
Berechnen Sie mithilfe der Steigung der Tangente im Absprungpunkt den
Absprungwinkel.
Lineare Gleichungssysteme
Analysis NT11 - 34
2
Lineare Gleichungssysteme
2.1
Additionsverfahren
Beim Umformen eines linearen Gleichungssystems (LGS) dürfen die folgenden äquivalenten
Umformungen verwendet werden:
1. Das Multiplizieren einer Gleichung mit einer reellen Zahl (außer 0)
2. Das Addieren einer Gleichung zu einer anderen
3. Das Vertauschen von Gleichungen
2.2
Der Gauß-Algorithmus
Das Additionsverfahren lässt sich auch in anderer Darstellung anwenden. Dazu wird das
Gleichungssystem in der erweiterten Koeffizientenmatrix dargestellt.
Additionsverfahren
Gauß-Algorithmus
(I )
x1  3x2  x3  7
2x1  5x2  2x3  13 ( II )
 3x1  2x2  x3   4 ( III )
1 II  2  I
III  3  I
 1

 2
 3

 1

0
0

3
1
7 I

5  2 13 II
2
1  4  III
3 1 7 I

1 4 27  IV
11 4 17  V
11 IV  V
 1

 0
 0

3 1
7 I

1 4 27  IV
0 40 280 VI
1 II  2  I
III  3  I
x1  3x2  x3  7 (I )
x2  4x3  27 (IV )
11x2  4x3 17 (V )
11 IV  V
(I )
x1  3x2  x3  7
x2  4x3  27 (IV )
40x3  280 (VI)
40x3  280  x3  7
x2  4x3  27  x2  1
x1  3x2  x3  7  x1  3
aus der erweiterten Koeffizientenmatrix lässt
sich durch Aufstellen entsprechender Gleichungen
und schrittweises Einsetzen die Lösung bestimmen
alternativ: Erzeugen der Einheitsmatrix:
VI / 40
I  VII
IV  4VII
IX  3VIII
Übung: 139/1;2;3
 1 3 1 7


 0 1 4 27 
 0 0 1 7


 1 3 0 0


 0 1 0 1
 0 0 1 7


I
IV
VII
IX
VIII
VII
 1 0 0 3
x1  3


 0 1 0 1  x2  1
 0 0 1 7
x3  7


Lineare Gleichungssysteme
2.3
Analysis NT11 - 35
Das Determinantenverfahren
2.3.1 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Zur Ermittlung der Lösung eines LGS mit Hilfe des Determinantenverfahrens ist es
notwendig die Determinanten von Matrizen zu ermitteln.
 a1 b1 
 mit den reellen Zahlen a1, a2, b1, b2 ist wie folgt vorzugehen:
 a2 b2 
Für die 22-Matrix 
D
a1 b1
 a1b2  a2b1 (D ist die zweireihige Determinante der 22-Matrix.)
a2 b2
(d.h. die Zahlen der Diagonalen werden multipliziert und voneinander subtrahiert)

Beispiel
x1  2x2   4
 1  2

mit der Koeffizientenmatrix 
 3x1  7 x2  15
 3 7
1 2
Determinante der Koeffizientenmatrix D 
 1 7  (3)  (2)  1
3 7
Gleichungssystem
Zum Lösen eines LGS sind nun auch die Determinanten D1 und D2 der erweiterten
Koeffizientenmatrix zu ermitteln.
 a1 b1 d1 
 ist wie folgt vorzugehen:

 a2 b2 d2 
d b
a d
D2  1 1  a1d2  a2d1
D1  1 1  d1b2  d2b1
a2 d2
d2 b2
Für die erweiterte Koeffizientenmatrix 
D
a1 b1
 a1b2  a2b1
a2 b2
(d.h. für D1 wird die 1.Spalte durch die „Ergebnisspalte“ ersetzt, für D2 die 2.Spalte)
Für die Lösung gilt:

x1 
D1
D
und x2  2
D
D
wenn D  0
Beispiel
Gleichungssystem
x1  2x2   4
mit der erw. Koeffizientenmatrix
 3x1  7 x2  15
Determinante
Determinante
Determinante
Lösung:
Übung:
1
3
4
D1 
15
1
D2 
3
D
D1 2
  2 und
D 1
D 3
x2  2   3
D 1
2
 1 7  (3)  (2)  1
7
2
 (4)  7 15 (2)  2
7
4
 115  (3)  (4)  3
15
x1 
L = {2; 3}
 1  2  4


  3 7 15 


Lineare Gleichungssysteme
Analysis NT11 - 36
2.3.2 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
Für das Lösen von LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen gilt folgendes:
Die Determinante einer 3x3-Matrix lässt sich nach folgender Definition berechnen:
a1 b1 c1
b c
b c
b c
D  a2 b2 c2  a1 2 2  a2 1 1  a3 1 1
b3 c3
b3 c3
b2 c2
a3 b3 c3
(Entwicklung nach der ersten Spalte)
oder nach folgender Regel:
Regel von Sarrus
+ + +
a1 b1 c1 a1 b1
D  a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3
- - D = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1
Beispiel:
1
D 2
3
3
1
5  2 = 1·5·1+3·(-2) ·(-3)+1·2·2-(-3) ·5·1-2·(-2) ·1-1·2·3 = 5+18+4+15+4-6 =
2
1
40
 a1 b1 c1 d1 


Für die erweiterte Koeffizientenmatrix  a2 b2 c2 d2  ist wie folgt vorzugehen:
a b c d 
 3 3 3 3
a1 b1 c1
d1 b1 c1
a1 d1 c1
a1 b1 d1
D  a2 b2 c2 ; D1  d2 b2 c2 ; D2  a2 d2 c2 ; D3 a2 b2 d2
a3 b3 c3
d3 b3 c3
a3 d3 c3
a3 b3 d3
(d.h. für D1 wird die 1.Spalte durch die „Ergebnisspalte“ ersetzt, für D 2 die 2.Spalte, für D3 die 3.Spalte)
Für die Lösung gilt:
Beispiel
 1

 2
 3

3
1
7

5  2 13
2
1  4 
x1 
D1
D
D
; x2  2 und x3  3
D
D
D
wenn D  0
Lineare Gleichungssysteme
7
D1  13
4
Analysis NT11 - 37
3
5
2
1
 2  35  24  26  20  28  39  120
1
1
7
D2  2 13
3  4
1
 2  (13)  42  8  39  8 14  40
1
1
3
7
D3  2
5 13  20 117  28 105  26  24  280
3
2 4
D 120
D  40
D 280
x1  1 
 3;
x2  2 
 1;
x3  3 
7
D 40
D
40
D 40
Übung:
139/1 - 3
Für die Anzahl der Lösungen des LGS gilt:
D≠0
D = 0 und D1 = 0 = D2 = D3
D = 0 und D1 ≠ 0 oder D2 ≠ 0
oder D3 ≠ 0
Übung:
128/ 2
139/ 4
genau eine Lösung
unendlich viele Lösungen oder keine
keine Lösung
Lineare Gleichungssysteme
2.4
Analysis NT11 - 38
LGS mit Parameter
Beispiel:
Gesucht ist die Lösung in Abhängigkeit vom Parameter a eines LGS
5x1  3x2  4x3  2
ax1  2x2  3x3  1
3x1  x2  2x3  1
Die Variable a kann die Lösung beeinflussen und erfordert ggf. eine Fallunterscheidung.
5
3 4
D a
2  3  20  27  4a  24 15  6a  2  2a
3 1 2
1)
Das LGS hat genau eine Lösung, wenn D ≠ 0  2 - 2a ≠ 0  a ≠ 1
2
3 4
D1  1 2  3  8  9  4  8  6  6  1
1 1 2
2)

x1 
1
2  2a
5 2 4
D2  a
1  3  10 18  4a 12 15  4a  11
3 1 2

x2 
11
2  2a
5 3 2
D3  a 2 1  10  9  2a 12  5  3a  a  8
3 1 1

x3 
a 8
2  2a
Für a = 1 hat das LGS keine Lösung, denn D = 0 und D1 ≠ 0
Lineare Gleichungssysteme
Analysis NT11 - 39
Übung aus AP 2000 Technik

Gegeben sind die Matrix At und der Vektor b durch
2.0
 1
 3 1 3 
  


A =  3 1 4  und b =  2 mit t  IR .
t
 1
 0 2t t 2 
 


2.1
2.2
Untersuchen Sie mit Hilfe des Ranges von Koeffizientenmatrix und erweiterter
 
Koeffizientenmatrix, für welche Werte von t  IR das Gleichungssystem A t  x = b
keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
 
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems A1  x = b (für t = 1).
(I )
( II )
( III )
3x1  x2  3x3  1
3x1  x2  4x3  2
2t x2  t 2 x3  1

(II  I )
(I  II )
2x2  x3  1 (IV )
6x1  7 x3  3 (V )
3 1 3
D  3 1 4  3t 2  18t  24t  3t 2  6t 2  6t  6t (t 1)
0 2t t 2
1 1 3
7
D1  2 1 4  t 2  4 12t  3  8t  2t 2  3t 2  4t  7  3(t 1)(t  )
3
1 2t t 2
3 1 3
D2  3 2 4  6t 2  9 12  3t 2  3t 2  3  3(t 2 1)  3(t 1)(t 1)
0 1 t2
3 1 1
D3  3 1 2  3  6t 12t  3  6t  6  6(t 1)
0 2t 1
1)
2)
3)
Für t = 0 hat das LGS keine Lösung, da D = 0 und D1 ≠ 0.
7
7
3(t 1)(t  ) t 
3  3;
Für t  IR \{0;1} hat das LGS genau eine Lösung: x1 
6t (t 1)
2t
3(t 1)(t 1) t 1
 6(t 1) 1
x2 

und x3 

6t (t 1)
2t
6t (t 1)
t
x3  
Für t = 1 erhält man aus 6t (t 1) x3  6(t 1)  0 x3  0 
1 
aus IV
x2 
2
3  7
aus V
x1 
6
Für t = 1 hat das LGS unendlich viele Lösungen, da D = 0 = D1 = D2 = D3
Übung
141/12-17
Lineare Gleichungssysteme
2.5
Über- und unterbestimmte LGS
Analysis NT11 - 40
Grenzwerte und Stetigkeit
Analysis NT11 - 41
3
Grenzwerte und Stetigkeit
3.1
Begriff des Grenzwertes
Ist der Funktionswert y0 einer Funktion an einer bestimmten Stelle x0 nicht berechenbar, so ist
die Umgebung von y0 bzw. x0 zu betrachten.
Dabei nähert man sich der Stelle x0 und betrachtet das Verhalten der Funktionswerte
(y-Werte). Den y-Wert, den die Funktion dabei anstrebt, nennt man Grenzwert.
Beispiel:
f ( x) 
x 2 1
;
x 1
D  IR \ {1}
Die Funktion f ist an der Stelle x0 = -1 nicht definiert. (Definintionslücke). Mit Hilfe einer
Wertetabelle kann man die Umgebung von x0 untersuchen.
x
y
0
-1
-0,5
-1,5
-0,9
-1,9
-0,99
-1,99
-1
n.d.
-1,01
-2,01
-1,1
-2,1
-1,5
-2,5
-2
-3
In der Umgebung der Stelle x0 = -1 nähern sich die y-Werte y0 = -2 an.
Man sagt:
Der Grenzwert der Funktion f für x gegen –1 ist –2
x 2 1
lim f ( x)  lim
 2
x1
x1 x 1
(sprich: Limes von f von x für x gegen –1 ist gleich –2)
◘ Links- und rechtsseitiger Grenzwert (eigentlicher, uneigentlicher Grenzwert)
Nähert man sich einer Stelle x0 von links (x < x0) an, so nennt man den y-Wert linksseitigen
Grenzwert. Für die Annäherung von rechts (x > x0) gilt analoges.
Schreibweise:
linkseitiger Gw:
bzw.
rechtsseitiger Gw:
x 2 1
lim
f ( x)  lim
 2


x 1
x 1 x  1
x 2 1
lim
f
(
x
)

lim
 2


x 1
x 1 x  1
Sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich groß, so existiert überhaupt erst der
eigentlicher Grenzwert.
Grenzwerte und Stetigkeit
3.2
Analysis NT11 - 42
Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
3.2.1 Verhalten für x → x0
Merke:
Ganzrationale Funktionen sind in IR definiert, so dass alle y-Werte
berechenbar sind, so auch die Grenzwerte (Ausnahme x → ± ∞).
Beispiel:
f(x) = 2x mit D = IR\{4}
lim f (x)  lim(2x)  2  4  8
x4
x4
Rechenregeln für Grenzwerte
1.
lim( f (x)  g(x))  lim f (x)  lim g(x)
xc
xc
xc
2.
lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
3.
lim
xc
x c
xc
Summe und Differenz
Produkt
xc
f ( x)
f ( x) lim
 xc
, wenn g(x)  0; lim g( x)  0
xc
g ( x) lim g ( x)
Quotient
x c
Beispiel:
lim x2  lim x  lim x  3 3  9
x3
x3
x3
lim(4x  2x)  lim(4x2 )  lim(2x)  4 12  2 1  6
2
x1
x1
x1
Übung:
◘ h-Methode
Mit Hilfe der Grenzwertbetrachtung kann man das Verhalten einer Funktion in der Umgebung
von x-Werten beschreiben, auch wenn die Stelle nicht zum Definitionsbereich gehört.
Die Grenzwertbestimmung wird vereinfacht durch die Argumentenfolge x0  h (x wird ersetzt
durch x0  h für h  0 )
( x0  h bedeutet eine Annäherung an die Stelle x0 von rechts; x0  h bedeutet eine
Annäherung an die Stelle x0 von links)
Beispiel:
Grenzwerte und Stetigkeit
Analysis NT11 - 43
3.2.2 Verhalten für x   ( x   )
a)
Funktion f(x)=xn mit n gerade positive Zahl
lim xn  
b)
x
für x    f (x)  
Funktion f(x)=xn mit n ungerade positive Zahl
lim xn  
-
x
lim x n  
-
x
lim x6  
x
lim 5x 2  
x
lim 4x3  
x
lim  4x3  
x
Funktion f(x)=
Beispiele:
1
0
x x 4
4
lim
0
x x  2
2
lim 2  0
x x
lim
oder
für x   f (x)  
für x   f (x)  
Beispiele:
c)
oder
lim
1
x x n
1
(n>0)
xn
0
x   f (x)  0
Grenzwerte und Stetigkeit
Analysis NT11 - 44
d) Anwendung auf ganzrationale Funktionen f(x)=xn+ xn-1+ xn-2+...
Merke:
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für x   hängt nur von der
höchsten x-Potenz ab!!
Warum?:
Beispiel: f(x)= 3x4+ x2- 5
- durch Ausklammern der höchsten Potenz, Anwendung der Rechenregeln und
Grundlagen folgt:
1 5
1
5
 4 )  lim x4 ( lim 3  lim 2  lim 4 )
2
x


x


x


x


x
x
x
x
4
4
 lim x (3  0  0)  lim x  3  
lim 3x4  x2  5  lim x4 (3 
x
x
x
x
Beispiel:
lim x3  x 2  2  
x
lim 4x5  3x4  5x  
x
lim  4x5  3x4  5x  
x
Übung:
( Achtung:auf  bzw. aufpassen)
Grenzwerte und Stetigkeit
3.3
Analysis NT11 - 45
Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
Verhalten für x   ( x   )
a)
Zählergrad > Nennergrad
Merke:
Höchste x-Potenz des Nenner ausklammern, Rechenregeln und Grundlagen
anwenden
Beispiel:
f ( x) 
x 4  2x 2  1
x2  3
1 
 2
x 2 2 
2
2
x 4  2x 2  1
x2 
x   lim x  x  2  0   lim ( x2  2)  
lim

lim
x
x x 2 
3  x x2  1  0  x
x2  3
 1 2 
x


5
4
3x  2x  x
f ( x) 
oder
x4  x
1 

3x  2  3 
4
3x5  2x 4  x
x 4 
x   lim x  3x  2  0   lim (3x  2)  
lim

lim
x
x x 4 
1  x x 4  2  0  x
2x 4  x
 2 3 
x


b)
Zählergrad = Nennergrad
Merke:
Höchste x-Potenz ausklammern, Rechenregeln und Grundlagen anwenden
Beispiel:
f ( x) 
x 4  2x 2  1
x4  3
2 1

1 
x 4  2x 2  1
x4  x 2 x4
lim
 lim 4
x
x x 
3
x4  3
 1 4
x

f ( x) 
oder


4
  lim x  1  0  0   1  1
 x x4  1  0  1


3x5  2x3  x
2 x5  x  2
2 1 

3 2  4 
5
3x5  2x3  x
x5 
x
x   lim x  3  0  0   3
lim

lim
x 2x5  x  2
x x5 
1 2  x x5  2  0  0  2
2 4  5 
x
x 

c)
Zählergrad < Nennergrad
Merke:
Es gilt immer:
-
Nachweis wie a/b möglich
Übungen:
lim f ( x)  0
x
x   f (x)  0
Grenzwerte und Stetigkeit
d)
Begriffe:
Beispiel:
Analysis NT11 - 46
stetig hebbare Definitionslücke, Unendlichkeitsstelle und Asymptoten
f ( x) 
x2
x2

;
x  x  2 ( x  2)(x  1)
2
Df  IR {1;2}
vertikale Asymptote (x=-1)
horizontale Asymptote (y=0)
Unendlichkeits(Pol-)stelle bei x=-1
stetig hebbare Definitionslücke bei x=2
Der Graph der Funktion f(x) nähert sich für x  1 der vertikalen Asymptote x=-1(Gerade
mit der Gleichung x=-1) und
der horizontalen Asymptote y=0 (Gerade mit der Gleichung y=0)
Die Funktion hat an der Stelle x=-1 und x=2 Definitionslücken, d.h. sie ist für x=-1 und x=2
nicht definiert.
Die Funktion hat an der Stelle x=2 eine stetig hebbare Definitionslücke und an der Stelle
x=-1 eine Polstelle
Grenzwerte:
lim f ( x)  


lim f (x)    daraus folgt Polstelle mit einer vertikalen Asymptoten mit x=-1
x1
x1
lim f ( x)  0
x
1
x2
3
1
lim f ( x) 
x2
3
lim f ( x) 
daraus folgt die horizontale Asymptote mit y=0
 daraus folgt, dass an der Stelle x=2 eine stetig hebbare Definitionslücke
 existiert (vgl. Stetigkeit) (d.h., dass die Definitionslücke zu beheben ist,
 um die Funktion an dieser stelle stetig zu machen)
Grenzwerte und Stetigkeit
3.4
Analysis NT11 - 47
Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle x0, wenn f an der Stelle x0 einen Grenzwert hat und
dieser gleich f(x0) ist.
Eine Funktion f heißt stetig in einem Intervall I, wenn f für alle x0 I stetig ist.
f ( x)  lim
f ( x)  f ( x0 )
Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0  lim


x  x0
Graphen stetiger Funktionen
Graphen nicht stetiger Funktionen
Untersuchung der Funktion auf Stetigkeit
Beispiele
x  x0
Grenzwerte und Stetigkeit
3.5
Stetigkeitssätze
Nullstellensatz
Zwischenwertsatz
Extremwertsatz
Analysis NT11 - 48
Inhalt laut Lehrplan
Zahlenmengen IN, Z, Q, IR und ihre Eigenschaften
Reelle Funktionen
Abbildungsvorschrift, Funktionsterm, Funktionsgleichung,
Definitions- und Wertemenge, Funktionsgraph,
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Lineare Funktionen
Quadratische Funktionen auch mit Parameter
Lineare Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen
Potenzfunktionen mit Exponenten n  {3, 4, –1}
Verknüpfung von Funktionen: Summe, Differenz, Produkt
und Quotient
Nullstellenbestimmung unter Verwendung von
Polynomdivision und Substitution
Faktorisierung des Funktionsterms und Vielfachheit
der Nullstellen
Symmetrie des Funktionsgraphen
Auswirkungen auf den Funktionsgraphen
Anwendungsbeispiele mit ganzrationalen
Funktionen
Abschnittsweise definierte Funktionen
Additionsverfahren z.B. Gauß-Algorithmus
Determinantenverfahren
Ermittlung der Lösungsmenge exakt bestimmter,
überbestimmter und unterbestimmter linearer
Gleichungssysteme
Lösung linearer Gleichungssysteme mit einem
Parameter
Grenzwert einer Funktion für x → ± ∞ bzw. x→x0
Grenzwertsätze für Summe, Differenz, Produkt und
Quotient von Funktionen
Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle
Stetigkeit in einem Intervall
Zwischenwertsatz
Nullstellensatz
Extremwertsatz
Analysis NT11 - 49
.................
1
.................
.................
.................
.................
.................
2
3
5
12
8
14
17
.................
.................
.................
19
.................
.................
.................
20 –21
4
21
.................
.................
.................
.................
3; x
11;x
31
.................
36
.................
.................
33
38
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
.................
37
42
ergänzende Übungen
Z:
Analysis NT11 - 50
Quadratische Ergänzung
Ziel der quadratischen Ergänzung ist es, einen quadratischen Term der Form ax2  bx  c in
die Form a( x  xS )2  yS zu überführen.
Grundlagen: Binomische Formeln
II)
(x + t)2 = x2 + 2 · t · x + t2
III)
(x – t)2 = x2 – 2 · t · x + t2
(x + t)2 = 1 x2
+ 2·t
·x
t2
+
Beachte:
vor x² steht eine „neutrale“ 1
die Konstante ist t2
vor dem x steht das doppelte von t (2 · t)
Folgender Term soll gegeben sein: 2x2 + 4x + 5
Folgende Vorgehensweise ist dabei zu beachten:
Schritt 1:
den Term so umformen, dass vor dem x2 eine 1 steht
Schritt 2:
2x2  4x  5  2  ( x2  2x  2,5)
im Klammerausdruck x2  2x  2,5 steht vor dem x die Zahl 2
diese Zahl entspricht
damit ist t = 1
2 ausklammern
2·t
Damit wäre nun folgender Term erreicht:
( x  1)2
dieser Term ist aber ( x  1)2  x2  2x  1
(laut I. binomische Formel)
Beachte den noch vorhandenen Unterschied 1 und 2,5
Schritt 3:
Die vorhandene Differenz ist zu korrigieren, d.h. zu ergänzen!!!
Es sind nun also noch 1,5 zu addieren, denn 2,5 - 1 = 1,5
Damit lautet der neue Term:
2( x2  2x  1  1,5)


 2 ( x  1)2  1,5
 2( x  1)2  3
ergänzende Übungen
Analysis NT11 - 51
Übung: Quadratische Ungleichungen/Parabelscharen
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:
 x2  x  2  0
Beispiel
 x2  x  2  0
x1 = -1; x2 = 2
„Nullstellen“ bestimmen durch
Lösen der quadratischen Gleichung:
 x2  x  2  0   ( x 1)(x  2)  0
Lösung
anschaulich
-1
2
bzw.
mit Hilfe einer Vorzeichentabelle
VZ(x+1)
VZ(x-2)
VZ (x+1)(x-2)
VZ –(x+1)(x-2)
x
Lösung sind alle x-Werte für die
die Parabel oberhalb (>0) der x-Achse
auf der x-Achse (=0) liegt:
 3x2  3x 18  0
 x 2  2x  2  0
 x2  4  0
-1
0
0
<x<
+
+
2
<x
+
+
+
-
0
0
Lösung sind alle x-Werte für die der Term ein
positives Vorzeichen (>0) hat und gleich Null
(=0) ist:
L = [ -1 ; 2 ]
a)
c)
e)
x<
+
-
L = [ -1 ; 2 ]
b)
d)
f)
 2x2 12x 18  0
4x2 16x 16  0
3x2  6x  0
Zusatzaufgabe:
Für welche Werte von a haben die quadratischen Funktionen keine, eine bzw. zwei
Nullstellen? (Hinweis: Lösung erfolgt unter Verwendung der Diskriminante)
Beispiel
Gegeben sind die quadratischen Funktionen ha : y  2x2  ax  2; x, a  IR
0  2x2  ax  2; x, a  IR
-

D  a2 16
keine Nullstellen, wenn D < 0:
0  a2 16
La = ] –4 ; 4 [
eine Nullstelle, wenn D = 0
0  a2 16
La = { –4 ; 4 }
zwei Nullstellen, wenn D > 0
0  a2 16
La = ] -∞ ; -4 [ U ] 4 ; +∞ [ = IR \ [ –4 ; 4 ]
-
-
g)
Parabel der Diskriminante
-4
4
a
Gegeben sind die quadratischen Funktionen ka : y  x2  ax  a ; x, a  IR
ergänzende Übungen
Analysis NT11 - 52
Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
x1/ 2 
 b  b2  4ac
2a
Linearfaktorzerlegung:
ax2  bx  c  a( x  x1 )(x  x2 )
mit den Nullstellen x1 und x2
Nullstellen quadratischer Funktionen (Lösung quadratischer Gleichungen)
2
Die quadratische Gleichung ax  bx  c  0,
a, b, c, x  IR  a  0 hat
(4) zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn D  0 :
x1 
 b  b2  4ac
2a
,
x2 
 b  b2  4ac
2a
(5) eine doppelte reelle Lösung, wenn D  0 :
x1,2 
b
2a
(6) keine reelle Lösung, wenn D  0
2
mit D  b  4ac (Diskriminante)