Laplace und relative Häufigkeit - Luitpold

Laplace-Experimente
Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6:
Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses
Zufallsexperimentes. Die einzelnen Ergebnisse werden mit dem kleinen Omega ;
… bezeichnet. Bsp.
;…;
.
Ergebnisraum Ω: ist die Menge aller Ergebnisse ω heißt Ergebnisraum Ω,
wobei jedes mögliche Ergebnis genau einmal in Ω vorkommt. Die Menge aller
Ergebnisse (Ergebnisraum) wird mit dem großen Omega Ω bezeichnet.
Bsp. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen.
Bsp. E = {2; 4; 6}
Elementarereignis: ist eine Ereignis, dass genau ein Element enthält.
Bsp. A = {3}
Gegenereignis : ist ein Ereignis, dass alle Elemente enthält, die nicht in E
enthalten sind.
Bsp.
{1; 2; 3}
Sicheres Ereignis: ist ein Ereignis, dass alle Ergebnisse enthält
somit dem Ergebnisraum).
Unmögliches Ereignis: ist ein Ereignis, dass kein Element enthält
der Leerenmenge).
(entspricht
(entspricht
Laplace Experiment: ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich sind.
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace Experimenten:
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden
Formel: P(E)=
Bsp. P(E) =
P({ }) =
Bsp. P({ }) =
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Relative und absolute Häufigkeit
Definitionen:
Absolute Häufigkeit: gibt an, wie oft ein Ergebnis insgesamt vorgekommen ist,
jedoch ist sie total unabhängig von der Anzahl der Versuche.
Relative Häufigkeit: gibt an, wie oft ein Ereignis im Verhältnis zur Anzahl der
Versuche vorgekommen ist.
Die relative Häufigkeit kann als Bruch, Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben
werden. (siehe Tabelle)
Die relative Häufigkeit wird mit der Formel relative Häufigkeit =
berechnet.
Wichtig: Die Summe (∑ = Summenzeichen) aller Relativen Häufigkeiten ergibt 1
Beispiel:
Ein Würfel mit verschieden farbigen Seiten wird 100-mal geworfen, mit folgendem
Ergebnis
Seitenfarbe
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
als Bruch
Relative Häufigkeit
als Dezimale
Relative Häufigkeit
in%
blau
21
grün
15
gelb
14
rot
20
schwarz
17
Weiß
13
∑
0,21
0,15
0,14
0,20
0,17
0,13
1
21%
15%
14%
20%
17%
13%
1
Zur Kontrolle, ob man richtig gerechnet hat, addiert man alle relative Häufigkeit
zusammen und bildet die Summe. Hier am Beispiel der Dezimalzahlen.
0,21 + 0,15 + 0,14 + 0,20 + 0,17 + 0,13 = 1,00 daraus folgt: richtig gerechnet!
Es macht dabei keinen Unterschied, ob man die relativen Häufigkeiten als Brüche,
Dezimalzahlen oder Prozentsätze addiert.
Relative Häufigkeiten lassen sich auch für Ergebnisse berechnen, die aus mehr als
einem Ereignis bestehen. Hierfür muss man die absolute Häufigkeit diese
Ergebnisses aus den absoluten Häufigkeiten der Einzelereignisse bilden in dem man
diese miteinander addiert.
Bsp. Gesucht ist die relative Häufigkeit für das Werfen eine Primärfarbe (rot, gelb,
blau).
Die absolute Häufigkeit dieses Ergebnis beträgt somit:
14 (rot) + 20 (gelb) + 21 (blau) = 55
→ Die relative Häufigkeit der Primärfaben ist =
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= 0,55 = 55%
Beispiele für ein Laplace-Experiment:
Aufgabe 1: Ein Laplace-Würfel mit sechs verschieden farbigen Seiten (rot, grün, blau,
gelb, schwarz, weiß) wird geworfen. Gesucht sind verschiedene
Wahrscheinlichkeiten.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbe rot gewürfelt wird?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farben gelb oder grün gewürfelt
werden?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farben schwarz, weiß oder blau
gewürfelt werden?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht die Farbe schwarz gewürfelt wird?
5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder die Farbe rot noch die Farbe gelb
gewürfelt wird?
6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbe orange gewürfelt wird?
1. P[rot] = = 0,1666 = 16,
2. P[gelb, grün] =
%
= 0,3333 = 33,
3. P[schwarz, weiß, blau] =
%
= 0,5 = 50,00%
4. P
] = P[rot, weiß, gelb, grün, blau] = = 83,
5. P[
] = P[weiß, schwarz, grün, blau] =
= 0,3333 = 33,
%
6. P[orange] = 0 da orange nicht Element Ω ist.
Aufgabe 2: Aus einem klassischen Spielkartendeck (mit Werten von 2-A) wird eine
Karte gezogen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, dass es sich bei der Karte
um eine…
1. … rote Karte handelt?
2. … 10 handelt?
3. … Bildkarte handelt?
4. … Karte die nicht den Wert Ass oder König hat, handelt?
Ergebnisraum Ω:
Ω=
♥: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A (rot)
Karo♦: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A (rot)
{Herz
♠: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A (schwarz)
Pik
♣
Kreuz : 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A (schwarz)}
→ 52 verschieden Karten
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Lösung:
1. P[rot] = P[Herz, Karo] =
1. P[10] =
1. P[Buchstabe] = P[J, Q, K, A] =
1. P[
] = P[2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q] =
Oder P[
] = 1- P[A, K] = 1 - 2
=
BMT Aufgaben:
1. Ein Laplace-Würfel, der mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet ist, wird zweimal
nacheinander geworfen. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die
Augensumme 10 erhält. (BMT10 2011)
Ges. P(AS: 10)
E = {5|5; 6|4; 4|6}
Ω={
P[E] =
}
=
2. Ein mit den Ziffern von 1 bis 6 beschrifteter Laplace-Würfel wird dreimal
nacheinander geworfen. Geben Sie dazu in Worten ein Ereignis an, das die
Wahrscheinlichkeit (
hat. (BMT10 2015)
Für diese Aufgabe gibt es sehr viele verschieden Lösungen. Mögliche Antworten sind
folgende Ereignisse:
 Eine bestimmte Augenzahl wird nicht gewürfelt. ( Für alle Augenzahlen
möglich)
.
 Mit dem ersten Wurf soll keine Eins gewürfelt werden, mit dem zweiten keine
Zwei und mit dem dritten keine Drei.
 Ein Spieler kommt beim „Mensch ärger dich nicht“ nicht beim ersten
Durchgang aufs Spielfeld.
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3. Simon wird ein Gedicht vorgelegt. Beschreibe, wie er die relative Häufigkeit
ermitteln kann, mit der der Buchstabe „e“ in diesem Gedicht vorkommt. (BMT8 2014)
Simon muss zuerst die absolute Häufigkeit des Buchstaben „e“ ermitteln, indem er
die Anzahl der im Text vorkommenden „e“ zählt.
Dann muss Simon die Anzahl der Versuche, also in diesem Fall die gesamt Anzahl
aller Buchstaben ermitteln.
Nun kann er die relativen Häufigkeit mit der oben erläuterten Formel:
relative Häufigkeit =
berechen.
4. Peter wirft gleichzeitig einen roten und einen blauen Spielwürfel (Laplacewürfel).
Er sagt zu seiner Schwester Susi: „Es gibt 11 verschiedene Augensummen: 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12. Also wird jede Augensumme mit der Wahrscheinlichkeit
11 1 erzielt.“ (BMT10 2009)
a) Susi widerspricht: „Die Augensummen sind nicht gleich wahrscheinlich, denn
beispielsweise ...“ Setzen Sie Susis Erklärung sinnvoll fort.
… ist es deutlich wahrscheinlicher die Augensumme Sieben zu würfeln, als es ist die
die Augensumme Zwölf zu würfeln. Da die Augensumme Sieben bei sechs
verschieden Ereignissen 1|6; 6|1; 2|5; 5|2; 3|4 und 4|3 eintritt, wohingegen die
Augensumme 12 nur bei eine Ereignis 6|6 eintritt.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einem Wurf mit diesen
zwei Laplace-Würfeln die Augensumme 8 erzielt.
Ω = siehe BMT Aufgabe 1
E = {4|4; 5|3; 3|5; 6|2; 2|6}
P[E] = =
|Ω| = 36
|E| = 5
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