26. MATHEMATIK – MINIOLYMPIADE

26. MATHEMATIK – MINIOLYMPIADE - Lösungsvorschlag
März 2017
Landeswettbewerb Oberösterreich
Aufgabe 1: kurz und bündig
a. Eine irrationale Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
Oder: Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch darstellen.
b. Der Flächeninhalt von Kreis a ist daher 25-mal so groß.
c. Es gibt viele Lösungen ;-) zum Beispiel: 7-8-9-11-12-13.
d. Marie ist um 28,57 % kleiner als Josef. Toleranzintervall: [28 %; 29 %]
Aufgabe 2: Ein Kreis
PLS: 652 = 332 + 𝑏 2 ⇒ 𝑏 = 56
(b und –b sind die y-Koordinaten der Schnittpunkte mit
der y-Achse.)
Die gesuchten Punkte haben die Koordinaten
(0|56)
(0|-56)
(-32|0)
(98|0)
Aufgabe 3: Oktaeder
𝑎 2
𝑎 2
Die Seitenkante des Oktaeders sei x, dann gilt: (2 ) + (2 ) = 𝑥 2 ⟹
𝑉=
𝐺∙ℎ
3
𝑎2
2
= 𝑥²
𝑎
∙ 2 mit 𝐺 = 𝑥² und ℎ = 2
Eingesetzt und vereinfacht: 𝑉 =
𝑎³
6
Aufgabe 4: Prozente
Es gibt zu Beginn 198 rote Kerzen und 2 weiße Kerzen. Marie muss 100 rote Kerzen
abbrennen. Dann hat sie noch 98 rote und 2 weiße Kerzen und der Prozentsatz der roten
Kerzen beträgt 98 %.
MMO 2017 – OÖ
Beachte: Alle Rechenergebnisse müssen nachvollziehbar sein!
26. MATHEMATIK – MINIOLYMPIADE - Lösungsvorschlag
März 2017
Landeswettbewerb Oberösterreich
Aufgabe 5: Beweisen und Begründen
a) Weil 482 + 55² ≠ 72² ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
b) Diese Rechenoperation ist assoziativ. Für alle a, b, c aus den reellen Zahlen gilt:
(𝑎 ⊗ 𝑏) ⊗ 𝑐 =
𝑎∙𝑏
2
⊗𝑐 =
𝑎 ⊗ (𝑏 ⊗ 𝑐) = 𝑎 ⊗
𝑏∙𝑐
2
=
𝑎∙𝑏
∙𝑐
2
2
𝑎∙
𝑏∙𝑐
2
2
=
=
𝑎∙𝑏∙𝑐
4
𝑎∙𝑏∙𝑐
4
Daher gilt: (𝑎 ⊗ 𝑏) ⊗ 𝑐 = 𝑎 ⊗ (𝑏 ⊗ 𝑐)
Aufgabe 6: Primzahl, oder nicht – das ist hier die Frage!
Es gibt keine zwei verschiedenen Primzahlen mit dieser Eigenschaft.
𝑦
Aus 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 folgt 𝑥 = 𝑦−1. Wenn y = 2 ist auch x = 2. Dieser Fall ist allerdings nicht
erlaubt. Für jede Primzahl y > 2 ist x keine natürliche Zahl und damit auch keine Primzahl.
Aufgabe 7: Ein Bauer auf Einkaufstour
S…Anzahl der Schweine, H…Anzahl der Hühner, K…Anzahl der Küken
Es gilt:
𝑆 + 𝐻 + 𝐾 = 100
und
100𝑆 + 30𝐻 + 5𝐾 = 1000.
Daraus ergibt sich: 19𝑆 + 5𝐻 = 100 ⟹ 𝐻 = 20 −
Für S = 5 erhält man H = 1 und K = 94.
19𝑆
5
. (S muss also durch 5 teilbar sein.)
(Für S = 10, 15, 20,… ist H < 0.)
Daher: Der Bauer muss 5 Schweine, 1 Huhn und 94 Küken kaufen.
Aufgabe 8: Zug fährt durch!
v…Geschwindigkeit der beiden Läufer, vZ…Geschwindigkeit des Zuges, L…Länge des Zuges
für die Person, die in die gleiche Richtung wie der Zug läuft, gilt: 𝑣𝑍 =
𝐿+50
50
𝑣
für die Person, die in die entgegengesetzte Richtung wie der Zug läuft, gilt: 𝑣𝑍 =
gleichgesetzt:
MMO 2017 – OÖ
𝐿+50
50
𝑣
=
𝐿−25
25
𝑣
𝐿−25
25
𝑣
umgeformt: L = 100 m
Beachte: Alle Rechenergebnisse müssen nachvollziehbar sein!