Die relative Häufigkeit

MK 26.9.2005 RelHaeufigkeit.mcd
Die relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit
Bsp.: Werfe eine Münze 200 Mal. Notiere das Auftreten von Wappen und Zahl.
Ergebnis (Zufall):
Es wurden 95 Mal Wappen und 105 Mal Zahl erreicht.
95
Die Zahlen
200
= 0.475 und
105
200
= 0.525 geben die relative Häufigkeit
der beiden Ereignisse Wappen und Zahl wieder.
Def.: Das Ereignis E sei bei einem n-mal durchgeführten Zufallexperiment a-mal eingetreten.
Dann heißt a = a(E) absolute Häufigkeit bei einem Zufallexperiment der Länge n.
Die rationale Zahl
h = h ( E) =
a ( E)
n
heißt relative Häufigkeit.
Eine Funktion h(E) heißt Häufigkeitsfunktion, wenn sie allen Elementarereignissen eine reelle Zahl zuordnet.
Eigenschaften
(1)
0 ≤ h ( E) ≤ 1
(2)
h (Ω ) = 1
(3)
h( {} ) = 0
n
(4)
∑
( )
h ωi = 1
Die Summe der relativen Häufigkeiten aller Elementarereignisse
i= 1
(5)
h(E1 ∪ E2) = h(E1) + h(E2)
falls E1 und E2 unvereinbar, E1 ∩ E2 = { }
Das Empirische Gesetz der großen Zahlen
Bei einer sehr großen Anzahl von Zufallexperimenten stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines bestimmten
Ereignisses um einen bestimmten Zahlenwert.
Mit steigender Anzahl der Versuche erwarten wir die Annäherung der relativen Häufigkeit an eine der
"Gleichwahrscheinlichkeit" der Ereignisse (bei unseren einfachen Versuchen) angelehnte "Wahrscheinlichkeit".
lim
n→∞
Siehe dazu die Simulation Münzwurf
h ( E) = p ( E )