Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
I
klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik
I
Äquivalenz zwischen Formeln
ϕ≡ψ
gdw.
Mod(ϕ) = Mod(ψ)
I
wichtige Äquivalenzen,
z.B. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,
Distributivgesetze
I
Junktorbasen, z.B. {¬, ∨, ∧}, {¬, ∨}, {¬, ∧}, {¬, →}
I
Normalformen: NNF, CNF, DNF
46
Weitere Junktoren
zweistelliger Junktor NAND (Sheffer-Funktion, ↑) mit
p NAND q ≡ ¬(p ∧ q):
W(p) W(q) W(p NAND q)
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
W(p NAND q) = 1−min(W(p), W(q))
{NAND} ist eine Junktorbasis.
zweistelliger Junktor NOR (Peirce-Funktion, ↓) mit
p NOR q ≡ ¬(p ∨ q):
W(p) W(q) W(p NOR q)
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
W(p NOR q) = 1−max(W(p), W(q))
{NOR} ist eine Junktorbasis.
47
Boolesche Funktionen und Schaltungen
Ziel: technische Realisierung Boolescher Funktionen
gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}
Jede Boolesche Funktion kann durch unendlich viele
aussagenlogische Formeln dargestellt werden.
Entwurf einer aussagenlogischen Formel ϕ mit Semantik f .
Spezifikation, Entwurf, Verifikation und Optimierung von
Schaltungen finden auf logischer Ebene statt.
48
Logische Gatter
Operation
Junktor
Negation
¬
Konjunktion
∧
Disjunktion
∨
NAND
↑
NOR
↓
Antivalenz
XOR
Gatter
1
&
≥1
&
≥1
=1
49
Logik
Schaltungstechnik
Junktoren
Atome
aussagenlogische Formeln
logische Gatter
Eingänge
Schaltungen
Beispiel: (¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ ¬q)
Übersetzung Formelbaum – Schaltung (Tafel)
50
Realisierung Boolescher Funktionen
gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}
gesucht: Realisierung von f als Schaltung
Schritte zum Schaltungsentwuf:
1. Suche nach aussagenlogischer Formel ϕ mit Semantik f
2. Übersetzung von ϕ in eine Schaltung
Beispiel:
x1 x2
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
x3
0
1
0
1
0
1
0
1
f (x1 , x2 , x3 )
0
0
1
Formel ϕ = (x2 ∧ ¬x3 ) ∨ (x1 ∧ ¬x2 )
0
1
1
1
0
51
Optimierungsmöglichkeiten
Schaltungen mit
I
möglichst wenigen Gattern
(kleine Formeln)
I
möglichst wenigen verschiedenen Gattertypen
(Junktorbasen mit wenigen Elementen, z.B. NAND-Gatter)
I
fester Struktur, z.B. Tiefe (Normalformen)
technische Realisierung und Anwendungen in der Vorlesung
Computerarchitektur und -peripherie
52
Schaltungsentwurf
gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}
Zu jeder Booleschen Funktion f : {0, 1}n → {0, 1} exisitieren
unendlich viele Formeln ϕ ∈ AL({x1 , . . . , xn }) mit Semantik f .
Normalformen DNF, CNF entsprechen zweistufigen
Schaltnetzen.
Umwandlung DNF in NAND-Form:
1. doppelte Negation der DNF,
2. Anwendung der deMorgan-Regel
(CNF in NOR-Form analog)
Vorteile der Normalformen:
DNF und CNF: geringe Tiefe der Schaltung, daher kurze
Signalwege
NAND-Form: nur Gatter eines Typs
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Wiederholung
W
V
mi
CNF Formeln der Form ni=1
l
i,j
j=1
mit Literalen li,j
heißen in konjunktiver Normalform.
Beispiele: (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) ∧ ¬q, p ∨ q, p ∧ ¬q,
¬p
V
W
mi
DNF Formeln der Form ni=1
j=1 li,j
mit Literalen li,j
heißen in disjunktiver Normalform.
Beispiele: ¬p ∨ (¬q ∧ p) ∨ (p ∧ q), p ∨ q, p ∧ ¬q, ¬p
Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) existieren
I
eine äquivalente Formel ϕ2 ∈ AL(P) in CNF und
I
eine äquivalente Formel ϕ3 ∈ AL(P) in DNF.
54
Kanonische Normalformen
V
CNF ni=1 ϕi heißt kanonisch gdw. in jeder Disjunktion ϕi jede
Aussagenvariable vorkommt.
W
DNF ni=1 ϕi heißt kanonisch gdw. in jeder Konjunktion ϕi jede
Aussagenvariable vorkommt.
Minterme : Konjunktionen in einer kanonischen DNF
Maxterme : Disjunktionen in einer kanonischen CNF
Satz
Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) existieren (bis auf Umordnung)
eindeutige Formeln ϕ1 , ϕ2 ∈ AL(P) mit ϕ ≡ ϕ1 ≡ ϕ2 , wobei
I
ϕ1 in kanonischer CNF und
I
ϕ2 in kanonischer DNF.
Die kanonischen CNF und DNF einer Formel ϕ lassen sich aus
der Wahrheitswerttabelle der Formel ϕ ablesen.
55
Minimale CNF und DNF
Wiederholung: varcount(ϕ) =
Anzahl aller Variablenvorkommen in der Formel ϕ
Eine DNF (oder CNF) ϕ heißt genau dann minimal, wenn für
jede zu ϕ äquivalente DNF (oder CNF) ψ gilt:
varcount(ϕ) ≤ varcount(ψ)
Zu einer Formel können verschiedene äquivalente minimale
DNF existieren.
Beispiel:
(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ (b ∨ c))
= (a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)
= (a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ∨ (¬b ∧ c)
56
DNF-Minimierungsproblem
gegeben: Boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}
(als kanonische DNF ϕ)
gesucht: minimale DNF ψ mit Semantik f (ϕ ≡ ψ)
naiver Lösungsansatz:
alle DNF mit weniger Variablenvorkommen testen
theoretisch möglich, aber nicht sinnvoll (Zeitaufwand)
Fakt
Für alle p ∈ P und ψ ∈ AL(P) gilt (p ∧ ψ) ∨ (¬p ∧ ψ) ≡ ψ.
Idee zur DNF-Minimierung: Umformung der DNF durch (evtl.
mehrfache) Anwendung des Faktes.
Beispiel (Tafel):
(a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (a ∧ ¬b ∧ c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (¬a ∧ ¬b ∧ c)
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