¨Ubungsblatt 6

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2014
Übungsblatt 6
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 1.12-5.12
Aufgabe 1
DNF: Do it Yourself
(Präsenzaufgabe)
Eine Grundeigenschaft der Aussagenlogik ist die Dualität: Konjunktion und Disjunktion sind
zueinander dual in dem Sinne, dass
φ ∧ ψ ≡ ¬(¬φ ∨ ¬ψ)
und
φ ∨ ψ ≡ ¬(¬φ ∧ ¬ψ).
Definieren Sie eine zur CNF in diesem Sinne duale disjunktive Normalform (DNF), bei der die
Rollen von Konjunktion und Disjunktion vertauscht sind, und geben Sie ein Verfahren an, mit
dem jede Formel in eine äquivalente DNF transformiert werden kann.
Nehmen Sie bei dieser Aufgabe an, dass Formeln aus Konjunktion, Disjunktion, Negation, >, ⊥
und Atomen aufgebaut sind.
Achtung: Begründen Sie die Korrektheit Ihres Verfahrens.
Aufgabe 2
NNF, CNF und DNF
(Präsenzaufgabe)
Bilden Sie NNF, CNF und DNF für die folgenden aussagenlogischen Formeln:
1. ¬(A ∧ B ∧ ((A ∨ B) → (B ∧ ¬C)));
2. ¬((A ∧ B ∧ (C → ¬B)) → ¬(A → (¬B ∧ ¬C))).
Achtung: Die Ergebnisse sollen gemäß der rekursiven Definitionen aus der Vorlesung bzw. aus
der obigen Aufgabe berechnet werden. Die bloße Angabe einer richtigen Antwort gilt nicht als
Lösung. Im Laufe der Rekursion können dabei Formeln mittels Kommutativität, Assoziativität
und Idempotenz von ∧ und ∨ sowie ausschließlich der folgenden weiteren Gesetze vereinfacht
bzw. umgeformt werden: φ ∧ ¬φ ≡ ⊥, φ ∨ ¬φ ≡ >.
Aufgabe 3
NNF, CNF und DNF
Bilden Sie NNF, CNF und DNF für die folgenden aussagenlogischen Formeln:
1. ¬(A ∧ (B ∨ C) ∧ (C → (C ∨ ¬A)));
2. A ∧ ((A ∨ B) → ¬(A → (B ∨ C))).
Achtung:
Beachten Sie dabei die gleichen Bedingungen in Aufgabe 2.
(8 Punkte)
GLoIn, WS 2014
Aufgabe 4
Resolutionsprinzip für Schaltkreise
(12 Punkte)
Aufgabe 5 von Übungsblatt 3 besagt unter anderem, dass Schaltkreise genau den Formeln in
NNF entsprechen.
1. Welche Schaltkreise entsprechen unter dieser Korrespondenz zwischen Formeln und Schaltkreisen CNFs?
2. Welche Schaltkreise entsprechen DNFs?
3. Formalisieren Sie die Resolutionsregel als eine Transformation von Schaltkreisen (Eingabe ist der Schaltkreis, der eine CNF repräsentiert; Ergebnis ist der mittels Resolution
erweiterte Schaltkreis).
4. Verwenden Sie die Übersetzung von CNFs in Schaltkreise um zu argumentieren, dass
die Resolutionsregel insofern korrekt ist, als Strom durch den transformierten Schaltkreis
genau dann fließt, wenn Strom durch den ursprünglichen Schaltkreis fließt (natürlich unter
der Bedingung, dass sich die jeweiligen Schalter in gleichen Positionen befinden).
5. Verwenden Sie die Übersetzung von CNFs in Schaltkreise um zu argumentieren, dass die
folgende fehlerhafte Resolutionsregel im Sinne der vorherigen Klause inkorrekt ist.
C ∪ {A, B}
2
D ∪ {¬A, ¬B}
(Res0 )
C ∪D