¨Ubungsblatt 2

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2015
Übungsblatt 2
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 9.11.-13.11.
Aufgabe 1
Mengendiagramme
(Präsenzaufgabe)
Mengendiagramme bieten einen graphischen Weg, Wahrheitsbelegungen zu definieren:
Ein Punkt des Diagramms definiert eine Wahrheitsbelegung κ wie folgt: κ(A) = >, wenn der
Punkt zu dem mit A gekennzeichneten Bereich gehört, und andernfalls κ(A) = ⊥.
Seien I, SI, O, Dw, Do, G, N die Atome, die dem jeweiligen Bereich des gegebenen Diagramms
entsprechen.
• Gelten die folgenden Formeln unter allen Wahrheitsbelegungen κ, die sich gemäß der gerade
gegeben Definition im obigen Diagramm wiederfinden?
– (G ∧ Dw) → Do;
– (G ∨ SI) → (¬O ∧ Dw);
– I → ((Dw ∧ G) ∨ ¬Do).
• Welche dieser Formeln sind gültig?
• Finden Sie für jede der folgenden Formeln eine Wahrheitsbelegung κ, die die Formeln wahr
macht, und eine Wahrheitsbelegung κ, die sie falsch macht. In beiden Fällen muss κ im
obigen Diagramm vorkommen.
– Dw ∨ G ∨ Do;
– I ∨ SI ∨ O;
– (I ∧ O) ∨ (¬Do ∧ Dw) ∨ (¬Dw ∧ Do).
GLoIn, WS 2015
Aufgabe 2
Schaltkreise und Induktion
(Präsenzaufgabe)
Wir betrachten hier Schaltkreise, die aus mit Kabeln verbundenen Schaltern bestehen. Jeder
Schalter ist dabei entweder mit einem Buchstaben (z.B. A) oder mit einem negierten Buchstaben
(z.B. ¬A) markiert. Wir nennen die mit A (bzw. ¬ A) markierten Schalter A-Schalter.
Die Markierung soll im folgenden Sinne als eine physikalische Beziehung verstanden werden:
Schalter, die mit demselben Buchstaben gekennzeichnet sind, befinden sich immer in gleicher
Position, d.h. sind entweder alle eingeschaltet oder alle ausschaltet; Schalter, die mit einem negierten Buchstaben gekennzeichnet sind, befinden sich immer in der entgegengesetzten Position
zu den Schaltern, die mit dem entsprechenden Buchstaben ohne Negationssymbol markiert sind.
Die Frage, wann zwischen zwei gegebenen Punkten in einem solchen Schaltkreis Strom fließt,
kann als eine aussagenlogische Formel ausgedrückt werden. Beispielsweise entspricht der Schaltkreis
¬A
B
A
B
A
¬B
der Formel ((¬A ∧ B) ∨ A ∨ (B ∧ ¬B)) ∧ A.
Wir behaupten ohne Beweis, dass jeder solche Schaltkreis (modulo Verkürzung oder Verlängerung von Anschlußkabeln) auf die folgende Weise induktiv konstruiert werden kann:
• Ein Schalter ist ein Schaltkreis.
• Seien X und Y Schaltkreise; dann sind die sequentielle und die parallele Komposition von
X und Y , definiert durch die Schaltdiagramme
X
X
Y
und
(∗)
Y
ebenfalls Schaltkreise.
Damit erhält man folgendes Induktionsprinzip:
Induktionsprinzip für Schaltkreise: Eine Eigenschaft P gilt dann für alle Schaltkreise, wenn
sie für alle einzelnen Schalter gilt (Induktionsanfang) und, wenn sie für Schaltkreise X und Y
gilt, dann stets auch für die beiden Schaltkreise in Diagramm (∗) gilt (Induktionsschritt).
Geben Sie ein Verfahren an, das aus einem Schaltkreis X einen Schaltkreis X 0 konstruiert, so
dass genau dann Strom durch X fließt, wenn kein Strom durch X 0 fließt. Beweisen Sie die
Korrektheit Ihrer Konstruktion mittels des obigen Induktionsprinzips.
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GLoIn, WS 2015
Aufgabe 3
Logik mit Œ
(4 Punkte)
Man betrachte die folgende Grammatik in BNF:
φ ::= I ψ
ψ ::= Œσ | Œσ & ψ
σ ::= NY | ME | those who ψ
Sind die Ausdrücke ‘I Œ ME’, ‘I Œ those who Œ ME & those who I Œ’, ‘I Œ NY & I Œ ME’,
‘I Œ those who Œ those who ŒNY’ Instanzen von φ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4
Krimi einmal ernst genommen
(9 Punkte)
Formulieren Sie die erste Aufgabe von Übungsblatt 1 nun in Aussagenlogik. Dafür ist es nötig,
aussagenlogische Atome einzuführen, die Aussagen wie z.B. ‘Jones hat gelogen’ oder ‘Smith ist
der Mörder’ entsprechen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie danach formal, dass die vom Detektiv
gesammelten Fakten die folgenden Aussagen implizieren:
1. Smith ist der Mörder.
2. Jones hat gelogen.
3. Jones hat die Wahrheit gesprochen oder der Mord ist nicht nach Mitternacht passiert.
Die Gültigkeit der Implikation wird dadurch bewiesen, dass jede Wahrheitsbelegung, die die
Prämissen erfüllt, ebenfalls die Konklusion erfüllt. Die Ungültigkeit wird dadurch bewiesen,
dass mindestens eine Wahrheitsbelegung die Prämissen erfüllt, nicht aber die Konklusion.
Aufgabe 5
Logik und Schaltkreise
(7 Punkte)
Wir beziehen uns hier auf die Schaltkreise von Aufgabe 2.
1. Bilden Sie für jedes der folgenden Paare von äquivalenten aussagenlogischen Formeln entsprechende Paare von Schaltkreisen. Begründen Sie die Äquivalenz der Formeln, indem
Sie physikalisch erklären, warum die entsprechenden Schaltkreise sich gleich verhalten.
(So etwas ist natürlich kein formaler Beweis; trotzdem soll die physikalisch-anschauliche
Argumentation vollständig angegeben werden.)
a) A ∨ ¬A und B ∨ ¬B;
b) (A ∧ ¬A) ∨ B und B;
c) A ∨ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);
d) A ∧ (B ∨ C) und (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).
Distributivgesetze
2. Transformieren Sie den folgenden Schaltkreis zu einem äquivalenten Schaltkreis mit genau
zwei Schaltern. Begründen Sie, wie im vorherigen Aufgabenteil, ihre Transformationschritte.
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GLoIn, WS 2015
¬C
¬A
B
¬B
B
¬A
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