Übungen zu "Grundlagen der Logik in der Informatik" - WS15/16

Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” WS15/16
Donnerstag 14:15-15:45, Cauerstraße 7/9, Raum 0.154-115
Freitag 14:15-15:45, Martenstr. 3, Raum 02.134-113
Daniel Hausmann
[email protected]
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen
Department Informatik
Lehrstuhl 8
November 6, 2015
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Aussagenlogik - Wiederholung | Wiederholung 1
Wiederholung aus der Vorlesung
Aussagenlogik - Syntax
Sei A eine Menge aussagenlogischer Atome.
ψ, ϕ ::= ⊥ | A | ψ ∧ ϕ | ¬ϕ
> = ¬⊥
ϕ → ψ = ¬ϕ ∨ ψ
A∈A
ϕ ∨ ψ = ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ)
ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
Aussagenlogik - Semantik
Sei κ : A → {>, ⊥} Wahrheitsbelegung. Definiere:
κ 6|= ⊥
κ |= A
⇔ κ(A) = >
κ |= ψ ∧ ϕ ⇔ κ |= ψ und κ |= ϕ
κ |= ¬ψ
⇔ κ |6 = ψ
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Aussagenlogik - Wiederholung | Wiederholung 2
Wiederholung aus der Vorlesung
Φ Menge von Formeln; κ |= Φ g.d.w. ∀ϕ ∈ Φ.κ |= ϕ.
Konsequenz
ϕ ist logische Konsequenz von Φ (Φ |= ϕ) g.d.w. ∀κ.κ |= Φ ⇒ κ |= ϕ.
Gültigkeit / Erfüllbarkeit
ϕ ist gültig (tautologisch) g.d.w. ∅ |= ϕ g.d.w. ∀κ.κ |= ϕ.
Φ ist erfüllbar g.d.w. ∃κ.κ |= Φ.
Logische Äquivalenz
ϕ und ψ sind logisch äquivalent (ϕ ≡ ψ) g.d.w. |= ϕ ↔ ψ.
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 1 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 1 - Mengendiagramme
•
Welche
der
folgenden
Formeln
sind unter allen Wahrheitsbelegungen κ,
die sich im Diagramm wiederfinden, erfüllt?
(G ∧ Dw ) → Do
(G ∨ SI ) → (¬O ∧ Dw )
I → ((Dw ∧ G ) ∨ ¬Do)
• Welche dieser Formeln sind gültig?
• Finden Sie je eine Wahrheitsbelegung κ im Diagramm, die die
folgenden Formeln erfüllt bzw. nicht erfüllt.
Dw ∨ G ∨ Do
I ∨ SI ∨ O
(I ∧ O) ∨ (¬Do ∧ Dw ) ∨ (¬Dw ∧ Do)
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe)
Aufgabe 2 - Schaltkreise und Induktion
Wir betrachten im folgenden Schaltkreise, die aus mit Kabeln
verbundenen Schaltern bestehen. Schalter sind dabei mit (negierten)
Buchstaben (z.B. A, ¬A) markiert. Beispielsweise entspricht
¬A
B
A
B
A
¬B
der Formel ((¬A ∧ B) ∨ A ∨ (B ∧ ¬B)) ∧ A.
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 2 - Schaltkreise und Induktion
Induktive Konstruktion von Schaltkreisen:
Ein Schalter ist ein Schaltkreis.
Seien X und Y Schaltkreise; dann sind sequentielle und parallele
Komposition von X und Y , definiert durch die Schaltdiagramme
X
X
Y
und
(1)
Y
ebenfalls Schaltkreise.
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS15/16 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 2 - Schaltkreise und Induktion
Damit erhält man folgendes Induktionsprinzip:
Induktionsprinzip für Schaltkreise
Eine Eigenschaft P gilt dann für alle Schaltkreise, wenn sie für alle
einzelnen Schalter gilt (IA) und, wenn sie für Schaltkreise X und Y gilt
(IV), dann stets auch für die beiden Schaltkreise in Diagramm (1) gilt
(IS).
Geben Sie ein Verfahren an, das aus einem Schaltkreis Z einen
Schaltkreis Z 0 konstruiert, so dass genau dann Strom durch Z fließt,
wenn kein Strom durch Z 0 fließt. Beweisen Sie die Korrektheit Ihrer
Konstruktion mittels des obigen Induktionsprinzips.