Übungen zu "Grundlagen der Logik in der Informatik"

Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” WS16/17
Montag 14:15-15:45, Martenstr. 3, Raum 00.152-113
Daniel Hausmann
[email protected]
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen
Department Informatik
Lehrstuhl 8
December 12, 2016
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Wiederholung | Wiederholung aus der Vorlesung
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Prädikatenlogische Signatur
Sei V abzählbar unendliche Menge von Variablen. Signatur
Σ = (PΣ , FΣ ):
Menge PΣ von Prädikatensymbolen,
Menge FΣ von Funktionssymbolen.
Schreibe s/n ∈ Σ für n-stelliges s ∈ PΣ ∪ FΣ . Funktionssymbol c/0 ∈ Σ
heißt Konstante; nullstellige Prädikatensymbole: aussagenlogische
Atome.
Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe
Terme:
Formeln:
E ::= x | f (E1 , . . . , En )
φ ::= (E = D) | P(E1 , . . . , En ) | ¬φ | φ1 ∧ φ2 | ∀x(φ)
wobei x ∈ V , f /n ∈ Σ und P/n ∈ Σ.
∃x(φ) := ¬∀x(¬φ), ⊥ ≡ ¬∀x(x = x), φ → ψ ≡ ¬φ ∨ ψ, etc.
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 8 | Aufgabe 1 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 1 - Peano-Arithmetik
Die über Operationen +, ×, s und der Konstanten 0 formulierten
Axiome lauten wie folgt (wobei PA7 eine Axiomenschema ist):
PA1 . ∀x(¬(0 = s(x)));
PA2 . ∀x((s(x) = s(y )) → (x = y ));
PA3 . ∀x(x + 0 = x);
PA4 . ∀x, y (x + s(y ) = s(x + y ));
PA5 . ∀x(x × 0 = 0);
PA6 . ∀x, y (x × s(y ) = x × y + x);
PA7 . ∀y1 , . . . , yn (φ(0, y1 , . . . , yn ) ∧ ∀x((φ(x, y1 ,. . . , yn ) →
φ(s(x), y1 , . . . , yn ))) → ∀x(φ(x, y1 , . . . , yn )) .
Formalisieren Sie die folgenden Aussagen in Logik erster Stufe.
Eine Zahl ist kleiner als eine weitere Zahl; eine Zahl ist
Quadratwurzel einer weiteren Zahl; eine Zahl teilt eine weitere Zahl.
“Es gibt unendlich viele Zahlen, die Quadratwurzeln sind.”
“Es ist nicht möglich, eine Zahl c 5 in zwei Zahlen a5 und b 5 zu
zerlegen, so dass a5 + b 5 = c 5 gilt.”
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 8 | Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe)
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Freie Variablen
Die Mengen FV (E ) und FV (φ) der freien Variablen eines Terms E bzw.
einer Formel φ sind rekursiv definiert durch
[n
FV (x) = {x}
FV (f (E1 , . . . , En )) =
FV (Ei )
i=1
[n
FV (¬φ) = FV (φ)
FV (P(E1 , . . . , En )) =
FV (Ei )
i=1
FV (∀x(φ)) = FV (φ) \ {x}
FV (φ ∧ ψ) = FV (φ) ∪ FV (ψ)
FV (E = D) = FV (E ) ∪ FV (D)
Aufgabe 2
Berechnen Sie für die folgende Formel die Mengen der freien Variablen:
(∀x((P(x) ∧ ∃x(P(y ))))) ∧ ∃y (Q(x)).
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 8 | Aufgabe 3 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 3 - Variablensubstitution (Prädikatenlogik)
Eine Substitution ist eine Funktion, die Variablen auf Terme abbildet.
Schreibweise: [E1 /x1 , . . . , En /xn ]. Definiere für Formeln φ, Ausdrücke E
und Substitionen σ das Ergebnis φσ bzw. E σ der Anwendung von σ
rekursiv:
xσ = σ(x)
f (E1 , . . . , En )σ = f (E1 σ, . . . , En σ)
f /n ∈ Σ
(E = D)σ = (E σ = Dσ)
(¬φ)σ = ¬(φσ)
(φ ∧ ψ)σ = (φσ ∧ ψσ)
(∀x(φ))σ = ∀y (φσ 0 ), wobei σ 0 (x) = y , σ 0 (z) = σ(z) für jedes
z 6= x, und y ∈
/ FV (σ(z)) für alle z ∈ FV (∀x(φ)).
Berechnen Sie die folgende Substitution:
((∀x(R(x, y ))) ∧ Q(y ))[c/x, f (x, y )/y , c/z].