Übungen zu "Grundlagen der Logik in der Informatik" - WS16/17

Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17
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Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” WS16/17
Montag 14:15-15:45, Martenstr. 3, Raum 00.152-113
Daniel Hausmann
[email protected]
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen
Department Informatik
Lehrstuhl 8
November 7, 2016
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 1 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 1 - Triviale Falschheit
Induktionsprinzip für aussagenlogische Formeln
Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft P für alle aussagenlogischen
Formeln φ gilt, zeige, dass P für φ = ⊥ sowie für alle atomaren φ ∈ A
gilt (IA); zeige ausserdem, dass, wenn P für Formeln φ und ψ gilt
(IV), dann auch für φ ∧ ψ und ¬φ (IS).
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die nur aus Konjunktionen, Atomen
und Wahrheitskonstanten (> und ⊥) gebildet ist (wobei > = ¬⊥).
Zeigen Sie mittels des obigen Induktionsprinzips, dass für jede
Wahrheitsbelegung κ, für die es ein Atom A ∈ A mit κ(A) = ⊥ gibt,
κ 6|= φ gilt, wenn A in φ vorkommt.
Übungen zu ”Grundlagen der Logik in der Informatik” - WS16/17 | Übungsblatt 2 | Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe)
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Aufgabe 2 - Positives Denken
Positiv bzw. negativ konsistente Atome
Definiere rekursiv, dass ein Atom A positiv konsistent (negativ
konsistent) in φ ist, wenn
φ ein Atom ist (φ ein Atom ist außer A);
φ = ¬ψ und A negativ konsistent (positiv konsistent) in ψ ist;
φ = ψ ∧ ξ und A in ψ und in ξ positiv konsistent (negativ
konsistent) ist.
(Insbesondere ist A weder negativ noch positiv konsistent in ⊥.)
Beweisen Sie, dass φ erfüllbar ist, wenn jedes Atom A ∈ A positiv oder
negativ konsistent (oder beides) in φ ist. Kann eine solche Formel auch
gültig sein?
Hinweis: Verwenden Sie Induktion über den Aufbau von φ mit einer
stärkeren Induktionsinvariante.