(a + b) = 1 (a + b) = 1a + 1b (a + b) = 1a + 2ab + 1b (a + b) = 1a + 3a

(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
...
=
=
=
=
=
=
1
1a + 1b
2
1a + 2ab + 1b2
1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Pascalsches Dreieck
Theorem Binomiallehrsatz
Für beliebige reelle Zahlen a, b und jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt
n
(a + b) =
n
P
k=0
=
n n
0 a
+
n n−1
b
1 a
+
n n−2 2
b
2 a
n n−k k
b
k a
+ ··· +
n n−1
n−1 ab
+
n n
n b
.
Beweis (durch vollständige Induktion).
Definition (Binomialkoeffizienten) n und k seien natürliche Zahlen
mit 0 ≤ k ≤ n.
n
k
:=
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
=
(n − k)!k!
1 · 2 · 3...k
(sprich “n über k”)
D > 0 : x1,2
D = 0 : x1,2
b
1p 2
=−
±
b − 4ac
2a
2a
b
=−
(Punkt S)
2a
Quadratische Ungleichungen
2
2
ax + bx + c ≤ 0
ax + bx + c ≥ 0
I. Fall a < 0
D
>
0
L
=
] − ∞, x1] ∪ [x2, +∞[
=
R\]x1, x2[
L
=
[x1, x2]
D
=
0
L
=
R
L
=
s
D
<
0
L
=
R
L
=
∅
II. Fall a > 0
D
>
0
L
=
[x1; x2]
L
=
R\]x1, x2[
D
=
0
L
=
s
L
=
R
D
<
0
L
=
∅
L
=
R
Definition
cos x := 1. Koordinate von Px
sin x := 2. Koordinate von Px,
also Px(cos x, sin x).
Eigenschaften:
Wertebereich: [−1, 1]
• Definitionsbereich: IR,
• sin ist ungerade sin(−x) = − sin x und hat die Periode 2π
• cos ist gerade cos(−x) = cos x und hat die Periode 2π
• sin nπ = 0, für n = 0, ±1, ±2
π
• cos
+ nπ = 0, für n = 0, ±1, ±2, . . .
2
• sin(x + π) = − sin(x) für alle x ∈ IR
• cos(x + π) = − cos(x)
π
π
• sin x +
= cos x ⇒ cos x −
= sin x
2
2
π
• cos x +
= − sin x
für alle x ∈ IR
2
• sin2 x + cos2 x = 1, für alle x ∈ IR
Definition
π
sin x
für x 6= + nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .
cos x
2
cos x
cot x :=
für x =
6 nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .
sin x
tan x :=
Eigenschaften:
• tan ist ungerade und hat die Periode π
• cot ist ungerade und hat die Periode π
sin( π
−x)
π
x
• tan 2 − x = cos π2 −x = cos
sin x = cot x
(2 )
Tangenskurve
tan
2
3
2
2
0
2
3
2
2
Kotangenskurve
ot
2
3
2
2
0
2
3
2
2
Additionstheoreme
sin(α ± β)
=
sin α cos β ± cos α sin β
(1)
cos(α ± β)
=
cos α cos β ∓ sin α sin β
(2)
=
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
(3)
tan(α ± β)
Doppelwinkel-Formeln
sin 2α
=
2 sin α cos α
cos 2α
=
(cos α) − (sin α) = 1 − 2(sin α)
2
(4)
2
2
2
= 2(cos α) − 1
tan 2α
2 tan α
1 − (tan α)2
=
(5)
(6)
Halbwinkel-Formeln
α
sin
2
2
α
cos
2
2
α
tan
2
2
=
1
(1 − cos α)
2
(7)
=
1
(1 + cos α)
2
(8)
=
1 − cos α
1 + cos α
(9)
Flächenformel
hc
=
b sin α
bzw.
hc
=
b sin(180 − α) = b sin α
⇒
F
=
1
1
c · hc = cb sin α
2
2
F∆ =
◦
1
1
1
bc sin α = ac sin β = ab sin γ
2
2
2
Sinussatz
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
• Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie
die Sinuswerte der Gegenwinkel.
oder anders formuliert:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
• Im Dreieck ist der Quotient von Seite
und Sinus des Gegenwinkels konstant.
Kosinussatz = Verallgemeinerter Pythagoras
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
bzw.
b2 = c2 + a2 − 2ca cos β
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
• Das Quadrat einer Seite ist so groß wie die Quadrate der beiden anderen
Seiten zusammen - vermindert um das doppelte Produkt dieser Seiten
und des Kosinus ihres Zwischenwinkels.
Exponentialfunktionen
1 1 1
Abbildung 1: Graphen der Funktion x → ax für a = 2; e; 10; ; ;
2 e 10
Abbildung
2:
Graphen
der
a = 1, 1; a = 1, 5; a = 2; a = 10
Funktion
x
7→
ax
für
Abbildung 3: Graphen der Funktion x 7→ ax für a = 2,
Abbildung 4: Graphen der Funktion x 7→ ax für a =
1
2
10 2 1 1
, , ,
11 3 2 10
Die e-Funktion
Anwendungen der Funktion
f (x) = ex
Organisches Wachstum:
g(t) = g0 e
λt
(g0 − Anfangsgröße,λ − Wachstumskonstante)
Zerfallsprozesse:
m(t) = m0 e
−λt
(m0 − Anfangsgröße,λ − Zerfallskonstante)
Gedämpfte Schwingungen:
f (t) = e
−Rt
sin(ωt + ϕ)
Fehleruntersuchungen:
f (x) = e
−x2
(Gaußsche Fehlerfunktion)
Logarithmusfunktion
Eigenschaften
- loga ist streng monoton wachsend für a > 1, streng monoton fallend für
0 < a < 1.
Rechenregeln:
a) loga(xy) = loga x + loga y für x, y > 0
x
b) loga
= loga x − logay für x, y > 0
y
c) loga xc = c loga x für c ∈ IR und x > 0.
loga x
d) logb x =
für 0 < b 6= 1 und x > 0.
loga b