Musterlösung

Analysis für Informatiker (Prof. Dr. Bürgisser)
M u s t e r l ö s u n g
Wintersemester 10/11
z u Ü b u n g s b l a t t 5
Aufgabe 18: (Türme von Hanoi, 5 Punkte)
Gegeben sind drei Plätze P1 , P2 und P3 . Auf Platz P1 liegen n ∈ N>0 unterschiedlich große
Scheiben übereinander. Diese sind der Größe nach so geordnet, dass die größte Scheibe ganz
unten liegt. Es soll dieser Stapel auf einen der beiden anderen freien Plätze P2 oder P3 bewegt
werden. Dabei müssen folgende Regeln berücksichtig werden:
(i) Bei jedem Schritt darf nur die oberste Scheibe eines Stapels bewegt werden.
(ii) Es darf keine Scheibe auf eine kleinere Scheibe gelegt werden.
Die Situation ist für drei Scheiben in der folgenden Grafik veranschaulicht:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass das Spiel für jedes n ∈ N>0 lösbar ist.
Hinweis: Führen Sie das Problem des Umsetzens von n Scheiben auf das Problem des Umsetzens von n − 1 Scheiben zurück und benutzen Sie vollständige Induktion.
Musterlösung:
Fixiere ein n ∈ N>0 . Seien S1 , . . . , Sn die n Scheiben, Si < Si+1 für alle 1 ∈ {1, . . . , n − 1}. Eine
Scheibenkonstellation ist eine Anordnung der n Scheiben auf die 3 Plätze, wobei keine Scheibe auf
einer kleineren liegt. Wir definieren das folgende Prädikat Ln (m) für m ≤ n:
Es gilt Ln (m) genau dann, wenn man von jeder Scheibenkonstellation, in welcher die Scheiben
S1 , . . . , Sm auf dem selben Platz Pi liegen, mit endlich vielen Schritten in die beiden Scheibenkonstellationen kommen kann, in welcher die Scheiben S1 , . . . , Sm auf Pj , j 6= i liegen und alle anderen
Scheiben ihren Platz behalten haben.
Es ist klar, dass für alle n ∈ N>0 das Prädikat Ln (1) gilt, da die kleinste Scheibe immer in einem
Schritt frei bewegt werden kann. Gelte Ln (m − 1) und sei m < n. Wir zeigen, dass Ln (m) gilt: Sei
eine Scheibenkonstellation gegeben, bei der die Scheiben S1 , . . . , Sm auf Platz Pi liegen. Ziel ist es,
diese auf Platz Pj zu bringen. Da Ln (m − 1) gilt, kann man in endlicher Schrittanzahl zuerst die die
Scheiben S1 , . . . , Sm−1 auf Platz Pk , k ∈
/ {i, j}, bringen. Dann versetzt man die Scheibe Sm auf Platz
Pj . Danach ist es wegen Ln (m − 1) möglich, die Scheiben S1 , . . . , Sm−1 in endlicher Schrittzahl von
Pk nach Pj zu bewegen.
Durch vollständige Induktion ist gezeigt, dass für alle n ∈ N>0 das Prädikat Ln (n) gilt.
Aufgabe 19: (Erweiterter Euklidischer Algorithmus, 3 Punkte)
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler g von 1342 und 65 mit Hilfe des erweiterten
Euklidischen Algorithmus und stellen Sie g als Linearkombination g = a · 1342 + b · 65 dar,
wobei a ∈ Z, b ∈ Z.
Musterlösung:
Setze x := 1342 und y := 65.
1342
65
42
23
19
4
=
=
=
=
=
=
20 · 65 + 42
1 · 42 + 23
1 · 23 + 19
1 · 19 + 4
4·4+3
1·3+1
42
23
19
4
3
1
=
=
=
=
=
=
x − 20y
65 − 1 · 42 = y − (x − 20y) = −x + 21y
42 − 1 · 23 = (x − 20y) − 1 · (−x + 21y) = 2x − 41y
23 − 1 · 19 = (−x + 21y) − (2x − 41y) = −3x + 62y
19 − 4 · 4 = 2x − 41y − 4(62y − 3x) = 14x − 289y
4 − 1 · 3 = 62y − 3x − (14x − 289y) = −17x + 351y
Also ist g = 1 = ax + by mit a = −17 und b = 351.
Aufgabe 20: (ggT und kgV, 7 Punkte)
Seien a, b ∈ N \ {0} und u, v, x, y ∈ Z.
(i) Zeigen Sie: Ist d = ggT(a, b), so sind
a
d
und
b
d
teilerfremd.
(ii) Zeigen Sie: Gilt u · v = x · y mit ggT(u, x) = 1, so ist u ein Teiler von y.
(iii) Verwenden Sie die Ergebnisse von (i) und (ii), um zu zeigen, dass gilt:
kgV(a, b) =
a·b
.
ggT(a, b)
(iv) Gegeben seien die eindeutigen Primfaktorzerlegungen von a und b. Wie kann man daraus die Zahlen ggT(a, b) und kgV(a, b) bestimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Musterlösung:
(i) Sei m ∈ N>0 ein Teiler von ad und db . Dann gibt es n1 , n2 ∈ N>0 mit m · n1 = ad und m · n2 = db . Es
folgt: (m · d) · n1 = a und (m · d) · n2 = b. Damit ist m · d ein Teiler von a und von b, d.h. m · d teilt
auch ggT(a, b) = d. Daraus folgt m teilt 1 und somit m = 1, also sind ad und db teilerfremd.
(ii) Wegen ggT(u, x) = 1 gibt es ganze Zahlen α und β mit 1 = α · u + β · x. Es folgt:
y = 1 · y = (α · u + β · x) · y = α · u · y + β · x · y = α · u · y + β · u · v = (α · y + β · v) · u.
Somit ist u ein Teiler von y.
b
a
a·b
(iii) Wir setzen d := ggT(a, b). Wegen a·b
d = a · d = b · d , ist d ein Vielfaches von a und b. Sei nun u
ein beliebiges gemeinsames Vielfaches von a und b mit a · x = u = b · y. Dann gilt ad · x = ud = db · y. Da
nach (i) aber ad und db teilerfremd sind, folgt mit Hilfe von (ii) aus ad · x = db · y, dass ad ein Teiler von
y ist. Wegen ud = db · y ist also ad · db ein Teiler von ud . Dann ist aber auch a·b
d ein Teiler von u. Also ist
a·b
a·b
d ein Vielfaches von a und b, das jedes Vielfache u von a und b teilt. Das bedeutet: d = kgV(a, b).
(iv) Sei A die Menge der Primteiler von a und B die Menge der Primteiler von B. Es sei A ∪ B =
{p1 , . . . , pn }, p1 , . . . , pn Primzahlen. Dann gibt zu jedem pi natürliche Zahlen αi , βi ∈ N≥0 , i =
n
n
n
Y
Y
Y
βi
i
i
1, . . . , n, mit a =
pα
und
b
=
p
.
Sei
d
=
ggT(a,
b).
Dann
ist
d
ein
Teiler
von
pα
i
i
i und
i=1
i=1
i=1
n
Y
n
Y
pβi i . Folglich gibt es natürliche Zahlen γ1 , . . . , γn mit d =
i=1
pγi i . Da d der größte gemeinsame
i=1
Teiler von a und b ist, folgt: γi = min{αi , βi }, i = 1, . . . , n. Mit Hilfe von (iii) folgt:
Qn
Qn
n
βi
i
Y
pα
i ·
i=1 pi
i=1 Q
=
kgV(a, b) =
piαi +βi −γi .
n
γi
i=1 pi
i=1
Wegen γi = min{αi , βi }, folgt αi + βi − γi = max{αi , βi } für i = 1, . . . , n. Damit ergeben sich die
Darstellungen:
ggT(a, b) =
kgV(a, b) =
n
Y
i=1
n
Y
min{αi ,βi }
pi
,
max{αi ,βi }
pi
.
i=1
Aufgabe 21: (Teilbarkeit, die 11er-Regel, 5 Punkte)
m
X
Sei n ∈ N>0 und n =
ai ·10i , m ∈ N, ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} für 0 ≤ i ≤ m, die übliche Darsteli=0
lung einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem. Zeigen Sie, dass die folgende Teilbarkeitsregel
gilt:
11 ist genau dann ein Teiler von n, wenn 11 ein Teiler
m
X
der alternierenden Quersumme
(−1)i · ai von n ist.
i=0
Musterlösung:
Es gilt: 11 ist ein Teiler von n genau dann, wenn 0 ≡11 n, also 0 ≡11
ist dies der Fall genau dann, wenn 0 ≡11
m
X
m
X
m
X
ai · 10i . Wegen 10 ≡11 −1
i=0
ai · (−1)i , also genau dann, wenn 11 ein Teiler von
i=0
(−1)i · ai ist.
i=0
Aufgabe 22: (Kommutative Ringe, 5 Punkte)
Wir definieren auf der Menge
R := {(a, b) | a ∈ Q und b ∈ Q}
die Addition
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
und die Multiplikation
(a, b) (c, d) := (a · c − b · d, a · d + b · c)
für beliebige Elemente (a, b), (c, d) ∈ R. Dann ist R mit der so definierten Addition und
Multiplikation ein kommutativer Ring. Beweisen Sie das Distributivitätsgesetz!
Musterlösung:
Seien (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ R beliebig.
Es gilt:
(a, b) ((c, d) ⊕ (e, f )) = (a, b) (c + e, d + f )
= (a · (c + e) − b · (d + f ), a · (d + f ) + b · (c + e))
= ((a · c − b · d) + (a · e − b · f ), (a · d + b · c) + (a · f + b · e))
= (a · c − b · d, a · d + b · c) + (a · e − b · f, a · f + b · e)
= (a, b) (c, d) ⊕ (a, b) (e, f ).