§4 Körper

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Donnerstag 10.5
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§4
Körper
In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner
elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir festgehalten, dass die
Restklassen modulo p für jede Primzahl p einen Körper Zp bilden. Als eine kleine
Anwendung dieser endlichen Körper wollen wir den kleinen Satz von Fermat in seiner
zahlentheoretischen Form beweisen. Vielleicht erinnern Sie sich daran, dass wir dies
schon einmal getan haben, nämlich im Anschluß an den kleinen Satz von Fermat für
Gruppen §2.Satz 9, aber wir wollen das Argument noch einmal in Körpersprache“
”
wiederholen.
Satz 4.5 (Kleiner Satz von Fermat)
Seien p ∈ N eine Primzahl und a ∈ Z eine ganze Zahl mit p - a. Dann gilt
ap−1 ≡ 1 mod p.
Beweis: Nach Satz 4 ist der Restklassenring Zp ein Körper und wir betrachten seine
multiplikative Gruppe Z∗p . Diese hat |Z∗p | = |Zp | − 1 = p − 1 viele Elemente und nach
dem gruppentheoretischen kleinen Satz von Fermat gilt xp−1 = 1 für alle x ∈ Zp . Wegen
p - a ist die Restklasse [a] ∈ Z∗p , und somit
[ap−1 ] = [a]p−1 = [1]
in Zp , und dies bedeutet ap−1 ≡ 1 mod p.
Multiplizieren wir noch einmal mit a, so nimmt der Satz die Form
ap ≡ a mod p
an, und in dieser Form gilt er sogar für alle a ∈ Z.
Welche Körper sind nun für praktische Zwecke relevant? Zum einen sind dies die
Körper der reellen und komplexen Zahlen ohne die gar nichts geht. Auch der Körper Z2
mit zwei Elementen ist für einige Anwendungen wichtig. Um dies ein wenig zu sehen,
betrachten wir einmal Bitsequenzen einer festen Länge n, also etwa 10010 für n = 5.
Nennen wir die beiden Elemente von Z2 Null und Eins, so können wir diese Bitsequenzen mit n-dimensionalen Vektoren identifizieren, beispielsweise entspricht 10010 dem
Vektor (1, 0, 0, 1, 0). Ein n-dimensionaler Vektor über einem Körper ist dabei einfach
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eine Liste von n Körperelementen. Das Wort n-dimensional“ wird hier wie immer
”
in der Mathematik in einem völlig prosaischen Sinne verwendet, hier als Listen von n
Zahlen, ohne irgendwelche implizierten Konotationen. Erinnern wir uns daran das man
in einem Körper normal rechnen kann, so kann man auch die gewohnte Vektorrechnung
durchführen. Dies erlaubt es den Bitsequenzen eine geometrische Bedeutung zu geben,
was sich als nützlich herausstellt. Andere Körper haben außerhalb der Mathematik
keine grosse Bedeutung.
Kommen wir jetzt wieder zur Mathematik zurück. Wir hatten Polynome über allgemeinen Ringen definiert, und festgestellt das es in dieser Allgemeinheit einen Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen gibt. Wir wollen jetzt einsehen,
dass dies bei unendlichen Körpern kein Problem mehr ist. Wir erinnern uns dazu daran, dass wir am Ende von §3.3 eingesehen hatten das über einem Ring die normale
Polynomdivision durchführbar ist, solange nur der höchste Koeffizient des Divisors im
betrachteten Ring invertierbar ist. Da bei einem Körper jedes von Null verschiedene
Element invertierbar ist, ist die Polynomdivision über Körpern immer durchführbar,
d.h. sind a, d ∈ K[x] zwei Polynome über einem Körper K mit d 6= 0, so gibt es
einen eindeutig bestimmten Quotienten q ∈ K[x] und einen eindeutig bestimmten
Rest r ∈ K[x] mit grad(r) < grad(d) und a = q · d + r. Mit diesem Hilfsmittel können
wir das folgende Lemma beweisen.
Lemma 4.6 (Herausziehen von Nullstellen)
Seien K ein Körper und p ∈ K[x] ein Polynom mit grad(p) ≥ 1. Weiter sei a ∈
K eine Nullstelle von p, d.h. p(a) = 0 wenn wir a in die zum Polynom gehörige
Polynomfunktion einsetzen. Dann existiert genau ein Polynom q ∈ K[x] mit p = q ·
(x − a). Dabei gilt grad(q) = grad(p) − 1.
Beweis: Wie gerade festgehalten existieren eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[x]
mit
p = q · (x − a) + r und grad(r) < grad(x − a) = 1.
Damit ist grad(r) = 0 oder grad(r) = −∞, d.h. r ∈ K ist ein konstantes Polynom.
Einsetzen von x = a in die zugehörigen Polynomfunktionen ergibt
0 = p(a) = q(a) · (a − a) + r = r,
und somit gilt p = q · (x − a). Insbesondere ist nach der Gradformel für Polynome auch
grad(p) = grad(q) + grad(x − a) = grad(q) + 1, also grad(q) = grad(p) − 1.
Damit können wir nun zeigen, dass ein Polynom über einem Körper höchstens so viele
Nullstellen haben kann wie sein Grad ist.
Satz 4.7 (Nullstellen von Polynomen über Körpern)
Seien K ein Körper ein p ∈ K[x] ein Polynom mit n := grad(p) ≥ 1. Dann hat p
höchstens n verschiedene Nullstellen in K.
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Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach n. Im Fall n = 1 ist grad(p) = 1
also p = ax + b mit a, b ∈ K, a 6= 0. Damit hat p genau eine Nullstelle in K, nämlich
x = −b/a. Für n = 1 gilt die Aussage folglich.
Jetzt sei n ≥ 2 und jedes Polynom p ∈ K[x] mit grad(p) = n − 1 habe höchstens
n − 1 verschiedene Nullstellen in K. Sei p ∈ K[x] mit grad(p) = n ein Polynom von
Grad n. Wir unterscheiden zwei verschiedene Fälle.
Fall 1. Hat p überhaupt keine Nullstelle in K, so sind wir sofort fertig.
Fall 2. Nun gebe es eine Nullstelle, also ein a ∈ K mit p(a) = 0. Nach Lemma 6 existiert
dann ein Polynom q ∈ K[x] mit p = q · (x − a) und grad(q) = grad(p) − 1 = n − 1.
Nach unserer Induktionsannahme hat das Polynom q höchstens n − 1 Nullstellen in K.
Nach Lemma 3 gibt aber für jedes x ∈ K
p(x) = 0 ⇐⇒ q(x) · (x − a) = 0 ⇐⇒ x = a oder q(x) = 0,
d.h. p hat höchstens eine Nullstelle mehr als q, und somit insgesamt höchstens (n −
1) + 1 = n viele Nullstellen.
Per Induktion ist damit alles bewiesen.
Ist jetzt K ein unendlicher Körper, so sind zwei Polynome p, q ∈ K[x] genau dann
gleich, wenn ihre zugehörigen Polynomfunktionen gleich sind, wenn also p(x) = q(x)
für jedes x ∈ K gilt. Die Implikation von links nach rechts ist dabei trivial. Seien also
p, q ∈ K[x] mit p(x) = q(x) für alle x ∈ K gegeben. Dann ist jedes Element von K
eine Nullstelle der Differenz h := p − q, und da K als unendlich angenommen wird
hat h somit unendlich viele Nullstellen. Nach dem eben bewiesenen Satz ist damit
grad(h) ≤ 0, d.h. h ist konstant. Da h Nullstellen hat muss die Konstante Null sein,
also h = 0 und somit p = q. Über unendlichen Körpern, also insbesondere über den
reellen Zahlen, können wir Polynome also wirklich als Funktionen behandeln.
4.1
Angeordnete Körper
Im letzten Abschnitt hatten wir Körper als spezielle Ringe definiert, in denen man
weitgehend normal rechnen kann. Dieses normale Rechnen“ bezog sich dabei nur auf
”
Gleichungen, nicht aber auf Verschiedenheitsaussagen, zum Beispiel konnte in einem
Körper sehr wohl die merkwürdige Identität 1 + 1 = 0 gelten. Wir werden jetzt eine
spezielle Sorte von Körpern einführen in denen so etwas 1 + 1 = 0 nicht passieren kann.
Diese Körper werden den reellen Zahlen sehr viel ähnlicher sein, als es zum Beispiel
die Restklassenkörper Zp für Primzahlen p sind.
In den reellen Zahlen haben wir nicht nur die arithmetischen Grundrechenarten
+, −, ·, / sondern auch eine Anordnung ≤ die mit den arithmetischen Operationen
zusammenpasst. Den Begriff einer Anordnung kennen Sie dabei aus Teil A, eine Anordnung einer Menge X ist eine Relation ≤ auf X, die die folgenden drei Eigenschaften
besitzt
1. Reflexivität, d.h. für alle x ∈ X ist x ≤ x.
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2. Antisymmetrie, d.h. für alle x, y ∈ X mit x ≤ y und y ≤ x ist x = y.
3. Transitivität, d.h. für alle x, y, z ∈ X mit x ≤ y und y ≤ z ist auch x ≤ z.
4. Totalität, d.h. für alle x, y ∈ X gilt stets x ≤ y oder y ≤ x.
Oftmals verwendet man für den Begriff einer Anordnung auch nur die ersten drei
Bedingungen, und nennt dann eine Anordnung die auch die vierte Eigenschaft hat total
oder linear. Für unsere Zwecke ist es etwas praktischer die echt kleiner“ Beziehung,
”
definiert durch
x < y :⇐⇒ x ≤ y und x 6= y
für alle x, y ∈ X, zu verwenden. Wegen
x ≤ y ⇐⇒ x < y oder x = y
ist es egal welche dieser beiden Relationen verwendet wird. Man kann die definierenden
Eigenschaften einer Anordnung äquivalent auch für echt kleiner“ anstelle von kleiner
”
”
gleich“ formulieren, dies führt auf die folgenden beiden Bedingungen:
1. Es gilt das Trichotomieprinzip, d.h. für alle x, y ∈ X gilt genau eine der drei
Aussagen x < y oder x = y oder y < x.
2. Transitivität, d.h. für alle x, y, z ∈ X mit x < y und y < z gilt auch x < z.
Das Trichotomieprinzip ersetzt dabei die drei Bedingung der Reflexivität, Antisymmetrie und Totalität. Betrachten wir Anordnungen auf einem Körper K, so kann man
das ganze noch etwas weiter vereinfachen. Die Relation x < y sollte dann gleichwertig
zu y − x > 0 sein, es reicht also die Menge der positiven Elemente zu kennen. Diese
Überlegungen führen auf die folgende Definition:
Definition 4.8: Sei K ein Körper. Ein Positivbereich auf K ist eine Teilmenge P ⊆ K ∗
mit den folgenden beiden Eigenschaften:
(P1) Es sind P + P ⊆ P und P · P ⊆ P , d.h. für alle x, y ∈ P gelten auch x + y ∈ P
und x · y ∈ P .
(P2) Die Mengen P und −P := {−x|x ∈ P } bilden eine Partition von K ∗ , d.h.
K ∗ = P ∪ (−P ) und P ∩ (−P ) = ∅.
Die Elemente aus P heißen positiv und die aus −P negativ. Ein angeordneter Körper
(K, P ) ist ein Körper K mit einem Positivbereich P .
Der Positivbereich P spielt die Rolle der Menge der positiven Elemente von K. Wie
schon angekündigt können wir den Positivbereich verwenden, um eine Anordnung auf
dem Körper K zu definieren.
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Definition 4.9: Sei K ein angeordneter Körper mit dem Positivbereich P . Dann lassen
sich auf K die folgenden Ordnungsrelationen definieren:
x<y
x≤y
x>y
x≥y
:⇐⇒
:⇐⇒
:⇐⇒
:⇐⇒
y − x ∈ P,
(x < y) ∨ (x = y) (also x = y ∨ y − x ∈ P ),
y < x (also x − y ∈ P ),
y ≤ x (also x = y ∨ x − y ∈ P ),
jeweils für alle x, y ∈ K.
Nun muss man verifizieren, dass diese Definition klappt, dass es sich bei ≤ beziehungsweise < also wirklich um Anordnungen handelt, und die von den reellen Zahlen
vertrauten Rechenregeln für < weiter wahr sind.
Lemma 4.10 (Grundeigenschaften angeordneter Körper)
In angeordneten Körpern K gilt:
(a) Für alle x, y ∈ K gilt genau eine der folgenden drei Aussagen: x < y, y < x oder
x = y (Trichotomieprinzip).
(b) Die Relation < ist transitiv.
(c) Verträglichkeit mit der Addition, d.h. für alle x1 , x2 , y1 , y2 ∈ K mit x1 < x2 und
y1 ≤ y2 ist auch x1 + y1 < x2 + y2 .
(d) Verträglichkeit mit der Multiplikation, d.h. für alle x, y, z ∈ K gilt
(x < y) ∧ (z > 0) =⇒ xz < yz,
(x < y) ∧ (z < 0) =⇒ xz > yz.
(e) Verträglichkeit mit additiven und multiplikativen Inversen, d.h. für alle x, y ∈ K
gelten:
x > 0 ⇐⇒ −x < 0,
x < y ⇐⇒ −x > −y,
1
1
0 < x < y =⇒ 0 < < .
y
x
Beweis: Dies ist Aufgabe (22).
Als nächsten Schritt halten wir fest das von Null verschiedene Quadrate in einem
angeordneten Körper immer positiv sind.
Lemma 4.11 (Quadrate in angeordneten Körpern)
In angeordneten Körpern gilt x2 > 0 für alle x ∈ K ∗ . Insbesondere gilt 1 > 0 und
−1 < 0.
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Beweis: Ist x > 0, also x ∈ P , so gilt nach dem Anordnungsaxiom (P1) auch x2 ∈ P ,
d.h. x2 > 0. Andernfalls ist nach Anordnungsaxiom (P2) dann x ∈ −P , d.h. −x ∈ P ,
und somit ist auch x2 = (−x)2 ∈ P , also x2 > 0. Insbesondere ist 1 = 12 > 0 und mit
Lemma 10.(e) folgt auch −1 < 0.
In einem angeordneten Körper ist somit x2 6= −1 für alle x ∈ K. Die meisten Körper
besitzen keinen Positivbereich. Zum Beispiel ist im Restklassenkörper Z5 wegen 22 =
4 ≡ −1 mod 5 das Element −1 ein Quadrat, es kann also keinen Positivbereich in
Z5 geben. Tatsächlich werden wir bald sehen, dass kein endlicher Körper angeordnet
werden kann. Wenn es allerdings Positivbereiche gibt, so kann es passieren das gleich
mehrere verschiedene Positivbereiche existieren. Derartige Körper lassen sich dann auf
mehr als eine Weise anordnen. Ein Beispiel für einen solchen Körper wird in Aufgabe
(21) behandelt.
Es gibt also sowohl Körper die überhaupt keine Positivbereiche haben, wie etwa Z5 ,
es gibt Körper die genau einen Positivbereich haben, wie etwa die reellen Zahlen, und es
gibt auch Körper die mehrere Positivbereiche haben, wie das eben diskutierte Beispiel.
Wir wollen uns jetzt allmählich in Richtung des wichtigsten angeordneten Körpers
bewegen, dies sind gerade die reellen Zahlen. Zum Abschluß dieses Abschnitts über
allgemeine angeordnete Körper wollen wir noch zeigen, dass in angeordneten Körpern
niemals so etwas wie 1 + 1 = 0 passieren kann. Wir wollen sogar einsehen das man
in einem angeordneten Körper mit den rationalen Zahlen normal rechnen kann. Da Q
streng genommen nicht einmal eine Teilmenge eines gegebenen angeordneten Körpers
K sein muss, benötigen wir einen Isomorphiebegriff für angeordnete Körper. Dieser
wird analog zu demjenigen für Gruppen in §2 definiert. Ist für i = 1, 2 ein angeordneter
Körper Ki mit Positivbereich Pi gegeben, so ist ein Isomorphismus dieser angeordneten
Körper eine bijektive Abbildung ϕ : K1 → K2 mit den folgenden Eigenschaften:
1. Für alle x, y ∈ K1 ist ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). In anderen Worten ist ϕ ein
Isomorphismus der additiven Gruppe (K1 , +) mit (K2 , +). Insbesondere muss
nach §2.Lemma 6 damit ϕ(0) = 0 gelten.
2. Für alle x, y ∈ K1 ist ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y). In anderen Worten ist ϕ ein Isomorphismus der multiplikativen Gruppe (K1∗ , ·) mit (K2∗ , ·). Erneut mit §2.Lemma 6
müssen wir also ϕ(1) = 1 haben.
3. Es gilt ϕ(P1 ) = P2 .
Da Pi für i = 1, 2 die Menge der positiven Elemente von Ki ist, können wir Bedingung
(3) auch in der Form
∀(x ∈ K1 ) : x > 0 ⇐⇒ ϕ(x) > 0
aussprechen. Für alle x, y ∈ K1 folgt damit auch
x < y ⇐⇒ y − x > 0 ⇐⇒ ϕ(y) − ϕ(x) = ϕ(y − x) > 0 ⇐⇒ ϕ(x) < ϕ(y),
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d.h. ein Isomorphismus angeordneter Körper ist auch mit den Anordnungen der beiden
Körper verträglich. Jetzt können wir zeigen, dass jeder angeordnete Körper die rationalen Zahlen enthält, beziehungsweise genauer einen zu ihnen isomorphen Unterkörper.
Lemma 4.12: Jeder angeordnete Körper K enthält (bis auf Isomorphie) die rationalen
Zahlen Q.
Beweis: In der kommutativen Gruppe (K, +) haben wir nach §2 Potenzen von Elementen mit ganzen Zahlen. Da die Verknüpfung als +“ geschrieben wird, werden diese
”
Potenzen zu Vielfachen. Insbesondere haben wir für jedes n ∈ Z das Körperelement
n · 1 ∈ K, und hiermit definieren wir eine Abbildung
ϕ : Z → K; n 7→ n · 1.
Die Potenzrechenregeln für Gruppen ergeben dann ϕ(n + m) = (n + m) · 1 = n ·
1 + m · 1 = ϕ(n) + ϕ(m) für alle n, m ∈ Z. Damit ist ϕ : (Z, +) → (K, +) ein
Gruppenhomomorphismus. Weiter behaupten wir das für alle a ∈ K, n ∈ Z auch
(n · 1) · a = n · a ist. Für n ∈ N∗ folgt dies aus dem Distributivgesetz
(n · 1) · a = (1| + ·{z
· · + 1}) · a = a
· · + a} = n · a,
| + ·{z
n mal
n mal
für n = 0 ist trivialerweise (n · 1) · a = 0 · a = 0 = n · a, und für jedes n ∈ N∗ ist weiter
auch
((−n) · 1) · a = (−n · 1) · a = −((n · 1) · a) = −(n · a) = (−n) · a.
Für alle n, m ∈ Z ergibt sich mit den Potenzrechenregeln weiter
ϕ(nm) = (nm) · 1 = n · (m · 1) = (n · 1) · (m · 1) = ϕ(n) · ϕ(m).
Damit ist ϕ auch ein multiplikativer Isomorphismus. Schließlich ist für jedes n ∈ N∗
nach Lemma 11 und Lemma 10.(e) auch
ϕ(n) = |1 + ·{z
· · + 1} > 0 und ϕ(−n) = (−n) · 1 = −(n · 1) < 0,
n mal
also ist n > 0 ⇐⇒ ϕ(n) > 0 für jedes n ∈ Z. Für alle n, m ∈ Z folgt weiter
n < m ⇐⇒ m − n > 0 ⇐⇒ ϕ(m) − ϕ(n) = ϕ(m − n) > 0 ⇐⇒ ϕ(n) < ϕ(m).
Insbesondere ist für n, m ∈ Z mit n 6= m auch ϕ(n) 6= ϕ(m) und ϕ ist injektiv. Damit
enthält K bis auf Isomorphie zumindest Z.
Nun definieren wir
m
ϕ(m)
ϕ : Q → K;
7→
n
ϕ(n)
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für m ∈ Z, n ∈ N∗ . Da wir für n ∈ N∗ bereits ϕ(n) > 0 wissen, ist dies überhaupt
sinnvoll. Weiter wird durch obige Vorschrift eine wohldefinierte Abbildung eingeführt,
denn sind m, m0 ∈ Z, n, n0 ∈ N∗ mit m/n = m0 /n0 , so ist mn0 = m0 n, und somit auch
ϕ(m)ϕ(n0 ) = ϕ(mn0 ) = ϕ(m0 n) = ϕ(m0 )ϕ(n) =⇒
ϕ(m)
ϕ(m0 )
=
.
ϕ(n)
ϕ(n0 )
Die Gültigkeit der Bruchrechenregeln in einem Körper, ergibt das auch ϕ ein Homomorphismus von Addition und Multiplikation ist. Für m ∈ Z, n ∈ N∗ ist wegen ϕ(n) > 0
auch
m ϕ(m)
m
=
> 0 ⇐⇒ ϕ(m) > 0 ⇐⇒ m > 0 ⇐⇒
> 0.
ϕ
n
ϕ(n)
n
Damit bildet ϕ den Positivbereich von Q genau auf den Positivbereich von K ab. Wie
für ϕ folgt damit das auch ϕ injektiv ist. Das Bild von ϕ ist jetzt der bis auf Isomorphie
in K enthaltene Körper Q.
Insbesondere ist damit jeder angeordnete Körper unendlich, auf endlichen Körpern
wie unseren Restklassenkörpern kann es also keine Anordnung geben.
4.2
Der Körper der reellen Zahlen
Wir wiederholen zunächst einige Definitionen die Sie bereits aus Teil A kennen für den
Spezialfall angeordneter Körper.
Definition 4.13: Sei K ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge A ⊆ K heißt nach
oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke M ∈ K von A in K gibt, d.h. ein
M ∈ K mit x ≤ M für alle x ∈ A. Entsprechend heißt eine Teilmenge A ⊆ K nach
unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke m ∈ K von A in K gibt, d.h. ein
m ∈ K mit x ≥ m für alle x ∈ A.
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