Ü 20 einzeln - TU Chemnitz

Fakultät für Mathematik
Dr. U. Streit
19. April 2017
Höhere Mathematik II (MB)
20. Übung : Funktionen mehrerer Variabler I
20.1 Geben Sie für f den Definitionsbereich in R2 bzw. R3 an.
Beschreiben Sie die Niveaumengen Nc .
p
1
2
2
2
, f (x, y, z) = ln 1 − x + y + z − 1 ,
f (x, y) =
xy
1
sin 2x
f (x, y) =
y
, (x 6= y) für (x, y) → (0, 0),
x−y
wenn man sich dem Ursprung längs einer Geraden in der x-y-Ebene nähert ?
Was folgt hieraus für den Grenzwert von f in (0, 0) ?
Beschreiben Sie die Niveaumengen Nc .
20.2 Gegen welchen Wert strebt f (x, y) =
20.3 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen sowie den Gradienten.
ax
, a ∈ R,
(a) f (x, y) = x3 + x2 y + y 3 ,
(b) f (x, y, z) = 2
x + y2 + z2
(c) f (x, y) = xy
20.4 Bilden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter und dritter Ordnung
von f (x, y) = x3 + x2 y + y 3 .
2
20.5 Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen der Funktion u(x, t) = e−a t sin x die
Gleichung ut = a2 uxx erfüllen (a ∈ R).
20.6 Berechnen Sie die Richtungsableitung von
y−1
x
f (x, y) = √ +
y+1
x
an der Stelle (x0 , y0) = (1, 1) in Richtung r :
(a) r = (1 0)⊤
(b) r = (0.6 0.8)⊤
(c) r = (0.8 0.6)⊤ .
Finden Sie für die Stelle (x0 , y0 ) eine Richtung, so dass die Richtungsableitung
maximal wird.
Geben Sie für die Stelle (x0 , y0 ) eine Richtung an, so dass die Richtungsableitung
verschwindet.
Gibt es für f eine Stelle (x1 , y1), so dass dort die Richtungsableitung in jeder
Richtung verschwindet ?
20.7 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f (x, y)
für x = x0 und y = y0 ?
x
(a) f (x, y) = arctan , (x0 , y0 ) = (2, 1)
y
(b) f (x, y) = y ln(y − 3x) , (x0 , y0) = (0, 1)
Aufgaben und Lösungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit