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24. April 2014
(b) T (f, g, h) = (g 2 − h2 )−1/2
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24.9 Für einen geraden Kreiskegelstumpf wurden die Radien der Grundkreise
mit r1 = 30 ± 1 mm, r2 = 60 ± 1 mm sowie die Höhe mit h = 50 ± 0.2 mm gemessen.
Bestimmen Sie mittels Fehlerrechnung den absoluten und den relativen Fehler des
Kegelstumpfvolumens V = 13 π h (r12 + r1 r2 + r22 ).
24.8 Die Kanten eines homogenen Quaders wurden mit einer Genauigkeit von ±0.1 mm
gemessen: a = 10.00 cm, b = 6.00 cm, c = 5.00 cm.
Für die Masse wurde 270.0 ± 0.5 g ermittelt.
Welche Dichte hat der Quader ?
Bestimmen Sie unter Nutzung des totalen Differentials (Fehlerrechnung !) Schranken
für den absoluten und relativen Fehler der Dichte.
24.7 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f (x, y) an der
Stelle (x0 , y0 ) ?
x
(a) f (x, y) = arctan , (x0 , y0 ) = (2, 1)
y
(b) f (x, y) = y ln(y − 3x) , (x0 , y0) = (0, 1)
Gibt es eine Stelle, für die die Richtungsableitung von f in jeder Richtung
verschwindet ?
(b) r = (0.6 0.8)⊤
(c) r = (0.8 0.6)⊤
∂f Ermitteln Sie Richtungen r , für die
verschwindet bzw. maximal wird.
∂r (1,1)
(a) r = (1 0)⊤
24.6 Berechnen Sie die Richtungsableitungen von f (x, y) = x2 + y 3 an der
Stelle (x0 , y0 ) = (1, 1) in Richtung r.
24.5 Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen der Funktion u(x, t) = e−π a t sin πx
mit a ∈ R die Gleichung ut = a2 uxx erfüllen (”Wärmeleitgleichung”).
24.4 Bilden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter und dritter Ordnung
von f (u, v) = u3 + u2 v + v 3 .
24.3 Berechnen Sie den Gradienten.
ux
,
(a) f (u, v, w) = 2
u + v2 + w2
24.2 Gegen welchen Wert strebt f (x, y) =
y
, (x 6= y) für (x, y) → (0, 0),
x−y
wenn man sich längs einer Geraden dem Ursprung nähert ?
Beschreiben Sie die Niveaumengen Nc .
24.1 Geben Sie für f jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich in R2 bzw. R3 an.
Beschreiben Sie die Niveaumengen Nc .
p
1
1
, f (x, y) =
, f (x, y, z) = ln 1 − x2 + y 2 + z 2 − 1
f (x, y) =
xy
sin 2x
24. Übung : Funktionen mehrerer Variabler I
Höhere Mathematik II (MB)
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. B. Hofmann
24. April 2014
g(x, y) = e−2 y − e−x − 1 .
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Es seien u(x, y, z) eine skalare Größe in kartesischen Koordinaten und
U(r, ϑ, ϕ) = u(x(r, ϑ, ϕ), y(r, ϑ, ϕ), z(r, ϑ, ϕ)) deren Gegenstück in Kugelkoordinaten.
Finden Sie mit Hilfe der Kettenregel heraus, wie die partielle Ableitung von U nach ϕ
von den partiellen Ableitungen von u (nach x, y bzw. z) abhängt.
Wie lauten die analogen Resultate für Ur und Uϑ ?
Zusatz. Drücken Sie die partielle Ableitung Urr zweiter Ordnung nach r durch die
partiellen Ableitungen von u aus.
x = x(r, ϑ, ϕ) = r sin ϑ cos ϕ, y = y(r, ϑ, ϕ) = r sin ϑ sin ϕ, z = z(r, ϑ, ϕ) = r cos ϑ.
25.5 Der Wechsel von Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) mit Radius r ≥ 0 und den Winkeln
0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π zu kartesischen Koordinaten (x, y, z) wird definiert durch
25.4 Eine Fliege bewegt sich durch einen Raum mit dem Temperaturfeld T = f (x, y, z).
In einem Punkt P gilt dabei grad f |P = (3 2 8)⊤ · 10−2 K/m .
der Temperatur erlebt die Fliege in P, wenn dort
Welche zeitliche Änderungsrate dT
dt
ihre x-Koordinate mit einer Rate von 3 m/s zunimmt, die y-Koordinate mit einer
Rate von 1 m/s abnimmt und die Geschwindigkeit in z-Richtung 0.25 m/s beträgt ?
(c) Zusatz. Durch mehrmalige Anwendung dieses Prinzips lässt sich die Näherung
für x∗ weiter verbessern (Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer
Gleichungssysteme).
Führen Sie mindestens einen weiteren Schritt dieses Verfahrens aus.
(b) Das nichtlineare Gleichungssystem
f (x, y) = 0 ,
g(x, y) = 0
hat eine Lösung x∗ = (x∗ y ∗ )⊤ nahe bei b = (0 0)⊤ . Finden Sie eine Näherung
für x∗ , indem Sie (durch Linearisierung von f und g an der Stelle b) das
nichtlineare Gleichungssystem näherungsweise durch ein lineares
Gleichungssystem ersetzen und dieses lösen.
(a) Linearisieren Sie f und g an der Stelle a = (1 0)⊤ , d.h. finden Sie die
Taylorpolynome ersten Grades von f und g an dieser Stelle.
f (x, y) = x + ey − e−x y ,
25.3 Gegeben sind die beiden Funktionen
25.2 Finden Sie für die Funktionen f aus Aufgabe 24.7 jeweils die Taylorpolynome zweiten
Grades.
25.1 Für die Funktion f (x, y) = 13 x3 + xy 2 − 5x + 13 y 3 − 5y kann die Niveaulinie durch
den Punkt P (1; −1) in einer Umgebung von P durch eine Funktion y = g(x)
beschrieben werden. Ermitteln Sie unter Nutzung des Satzes über die implizite
Funktion die Tangentengleichung an die Niveaulinie in P .
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Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. B. Hofmann