Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Dr. N. Koksch
SS 2010
Blatt 3
Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Geben Sie Bereiche an, in denen die folgenden Potenzreihen sicher konvergieren
bzw. divergieren:
∞
X
(−1)k z k
k=1
k
,
∞
X
k=1
zk
,
k(k + 1)
∞
X
(z + 2i)k
k=1
k
,
∞
X
(z + i)k
k=1
(1 + i)k
,
∞
X
(1−i)k (z+i)k .
k=1
Berechnen Sie gegebenfalls die Werte dieser Reihen. Nutzen Sie hierfür die Kennt∞
P
zk .
nis von Ln(1 − z) := −
k
k=1
2. Sei z = x + i y = |z|ei ϕ ∈ C mit x, y ∈ R und ϕ ∈] − π, π]. Geben Sie den
natürlichen Definitionsbereich der folgenden Ausdrücke an:
f1 (z) :=
1
,
1+z
f2 (z) :=
1
,
1 + z2
f3 (z) :=
1
,
1 + |z|
xy
x2 y
f4 (z) := 2
für (x, y) 6= (0, 0), f5 (z) := 2
für (x, y) 6= (0, 0),
x + y2
x + y2
ϕ
f6 (z) = |z| sin( ), f7 (z) = |z| sin(ϕ).
2
Untersuchen Sie, ob die daraus resultierenden Funktionen stetig sind und ob sie
stetig auf ganz C fortgesetzt werden können.
3. Untersuchen Sie, ob die komplexe Exponentialfunktion f (z) := ez , z ∈ C, invertierbar ist. Bestimmen Sie für gegebenes w ∈ C alle Zahlen z ∈ C mit ez = w.
Welche Möglichkeiten gibt es, eine Umkehrabbildung Ln zu f zu definieren? Geben
Sie Definitions- und Stetigkeitsbereich einer solchen Funktion an. Berechnen Sie
Ln(−1), Ln(−i) und Ln(1 + i).
4.
a) Sei I :=] − π, π] und f : I → C sei definiert durch f (ϕ) := eiϕ . Geben Sie die
Bildmenge S1 ⊆ C von I unter f an. Ist f : I → S1 eine bijektive Abbildung?
Untersuchen Sie, ob f und die eventuell existierende Umkehrabbildung f −1
stetig sind.
b) Gibt es eine stetige Funktion f : C → C mit (f (z))2 = z ∀z ∈ C?
Die folgenden Aufgaben dienen der Wiederholung von Differenzierbarkeitsbegriffen im Rn und werden in der Übung nicht besprochen!
1. Sei (.|.) das Euklidische Skalarprodukt im Rn . Weiter sei A ∈ Rn×n eine relle
Matrix und f, g : Rn → R seien definiert durch:
f (x) := (x|x) und g(x) := (Ax|x).
Untersuchen Sie, ob diese Funktionen Fréchet-differenzierbar sind und geben Sie
die eventuell existierenden Fréchet- Ableitungen bzw. partiellen Ableitungen an.
b.w.
2.
a) Sei f : D(f ) ⊆ Rn → Rm Fréchet-differenzierbar in x0 ∈ D(f ). Zeigen Sie,
dass dann f in x0 auch stetig ist.
b) Sei f : R2 → R definiert durch
(
f (x, y) :=
x2 y
x + y2
0
4
für
(x, y) 6= 0,
für
(x, y) = 0.
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f in (x0 , y0 ) = (0, 0). Ist f auch
Fréchet-differenzierbar in (x0 , y0 )?
3.
a) Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen
fi : R2 → R2 :
y xe
cos(xy)
f1 (x, y) :=
, f2 (x, y) :=
,
x2 y
sin(x2 y) − x
sin(x) ln(ey )
f3 (x, y) :=
.
ln(1 + x2 + y 2 )
b) Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden
Funktionen gi : R2 → R:
g1 (x, y) := x2 ex
2 +y 2
,
g2 (x.y) := sin(x + y) cos(x − y).