Übungen Fkt mehrerer Var - Hochschule Ravensburg

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HOCHSCHULE RAVENSBURG-WEINGARTEN
Prof. Dr.-Ing. Tim J. Nosper
Funktionen mehrerer Variablen
Mathematik 2
-Übungen-
Aufgabe 1:
Bestimmen und skizzieren Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich.
a)
z
y  2x
b)
z  ( x 2  1)(9  y 2 )
c)
z  x2  y2 1
d)
z
e)
z  ln( e x  y  2)
f)
 x2 
z  arccos 
 y 
yx
xy
Aufgabe 2:
2.1:
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ebene 2x  5 y  3z  1 mit den
Koordinatenachsen.
2.2:
Welche der folgenden Punkte liegen in, unterhalb bzw. oberhalb der Ebene?
a)
P1=(1;2;3)
b)
P2=(2;-3;-4)
c)
P3=(-4;2;0)
d)
P4=(0;0;0)
Aufgabe 3:
Skizzieren Sie die Höhenlinien folgender Funktionen:
a)
z  x 2  y 2  2y
c)
z  y  x2
b)
z  3x  6y
Aufgabe 4:
Durch Drehung der Kurve z  4  x 2 um die z - Achse entsteht ein Rotationskörper.
4.1
Wie lautet die Funktionsgleichung der Rotationsfläche in Zylinderkoordinaten?
4.2
Und wie in kartesischen Koordinaten?
4.3
Für welche Wertepaare ( x, y )  IR 2 ist diese Funktion definiert?
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Funktionen mehrerer Variablen
4.4
Mathematik 2
-Übungen-
Bestimmen Sie die Schnittkurven der Rotationsfläche in den Ebenen
a)
x=0
b)
y=0
c)
z=0
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der folgenden
Funktionen:
a)
f ( x, y )  (3x  5y ) 4
c)
f (u, v ) 
e)
b)
f ( x, y )  2  cos(3 xy )
d)
f (r, )  3r  er 
f ( x, y)  x( x  2y)
f)
x 
f ( x 1, x 2 )  e  x1  x2  ln 1 
 x2 
g)
x
f ( x, y )  arctan 
y
h)
f ( x, t )  ln x 2  t 2
i)
f ( x 1, x 2 ) 
u2  v 2
uv
x 1  2x 2
2x 1  x 2
Aufgabe 6:
Berechnen Sie für die Funktion f ( x, y )  5 x  e  xy  ln x 2  y 2  cos(  x  y ) die
partiellen Ableitungen:
a)
fx (1,0)
c)
f xy x( 1,0)
b)
f xy ( 1,0)
Aufgabe 7:
Prüfen Sie für die Funktion f ( x, y)  3xy  cos( x  y )  x 3 y 5 die Gleichheit der
gemischten partiellen Ableitungen 2. und 3. Ordnung
a)
fxy  fy x
b)
f xxy  f xy x  f y xx
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Aufgabe 8:
Bestimmen sie das totale Differential der folgenden Funktionen.
a)
z( x, y)  4x y  x  e
c)
z( x, y ) 
3
x2  y2
xy
y
b)
t2  x
z( x, t ) 
2t  4x
d)
u( x, y, z)  ln x 2  y 2  z 2


Aufgabe 9:
Gegeben ist eine reellwertige Funktion mit 3 Variablen u  f ( x 1, x 2 , x 3 )  2x 1x 32  x 2 x 32 .
a)
Wie groß ist die Richtungsableitung im Punkt P0  (2,1;1) in Richtung
a  (3,0,1)T ?
b)
Wie groß ist die maximale Steigung im Punkt P0 ?
Aufgabe 10:
Für die Periodendauer eines Schwingungskreises gilt T  2 LC . Berechnen sie mit
Hilfe des totalen Differentials die prozentuale Änderung von T, wenn L um 5%
verkleinert und C um 3% vergrößert wird.
Aufgabe 11:
R1  R 2
(nicht linear), gilt
R1  R 2
R1und R2 sind fehlerhaft (Toleranzen). Für den Arbeitspunkt gilt: R10=1kΩ; R20=4kΩ
→ Rg0=800Ω und dR1  dR2  10 . Berechnen sie
Fehlerfortpflanzung: Für die Gleichung f (R1,R 2 )  R g 
a)
den Einfluss von R1 auf Rg?
b)
den Einfluss von R2 auf Rg?
c)
den Einfluss auf Rg bei gleichzeitiger Änderung von R1 und R2?
d)
die Linearisierung (Funktionsgleichung der Tangentialebene aufstellen)
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Aufgabe 12:
x2
Gegeben ist die Funktion z  f ( x, y ) 
 xy mit den Punkten P1=(1,1;1,9); P0=(1;2)
2
a)
Berechnen sie die partiellen Ableitungen von f(x,y) bis zur 3. Ordnung.
b)
Berechnen sie in P0 das totale Differential dz von f(x,y)
c)
Wie lautet die Gleichung z=f(x,y) der Tangentialebene an f(x,y) im Punkt
P2=(1,2 ; 2,5)
d)
Berechnen sie den Gradienten grad f
e)
Berechen sie die Richtungsableitungen von f in P0 für die Folgenden
Richtungen:

a  ( x; y)
(2;3)
(-1;-3)
(3;2)
(3;1)
(-2;-3)
(-3;-1)
(-1;3)
Aufgabe 13:
Gegeben ist die Funktion F( x, y)  ( x 2  y 2 )2  2( x 2  y 2 )  0 in impliziter Form.
Bestimmen sie die Tangentensteigung von y=f(x) in P=(x0,y0).
Aufgabe 14:
5y 2
Man linearisiere die Funktion z( x, y ) 
in der Umgebung von P0=(1;2).
x
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