1.4A. Relationen, Abbildungen und Flächen

1.4A. Relationen, Abbildungen und Flächen
In Verallgemeinerung der reellen Situation nennt man jede Teilmenge F eines kartesischen
Produkts
A B
eine Relation zwischen A und B, und man spricht von einer Abbildung von A in B, geschrieben
F : A --> B,
falls es zu jedem x aus A genau ein y aus B gibt, so daß (x,y) zu F gehört. In diesem Fall heißt y
wieder das Bild von x und wird mit F(x) bezeichnet.
Parameterdarstellungen von Flächen
In konkreten Fällen werden Relationen bzw. Flächen fast immer durch Ungleichungen festgelegt.
Aber auch bei Flächen sind Parameterdarstellungen möglich.
Man braucht dann zwei statt eines Parameters; so beschreibt man eine ebene Fläche durch
F : A B --> R2 , F(r, t) = (F1( r, t ), F2( r, t ))
mit geeigneten Intervallen A und B.
Beispiel 1: Kreis
Parametrisierung
K = { (x, y) : x2 + y2 ≤ 1} K = {(r cos( t ), r sin( t )) : 0 ≤ r, r ≤ 1, 0 ≤ t < 2 π}
ist eine abgeschlossene Kreisscheibe,
P = { (x, y) : x2 + y2 = 1} R = {(cos( t ), sin( t )) : 0 ≤ t < 2 π}
ihre Randkurve (Peripherie),
I = { (x, y) : x2 + y2 < 1}
I = {(r cos( t ), r sin( t )) : 0 ≤ r < 1, 0 ≤ t < 2 π }
ihr Inneres (offene Kreisscheibe),
und
L = {(x, y) : 1 < x2 + y2}
L = {(r cos( t ), r sin( t )) : 1 < r, 0 ≤ t < 2 π}
das vom Kreis in die Ebene gestanzte Loch.
Keine dieser Relationen ist eine Funktion. Nur die zweite beschreibt eine Kurve (Gleichung!), die
anderen drei dagegen Flächen.
Beispiel 2: Halbkreis
H = {(x,y) : x ≤ 1, y =
1 − x2 }.
Hier handelt es sich im Gegensatz zu Beispiel 1 um eine Funktion!
Neben der obigen "kartesischen Parameterdarstellung" und vielen weiteren hat man die
"polare Parameterdarstellung"
H = {(cos( t ), sin( t )) : t = 0 .. π}.
Die Halbkreisfläche
H = {(x,y) : x ≤ 1, 0 ≤ y , y ≤
1 − x2 }
ist dagegen natürlich keine Funktion.
Beispiel 3: Raute, Astroide und Variationen
Wir "verbiegen" den Kreis durch Potenzieren der Koordinaten mit einem Exponenten p:
x p + y p = 1.
Für eine bequeme Parameterdarstellung benutzen wir die Signum-Funktion s mit
s(x) = -1 für x < 0
s(x) = 0 für x = 0
s(x) = 1 für x > 0
die mit dem Absolutbetrag über die Gleichung
x = s( x ) x
zusammenhängt.
Zur Abkürzung setzen wir q =
2
p
und erhalten "zusammengedrückte Kreise":
Abgeschlossene Fläche:
K(p) = { (x, y) : x p + y p ≤ 1}
= {(r s( cos( t ) ) cos( t ) q, u s( sin( t ) ) sin( t ) q) : 0 ≤ u, u < 1, 0 ≤ t < 2 π }
Rand(kurve):
R(p) = { (x, y) : x p + y p = 1}
= { s( cos( t ) ) cos( t ) q, s( sin( t ) ) sin( t ) q: 0 ≤ t < 2 π}
Restmenge (Loch):
L(p) = {(x, y) : 1 < x p + y p}
= {(u s( cos( t ) ) cos( t ) q, u s( sin( t ) ) sin( t ) q) : 1 < u, 0 ≤ t < 2 π}
Raute: p = 1, q = 2
Kreis: p = 2, q = 1
Astroide: p =
1
2
,q=4
Stetige Verformung:
Beispiel 4: Hyperbeln
Wir betrachten für reelle Zahlen a die Relationen
H(a) = { (x,y) : x y = a}.
Da sie durch Gleichungen beschrieben werden, handelt es sich um Kurven.
Wir zeichnen H(1) (rot) und H(-1) (blau) in ein gemeinsames Bild:
Die "symmetrisierte" Menge
H = { (x, y) : x y ≤ a und max( x , y ) ≤ b }
beschreibt eine Fläche, die folgendermaßen aussieht:
a = .1, b = 3
Supernova:
Drehen um den Winkel α liefert weitere Hyperbeln, z. B. für
π
π
α=
bzw. α = −
:
4
4
x2 − y2 = 1 bzw. y2 − x2 = 1
Was passiert für a = 0 ? Hier ergibt sich ein (eventuell gedrehtes)
Achsenkreuz:
x y = 0 <=> x = 0 oder y = 0 bzw.
( x cos( t ) + y sin( t ) ) ( x sin( t ) − y cos( t ) ) = 0 <=>
y = −cot( t ) x oder y = tan( t ) x