Ausgewählte Kapitel der Physik, Prof. W. de Boer

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Vorlesung 21:
Roter Faden:
Das Elektron als Welle
Heisenbergsche Unsicherheitsrelation
Versuch: Gasentladung
Juli 7, 2006
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1
Erste Experimente mit Elektronen
Gasentladungen ionisieren Gas-> neg. und pos. Teilchen
Juli 7, 2006
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2
Erste Experimente mit Elektronen
Ionen
Juli 7, 2006
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3
Schlussfolgerung
Juli 7, 2006
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4
Erste Experimente mit Elektronen
mv2/r=evB->
p=eBr
E=p2/2m=eU
e/m=2U/B2r2
Juli 7, 2006
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5
Bestimmung der Elektronladung
Stokesche Reibungsgesetz
Juli 7, 2006
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6
Davisson und Germer: Elektron
Streuung an Nickel Kristallen
Vor
Rekristallisierung
Ni
θ
eIntensität unter
Streuwinkel θ
Nach
Rekristallisierung
Zufällige Entdeckung der Bragg-peaks bei
Streuung von Elektronen an Ni-Kristalle
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7
Davisson und Germer: Elektron
Streuung an Nickel Kristallen
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Einzel und Doppelspalt Beugung von Elektronen
Max. und Min. in der Intensitätsverteilung
nach Streuung an einem Draht zeigen
Interferenz, d.h. Wellencharakter der Elektronen
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9
Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen
Experiment mit langsamen Neutronen
(v=200m/s, λdB~2 nm)
Doppelspalt:
23 µm bzw. 22 µm breit
104 µm Abstand
Beugungswinkel ~ 50 µrad (~10“)
A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988)
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Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen
Einzelspalt
Doppelspalt
Durchgezogene Linie: Vorhersage der (linearen) Quantenmechanik
(unter Berücksichtigung aller Parameter wie Geometrie,
Geschwindigleitsverteilung etc ...) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60, p.1067 (1988)
Vorsicht: Neutron spaltet sich nicht in mehreren Teilchen,
sondern man findet nach dem Doppelspalt immer EIN Teilchen,
nur bestimmte Auftrittsorte haben hähere Wahrscheinlichkeit
getroffen zu werden! Diese Kurven sind Wahrscheinlichkeitsdichten!
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De-Broglie Beziehung
Photon: E=hv=hc/λ und E2=p2c2+m2c4
Daher: für m=0 gilt: E=pc=hc/λ oder
p=h/λ (de Broglie)
Um Interferenzen der Elektronen zu erklären
postulierte de Broglie das diese Beziehung
auch für Teilchen gilt!
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12
Elektronenmikroskop
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13
Elektronenmikroskop
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14
Realisierung elektrostatischer Linsen
Energiefilter
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15
Magnetische Linsen
Impulsfilter
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16
Magnetische Linsen
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17
Elektronenmikroskop
wohldefinierte
Energie=
wohldefinierte
Wellenlänge ->
hohe Auflösung
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18
Elektronenmikroskop
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19
Rastertunnelmikroskop
Konstante
Tunnelstrom
durch
Höhenanpassung
->Oberflächentopographie
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20
Rastertunnelmikroskop
Juli 7, 2006
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21
Rastertunnelmikroskop
Manipulation einzelner Atomen mit Tunnelspitze
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22
Rastertunnelmikroskop
Juli 7, 2006
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23
Zusammenfassung
3
Wenn Energien, Orte oder Impulse im Bereich E=hv und λ=p/h
Kommen, werden Quanteneffekte wichtig!
Juli 7, 2006
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Welle-Teilchen Dualismus
De Broglies Erklärung für die Quantisierung der Atomniveaus und die
Interferenzpatrone der Teilchen (Davisson, Germer, Doppelspalt) beweisen
eindeutig den Wellencharakter. Jedoch ist das Elektron auch ein Teilchen
mit wohl definierter Masse und Ladung, das eindeutige Spuren e.g. in
einem Nebelkammer hinterlässt. Wie kann man diese Eigenschaften
vereinen?
Max Born schlug in 1926 vor, dass, wie bei einer elektromagn.
Welle, die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen vorzufinden, gegeben wird
durch die Energiedichte, d.h. das Quadrat der Amplitude der Welle
oder |Ψ|2dV ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dV
zu finden (und das Integral über dV ist natürlich 1, da das Teilchen
irgendwo sein muss.
Wie ist Bahn des Teilchens mit Fortpflanzung der Welle verknüpft?
Teilchen: Ekin= ½mv2 = E = hf, mv = p = h/λ.
Die Geschwindigkeit der Welle wäre v=λf=(h/mv). (½mv2/h) = ½v,
d.h. die Welle pflanzt sich nur mit halber Teilchengeschwindigkeit
fort! WAS IST FALSCH?
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De Broglie Wellen
E=hv=ħω
p=h/λ=ħk
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De Broglie Wellen
E2=p2c2+m2c4 oder (ħω)2= (ħk)2c2 +m2c4
Für m=0 dispersionsfrei, sonst ħω=mc2 für k=0
Juli 7, 2006
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Lokalisierung eines Teilchens
Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat, dann hat es auch
eine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigeWellengleichung für eine
wohldefinierte Wellenlänge ist
mit k = 2
π
/λ , and ω= 2
π
f.
Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen,
d.h. das Teilchen ist nicht lokalisiert!
Lösung des Problems: Wellen können interferieren wenn die Impulse
-und damit die Wellenlängen – NICHT scharf definiert sind.
Dann Teilchen lokalisiert in Wellenpaket. Wenn Teilchen
sehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit in Impuls groß sein.
Dies ist Prinzip der Heisenbergsche Unsicherheitsrelation.
Superposition von ZWEI Wellen ergibt Schwebungen:
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Superposition von zwei Wellen
Bei festem t=0
x∆k=2π -> ∆x ∆p=h
x oder t
Schwebungen konzentrieren
Energiedichte und daher
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Teilchens->Lokalisierung
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Bei festem x=0
∆ωt=2π -> ∆E ∆t=h
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Superposition unendlich viele Wellen
x
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Geschwindigkeit der Wellenpakete
..\Downloads\GroupVelocity.htm
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Auseinanderlaufen der Wellenpakete
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Heisenbergsche Unschärferelation
k
http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html
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33
Heisenbergsche Unschärferelation
Jede Messung von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens
Juli 7, 2006
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Zum Mitnehmen
Teilchen mit Impuls p benehmen sich bei kleinen
Abständen wie Wellen.
Wellen mit Wellenlänge λ benehmen sich bei kleinen
Abständen wie Teilchen.
Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls:
λ=h/p (de Broglie)
Man kann nicht beliebig genau ORT und IMPULS
bestimmen:
∆x∆p≥h. (Heisenberg)
Gleiche gilt für ENERGIE und ZEIT.
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Zum Mitnehmen
Die elektromagnetische Strahlung hat bei kurzen Wellenlängen
Teilchencharakter, d.h. die Strahlung besteht aus Wellenpaketen
die bestimmte Energie und Impuls haben.
Experimentell wurde diese Quantisierung der e.m. Wellen beobachtet
durch:
Photoeffekt
Comptonstreuung
die alle nur verstanden werden können, wenn die Lichtquanten
oder Photonen eine
besitzen.
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Energie hv
Impuls hv/c=h/λ
Masse m=E/c2=hv/c2=p/c
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