Vorwort Seite 3 Das Geheimnis Seite 4 der Hüte Die - mpg

Vorwort
Seite 3
Das Geheimnis
der Hüte
Seite 4
Die Abschneideregel
Seite 6
Das Problem mit
der Brücke
Seite 15
Die 1,3,2-Regel
der Zahl 7
Seite 17
Nichttransitive
Glücksräder
Seite 28
Witze
Seite 34
Und schon wieder ist ein halbes Schuljahr
vergangen; es ist also wieder an der Zeit einen
neuen MADMAX herauszubringen.
Diesmal testen wir einige viele Zahlen auf ihre
Teilbarkeit, werden von Inkas gefangen, versuchen
unser Glück mit Rädern und bestanden viele
weitere Abenteuer, die wir glücklicherweise
überlebten.
Ein kleines Rätsel soll eure grauen Zellen ebenfalls
anregen. Weitere Rätsel dieser Art findet ihr
übrigens unter www.denknetzwerk.de
Damit der Humor nicht zu kurz kommt, haben wir
diesmal zum ersten Mal (abgesehen von den
Schneiderwitzen der letzten Ausgabe) eine
Witzeseite.
Euer Matheteam
P.S.: Schaut euch doch auch mal im Intranet unser
neues Geometrieprogramm EuklidDynaGeo
an.
Es waren einmal drei Schatzsucher, die auf der
Suche nach der „Goldenen Inkapyramide“ waren.
Leider vielen sie den Inkas in die Hände. Da der
Häuptling
mit einem der Sucher verwandt war, stellte er sie auf
die Probe:
„Ich habe hier drei rote und zwei gelbe Hüte. Jeder
von euch bekommt heimlich einen Hut aufgesetzt,
dann werdet ihr euch gegenüber gestellt und müsst
erraten welchen Hut ihr auf habt. Ihr dürft allerdings
kein Wort miteinander sprechen!“
Gesagt getan. Die Schatzsucher bekamen ihre Hüte
auf. Sie überlegten eine Weile. Schließlich riefen alle
wie aus einem Mund: „Ich habe einen roten Hut auf!“
Richtig! Aber wie kamen sie darauf? Nun, um diese
Aufgabe zu lösen muss man sich in die Lage der
Forscher
hineinversetzen.
Was
kann
alles
passieren?
Person A sieht, dass Person B einen gelben Hut hat
und C auch, dann muss A einen roten Hut haben.
Dies trifft in unserem Fall aber nicht zu.
A sieht, dass B einen gelben und C einen roten Hut
auf dem Kopf hat. Nun überlegt sich A ganz richtig:
Wenn ich einen gelben Hut auf dem Kopf hätte, dann
müsste C ja je die beiden grauen Hüte bei mir und
bei B sehen und sogleich verkünden, dass er selbst
einen roten Hut trüge. Da C dies aber nicht tut, kann
A daraus schließen, dass er einen roten Hut trägt.
Das trifft bei unserem Fall allerdings nicht zu.
A sieht bei B und C rote Hüte. Wenn A einen gelben
Hut trüge, müsste B, und natürlich auch C, die
Überlegung der zweiten Möglichkeit anstellen, d. h.
einer müsste behaupten einen roten Hut aufzuhaben.
Da dies aber nicht geschieht, geht daraus hervor,
das auch A einen roten Hut trägt.
Der Inka-Häuptling hat also nur rote Hüte
verwendet.
„Gut Ding braucht Weile“
Von Tom Jakobs &
Jens Gierke
1.Einführung
In unserer Klasse haben wir Teilbarkeitsregeln
durchgenommen. Dabei ist uns aufgefallen, dass es
keine Regel für die 7 gab. Es interessierte uns,
warum es keine Regel für die 7 gibt.
Unser Mathelehrer schaute dann im Internet nach.
Dort fand er ein paar Regeln für die Zahl 7. Eine
dieser Regeln wird in unserer Arbeit erklärt.
2.Regel und Beispiele
Die Regel, die wir ausgewählt haben, nennen wir
„Abschneideregel“, weil zuerst die beiden letzten
Stellen abgeschnitten werden. Dann wird das, was
übrig bleibt, mit 2 multipliziert. Anschließend
werden die beiden abgeschnittenen Ziffern wieder
dazu addiert.
Das kann man so lange machen, bis die Zahl nur
noch 2 Stellen hat. Ist diese zweistellige Zahl durch
7 teilbar, so ist auch die Anfangszahl durch 7
teilbar.
Alles klar? Nein?
Dann machen wir ein paar Beispiele:
1  581
2  427
3  200006
2⋅5 81
= 10 81
= 91
7∣91
also : 7∣581
2⋅4 27
= 8 27
= 35
7∣35
also : 7∣4 27
2⋅2000 6
=40006
= 4006
2⋅40 6
= 80 6
= 86
7∣86" nicht
also:7∣200006 nicht
3. Begründung der Regel
Die Regel scheint zu funktionieren, aber sie war
uns unverständlich. Zuerst haben wir uns deshalb
gefragt, was das Abschneiden der letzten beiden
Ziffern bedeutet. Das sieht man, wenn man die
Zahl zerlegt:
581= 500 81
= 5⋅100 81
Das erinnerte uns an den Beweis der Dreierregel.
Dort haben wir die 100 in 99+1 zerlegt, weil die 99
durch 3 teilbar ist.
Hier müssen wir 100 = 98 + 2 schreiben, weil 98
durch 7 teilbar ist.
Also: 581= 5⋅98 2  81
Dann wenden wir das Distributivgesetz an, also:
5⋅985⋅281 .
Und da wir wissen, dass 7 die 98 teilt, können wir
5⋅98 weglassen, so dass wir nur noch 5⋅281
untersuchen müssen. Und das ist ja genau wieder
unsere Regel! Also lässt man einfach einen Teil
weg, der ja durch 7 teilbar ist. Und da 5⋅281 =
91 ist , und 7|91 weiß man , dass 581 auch durch 7
teilbar ist.
Auch bei einer vierstelligen Zahl ist die
Begründung die Gleiche. Als Beispiel haben wir
uns die Zahl 4263 ausgesucht:
4263
= 420063
= 42⋅10063
= 42⋅ 982 63
= 42⋅98 42⋅263
42⋅98
können wir weglassen, da wir
wissen, dass 98 durch 7 teilbar ist (s.o.). Also muss
man wieder die beiden letzten Ziffern und das
Produkt addieren. Ist diese Summe auch durch 7
teilbar, dann ist die ganze Zahl durch 7 teilbar.
4. Übertragung auf die
Zahl 11
Außerdem haben wir uns gefragt ob diese Regel
auch für die Zahl 11 gilt. Wegen 5621 = 511 ¿11
ist diese Zahl durch 11 teilbar und wir haben die
Regel angewendet.
5621
=2⋅5621
=11221
=131
Pech: 131 ist nicht durch 11 teilbar. So funktioniert
die Regel also nicht. Der Fehler liegt vielleicht bei
der Multiplikation mit 2 und wir haben
nachgesehen woher die 2 kommt. Es liegt an der
Aufteilung der Hunderter: x⋅100= x⋅  982  ,
wobei wir die 98 hatten, weil sie durch 7 teilbar
war. Hier brauchen wir eine Zahl, die durch 11
teilbar ist und das wäre die 99:
x⋅100= x⋅  991 
= x⋅99 x⋅1
Wir müssen also mit 1 multiplizieren.
Zweiter Versuch:
5621
56⋅121
= 77
Die Regel ist für die 11 also noch einfacher:
abschneiden und addieren .
5. Übertragung auf die
Zahl 13
Nachdem es bei der Zahl 11 so gut funktioniert hat,
haben wir uns überlegt ob die Regel auch bei 13
funktioniert. Wir müssen nur 100 = 91 + 9
zerlegen, weil 91 durch 13 teilbar ist.
273=2⋅100 73
=2⋅ 919  73
=2⋅912⋅9 73
Und da wir wissen das 91 durch 13 teilbar ist,
müssen wir 2⋅91 nicht mehr ausrechnen. Der
Unterschied zur 11-Regel ist, dass man mit 9
anstatt mit 1 multiplizieren muss.
Also:
273
2⋅9 73
=18 73
=91
Da 91 durch 13 teilbar ist, ist auch 273 durch 13
teilbar.
Das ganz hat einen Nachteil:
Wegen der
Multiplikation mit 9 können die Zahlen sehr groß
werden. Wir wenden z.B. die Regel auf 7423 an:
7423
74⋅923
= 666 23
= 689
Das ist viel Rechenarbeit.
Idee:
Statt 100=91 9
schreiben
wir
100= 104− 4 und dann ändern wir die Regel:
7423
74⋅ 104− 4  23
74⋅104
− 74⋅4 23
Leider können wir −296 23 nicht rechnen und
die Idee ist nicht brauchbar (Unser Lehrer hat uns
aber erklärt, dass man hier mit Minuszahlen
rechnen kann: - 296 + 23 =
- 273 und da 273 durch 13 teilbar ist, gilt die Regel
auch so).
6.
Überprüfung
weitere Primzahlen
auf
Nach unserer Erfahrung mit der 13 könnten bei der
17, der 19 usw. noch größere Zahlen auftreten. Bei
17 muss man statt wie bei der 13 mit 9 mit der 15
multiplizieren, weil die größte durch 17 teilbare
Zahl unter 100 die 85 ist . Und da die Differenz
von 100 und 85 15 ist, muss man mit 15
multiplizieren. Wir machen jetzt mal ein Beispiel
mit der 17 :
2992
29⋅15 92
= 435 92
= 527
5⋅15 27
= 75 27
= 102
1⋅15 2
= 17
Und da 17 durch 17 teilbar ist 2992 ebenfalls durch
17 teilbar.
7. Schlusswort
Es ist uns gelungen die Regel für die Zahl 7 zu
beweisen und zu erklären. Darauf fragten wir uns
ob diese Regel auch für andere Zahlen gilt. Wir
benutzten die Regel für die Zahlen 11, 13 und 17.
Auch bei diesen Zahlen funktionierte die Regel
bestens. Wir mussten sie nur anpassen. Es
funktioniert bei allen Primzahlen. Die anderen
natürlichen Zahlen müssen wir nicht überprüfen da
es für diese Zahlen schon Regeln gibt.
1.Einführung
Wir haben in der Schule mit unserem Mathelehrer Teilbarkeitsregeln behandelt und mussten
feststellen, dass es keine Regel zur Teilbarkeit der Zahl 7 gibt. Zufällig hat unser Mathelehrer
im Internet Regeln zur Teilbarkeit der Zahl 7 gefunden und da wir uns sofort dafür
interessierten nannte er uns eine: Die 1,3,2-Regel. Wir verstanden sofort, warum wir sie nicht
behandelt hatten: Sie ist sehr kompliziert. Da wir noch in einer Mathematik-AG mitarbeiten
haben wir dann beschlossen, die Regel für „Schüler experimentieren“ genauer zu
untersuchen.
2. Die 1,3,2-Regel
Man stellt fest ob eine 3-stellige Zahl durch die Zahl 7 teilbar ist, mit der folgenden Methode:
Man multipliziert die letzte Ziffer mit 1, die vorletzte mit 3, die erste mit 2 und addiert alle
Produkte. Ist die Summe durch 7 teilbar, dann auch die Anfangszahl . Die so bestimmte
Summe wird ähnlich gebildet wie die Quersumme, aber die einzelnen Ziffern werden
unterschiedlich stark gewichtet. Deshalb spricht man von einer gewichteten Quersumme.
Beispiel 1:
Die Zahl 693 soll untersucht werden. Wir berechnen zuerst die gewichtete Quersumme:
3⋅1 9⋅3 6⋅2
= 3 27 12
= 42
Die gewichtete Quersumme 42 ist durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 693
Probe: 693=99⋅7
Beispiel 2:
Die Zahl 987 soll auch untersucht werden. Wir berechnen wieder zuerst die gewichtete
Quersumme:
7⋅1 8⋅39⋅2
= 7 24 18
= 49
= 7⋅7
⇒ 7 teilt 987
Die gewichtete Quersumme 49 ist durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 987.
Ist eine Zahl nicht durch 7 teilbar, dann ist auch die gewichtete Quersumme nicht teilbar. Das
zeigt das folgende Beispiel:
Beispiel 3:
449=9⋅1 4⋅3 4⋅2
=9128
=29
Wie man direkt sieht ist 29 nicht durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 449 nicht.
3. Begründung der Regel
Als wir im Unterricht die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 besprochen haben, haben wir die
Zahlen so zerlegt, dass ein Teil durch 3 oder 9 teilbar war. Der Rest war dann die
Quersumme. Wenn die auch teilbar war, dann war es die ganze Zahl.
Beispiel 4:
957
= 9⋅100 5⋅10 7⋅1
= 9⋅ 99 1  5⋅ 9 1  7⋅1
= 9⋅99 6⋅1 5⋅9 5⋅1 7⋅1
=  9⋅99 5⋅9   6 5 7 
durch 9
teilbare Zahl
Quersumme
Weil bei der 7er Regel auch so etwas wie eine Quersumme auftritt, haben wir dasselbe
probiert. Wir mussten statt 9, 99 oder 999 aber andere Zahlen wählen, die man durch 7 teilen
kann.
Das geht so wie im nächsten Beispiel.
Beispiel 5:
983
= 9⋅100 8⋅10 3⋅1
= 9⋅ 98 2  8⋅ 7 3  3⋅1
= 9⋅98 9⋅7 9⋅2 8⋅3 3⋅1
= 9⋅98 8⋅7   9⋅2 8⋅3 3⋅1 
durch 7
teilbare Zahl
gewichtete
Quersumme
Bei der Zerlegung der Zahl kommt ein Teil heraus der durch 7 teilbar ist und ein anderer der
die gewichtete Quersumme ist. Daher können wir einfach nach der Regel die gewichtete
Quersumme bestimmen und prüfen, ob sie durch 7 teilbar ist.
4. Übertragung der Regel auf mehrstellige Zahlen
Wir testen nun eine 4-stellige Zahl 8743. Bei diesem Beispiel haben eine Zahl genommen die
durch 7 teilbar ist und versucht, ob man auch die Regel anwenden kann. Weil wir nun vier
Stellen haben, müssen wir die Regel ändern: wir brauchen noch einen Faktor! Als erstes
dachten wir, wir können wieder mit 1 beginnen (1-3-2-1-3-2-1-3-2- ... –Regel).
Beispiel 6:
3⋅1 4⋅3 7⋅2 8⋅1
= 3 12 14 8
= 37
Problem:7 teilt 37 nicht aber 7 teilt 8743!
Leider lässt sich die Regel so leicht nicht übertragen. Deshalb haben wir nachgedacht und in
unseren Beweis gesehen: wir müssen die 1000 auch zerlegen.
Beispiel 7:
8⋅1000 7⋅100 4⋅10 3⋅1
= 8⋅994 6  7⋅ 98 2 4⋅ 7 3 3⋅1
= 8⋅994 8⋅6 7⋅98 7⋅2 4⋅7 4⋅3 3⋅1
=  8⋅994 7⋅98 4⋅7   8⋅6 7⋅2 4⋅3 3⋅1
Hier ist die erste Klammer sicher durch 7 teilbar, weil 994, 98 und 7 durch 7 teilbar sind.
Das heißt, dass die zweite Klammer entscheidet. Das heißt, dass die Regel erweitert werden
muss zur 1,3,2,6, -Regel, wenn wir vierstellige Zahlen untersuchen wollen.
Auch für fünf- und sechsstellige Zahlen mussten wir neue Faktoren suchen, wie die beiden
nächsten Beispiele zeigen.
Beispiel 8:
47285
= 4⋅10000 7⋅1000 2⋅100 8⋅10 5⋅1
= 4⋅ 9996 4  7⋅ 994 6  2⋅ 98 2  8⋅ 7 3  5⋅1
=  4⋅9996 7⋅994 2÷ 98 8⋅7   4⋅4 7⋅6 2⋅2 8⋅3 5⋅1 
teilbare Zahl
gewichtete
Q.S.
Beispiel 9:
435995
= 4⋅1000003⋅100005⋅10009⋅1009⋅105⋅1
= 4⋅ 999955 3⋅ 9996 4 5⋅ 9946 9⋅ 982 9⋅ 73 5⋅1
= 4⋅999953⋅99965⋅9949⋅989⋅7  4⋅53⋅45⋅69⋅29⋅35⋅1 
teilbare Zahl
gewichtete Q.S.
Also haben wir jetzt eine 132645-Regel.
Beispiel 10:
4853954
= 4⋅10000008⋅1000005⋅100003⋅10009⋅1005⋅10 4⋅1
= 4⋅ 9999991 8⋅ 999955 5⋅ 9996 4 3⋅ 982 5⋅ 73  4⋅1
= 4⋅999998⋅999955⋅99963⋅985⋅7  4⋅18⋅55⋅43⋅25⋅3 4⋅1 
teilbare Zahl
gewichtete Q.S.
Das ist umständlich. Aber dann hatten wir eine Idee: Statt 1000 = 994 + 6 kann
man auch
1000 = 1001-1 schreiben
Genauso für 10000 = 999+4 = 1000002 – 2.
Nach diesen Rechnungen haben wir direkt gesehen, dass wir nur eine 1,3,2-Regel
brauchen. Wir müssen nur nach 1,3,2 mit –1,-3,-2 rechnen. Dann immer abwechselnd
„Plus“ und „Minus“. Für unser 4-stelliges Beispiel sieht das dann so aus:
Beispiel 11:
8743=3⋅1 4⋅3 7⋅2−8⋅1
=31214−8
=29−8
=21
⇒ 21 teilt 7
Beispiel 12:
735854161
1⋅1 3⋅6 2⋅1− 1⋅4− 3⋅5− 2⋅8 1⋅5 3⋅3 2⋅7
= 1 18 2− 4− 15− 16 5 9 14
= 14
7 teilt"14
5. Übertragung auf die Zahl 11
Nachdem das mit der Zahl 7 so gut geklappt hat, dachten wir uns, man müsste die Regel doch
eigentlich auch auf andere Zahlen übertragen können. Jetzt stellte sich die Frage, auf welche
Zahl man die Regel übertragen könnte. Dann dachten wir an die Zahl 11. So war die Idee der
Übertragung auf die Zahl 11 geboren.
Wir haben als Beispiel die Zahl 847= 11⋅77 untersucht.
Wir zerlegen die Zahl wieder: 847=8⋅100 4⋅10 7⋅1 . Hier sieht man gleich das
Problem:
die 11 ist größer als 10! Aber man kann 10 = 11 – 1 schreiben.
Neuer Versuch:
847
=8⋅ 991  4⋅ 11− 1  7⋅1
= 8⋅99 4⋅11   8⋅1− 4⋅1 7⋅1 
Wir müssen nur die letzte Klammer untersuchen und die ist 11 und damit durch 11 teilbar.
Für die anderen Zehnerpotenzen haben wir ebenfalls die Faktoren gesucht und in die folgende
Tabelle geschrieben:
1
0
=
11 -1
10
=
99 +1
100
=
1001 -1
1000
=
9999 +1
0
0
0
10000
0
= 100001 -1
Daraus schließt sich : Es geht immer weiter : +1, -1, +1..................
Beispiel:
2914087 = 2914087=11⋅264917
Test:
2914087=200000090000010000 400080 7
=2⋅9999991 8⋅100001−1 1⋅99991  4⋅1001−1 8⋅11−1  7⋅1
=2⋅9999992⋅18⋅100001−8⋅11⋅99991⋅1 4⋅1001− 4⋅18⋅11−8⋅1 7⋅1
=2⋅9999998⋅100001−1⋅9999 4⋅1001−8⋅11 2⋅18⋅1−1⋅1 4⋅1−8⋅1 7⋅1 
durch 11 teilbare Zahl
Q.S. durch 11 teilbar
Übertragung auf die Zahl 13
Durch die Jury beim „Jugend forscht“ - Regionalwettbewerb in Bitburg erhielten wir die
Anregung, eine ähnliche Teilbarkeitsregel, wie die „1,3,2-Regel für die Zahl 7,nicht nur für
die Zahl 11, sondern auch für die Zahl 13 zu erstellen. Dies haben wir versucht, anschaulich
an der Zahl 871 (= 13x67) anschaulich darzustellen.
Eine Übertragung der Regel kann dann folgendermaßen aussehen:
871
= 8⋅100 7⋅13− 3 1⋅1
= 8⋅91 9  7⋅ 13− 3 1⋅1
= 8⋅91 8⋅9 7⋅13 7⋅3− 3 1⋅1
=  8⋅91 7⋅13  8⋅9 7⋅13− 3 1⋅1 
=  8⋅7⋅13 7⋅13  8⋅9 7⋅3− 3 1⋅1 
=  8⋅7⋅13 7⋅13  91
Durch 13 teilb. Zahl
gew. Q.S.
Begründung der Regel
Die Zahlen in der 1. Klammer sind durch „13“ teilbar, da jeweils das Produkt ein vielfaches
der Zahl „13“ ist.
Die 2. Klammer bildet die gewichtete Quersumme. In unserem Fall ist die Summe eine durch
„13“ teilbare Zahl, wie man auch in dieser Zeile sehen kann.  8⋅7⋅13 7⋅13 91
Somit können wir feststellen, dass die Übertragung der 1,3,2-Regel auch auf die Zahl 13
möglich ist.
6. Schlusswort
Wir haben eine etwas merkwürdige Teilbarkeitsregel für die Zahl 7 untersucht. Wir haben sie
an Beispielen getestet und begründet. Wenn die Zahlen mehr als drei Stellen hatten, konnte
man die Regel nicht mehr anwenden und wir haben neue Faktoren gesucht, mit denen wir die
neuen Ziffern multiplizieren mussten. Nachdem wir insgesamt 6 Faktoren gefunden hatten, ist
es wieder bei 1 losgegangen und wir haben auch bemerkt , dass man nicht die Faktoren
1,3,2,6,4,5 benutzen muss, sondern dass man auch 1,3,2,-1,-3,-2 abwechselnd verwenden
kann.
Dann haben wir für die Zahl 11 noch eine ähnliche Regel gefunden. Für andere Primzahlen
könnte man es auch versuchen. Aber im Prinzip wird es genauso gehen.
Bei einem unserer letzten Treffen zeichnete Herr
Willkomm drei Kreise mit jeweils drei Zahlen
(Glücksräder) an die Tafel.
1
1) 8
2)
3) 6
5 9
3 4
7 2
Dann fragte er uns, welches Rad wir bei einem Spiel
der drei Räder gegeneinander wählen würden, um zu
gewinnen. Wir ließen jedes der drei Räder gegen die
zwei anderen „antreten“, denn wir wollten wissen
welches das „Beste“ war. Bleibt z.B. Rad 1) bei 3
stehen und Rad 2) bei 5, hat natürlich Rad 2)
gewonnen. Insgesamt gibt es 9 verschiedene
Möglichkeiten, die alle gleich wahrscheinlich sind: (8;9),
(8;5), (8;1), (4;9),....., (3;1)
1)gegen 2)
2 \ 1
1
5
9
8
1)
1)
2)
3
1)
2)
2)
4
1)
2)
2)
Wie die Tabelle zeigt, sind fünf der Möglichkeiten für
Rad 2) günstig, aber nur 4 für Rad 1). Man sagt: Rad 1)
4
gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von
, Rad 2)
9
5
. D.h., dass im
mit einer Wahrscheinlichkeit von
9
Mittel Rad 2) in 5 von 9 Fällen der Sieger bleibt, kurz:
Rad 2) gewinnt 5:4!
2)gegen 3)
3 \ 2
6
7
2
1
3)
3)
3)
5
3)
3)
2)
9
2)
2)
2)
Klarer Fall: 3) gewinnt gegen 2) und 2) gegen 1)! Also
ist Rad 3) wohl das „Stärkste“, und schlägt Rad 1)
wahrscheinlich locker!?
3)gegen 1)
1 \ 3
8
3
4
6
1)
3)
3)
7
1)
3)
3)
2
1)
1)
1)
Überraschung: 1) gewinnt 5:4
Das ist verblüffend, man stelle sich vor: Peter ist kleiner
als Ralf, Ralf kleiner als Roman und Roman kleiner als
Peter!?
DDie Glücksräder sind nicht transitiv (transitiv wären
sie, wenn 2) gegen 1) gewinnen würde, 3) gegen 2) und
deshalb 3) auch gegen 1) gewinnen würde).
DEs ist egal welches Glücksrad man nimmt, die
Gewinn-/ Verlierchancen sind immer gleich (wobei gilt:
2)>1), 3)>2),1)>3);)
Einem von uns fiel auf, dass jedes Glücksrad einer
Spalte eines magischen Quadrates (für alle die nicht
wissen was ein magisches Quadrat ist: bei einem
magischen Quadrat sind die Summen von Zeilen,
Spalten und Hauptdiagonalen identisch) der Größe 3x3
entspricht:
Hier spielen jetzt nicht Glücksräder
gegeneinander, sondern Spalten
eines magischen Quadrates.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Nun interessierte es uns natürlich ob ein
Zusammenhang zwischen den nicht transitiven
Glücksrädern und den magischen Quadraten besteht.
Also probierten wir das ganze mit einem magischen
Quadrat der Größe 5x5:
1 2 3 4 5
1
7
2
3
0
4
1
0
1
1
2
4
0
5
0
6
1
2
1
8
0
1
0
7
1
3
1
9
2
5
Ergebnis:
1-2
2-3
3-4
4-5
5-1
0
8
1
4
2
0
2
1
0
2
15
16
22
03
09
11:14
11:14
11:14
11:14
11:14
Also: Auch ein magisches Quadrat der Größe 5x5 kann
man zur Bildung nichttransitiver Glücksräder nutzen.
War diese Aussage zu verallgemeinern? Da wir für
beliebige magische Quadrate keinen Ansatz fanden,
haben wir uns auf magische Quadrate mit folgendem
Konstruktionsverfahren konzentriert:
Man fängt mit der „1“ oben in der Mitte an.
1)
1
2)
1
Nun setzt man die nächste Zahl nach oben
rechts. Da das hier nicht möglich ist, geht man
2 an das andere Ende der Zeile/Spalte.
1
Hier das Gleiche: Oben rechts, an das andere
Ende der Zeile/Spalte.
3)
3
2
4)
1
3
4
Wenn man bei der n x X-ten (bei einem
Quadrat n x n) angekommen ist geht man ein
2 Feld nach unten.
5)
Nun geht das Ganze wieder von Vorne los.
1
Hier funktioniert es mit oben rechts.
3 5
4
2
6)
1 6 Wieder nach oben rechts, geht nicht, also ans
andere Ende der Zeile/Spalte.
3 5
4
2
7)
1 6 Hier ebenfalls.
3 5 7
4
2
8)
Hier wieder ein Feld nach unten.
8 1 6
3 5 7
4
2
9)
8 1 6 Noch einmal. Jetzt ist es fertig!!!
3 5 7
4 9 2
Die Frage war nun, ob aus dieser speziellen
Konstruktionsmethode folgt, dass mit größerer
Wahrscheinlichkeit von zwei benachbarten Spalten
immer die linke gegen die rechte verliert (die letzte
Spalte wird dabei zum linken Nachbarn der ersten
ernannt).
Jetzt gab Herr Willkomm uns den Tipp, die Methode
einmal ohne „Quadratbegrenzung“ auszuprobieren. Das
ganze sieht dann folgendermaßen aus:
Mannschaft:
2 3 1 2
1
5
9
1
2
6
7
2
3
4
8
3
4
1
5
9
1
5
3
2
6
7
2
6
7
1
2
3
3 5 7
4 9 2
8 1 6
3 5 7
4 9 2
8 1
1
2
3
1
2
3
3
4
8
3
4
5
9
1
5
7
2
6
7
3
4
8
5
9
1
7
2
Aber auch dieser Ansatz brachte uns nicht weiter, da
das Schema zu komplex wird. Vielleicht könnt ihr uns ja
weiterhelfen (wendet euch dann an H. Willkomm).
Jonas Scherer
& Andreas Dixius