Teilbarkeit durch 19
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mathewochenende 7.-9.12.01 Teilbarkeit durch 19, 29, 39 (Idee von Floderer/Schneider MNU 54-6) Michael Spielmann Teilbarkeit durch 19 Als zentraler Satz der Teilbarkeitslehre wird vorausgesetzt: ) ( t a ) und ( t b ) t a+b ) ( t a ) und ( t b ) ( t a+b) ) ( t a ) und ( t a+b) ( t b ) ) ( a – 1 ) (an – 1) 1. Teilbarkeit durch 9 Wir kennen die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch 3 und 9. Wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 9 teilbar, und umgekehrt Beleg der Regel am Beispiel 4257 4257 = 41000 + 2100 + 510 + 7 = 4999 + 4 + 299 + 2 + 59 + 5 + 7 = 9(4111 + 211 + 51) +4 + 2 + 5 + 7 ist teilbar durch 9 ist Quersumme 2. Teilbarkeit durch 19 Gibt es eine vergleichbare Regel für die Teilbarkeit durch 19? Wir betrachten die ersten Vielfachen von 19 19 1 + 9 = 10 fehlen 9 38 3 + 8 = 11 fehlen 8 57 5 + 7 = 12 fehlen 7 Wir vermuten: Die Zehnerziffer plus das Doppelte der Einerziffer ist durch 19 teilbar. Wie sieht das aus bei dreistelligen Zahlen? Jetzt ist der Hunderter dazu gekommen. Wir trennen die Einerziffer ab. 114 = 619 11 + 24 = 19, klappt 437= 1923 43 + 27 = 57, stimmt. Und bei vierstelligen? 1729 = 9119 172 + 18 = 190, geht auch. Wir formulieren die Regel: Schneide die Einerziffer der Zahl ab und bilde die Summe aus der abgeschnittenen Zahl und dem Doppelten der abgeschnittenen Einerziffer; ist das Ergebnis durch 19 teilbar, so ist die ursprüngliche Zahl durch 19 teilbar und umgekehrt. Kann man durch fortgesetztes Anwenden dieses Abschneidens die Zahlen verkleinern? Klar. 323 = 1719 323 32+23 = 38 3+28 = 19 13547 = 71319 13547 1354 + 14 =1368 136 + 16 = 152 15 + 4 = 19 Wir beweisen die Regel: ab sei eine zweistellige Zahl, ab = 10a + b 19 ab 19 10a + b = 10( a + 2b ) – 19b 19 a + 2b abc sei eine dreistellige Zahl, abc 100a 10b c 10ab c mathewochenende 7.-9.12.01 Teilbarkeit durch 19, 29, 39 (Idee von Floderer/Schneider MNU 54-6) Michael Spielmann 19 abc 19 10 ab + c = 10( ab + 2c ) – 19c 19 ab + 2c Das hat aber noch nicht so viel mit Quersummen zu tun. Was ist mit der letzten Ziffer passiert? Sie ist wiederholt mit 2 multipliziert worden. Kann man das Abschneiden und Verdoppeln der letzten Ziffer zusammengesetzt als Vervielfachen mit Zweierpotenzen ausdrücken? (Wir würden dann eine gewichtete Quersumme bilden, ähnlich wie wir es bei den Restestreifen, bei der Teilbarkeit mit 11 kennen gelernt haben). 1539 = 8119 2356 = 22419 11 + 52 + 34 + 98 = 95 = 519 21 + 32 + 54 +68 = 76 = 419 Wir formulieren die Regel: Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 19, wenn die mit fortlaufenden Zweierpotenzen gewichtete Quersumme (vorne beginnend) durch 19 teilbar ist. Bevor wir allgemein beweisen, probieren wir am Beispiel: 2356 2 1 3 2 5 4 6 8 2 1000 3 2000 5 4000 6 8000 2000 300 50 6 0 3 1900 5 3990 6 7999 3 100 19 5 10 399 6 7999 ist die gewichtete Quersumme mal 1000 genommen und die Zahl davon subtrahiert, ergibt 3 10 2 (20 1) 5 101 (20 2 1) 6 100 (203 1) stets durch 19 teilbare Summanden. Beweis: Die Zahl sei an 10 n an1 10 n1 a1 10 a0 . Die gewichtete Quersumme ist dann an 2an1 2 2 an2 2 n a0 . Sie wird mit 10 n multipliziert. 10 n (an 2an1 2 2 an2 2 n a0 ) Und dann subtrahieren wir die Zahl selbst. 10 n (a n 2a n 1 2 2 a n 2 2 n 1 a1 2 n a0 ) (a n 10 n a n 1 10 n 1 a1 10 a0 ) 10 n a n 2 10 n a n 1 2 2 10 n a n 2 2 n 1 10 n a1 2 n 10 n a0 (a n 10 n a n 1 10 n 1 a1 10 a0 ) a n (10 n 10 n ) a n 1 (2 10 n 10 n 1 ) a1 (2 n 1 10 n 10) a0 (2 n 10 n 1) a n 1 10 n 1 (20 1) a1 10 (2 n 1 10 n 1 1) a0 (2 n 10 n 1) a n 1 10 n 1 (20 1) a1 10 (20 n 1 1) a0 (20 n 1) Die Klammern sind alle durch 19 teilbar, also ist die Zahl durch 19 teilbar.# Jetzt werden wir mutig. Gibt es eine ähnliche Regel für die Teilbarkeit durch 29, 39, ...? Ja, die gibt es. Und den Beweis? Den liefern wir jetzt mal nicht.
