Diskrete Mathematik 1 - CITS - Ruhr

Ruhr-Universität Bochum
Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit
Prof. Dr. Alexander May
M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer
Hausübungen zur Vorlesung
Diskrete Mathematik 1
WS 2008/09
Blatt 7 / 02. Dezember 2008 / Abgabe bis 09. Dezember 2008, 08.00 Uhr,
in die Kästen auf NA 02
AUFGABE 1 (5 Punkte):
Gegeben Sei folgender gerichteter Graph D = (V, E):
- 2
6
- 3
- 5
?
- 6
1
4
(a) Ist D schwach oder stark zusammenhängend oder beides? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Warshall eine transitive Hülle von D. Geben
Sie dazu nach jeder Iteration der Hauptschleife die Matrix W [i, j] an.
AUFGABE 2 (6 Punkte):
(a) Berechnen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler
von 10440 und 2154. Geben Sie dabei die Rechenschritte an.
(b) Bestimmen Sie (von Hand) die letzten beiden Dezimalstellen von 1121 . Geben sie Ihre
Rechenschritte an.
(c) Lösen Sie die lineare Kongruenz
21x ≡ 28 (mod 35).
Geben Sie Ihre einzelnen Überlegungen und Rechenschritte an.
AUFGABE 3 (3 Punkte):
Eine natürliche Zahl z sei gegeben durch ihre Dezimaldarstellung ak . . . a1 a0 . Dabei gelte
3|(k + 1). Falls nicht, ergänze man die Darstellung von z um führende Nullen. Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke von z ist definiert durch a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + . . . +
k−2
(−1) 3 ak ak−1 ak−2 .
Hierbei ist ai ai−1 ai−2 die Dezimaldarstellung einer dreiziffrigen Zahl zwischen 000 und 999.
Beweisen Sie folgende Aussage:
Eine ganze Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme der
Dreierblöcke durch 7 teilbar ist.
AUFGABE 4 (6 Punkte):
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für a, b ∈ Z gilt:
|ab| = ggT(a, b)kgV(a, b).
(b) Seien a, b ∈ Z teilerfremd. Dann existieren zwei Zahlen x, y ∈ Z mit
xa2 + yb = a − 1.