Mathetreff: Lösungen der Knobelaufgaben für die Oberstufe

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Mathetreff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Oberstufe
März-Mai 2015
Aufgabe 1
Geometrie
Die Punkte A, B und P liegen auf der Kreislinie also auf der
Peripherie des Kreises. Der Winkel SAPQ = 90° ist nach
Voraussetzung ein rechter Winkel und ist ein Peripheriewinkel
bzw. Umfangswinkel. Nach der Umkehrung des Thalessatzes
(Wenn ein Peripheriewinkel ein rechter Winkel ist, dann ist die
dem rechten Winkel gegenüberliegende Strecke im Kreis der
Durchmesser bzw. die größte Sehne im Kreis.) ist AB der
Durchmesser des Kreises.
Aufgabe 2
Funktionen ‘mal anders
(A1): (2) in Verbindung mit (1) bedeutet: Für x, y  IR gilt: x ≤ y ⇔f(x)≤ f (y)
(A2): (4) bedeutet: f(-3) = 0 und f(3) = 0.
Wegen (A1) folgt für alle x[-3, 3], dass f(x) = 0 ist. Dies ist kein Widerspruch zu (A2), da (A2) nur
aussagt, dass -3 und 3 Nullstellen sind.
Für die anderen Intervalle des Definitionsbereiches gibt es keine weiteren Aussagen. Es wären also
unter anderen folgende Funktionsterme möglich:
b
ì
ï mx + b, für x < -3und m,b Î IR mit m = 3
ï
f (x)= í
0 , für - 3 £ x £ 3
ï
-b
ï mx + b, für x > 3und m,b Î IR mit m =
3
î
Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten der Lösung dieser Aufgabe. Sollte hingegen die
Voraussetzung von „monoton steigend“ in „streng monoton steigend“ geändert werden, so gibt es
keine Lösung, wie man sich leicht überlegt.
Aufgabe 3
Teilbarkeit
Eine Zahl ist dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
Die Zahl ist demnach folgendermaßen darstellbar: 63xy5, wobei x die Hunderterstelle und y die
Zehnerstelle der gesuchten Zahl jeweils ist. Für x, y gilt: x, y  IN0 und 0≤ x, y<10.
Für die Quersumme gilt: 6+3+5+x+y = 14+x+y. Wir nennen den Term 14+x+y:= q.
Der Term q(x|y) kann folgende Werte annehmen: q(0|0) = 14 und q(9|9) = 32.
Aber nur die Quersummen 18 und 27 sind durch 9 teilbar.
Falls die Zahl die Quersumme 18 hat, gilt:18 = q(0|4) =q(1|3)=q(2|2)=q(3|1)=q(4|1).
Für die Quersumme 27 gilt entsprechend: 27 = q(9|4) =q(8|5)=q(7|6)=q(6|7)=q(5|8)= q(4|9).
a) Man kann die Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 an die dritte Stelle setzen. Dann stehen an der vierten Stelle
die Ziffern in der Reihenfolge 4, 3, 2, 1 und 0. Weiterhin sind die Ziffern 9, 8, 7, 6, 5, 4 an der dritten
Stelle möglich, wenn gleichzeitig an der vierten Stelle die Ziffern 4, 5, 6, 7, 8, 9 stehen.
b) Es gibt also elf verschiedene Lösungen.
c) Da die unter a) gefundenen Zahlen alle durch 9 teilbar sind und außerdem auch noch durch 5
teilbar sind, weil die letzte Ziffer eine 5 ist, sind alle unter a) bzw. b) gefundenen Lösungen auch
durch 15 teilbar.