Übungsbla 2 zum Modul G

Dr. M. Ensenbach
Department Mathematik
Universität Siegen
Siegen, den 5. September 2017
Übungsblatt 2 zum Modul G
Vorkurs Mathematik 2017
Aufgabe 1
Man zeige jeweils die Aussage nur unter Benutzung der Körperaxiome (K1) – (K9) und gegebenenfalls vorher bewiesener Aussagen.
(a) Sind x, y ∈ Q mit x + y = 0, so gilt x = −y.
(b) Für alle x ∈ Q gilt −(−x) = x.
(c) Für alle x ∈ Q gilt (−1) · x = −x.
Aufgabe 2
Man untersuche jeweils die Zahl mit den aus der Schule bekannten Regeln auf Teilbarkeit durch 2,
3, 4, 5, 6, 8 und 9.
(a) 23 085,
(b) 87 348,
(c) 343 474,
(d) 891 289 368
Aufgabe 3
Die alternierende Quersumme einer Zahl erhält man, indem man alle Ziffern an ungeraden
Positionen addiert und davon die Ziffern an geraden Positionen subtrahiert. Die alternierende
Quersumme von 4683 berechnet sich also zu 4 − 6 + 8 − 3 = 3. Eine Zahl ist genau dann durch
11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Damit untersuche man die
folgenden Zahlen auf Teilbarkeit durch 11.
(a) 133 474,
(b) 499 755,
(c) 1 523 412,
(d) 970 577 681
Aufgabe 4
(a) Seien a, b ∈ N0 . Man zeige, daß 10a + b genau dann durch 7 teilbar ist, wenn a + 5b durch 7
teilbar ist.
(b) Man nutze die Aussage aus Teil (a), um die Zahlen 105 und 1001 sowie 23 112 und 84 938 auf
Teilbarkeit durch 7 zu untersuchen.
Aufgabe 5
Man bestimme jeweils alle Teiler d ∈ N der gegebenen Zahl.
(a) 10,
(b) 12,
(c) 15,
(d) 60,
(e) 100,
(f) 128,
(g) 149
Aufgabe 6
Man berechne jeweils eine vollständig gekürzte Bruchdarstellung der gegebenen Zahl.
3
(a) ,
6
6
(b) ,
8
(c)
8
,
12
(d)
21
,
35
(e)
25
,
65
(f)
64
,
100
(g)
126
105
Aufgabe 7
Eine Zahl p ∈ N \ {1} heißt Primzahl, wenn sie in den natürlichen Zahlen nur die Teiler 1 und p
hat.
(a) Man bestimme alle Primzahlen kleiner 100.
(b) Zu den Zahlen 36 und 149 sowie 2016 und 33 033 bestimme man eine Primfaktorzerlegung,
das heißt, man stelle diese Zahlen jeweils als Produkt von Primzahlen dar.
Aufgabe 8
Man zeige, daß es keine rationale Zahl x ∈ Q mit x2 = 3 gibt.