Mathetreff: Lösungen der Knobelaufgaben für die Klassen 9 und 10

www.mathe-treff.de
Mathetreff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10 (Sekundarstufe I)
März-Mai 2015
Aufgabe 1
Geometrie
Die Punkte A, B und P liegen auf der Kreislinie also auf der
Peripherie des Kreises. Der Winkel SAPQ = 90° ist nach
Voraussetzung ein rechter Winkel und ist ein Peripheriewinkel
bzw. Umfangswinkel. Nach der Umkehrung des Thalessatzes
(Wenn ein Peripheriewinkel ein rechter Winkel ist, dann ist die
dem rechten Winkel gegenüberliegende Strecke im Kreis der
Durchmesser bzw. die größte Sehne im Kreis.) ist AB der
Durchmesser des Kreises.
Aufgabe 2
Das Osterreiten
Da die Siegeswahrscheinlichkeiten alle gleichwahrscheinlich sind, gilt:
die Wahrscheinlichkeit, dass ein (bestimmter) Reiter erster wird, beträgt
1
;
40
die Wahrscheinlichkeit, dass ein (bestimmter) Reiter dann zweiter wird, beträgt
für den dritten Reiter gilt dann entsprechend
1
;
39
1
.
38
Für die Wahrscheinlichkeit, dass R40 erster, R2 zweiter und R39 dritter ist gilt dann:
1 1 1
× × .
40 39 38
Aufgabe 3
Teilbarkeit
Eine Zahl ist dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
Die Zahl ist demnach folgendermaßen darstellbar: 63xy5, wobei x die Hunderterstelle und y die
Zehnerstelle der gesuchten Zahl jeweils ist. Für x, y gilt: x, y  IN0 und 0≤ x, y < 10.
Für die Quersumme gilt: 6+3+5+x+y = 14+x+y. Wir nennen den Term 14+x+y := q.
Der Term q(x|y) kann folgende Werte annehmen: q(0|0) = 14 und q(9|9) = 32.
Aber nur folgende Quersummen sind durch 9 teilbar: 18 und 27.
Falls die Zahl die Quersumme 18 hat, gilt:18 = q(0|4) =q(1|3)=q(2|2)=q(3|1)=q(4|1).
Für die Quersumme 27 gilt entsprechend: 27 = q(9|4) =q(8|5)=q(7|6)=q(6|7)=q(5|8)= q(4|9).
a) Man kann die Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 an die dritte Stelle setzen. Dann stehen an der vierten Stelle
die Ziffern in der Reihenfolge 4, 3, 2, 1 und 0. Weiterhin sind die Ziffern 9, 8, 7, 6, 5, 4 an der dritten
Stelle möglich, wenn gleichzeitig an der vierten Stelle die Ziffern 4, 5, 6, 7, 8, 9 stehen.
b) Es gibt also elf verschiedene Lösungen.
c) Da die unter a) gefundenen Zahlen alle durch 9 teilbar sind und außerdem auch noch durch 5
teilbar sind, weil die letzte Ziffer eine 5 ist, sind alle unter a) bzw. b) gefundenen Lösungen auch
durch 15 teilbar.