Ankündigung für SS09 Kap. 7: Dynamische Algorithmen für kürzeste Wege • LVAs von Petra Mutzel – (VO DAP2) – SE Algorithm Engineering Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 27. VO A&D WS 08/09 Petra Mutzel – VO Sublineare Algorithmen 4VO+2UE – SE Datenstromalgorithmen 3. Februar 2009 Alg. & Dat. WS 08/09 1 Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 2 Überblick Ankündigung für SS09 7.1 Einführung – Dynamische Graphalgorithmen – Dynamische Komplexitätsmaße – Dijkstra´s SSSP-Algorithmus – Analyse: Korrektheit und Laufzeit • Beate Bollig (LS2) – Effiziente Algorithmen für den Primzahltest (2 VO) – SE OBDD-basierte Graphalgorithmen 7.2 SSSP von Ramalingam & Reps • Jan Vahrenhold, LS11 – Einführung SP-Teilgraph für SSSP – Algorithmus Dynamic SSSP – Laufzeit-Analyse – Erst im WS09/10: Algorithmische Geometrie 4VO+2UE Petra Mutzel • LVAs von Christian Sohler (NEU an LS2, Nachfolge Fritz Eisenbrand) Alg. & Dat. WS 08/09 3 Literatur für diese VO Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 4 Literatur für Experimente • C. Demetrescu, S. Emiliozzi und G.F. Italiano: Experimental Analysis of Dynamic All Pairs Shortest Path Algorithms, Proc. 15th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2004), New Orleans, 369-378. • G. Ramalingam und T. Reps: On the computational complexity of dynamic graph problems. Theoretical Computer Science 158, 1996, 233-277 • Zeitschriftenversion: C. Demetrescu und G.F. Italiano: Experimental Analysis of Dynamic All Pairs Shortest Path Algorithms, ACM Trans-actions on Algorithms, vol. 2 (4), 2006, S. 578-601. Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 5 Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 6 1 Dynamische Graphalgorithmen Dynamische Graphalgorithmen Ein dynamischer Algorithmus erhält eine gegebene Eigenschaft P eines gewichteten Graphen während dynamischer Änderungen des Graphen, z.B. – Einfügen neuer Kanten, – Entfernen von Kanten und – Kosten-Änderungen der Kanten • Wir betrachten o.E. nur (Kosten-)Änderungen der Kanten. • Dies läßt sich leicht auf Knoten(kosten) änderungen übertragen. • Ein dynamischer Algorithmus heißt voll-dynamisch (full dynamic) wenn er für Erhöhungen von Kantenkosten bzw. Entfernungen von Kanten als auch für Verminderungen von Kantenkosten bzw. Hinzufügen neuer Kanten geeignet ist. Anforderungen an einen dynamischen Algorithmus: • schnelle Beantwortung von Anfragen auf Eigenschaft P • Sonst heißt er teil-dynamisch (partially dynamic). • schnelle Bearbeitung von Update-Operationen, d.h. schneller als ein statischer Algorithmus, der jedesmal alles von vorn berechnen muss Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 7 Dynamische Komplexitätsmaße Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 8 Worst Case bzgl. der I/O-Änderungen • Ein Knoten heißt modifiziert (modified), wenn er oder eine inzidente Kante einen neuen Input-Wert bekommen hat oder eingefügt oder entfernt wurde. • Ein Knoten heißt betroffen (affected), wenn er entweder neu eingefügt wurde oder er durch die Änderung einen neuen Output-Wert bekommen hat. • Amortisiert: Worst-Case in Größe des Inputs, wobei der Durchschnitt über eine Folge von Operationen genommen wird. • Alternativ: Worst-Case in Größe der Änderungen bzgl. des Inputs und des Outputs • CHANGED:={Menge aller modifizierten oder betroffenen Knoten} • Sei |δ|=|CHANGED| • Sei ||δ||=|δ|+Anzahl der zu CHANGED inzidenten Kanten Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 9 Kürzeste Wege Probleme Worst Case bzgl. der I/O-Änderungen • Ein dynamischer Algorithmus heißt beschränkt (bounded), wenn die benötigte Zeit für einen Update Schritt durch eine Funktion in ||δ|| beschränkt ist. • Sonst heißt er unbeschränkt (unbounded). • Ein dynamisches Problem heißt unbeschränkt (unbounded), wenn kein dynamischer beschränkter Algorithmus existiert. Alg. & Dat. WS 08/09 Single-Source Shortest Path (SSSP) • Geg.: Graph G=(V,E) mit Kantenkosten c∈R, keine negativen Kreise, s∈V • Gesucht: Kürzeste (s,v)-Wege in G für alle v∈V All-Pairs Shortest Path (APSP) • Geg.: Graph G=(V,E) mit Kantenkosten c∈R, keine negativen Kreise • Gesucht: Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (Distanzmatrix) • HIER: ein beschränkter dynamischer SSSP Algorithmus Petra Mutzel • So viele Änderungen sind mindestens notwendig • → notwendige Laufzeit 11 Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 12 2 Dijkstra´s Algorithmus • • • • Dijkstra´s Algorithmus Graph G gerichtet mit Kantenkosten c≥0 Sei M =„große Zahl“ Sei dist(v) die Distanzmatrix Q sei Prioritätswarteschlange mit Operationen – InsertPrioQ(v,dist(v)): fügt v ein mit Priorität dist(v) – ExtractMinQ(): Gibt das Minimum zurück und entfernt es aus Q – DecreasePrioQ(v, dist(v)): Aktualisiert die Priorität von v in Q auf dist(v) Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 13 • Induktion: Nach jeder Iteration ist V in 2 Mengen aufgeteilt: S und T:=V\S • Ind.-Ann. (Invariante) – (1) Für v∈S ist dist(v)=Länge des kürzesten (s,v)-Weges – (2) für v∈T ist dist(v)=Länge des kürzesten (s,v)-Weges bei dem jeder Knoten außer v zu S gehört. • Ind.-Schritt: (Ind.Ann. gilt bis Knoten u aufgenommen wird) – Knoten u mit kleinstem dist-Wert wird in S aufgenommen. (1) ist korrekt, denn: Falls ein kürzerer Weg existieren würde, dann würde dieser einen ersten Knoten in T benutzen; aber dieser müßte weiter weg von s sein, denn sein dist-Wert ist größer als der von u. Die „edge relaxation“ sorgt dafür, dass (2) erfüllt ist. Alg. & Dat. WS 08/09 : edge relaxation. edge scanning Analyse: Laufzeit Analyse: Korrektheit Petra Mutzel • Q←∅; dist[s]=0; InsertPrioQ(s,0) // S←{s} • Für alle Knoten v≠s: – Setze dist[v]=M; InsertPrioQ(v,M) • Solange Q≠∅: – u←ExtractMinQ() // Addiere u zu S – Für alle Kanten (u,v), die u verlassen: • Falls dist[v] > dist[u]+c[u,v]: – Setze dist[v] ← dist[u]+c(u,v) – DecreasePrioQ(v,dist[v]) • Return dist[] 15 5.2 Algorithmus von Ramalingam & Reps • Sei n=|V| und m=|E| • T = n*T(InsertPrioQ()) + n*T(ExtractMinQ()) + m*T(DecreasePrioQ()) • Binärer Heap für Q: O( (n+m) log n ) – T(InsertPrioQ())=O(log n) – T(ExtractMinQ())=O(log n) – T(DecreasePrioQ())=O(log n) • Fibonacci Heap für Q: O(m+n log n) – T(InsertPrioQ())=O(1) – T(ExtractMinQ())=O(log n) amortisiert – T(DecreasePrioQ())=O(1) amortisiert Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 16 5.2 Algorithmus von Ramalingam & Reps Geg.: Gerichteter Graph G=(V,E) mit positiven Kantenkosten c(e)∊R, t∈V, sowie Sequenz der folgenden Operationen: – delete_edge(v,w): entferne die Kante (v,w) aus GG´ – insert_edge(v,w,c): füge die Kante (v,w) in G einG´ – dist(v): gib die Distanz zwischen Knoten v und t zurück – path(v): gib den kürzesten Weg von v nach t aus, falls einer existiert. Betrachte folgendes kürzestes Wegeproblem: Single-Source Shortest Path (SSSP) • Geg.: Graph G=(V,E) mit Kantenkosten w∈R, c >0 keine negativen Kreise, ts∈V • Gesucht: Kürzeste (s,v)-Wege in G für alle v∈V (v,t) Damit sind auch die folgenden Operationen simulierbar: – increase_weight(e,c‘): erhöhe die Kosten von Kante e auf c‘ – decrease_weight(e,c‘): reduziere Kosten von e auf c‘ (jeweils durch delete_edge und insert_edge) Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 17 Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 18 3 Definitionen Definitionen • Eine Kante heißt SP-Kante, wenn sie auf einem kürzesten Weg von v nach t liegt für ein v∈V. • Eine Kante ist also genau dann SP-Kante, wenn gilt: dist(u) = dist(v)+c(u,v) • Ein Teilgraph T von G heißt kürzester-Wege-Baum für G mit Senke t, falls – T ist ein gerichteter Baum mit Wurzel t – V(T) ist die Menge aller Knoten, die t erreichen können, und – für jede Kante (u,v) in T gilt: dist(u) = dist(v)+c(u,v) • Sei SP(G) der durch die Menge aller SP-Kanten induzierte Teilgraph von G (der kürzeste-Wege Teilgraph). • Jeder kürzeste Weg in G ist in SP(G) enthalten und umgekehrt: • Jeder Weg in SP(G) ist ein kürzester Weg in G. • Da die Kantengewichte alle positiv sind, ist SP(G) ein gerichteter, azyklischer Graph. Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 19 • Ein Knoten in G´ heißt betroffen, wenn der Wert distG(v) ≠ distG‘(v) ist. • Eine SP-Kante (x,y) heißt betroffen durch die delete_edge(v,w) Operation, wenn kein Pfad in G´ von x nach t existiert, der die Kante (x,y) benutzt und Länge distalt(x) besitzt. 1 w 4 5 8 2 4 2 4 v 3 WS 08/09 20 • Ein Knoten in G´ heißt betroffen, wenn der Wert distG(v) ≠ distG‘(v) ist. • Eine SP-Kante (x,y) heißt betroffen durch die delete_edge(v,w) Operation, wenn kein Pfad in G´ von x nach t existiert, der die Kante (x,y) benutzt und Länge distalt(x) besitzt. Beobachtungen in SP(G) 7 • (x,y) ist betroffen ⇔ y ist betroffen t 4 • Knoten x≠v ist betroffen ⇔ alle ausgehenden SP-Kanten von x sind betroffen 1 Petra Mutzel Alg. & Dat. Delete_edge(v,w): G→G´ Delete_edge(v,w): G→G´ SP(G): G: Petra Mutzel • Knoten v selbst ist betroffen ⇔ (v,w) die einzige ausgehende SP-Kante ist Alg. & Dat. WS 08/09 21 Algorithmus Delete_edge(v,w) Phase 1 von Delete_edge(v,w) Phase 1: • Bestimme die Menge aller betroffenen Knoten und Kanten • Entferne die betroffenen Kanten von SP(G) • Menge der betroffenen Knoten = Menge der Knoten, die im Graphen SP(G)-(v,w) keine Verbindung zur Senke t besitzen. Algorithmus-Idee: • Aufruf von Top-Sort, wenn outdegree von v in SP(G´) = 0. Phase 2: • Berechne neue dist-Werte aller betroffenen Knoten • Aktualisiere SP(G) Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 Hausaufgabe: • Überlegen Sie sich, warum BFS (Breitensuche) hierfür nicht geeignet ist! • Was dann? 23 Petra Mutzel Alg. & Dat. WS 08/09 24 4