E1_2015-16_Blatt6 - Fakultät für Physik

Übungsaufgaben zu E1/E1p Mechanik, WS 2015/16
Thomas Udem, David Hunger
Fakultät für Physik, Ludwig-Maximilians-Universität, München
Blatt 6
wird am 25.11. 27.11.2015 besprochen
Anmerkung: Lehramtstudierende und Studierende mit Nebenfach (6 ECTS) brauchen Aufgaben, die
mit einem (*) gekennzeichnet sind, nicht zu bearbeiten.
Aufgabe 20
Fall durch die Erde
Stellen Sie sich vor, es sei möglich, geradlinig vom Nordpol zum Südpol ein Loch durch die Erde zu
bohren. Vom Nordpol aus lasse man eine Kugel der Masse
eine homogene Kugel der Masse
ME = 5, 98 ×
m = 1 kg
in das Loch fallen. Die Erde sei
1024 kg mit dem Radius
a) Welche Kraft wirkt auf die Kugel als Funktion des Abstandes
r
RE = 6378 km.
vom Erdmittelpunkt?
b) Wie groÿ ist bei Startgeschwindigkeit Null die Geschwindigkeit der Kugel am Erdmittelpunkt?
Benutzen Sie dazu das in der Vorlesung hergeleitete Gravitationspotential.
Aufgabe 21
Fall vom Eifelturm
Von der Spitze des Eifelturms (Höhe 300 m) in Paris (≈
49◦
nördlicher Breite) fällt bei Windstille
eine Niete ungehindert zu Boden. Um herauszunden, wo die Niete relativ zur Lotlinie des Startortes
aufschlägt, lösen Sie die folgenden Teilaufgaben.
a) Geben Sie explizite Darstellungen für die Geschwindigkeits-, Winkelgeschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren an. Zur Vereinfachung sei bei der Geschwindigkeit (zunächst) nur die vertikale Komponente von Null verschieden. Stellen Sie mit diesen Vektoren das Kräftegleichgewicht
auf (Prinzip von d'Alembert) und vernachlässigen Sie dabei die Zentrifugalkraft.
b) Lösen Sie die sich ergebende Bewegungsgleichung für
r̈ durch zweifache Integration der jeweils ein-
zelnen Komponenten für geeignete, vereinfachte Randbedingungen. Geben Sie erst die allgemeine
Formel für die Abweichung des Aufschlagortes von der Lotlinie an, bevor Sie die Abweichung für
den konkret angegebenen Fall berechnen.
c) Was geschähe, wenn man den gleichen Vorgang am Nordpol bzw. am Äquator beobachten könnte?
Aufgabe 22
Interplaneterer Flug


 
3
1
Ein interplanetares Objekt werde mit Positon ~
r =  0  und Geschwindigkeit ~v =  3  betrachtet,
0
4
8
wobei die Entfernung in Astronomischen Einheiten (1 AE = 1, 5 × 10 km) und die Geschwindigkeit
in Astronomischen Einheiten pro Jahr gemessen wird. Es soll nur das Gravitationsfeld der Sonne
berücksichtigt werden. (Die Sonnenmasse beträgt
6, 67 ×
M = 2 × 1030 kg,
die Gravitationskonstante
10−11 m3 /kg/s2 ).
a) Berechnen Sie den Drehimpuls pro (Objekt-)Masse und die Gesamtenergie pro Masse.
b) Kann das Objekt das Sonnensystem verlassen oder ist es an die Sonne gebunden?
c) Berechnen Sie die Exzentrizität des Objekts.
G =
Aufgabe 23*
Raumstation
Perry Rhodan landet mit seinem Raumgleiter auf einer verlassenen Raumstation, die sich im gravitationsfreien Raum bendet. Die Raumstation ist ein Ringtunnel (Reifen) mit einem äuÿeren Durchmesser
von
d = 80 m.
Alle Bedienungselemente der Raumstation sind noch intakt, so auch diejenigen, mit de-
nen ein künstliches Schwerefeld
g = 10 m/s2
durch Rotation der Raumstation um das Ringzentrum
mit senkrecht zur Ringebene stehender Drehachse erzeugt werden kann.
a) Welche Winkelgeschwindigkeit
ω
muss Perry Rhodan der Raumstation geben, damit sein Hund
Pluto im Aufenthaltsraum am äuÿersten Rand der Raumstation das gleiche Gewicht verspürt
wie auf der Erdoberäche? Und wo ist der Fuÿboden?
b) Welche Richtung hat die Corioliskraft für eine Person, die sich auf dem Fuÿboden des Tunnels
entgegen dem bzw. im Drehsinn bewegt? (Hinweis: Benutzen Sie
~a × ~b × ~c = ~b(~a~c) − ~c(~a~b))
In einer Speichenverbindung zum Ringzentrum (Nabe) ist ein Fahrstuhl eingebaut. Mit diesem Fahrstuhl gelangen Ankömmlinge von ihrem Raumschi, das im Ringzentrum anlegt, in den Ring. In dieser
Fahrtrichtung wird zum Antrieb des Fahrstuhls die Zentrifugalbeschleunigung ausgenutzt. Der Fahrstuhl startet bei einem Radius von
R0 = 4 m
von der Nabe entfernt.
c) Geben Sie Richtung und Gröÿe der Coriolisbeschleunigung an, die auf Perry Rhodan wirkt,
wenn der Fahrstuhl bei konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω
durch die Zentrifugalkraft beschleu-
nigt vom Zentrum zum Ring fährt. Würde er diese Belastung spüren? (Hinweis: Lösen Sie die
R(t) = A exp(ωt) + B exp(−ωt). Verwenden Sie v 0 (0) = 0
B aus R(t) und v(t) zu bestimmen.)
Dierentialgleichung durch den Ansatz
und das Ergebnis für
R(0)
um
A
und