Gekoppelte PT -symmetrische Bose-Einstein
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Gekoppelte PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate mit Potentialmodifikationen durch den Supersymmetrie-Formalismus Bachelorarbeit von Robin Schuldt 4. September 2015 Prüfer: Apl. Prof. Dr. Jörg Main 1. Institut für Theoretische Physik Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1.1. Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2. PT -Symmetrie 2.1. PT -Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Grundlegende Eigenschaften . . . . . . 2.1.2. Eigenwerte und Eigenzustände . . . . . 2.2. PT -symmetrische Systeme . . . . . . . . . . . 2.2.1. Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Nicht hermitesche Hamiltonoperatoren 2.2.3. Lineare PT -symmetrische Systeme und 3 3 3 4 6 6 6 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ihre Eigenschaften 3. Supersymmetrie 3.1. Grundidee der Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren . . . 3.2.1. Erzeuger- und Vernichter Darstellung . . . . . . . . 3.2.2. SuSy-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Supersymmetrischer Hamiltonoperator . . . . . . . 3.2.4. Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Anwendung des Supersymmetrieformalismus in der chanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. SuSy-Quantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Konstruktion des Superpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Doppel-δ-Potential 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Lösungen für das PT -symmetrische Doppel-δ-Potential 4.1.2. Variation des Parameters γ im Grundzustand . . . . . 4.1.3. Variation des Parameters γ im angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 12 15 16 18 19 20 22 25 25 28 29 33 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential 37 5.1. Die Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2. Schrödingergleichung des gekoppelten Systems . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3. Kopplung gebundener Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iii Inhaltsverzeichnis 5.3.1. Lösungen für das gekoppelte Problem . . . . . . . . . . . 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand . . . . 5.4.1. Auswirkungen von Re(η) im Grundzustand . . . . . . . . 5.4.2. Auswirkungen von Im(η) im Grundzustand . . . . . . . . 5.4.3. Auswirkungen eines gemischten η im Grundzustand . . . 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand . 5.5.1. Auswirkungen von Re(η) im angeregten Zustand . . . . . 5.5.2. Auswirkungen von Im(η) im angeregten Zustand . . . . . 5.5.3. Auswirkungen eines gemischten η im angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 42 44 47 50 51 52 54 57 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 59 6.1. Bestimmung des Partnersystems für den Grundzustand . . . . . . . . . . 59 6.1.1. Berechnung des Superpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.1.2. Explizite Berechnung des Partnerpotentials . . . . . . . . . . . . . 65 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand . . . . . . . . . . . . . 65 6.2.1. Formulierung der Schrödingergleichungen für das Partnersystem . 67 6.2.2. Wellenfunktionen des Grundzustands im Partnersystem . . . . . . 69 6.2.3. Auswirkungen von Re(η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2.4. Auswirkungen von Im(η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2.5. Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.3. Alternative Korrekturberechnung unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7. Zusammenfassung 79 A. Klassisches Runge-Kutta-Verfahren 83 Literaturverzeichnis 85 Danksagung 87 iv 1. Einleitung 1.1. Motivation und Einführung in das Thema Bei genauerer Betrachtung der Natur fällt uns auf, dass diese in nahezu jedem uns beobachtbaren Bereich regelmäßige Strukturen aufweist. Auch ein so unregelmäßiger Körper, wie ein Stein welcher ins Wasser geworfen wird, kann Wellen mit erstaunlich geordneter Struktur verursachen. Will man ein solches Phänomen beschreiben, so führt dies schnell zum mathematischen Begriff der Symmetrie. Tatsächlich zeigen sich Symmetrieen in der Natur auf sehr vielfältige Weise, wobei einige lediglich durch die mathematische Beschreibung derselben offensichtlich werden. Will man die kleinsten Bausteine der Natur, die Elementarteilchen physikalisch beschreiben, so findet hierzu der Formalismus der Quantenmechanik seine Anwendung. Betrachtet man die Schrödingergleichung, welche den fundamentalen Zugang zur Quantenmechanik bildet, so stößt man auf die dort auftretenden Operatoren. Diese Operatoren werden in der Regel so gewählt, dass sie physikalische Größen beschreiben. Um zu gewährleisten, dass die so ermittelten Ergebnisse experimentell messbaren Größen entsprechen, müssen diese Operatoren reelle Eigenwerte besitzen. Dies wird in der Regel durch die Verwendung sogenannter hermitescher Operatoren sichergestellt. Es wurden in der Vergangenheit jedoch zur Beschreibung von Systemen mit Austauschwechselwirkung auch nichthermitesche Operatoren verwendet, wobei diese nicht zwangsläufig auf reelle Eigenwerte führen. In [1] wurde eine neue Klasse von eben solchen nichthermiteschen Operatoren gefunden und festgestellt dass diese, sofern sie die sogenannte PT Symmetrie aufweisen, ebenfalls reelle Eigenwerte garantieren. Ein System, welches eine solche Symmetrie aufweist, kann demnach auch für Hamiltonoperatoren mit komplexen Potentialen, reelle Eigenwerte und damit physikalisch interpretierbare Größen liefern. Solche PT -symmetrische Systeme konnten bereits in optischen Wellenleitern nachgewiesen werden [2]. Erinnert man sich an das zu Beginn angeführte Beispiel des Steins, so fällt direkt auf, dass die Folgen einer Handlung unmittelbar einen Zustand, in diesem Fall den des Wassers, beeinflussen. Die so verbundenen Ereignisse sind praktisch aneinander gekettet, es liegt demnach eine kausale Wirkungsreihenfolge vor. Betrachtet man nun ein PT symmetrisches System, dessen Potential eine Austauschwechselwirkung simuliert, wie beispielsweise ein PT -symmetrisches Doppel-δ-Potential [3], so stellt sich auch hier die Frage, was die Folge einer solchen Austauschwechselwirkung ist. In diesem Fall ist klar, 1 1. Einleitung dass wenn Teilchen ausgetauscht werden, diese nicht einfach verschwinden können. Als mögliche Antwort auf diese Frage wurde in [4] ein solches PT -symmetrisches System mit einem zweiten gekoppelt. Hierbei sollen demnach die Teilchen zwischen den gekoppelten Systemen ausgetauscht werden. In früheren Arbeiten wurden Bose-Einstein-Kondensate bereits in eben diesen PT symmetrischen Systemen untersucht [? ]. Als Erweiterung, wurde für ein einfaches Doppel-δ-Potential, in einer früheren Arbeit der sogenannte Supersymmetrieformalismus angewendet. Dieser verbindet die beiden grundlegenden quantenmechanischen Teilchenarten der Bosonen und Fermionen. Er ermöglicht die Konstruktion eines Partnersystems, in welchem gezielt bestimmte Zustände entfernt werden können. In der Vergangenheit, wurde für das einfache Doppel-δ-Potential gezeigt, dass mithilfe des Supersymmetrieformalismus für dieses System einzelne Zustände entfernt werden können [6]. Das Doppelδ-Potential, stellt eine starke Idealisierung des Doppel-Mulden-Potentials dar und eignet sich deshalb gut zur modellhaften Untersuchung. Für dieses System blieb jedoch die Frage der Teilchen Aus- bzw. Einkopplung ungeklärt, was durch eine Kopplung mit einem weiteren Doppel-δ-Potential geklärt werden könnte. Das Ziel dieser Arbeit war es nun, einen ersten Schritt auf der Konstruktion eines Modellsystems mithilfe einer Kopplung zwischen zwei einzelnen Systemen zu gehen. Hierzu sollte als erster Ansatz ein idealisiertes gekoppeltes System von Doppel-δ-Potentialen analysiert werden, um anschließend den Supersymmetrieformalismus auf eben dieses System anwenden zu können. 1.2. Aufbau der Arbeit Es sollen zunächst in Kapitel 2 die wichtigsten Grundlagen der PT -Symmetrie und die wichtigsten Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme kurz erläutert werden, da im weiteren Verlauf die Systeme häufig auf PT -Symmetrie und reelle Eigenwerte überprüft werden. In Kapitel 3 soll der Zugang zum Supersymmetrie Formalismus mit seinen wichtigsten Eigenschaften aufgezeigt werden. Anschließend werden auch die Möglichkeiten seiner Anwendung, insbesondere zur Konstruktion des sogenannten Superpotentials, diskutiert. In Kapitel 4 soll als Grundlage dieser Arbeit das PT -symmetrische Doppel-δPotential und dessen Eigenschaften eingehend untersucht werden. In Kapitel 5 wird anschließend das gekoppelte System eingeführt, wobei sich das gesamte Kapitel auf die Untersuchung und die Darstellung der berechneten Lösungen beschränkt. Dies soll einen Einblick auf die Stabilität der berechneten Lösungen im Bezug auf Variation der Kopplung liefern und Aufschluss darüber geben, ob der Supersymmetrieformalismus auf dieses System anwendbar ist. In Kapitel 6 soll abschließend der Supersymmetrieformalismus auf das gekoppelte System angewendet und die berechneten Lösungen diskutiert werden. 2 2. PT -Symmetrie Die Grundlage dieser Bachelorarbeit bildet die Anwendung des SuSy-Formalismus auf PT -symmetrische Quantensysteme. Hierzu ist zunächst ein Einblick in den benötigten PT -Formalismus und dessen grundlegende quantenmechanische Eigenschaften notwendig. Bei der Beschreibung PT -symmetrischer Systeme treten in der Regel nichthermitesche Hamiltonoperatoren auf, welche die PT -symmetrischen Systeme durch ihre Eigenschaften von gewöhnlichen quantenmechanischen Systemen unterscheiden. Im Folgenden soll auf die Grundlagen der PT -Symmetrie und die Eigenschaften nichthermitescher Hamiltonoperatoren eingegangen werden. 2.1. PT -Operator 2.1.1. Grundlegende Eigenschaften Die Grundlage der PT -Symmetrie bildet der sogenannte PT -Operator. Dieser ist eine Kombination aus dem herkömmlichen Paritätsoperator der Quantenmechanik P und dem Zeitumkehroperator T . Er dient zur Untersuchung von Systemen auf PT Symmetrie, das heißt seine Anwendung gibt Aufschluss darüber, ob ein System sowohl räumliche als auch zeitliche Symmetrie aufweist und somit PT -symmetrisch ist. Der P-Operator wirkt auf einen quantenmechanischen Zustand durch Spiegelung des Ortsoperators x̂. P : x̂ → −x̂. (2.1) Hieraus wird direkt ersichtlich, das P ebenfalls den Impulsoperator p̂ spiegelt: P : p̂ → −p̂. (2.2) Fasst man diese Eigenschaften zusammen, so können sie mithilfe von Kommutatorrelationen ausgedrückt werden. Es gelten für den P-Operator die Relationen: [P, x̂]+ = P x̂ + x̂P = 0, [P, p̂]+ = P p̂ + p̂P = 0. (2.3) Hierbei steht der Index + für den Antikommutator. Für die Wirkung des Zeitumkehroperators T wird die Invarianz des Ortes gefordert, demnach lässt seine Anwendung den Ortsoperator eines quantenmechanischen Zustands invariant T : x̂ → x̂. (2.4) 3 2. PT -Symmetrie Der Operator T spiegelt eine Zeitumkehr wider, welche anhand der Zeitentwicklung am schnellsten offensichtlich wird. In der Quantenmechanik ist die Zeitentwicklung eines itE Zustands durch e− ~ gegeben. Eine Zeitumkehr erfolgt nun durch die Ersetzung von i durch −i, es gilt demnach T : i → −i, (2.5) woraus sich die Wirkung auf den Impulsoperator erkennen lässt T : p̂ → −p̂. (2.6) Diese Eigenschaften lassen sich unter Ausnutzung der Kommutatorrelationen als [T , x̂] = T x̂ − x̂T = 0, [T , p̂]+ = T p̂ + p̂T = 0 (2.7) zusammenfassen. Für die Kombination der Eigenschaften beider Operatoren ergeben sich die des PT -Operators. Es gilt für dessen Wirkung auf den Ortsoperator [PT , x̂]+ = PT x̂ + x̂PT = −x̂ + x̂ = 0 (2.8) und auf den Impulsoperator [PT , p̂] = PT p̂ − PT p̂ = p̂ − p̂ = 0. (2.9) Für die Anwendung des PT -Operators gilt zusammenfassend PT : i → −i, x̂ → −x̂, p̂ → p̂. (2.10) Der PT -Operator verfügt über die kombinierten Eigenschaften seiner Bestandteile. Der Paritätsoperator P ist ein linearer Operator, d.h. er ist sowohl additiv, als auch homogen P(Ψ + Φ) = (P(Ψ) + P(Φ)) und P(λΨ) = λP(Ψ). (2.11) Der Zeitumkehroperator T ist hingegen kein linearer Operator, für ihn gilt T (Ψ + Φ) = T (Ψ) + T (Φ) und T (λΨ) = λ∗ T (Ψ) (2.12) d.h. er ist antilinear. Diese Eigenschaften übertragen sich direkt auf den PT -Operator, welcher demnach auch antilinear ist. 2.1.2. Eigenwerte und Eigenzustände Um später PT -symmetrische Systeme zu untersuchen bietet es sich an, zunächst die Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators zu untersuchen. Aus den Eigenschaften 4 2.1. PT -Operator des PT -Operators, welche in Gl.(2.10) zusammengefasst sind, wird ersichtlich, dass doppeltes Anwenden auf einen Zustand den ursprünglichen wiederherstellt. Es gilt demnach PT PT |Ψi = |Ψi . (2.13) Um diese Relation zu erfüllen muss PT PT = 1 gelten. Anwendung des PT -Operators auf einen Eigenzustand liefert den zugehörigen Eigenwert λ. Es gilt PT |Ψi = λ |Ψi . (2.14) Anwenden von Gl.(2.14) liefert für das doppelte Anwenden des PT -Operators (2.12) (2.14) PT PT |Ψi = PT λ |Ψi = λ∗ PT |Ψi = λ∗ λ |Ψi = |λ|2 |Ψi . (2.15) ! Hieraus folgt direkt die Bedingung |λ|2 = 1, wonach für λ alle komplexen Zahlen mit Betrag eins in Frage kommen. Die Eigenwerte zum PT -Operator haben daher die Form λ = eiγ . (2.16) Im Allgemeinen hat ein Zustand der Form |Φi = eiα |Ψi, wobei |Ψi Eigenzustand zum PT -Operator ist, ebenfalls PT -Symmetrie. Dies resultiert aus der globalen Phase, welche für die Schrödingergleichung unbestimmt bzw. frei wählbar bleibt. Anwenden des PT -Operators liefert (2.12) (2.14) PT |Φi = PT eiα |Ψi = e−iα PT |Ψi = e−iα λ |Ψi . (2.17) Einsetzen von λ = eiγ ergibt schließlich PT |Φi = e−iα eiγ |Ψi . (2.18) Umformung auf |Φi liefert die Bedingung für den zu Φ gehörenden Eigenwert ! PT |Φi = e−iα eiγ e−iα |Φi = eiφ |Φi . (2.19) Es gilt φ = γ − 2α für die Bestimmung des neuen Eigenwerts, d.h. durch geeignete Wahl der globalen Phase lässt sich für einen gegebenen PT -symmetrischen Zustand immer ein Zustand mit exakter PT -Symmetrie finden. Man spricht von exakter PT -Symmetrie sofern PT |Ψi = |Ψi erfüllt ist. Für exakt PT -symmetrische Wellenfunktionen gilt Re(Ψ(x)) = Re(Ψ(−x)) und Im(Ψ(x)) = −Im(Ψ(−x)). (2.20) 5 2. PT -Symmetrie 2.2. PT -symmetrische Systeme 2.2.1. Grundlegendes Für die Untersuchung PT -symmetrischer Systeme wird primär die Wirkung des PT Operators auf den das System beschreibenden Hamiltonoperator untersucht. Ist ein System PT -symmetrisch, so gilt [PT , Ĥ] = 0 d.h. für einen Hamiltonoperator, welcher durch Ĥ = [PT , Ĥ] = PT Ĥ − ĤPT = (2.21) p̂2 2m + V (x̂) gegeben ist gilt 2 p̂2 p̂ + PT V (x̂) − + V (x̂) 2m 2m 2.10 = PT V (x̂) − V (x̂) = V (−x̂)∗ − V (x̂) ! = 0. (2.22) Da Gl.(2.21) gelten muss, ergibt sich für das Potential des Hamiltonoperators V (x̂) = V (−x̂)∗ . (2.23) Hieraus wird ersichtlich, dass ein Hamiltonoperator PT -symmetrisch ist, sofern für sein Potential der Realteil symmetrisch und der Imaginärteil antisymmetrisch ist. 2.2.2. Nicht hermitesche Hamiltonoperatoren In der Quantenmechanik ist es zumeist essentiell hermitesche Operatoren zu verwenden, da diese reelle Eigenwerte besitzen. Zum einen lassen sich so die ermittelten Eigenwerte als reale Messgrößen identifizieren, zum anderen ist für hermitesche Operatoren die Normerhaltung garantiert. Zur Beschreibung offener Quantensysteme werden jedoch aufgrund ihrer komplexen Eigenwerte auch nicht hermitesche Hamiltonoperatoren verwendet. Diese eignen sich gut für die Beschreibung zeitabhängiger Systeme, da durch ihre Einführung eine Beschreibung ohne die zeitabhängige Schrödingergleichung möglich ist. Diese Operatoren besitzen in der Regel keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, welche den zugehörigen Hilbertraum des Systems aufspannen. Die komplexen Eigenwerte nicht hermitescher Hamiltonoperatoren lassen sich, im Gegensatz zu den rein reellen Eigenwerten hermitescher Operatoren, nicht als reine Observablen interpretieren. Ein einfaches Beispiel für ein nicht hermitesches System, welches durch ein komplexes Potential beschrieben wird, ist der zeitliche Zerfall der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Zustands [3]. Hierzu wird ein System mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator Ĥ und zugehörigen Eigenwerten En zu bekannten Eigenfunktionen Ψn betrachtet. Dieses wird 6 2.2. PT -symmetrische Systeme durch Addition eines Terms der Form iΓ erweitert, sodass sich die Schrödingergleichung zu i~∂t Ψ(x, t) = Ĥ + iΓ Ψ(x, t) (2.24) ergibt. Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich offensichtlich zu Ψn (x, t) = Φn (x)e−i(En +iΓ)t/~ = Φn (x)e−iEn t/~ eΓt/~ . (2.25) Das Betragsquadrat besitzt die Form |Ψn (x, t)|2 = |Φn (x)|2 e2Γt/~ . (2.26) Wird nun Γ negativ gewählt, so liegt der Fall einer abnehmenden Wahrscheinlichkeitsamplitude vor. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im beobachteten Raumbereich fällt exponentiell mit der Zeit, was physikalisch als Verlassen des betrachteten Bereichs interpretiert werden kann. Für ein positives Γ entsteht der umgekehrte Fall, was als das Betreten des beobachteten Bereichs interpretiert werden kann [3]. Um eine genauere Interpretation komplexer Potentiale zu ermöglichen, bietet sich eine Untersuchung der Kontinuitätsgleichung an, welche die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |Ψ(x, t)|2 beschreibt. Die Kontinuitätsgleichung lautet ρ̇ − ∇ · ~j = 0, wobei für die zeitliche Veränderung der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ gilt i ∗ ∂ρ =− Ψ ĤΨ − ΨĤ † Ψ∗ . ∂t ~ (2.27) (2.28) Für einen Hamiltonian der Form Ĥ = − p̂2 ~2 2 + V (x̂) = − ∇ + V (x̂) 2m 2m (2.29) lässt sich Gl.(2.28) schreiben als i p̂2 p̂2 ∗ ∗ ρ̇ = − Ψ (− + V (x̂))Ψ − Ψ − + V (x̂) Ψ∗ ~ 2m 2m i~ i = −∇ [Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ] − |Ψ|2 [Re(V ) + iIm(V ) − Re(V ) + iIm(V )] 2m ~ i~ 2 = −∇ [Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ] + ρIm(V ). (2.30) 2m ~ Es wird ersichtlich, dass der so hergeleitete Ausdruck bis auf den Zusatzterm ~2 ρIm(V ) mit der Kontinuitätsgleichung für den Fall eines hermiteschen Hamiltonoperators übereinstimmt. Der zusätzliche Term ist je nach Vorzeichen des Potentials als Gewinn (Im(V ) 7 2. PT -Symmetrie > 0) oder Verlustterm (Im(V) < 0) zu interpretieren. Die Verwendung von nicht hermiteschen PT -symmetrischen Hamiltonoperatoren führt auf weitere Eigenschaften der Systeme, auf welche im Folgenden näher eingegangen werden soll. Ein sehr wichtiger Unterschied zu hermiteschen Systemen ist dadurch gegeben, dass die Eigenzustände zu einem solchen Operator nicht zwangsweise eine orthogonale Basis bilden. Hierzu betrachte man das Skalarprodukt zweier Zustände |Φi und |Ψi welche zum Hamiltonoperator Ĥ gehören und Eigenwerte Ψ und Φ besitzen 1 hΨ|Ĥ|Φi Ψ 1 = hΨ|Ĥ † + 2iIm[V (x̂)]|Φi Ψ Φ 2i = hΦ|Ψi + hΦ| Im[V (x̂)] |Ψi . Ψ Ψ hΦ|Ψi = Erweitern mit (1 − Φ ) Ψ (2.31) liefert die Gleichung Φ (1 − Φ ) Ψ 1 2i hΦ| Im[V (x̂)] |Ψi Ψ − Φ Ψ Φ Ψ − 2Φ − Ψ (Ψ − Φ ) 2i ⇒0= hΦ| Im[V (x̂)] |Ψi hΦ|Ψi + Ψ (Ψ − Φ ) Ψ (Ψ − Φ )2 2i hΦ| Im[V (x̂)] |Ψi . =− hΦ|Ψi + Ψ (Ψ − Φ ) Ψ hΦ|Ψi = hΦ|Ψi + (2.32) Teilen durch Ψ (Ψ − Φ ) und umformen nach hΦ|Ψi liefert hΦ|Ψi = 2i hΦ| Im[V (x̂)] |Ψi . Ψ − Φ (2.33) Hieraus wird direkt ersichtlich, dass hΦ|Ψi nur gleich Null sein kann, wenn der Imaginärteil des Potentials verschwindet, zufällige Ausnahmen können jedoch vorkommen. Eine Untersuchung der Zeitabhängigkeit der Norm liefert ∂ Produktregel hΨ|Ψi = hΨ̇|Ψi + hΨ|Ψ̇i. ∂t (2.34) Anwendung von Gl.(2.28) ergibt ∂ i hΨ|Ψi = − hΨ| (Ĥ − Ĥ † ) |Ψi ∂t ~ 2 = hΨ| Im[V(x̂)] |Ψi , (2.35) ~ es gilt offensichtlich für einen nicht verschwindenden Imaginärteil des Potentials keine Normerhaltung. 8 2.2. PT -symmetrische Systeme 2.2.3. Lineare PT -symmetrische Systeme und ihre Eigenschaften Für einen linearen PT -symmetrischen Hamiltonoperator Ĥ mit Eigenzustand |Ψi und zugehörigem Eigenwert κ gilt die Eigenwertgleichung Ĥ |Ψi = κ |Ψi ⇒ ĤΨ(x) = κΨ(x). (2.36) Anwendung des PT -Operators liefert PT (ĤΨ(x)) = PT (κΨ(x)). (2.37) Da Ĥ PT -symmetrisch ist, gilt [Ĥ, PT ] = 0. Demnach vertauschen Ĥ und PT und es kann für Gl.(2.37) geschrieben werden 2.10 Ĥ(PT Ψ(x)) = κ∗ (PT Ψ(x)). (2.38) Betrachtet man nun den allgemeinen Fall für ein κ ∈ C, so wird ersichtlich, dass PT Ψ ein weiterer Eigenzustand zum Hamiltonoperator Ĥ mit Eigenwert κ∗ ist. Ist außerdem Ψ(x) auch Eigenfunktion zum PT Operator, und demnach PT -symmetrisch, so gilt PT Ψ(x) = λΨ(x). (2.39) Damit lässt sich Gl.(2.38) schreiben als κ∗ (PT Ψ(x)) = Ĥ(λΨ(x)) = λĤΨ(x) = λκΨ(x) = κ(PT Ψ(x)). (2.40) Hieraus folgt dass κ∗ = κ gelten muss, was gleichbedeutend mit κ ∈ R ist. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass für ein lineares PT -symmetrisches System, sofern nicht entartete Eigenwerte vorliegen, diese rein reell sind. Eine ausführliche Erklärung für den Fall entarteter Eigenwerte findet sich in [5], da diese sehr ähnlich zum nicht entarteten Fall sind sollen an dieser Stelle lediglich die wichtigsten Eigenschaften erwähnt werden: - Sofern PT -symmetrische Eigenzustände zum Hamiltonoperator vorliegen, sind auch die Eigenwerte im entarteten Fall rein reell. - Sofern Ψ Eigenzustand zum Eigenwert κ ist, so ist PT Ψ Eigenzustand zum Eigenwert κ∗ . - Liegt ein rein reeller Energieeigenwert vor, so lässt PT den Eigenraum von Ĥ invariant. Dieser Raum wird durch linear unabhängige Eigenzustände aufgespannt. 9 3. Supersymmetrie Die Untersuchung eines Systems auf Symmetrien, ist seit jeher ein spannender und äußerst nützlicher Zugang zum Verständnis der Natur. Durch Symmetrien vereinfachen sich mathematische und physikalische Sachverhalte im Allgemeinen, wodurch die Analyse eines Systems deutlich erleichtert werden kann. Ein neuerer Punkt ist hierbei die Supersymmetrie, die den Übergang von bosonischen zu fermionischen Zuständen beschreibt und erstmals in den 1970ern auftrat. Es werden im Rahmen dieser Theorie sogenannte SuSy-Partner definiert, welche aufgrund der mit einer Symmetrie verbundenen Entartung, ergänzend zu den standardmäßigen Teilchen auftreten. Der Partner eines Bosons ist in diesem Sinne ein Fermion, und der eines Fermions ist ein Boson. Die Anwendung des Supersymmetrieformalismus kann in den meisten Fällen ein vorliegendes Problem vereinfachen, in dieser Bachelorarbeit wird der SuSy-Formalismus auf einen Spezialfall gekoppelter Wellenfunktionen im PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential angewendet. Die in den folgenden Abschnitten angesprochenen Themen basieren inhaltlich im Wesentlichen auf [7]. 3.1. Grundidee der Supersymmetrie Die Supersymmetrie beschreibt eine Transformation von Bosonen zu Fermionen und umgekehrt. Für diese Transformation dienen in der Quantenmechanik neue sogenannte supersymmetrische Operatoren. Für einen solchen Operator Q gelten die Transformationsvorschriften Q |Bosoni ∝ |Fermioni und Q |Fermioni ∝ |Bosoni . (3.1) Im Folgenden soll nun ein möglicher Weg zur Konstruktion eines solchen Operators erläutert werden. 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Als Ziel für die Konstruktion eines SuSy-Operators soll im Folgenden die Transformation zwischen Bosonen und Fermionen dienen. An dieser Stelle muss auf die grundlegenden Unterschiede zwischen den beiden Teilchentypen hingewiesen werden, welche sich auch auf das Vorgehen beim Finden eines SuSy-Operators auswirken. 11 3. Supersymmetrie - Bosonen sind quantenmechanische Teilchen mit ganzzahligem Spin. Sie können jeden möglichen Zustand in beliebig hoher Anzahl besetzen, und Verhalten sich unter Anwendung einer Drehoperation wie ein Tensor. Es sei angemerkt, dass sie auch im klassischen Limes auftreten können, und in der Regel zum übermitteln von Kräften dienen. - Fermionen sind quantenmechanische Teilchen mit halbzahligem Spin. Sie unterliegen dem Pauli-Prinzip, was zwei Fermionen im selben Zustand untersagt. Sie verhalten sich unter Drehung wie ein Spinor. Sie treten im klassischen Grenzfall nicht auf und beschreiben in der Regel Materieteilchen. 3.2.1. Erzeuger- und Vernichter Darstellung Als Ansatz zur Konstruktion eines SuSy-Operators kann die Darstellung der bosonischen und fermionischen Zustände durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren dienen. Hierbei ist auf die prinzipiellen Unterschiede zwischen Fermionen und Bosonen zu achten. Für Bosonen in der Besetzungszahldarstellung wird ein Zustand |nB i durch die Anzahl der Bosonen nB beschrieben. Analoges gilt auch für die fermionischen Zustände |nF i, welche durch die Zahl der Fermionen nF charakterisiert sind. Für die Einteilchenoperatoren der Bosonen werden im Folgenden die Abkürzungen b+ (Erzeuger) und b− (Vernichter) verwendet, wohingegen für die Fermionischen analog f + und f − benutzt wird. Für diese gilt √ √ (3.2) b+ |nB i = nB + 1 |nB + 1i und b− |nB i = nB |nB − 1i für Bosonen bzw. f + |nF i = √ nF + 1 |nf + 1i und f − |nF i = √ nF |nF − 1i (3.3) für Fermionen. Für den Fall des Vakuums, welches einen unbesetzten Zustand darstellt, kann trivialerweise kein Teilchen mehr entfernt werden, dies gilt sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. b− |0i = f − |0i = 0. (3.4) Für die weitere Betrachtung der Besetzungszahloperatoren bietet sich eine Fallunterscheidung nach Fermionen und Bosonen an. 12 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Bosonen Eine wichtige Eigenschaft der bosonischen Operatoren zeigt sich anhand der Betrachtung der Matrixelemente p p hnB | b− |ñB i = ñB hnB |ñB − 1i = ñB δnB ,ñB −1 , (3.5) p p (3.6) hnB | b+ |ñB i = ñB + 1hnB |ñB + 1i = ñB + 1δnB ,ñB +1 . Hieraus lässt sich leicht die Beziehung für den jeweils adjungierten Operator finden √ hnB | (b− )† |ñB i = hñB | b− |nB i∗ = nB δñB ,nB −1 . (3.7) Durch Vertauschen der Indizes der δ-Funktion ergibt sich p hnB | (b− )† |ñB i = ñB + 1δnB ,ñB +1 = hnB | b+ |ñB i (3.8) Aus Gl.(3.7) und Gl.(3.8) folgt (b− )† = b+ , woraus folgt, dass die Operatoren adjungiert sind. Nun kann der Besetzungszahloperator N̂B = b+ b− für Bosonen definiert werden. Die Anwendung dieses Operators auf einen Zustand lässt diesen bis auf einen Skalierungsfaktor invariant: √ (3.9) N̂B |nB i = b+ b− |nB i = b+ nB |nB − 1i = nB |nB i . Diese Beziehung ist auch der Grund für den Namen des Operators, denn es wird ersichtlich, dass er die Besetzungszahl nB als Eigenwert besitzt. Mit dieser Relation lassen sich die Kommutatoren der bosonischen Operatoren leicht berechnen [b− , b+ ] |nB i = (b− b+ − b+ b− ) |nB i = (nB + (1 − nB )) |nB i = |nB i , (3.10) [b+ , b+ ] |nB i = (b+ b+ − b+ b+ ) |nB i = 0, (3.11) [b− , b− ] |nB i = (b− b− − b− b− ) |nB i = 0. (3.12) Dies lässt sich zusammenfassen zu [b− , b+ ] = 1, [b+ , b+ ] = [b− , b− ] = 0, wodurch jedes bosonische System eindeutig beschrieben werden kann. Eine weitere Eigenschaft der bosonischen Systeme, ist dass durch wiederholtes Anwenden von b+ auf den Vakuumzustand |0i jeder beliebige Zustand gebildet werden kann. |1i = b+ |0i , 1 |2i = √ b+ |1i = 2 1 + |3i = √ b |2i = 3 .. . 1 √ b+ b+ |0i , 2 1 + 1 + + 1 √ b √ b b |0i = √ (b+ )3 |0i , 3 2 6 1 (b+ )nB |0i . (3.13) nB ! Da dies als ein stufenhafter Aufstieg der Zustände interpretiert werden kann, bezeichnet man b+ und b− auch als Stufenoperator. |nB i = √ 13 3. Supersymmetrie Fermionen Für die Fermioperatoren kann ebenso wie auch für die bosonischen Operatoren ein Besetzungszahloperator N̂F eingeführt werden. Für ihn gilt analog zu N̂B N̂F = f + f − . (3.14) Hieraus wird ersichtlich, dass für ihn die Eigenwertgleichung N̂F |nF i = nF |nF i (3.15) gilt. Der grundlegende Unterschied besteht nun darin, dass die Fermionen dem Pauliprinzip gehorchen, wodurch sie sich sehr stark von den Bosonen unterscheiden. Es kann somit nur die beiden Elemente |0i und |1i im Zustandsraum geben. Es existiert kein Zustand |2i, wodurch eine zu Gl.(3.13) analoge Beziehung an dieser Stelle entfällt. Stattdessen gilt |2i = f + |1i = (f + )2 |0i = 0. (3.16) Dies bedeutet, die grundlegende Forderung des Pauliprinzips lässt sich über die Beziehung (f + )2 = 0 mathematisch formulieren. Dies führt direkt auf die Antikommutatorbeziehung [f + , f + ]+ = f + f + + f + f + = 0. Hieraus ergeben sich an die Fermioperatoren die Bedingungen f + |0i = |1i , f − |1i = |0i , und f − |0i = f + |1i = 0. (3.17) Eine zur im vorherigen Abschnitt durchgeführten analoge Untersuchung der Matrixelemente hnF | f ± |ñF i liefert 0 0 0 1 + − f = und f = . (3.18) 1 0 0 0 Man kann erkennen, dass auch fermionische Erzeuger und Vernichter zueinander adjungiert sind (f ± )† = f ∓ . Mittels Matrixmultiplikation können nun auch die Antikommutatorrelationen leicht bestimmt werden [f − , f + ]+ = f − f + + f + f − 0 1 0 0 0 0 0 1 = + 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 = + 0 0 0 1 1 0 = = 1̂. 0 1 14 (3.19) 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Dabei ist 1̂ der Einsoperator, welcher die Einheitsmatrix in zwei Dimensionen darstellt. Offensichtlich gelten ebenfalls [f + , f + ]+ = [f − , f − ]+ = 0. (3.20) Bose- und Fermioperatoren wirken in verschiedenen Räumen, deshalb gilt für sie allgemein [b, f ] = 0. (3.21) 3.2.2. SuSy-Operatoren Um den Supersymmetrieformalismus anwenden zu können, müssen in einem Raum sowohl Fermionen als auch Bosonen vorkommen. Es bietet sich daher an einen Produktraum zu konstruieren, welcher Produkte aus Bosonen und Fermionen enthält, |nB nF i = |nB i |nF i . (3.22) Es gilt hierbei nB = 0, 1, 2, . . . , ∞ und demnach keine Einschränkung, für die fermionischen Zustände sind jedoch nur nF = 0, 1 erlaubt. Dies legt die Zerlegung der möglichen Zustände in zwei Klassen nahe |Bosoni mit nF = 0 und |Fermioni mit nF = 1 . Für die SuSy-Operatoren soll gelten Q+ |nB nF i ∝ |nB − 1, nF + 1i , Q− |nB nF i ∝ |nB + 1, nF − 1i (3.23) (3.24) wobei der Operator Q+ ein Boson vernichtet und ein Fermion erzeugt und Q− ein Boson erzeugt und ein Fermion vernichtet. Es wird auch ersichtlich, dass Q± zweiteilchen Operatoren sind. Um sie genauer untersuchen zu können, muss man sie in die Erzeuger und Vernichter zerlegen. Ein naheliegender Ansatz ist Q+ = b− f + und Q− = b+ f − . (3.25) Hierbei muss darauf geachtet werden, dass beide Operatoren die selben Vorfaktoren besitzen. Hier wurden sie der Einfachheit halber zu 1 gewählt. Aus Gl.(3.16) folgt für die Operatoren Q2+ = Q2− = 0. (3.26) Dies ist eine Schlüsseleigenschaft zur Findung eines supersymmetrischen Hamiltonoperators ĤS . Für einen supersymmetrischen Hamiltonoperator muss trivialerweise unter einer SuSy-Transformation die Energie des Systems erhalten bleiben. Es soll gelten [ĤS , Q± ] = 0. (3.27) 15 3. Supersymmetrie Diese Bedingung wird beispielsweise durch einen Ansatz der Form ĤS = [Q+ , Q− ]+ (3.28) erfüllt. Die Schwäche dieses Ansatzes liegt jedoch darin, dass es sich bei Q+ und Q− nicht um hermitesche Operatoren handelt. Um hermitesche Operatoren zu finden, kann ein einfacher Ansatz der Form Q1 = Q+ + Q− und Q2 = −i(Q+ − Q− ) (3.29) verwendet werden. Die beiden so gewonnenen Operatoren erfüllen außerdem die Beziehung [Q1 , Q2 ]+ = −i(Q+ + Q− )(Q+ − Q− ) − i(Q+ − Q− )(Q+ + Q− ) = −i(Q2+ − Q2− + (−Q+ Q− + Q− Q+ ) + Q2+ − Q2− + (Q+ Q− − Q− Q+ )) = −i(Q− Q+ + Q+ Q− ) + i(Q+ Q− + Q− Q+ ) = −i[Q− , Q+ ]+ + i[Q+ , Q− ] (3.25) = 0. (3.30) Sie sind demnach antikommutierend. Für die hermiteschen Operatoren Q1 und Q2 gilt die SuSy-Transformation. ĤS bekommt durch die neu definierten Operatoren eine einfache Gestalt, denn mit Gl.(3.16) und Gl.(3.29) ergibt sich für den Hamiltonoperator nach Gl.(3.28). ĤS = Q21 = Q22 (3.31) Aus dieser einfachen Form wird auch direkt offensichtlich, dass die Bedingung für Supersymmetrie nach Gl.(3.27) erfüllt ist. Des Weiteren erfüllt dieser Operator, wie sich leicht nachrechnen lässt die Kommutatorrelationen [ĤS , N̂F ] = 0 und [ĤS , N̂B ] = 0, (3.32) wonach ein System durch Angabe der Quantenzahlen nF und nB vollständig charakterisiert ist. 3.2.3. Supersymmetrischer Hamiltonoperator Um ein Problem mit dem SuSy-Formalismus lösen zu können, muss zunächst der zugehörige supersymmetrische Hamiltonoperator bestimmt werden. Im nichtlinearen Fall muss dieser erst noch gefunden werden. Als Konstrukt von Q+ und Q− ergab er sich wie in Gl.(3.28) schon beschrieben zu ĤS = Q+ Q− + Q− Q+ . 16 (3.33) 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Wichtig ist nun einen verallgemeinerten Hamiltonoperator zu finden. Hierbei ist der Übergang von b± → B ± (b+ , b− ) (3.34) bereits ausreichend, da durch diese Ersetzung die SuSy-Operatoren in der Form Q+ = B − f + und Q− = B + f − (3.35) gegeben sind. Hierbei sind B ± Funktionen der bosonischen Einteilchenoperatoren b± . Diese neuen Operatoren erfüllen ebenfalls die Bedingung für Supersymmetrie Q2± = 0 ⇒ [ĤS , Q± ] = 0. (3.36) Dies bedeutet, der Hamiltonoperator ĤS nimmt mit diesen neuen Q’s die Form ĤS = B − B + f + f − + B + B − f − f + (3.37) an. Für diesen neuen Hamiltonoperator gelten die Beziehungen [ĤS , n̂F ] = 0 und [ĤS , n̂B ] 6= 0, (3.38) wobei Letztere aus der allgemeinen Struktur der B ± folgt. Da nB nun keine gute Quantenzahl mehr darstellt, muss eine neue Größe gefunden werden um ein System vollständig zu beschreiben. Hierzu bietet sich die Energie E an. Die neuen Zustände werden nun durch ĤS |EnF i = E |EnF i und N̂F |EnF i = nF |EnF i (3.39) charakterisiert. Wie schon zuvor kann wegen nF = 0, 1 eine Unterscheidung in zwei Zustandstypen erfolgen. Hierbei bietet sich eine zweidimensionale Matrix-Darstellung an, |E0i Boson |EnF i = = . (3.40) |E1i Fermion Schreibt man nun alle Operatoren als Matrizen so nehmen sie die Formen 0 iB + 0 B+ Q1 = und Q2 = B− 0 −iB − 0 an, woraus für den Hamiltonoperator ĤS die Darstellung + − B B 0 2 2 ĤS = Q1 = Q2 = 0 B−B+ (3.41) (3.42) folgt. Mithilfe dieser Darstellung können die Fermioperatoren geschickt entfernt werden. Auf eine ausführlichere Behandlung dieser Sachverhalte soll an dieser Stelle verzichtet werden, da ihre Relevanz für diese Bachelorarbeit eher gering einzustufen ist. Für eine genaue Betrachtung der hier dargestellten Sachverhalte bietet sich [6] oder auch [7] an. 17 3. Supersymmetrie 3.2.4. Superpotential Ein wichtiges Augenmerk soll nun auf der Erläuterung des sogenannten Superpotentials liegen, da es für diese Arbeit von zentraler Bedeutung ist und als erste Instanz dieses Kapitels bei Berechnungen konkrete Anwendung findet. Hierzu wird für den Hamiltonoperator die Ortsdarstellung verwendet, wonach er sich zu p̂2 + V (q̂) (3.43) 2m ergibt. In Anlehnung an die Erzeuger- und Vernichterdarstellung beim harmonischen Oszillator [7] wird für die Operatoren B ± die Darstellung 1 ip̂ ± B = √ W (q̂) ∓ √ (3.44) m 2 ĤS = gewählt, wobei W (q̂) als das sogenannte Superpotential bezeichnet wird. Es erscheint zunächst einleuchtend, dass W (q̂) als Potential natürlich die Einheit Energie besitzt. 1 Dies ist jedoch nicht der Fall. W (q̂) besitzt die Einheit (Energie) 2 , weswegen es nicht als potentielle Energie missverstanden werden darf. Der Hamiltonoperator aus Gl.(3.42) nimmt in der Kommutatorschreibweise die Form 1 − + 1 − + 1 0 1 0 ĤS = [B , B ]+ (3.45) − [B , B ] 0 −1 0 1 2 2 an. Dabei ergeben sich die Kommutatoren durch Einsetzen von Gl.(3.44) zu i 1 i − + W (q̂) − √ p̂ [B , B ]+ = W (q̂) + √ p̂ 2 m m 1 i i + W (q̂) + √ p̂ W (q̂) − √ p̂ 2 m m 2 1 i = 2W (q̂)2 − 2 p̂2 2 m 2 p̂ = W (q̂)2 + m und 1 i i − + [B , B ] = W (q̂) + √ p̂ W (q̂) − √ p̂ 2 m m 1 i i − W (q̂) + √ p̂ W (q̂) − √ p̂ 2 m m 2 1 p̂ 1 p̂2 2 2 = W (q̂) + − W (q̂) + 2 m 2 m i i i + −W (q̂)p̂ √ + √ p̂W (q̂) = √ [p̂, W (q̂)]. m m m 18 (3.46) 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Unter der Annahme, dass W (q̂) sich als Potenzreihe schreiben lässt [7], ergibt sich schließlich ~ dW . [B − , B + ] = √ m dq (3.47) Man erhält somit den für die Supersymmetrie fundamentalen Hamiltonoperator der Form 2 p̂ 1 2 √~ W 0 (q̂) + W (q̂) − 0 2m 2 m . (3.48) ĤS = p̂2 ~ 1 2 0 √ W (q̂) + 0 + W (q̂) 2m 2 m 3.2.5. Anwendung des Supersymmetrieformalismus in der Quantenmechanik Für die Quantenmechanik ist das Lösen der Schrödingergleichung und die Interpretation der so entstehenden Lösungen das zentrale Problem. Für viele Probleme genügt eine Betrachtung der stationären Schrödingergleichung ĤΨ = EΨ mit dem Hamiltonoperator Ĥ = p̂2 2m (3.49) + V (x̂) und der Kommutatorrelation [q̂, p̂] = i~. (3.50) In der SuSy-Quantenmechanik bietet es sich des Weiteren an, die bosonische Darstellung B ± zu verwenden, da hier keine Fermioperatoren f ± auftreten. Prinzipiell gilt, dass für jedes eindimensionale Quantensystem ein supersymmetrischer Partner existiert. Analoges gilt auch für dreidimensionale Systeme mit sphärischer Symmetrie. Ein Hamiltonoperator welcher die Supersymmetrie erfüllt lässt sich nach Gl.(3.48) als 2×2 Matrix in der Form Ĥ1 0 ĤS = (3.51) 0 Ĥ2 schreiben, die Hamiltonoperatoren können somit als Ĥ1 = − ~2 d2 ~2 d2 + V (x) und Ĥ = − + V2 (x) 1 2 2m dx2 2m dx2 dargestellt werden, wobei für die Größen V1 und V2 gilt 1 ~ 1 ~ 2 0 2 0 V1 (x) = W −√ W und V2 (x) = W +√ W . 2 2 m m (3.52) (3.53) 19 3. Supersymmetrie Die Größen V1 und V2 bezeichnet man als Partnerpotentiale. Sie erfüllen die Relation ~ V2 − V1 = Ĥ2 − Ĥ1 = √ W 0 . m (3.54) Die Hamiltonoperatoren Ĥ1 und Ĥ2 lassen sich auch als H1 = B + B − und Ĥ2 = B − B + (3.55) schreiben. Es wird außerdem direkt ersichtlich, dass für den Kommutator der beiden bosonischen Operatoren gilt ~ [B − , B + ] = Ĥ2 − Ĥ1 = √ W 0 . m (3.56) Dies ermöglicht einen fundamentalen Zugang zur Beschreibung von SuSy-Quantensystemen durch Zerlegung der Hamiltonoperatoren in Produkte aus zwei Differentialoperatoren. 3.2.6. SuSy-Quantensysteme Im vorherigen Abschnitt wurde auf die Eigenschaften der Hamiltonoperatoren Ĥ1 und Ĥ2 eingegangen. Nun stellt sich jedoch die Frage, inwiefern diese beiden Teile des supersymmetrischen Hamiltonoperators ĤS zu interpretieren sind. Anschaulich besitzen die beiden Hamiltonoperatoren die Bedeutung von 2 einzelnen Systemen, wobei natürlich für beide getrennt eine eigene Schrödingergleichung gelöst werden muss. Dies führt auf ein Gleichungssystem der Form System 1 : System 2 : (1) (1) Ĥ1 Ψ(1) n = En Ψn , (2) (2) Ĥ2 Ψ(2) n = En Ψn . (3.57) (3.58) Es soll nun mithilfe der Beziehungen zwischen den beiden Systemen ausgehend von System 1 das System 2 beschreiben werden. Hierzu betrachtet man das Verhalten der Systeme unter Anwendung der bosonischen Operatoren (1) Ĥ2 B − Ψ(1) = B − B + B − Ψ(1) B − Ψ(1) , (3.59) n n = En n (2) . (3.60) Ĥ1 B + Ψ(2) = B + B − B + Ψ(2) B + Ψ(2) n = En n n (1) Hieraus wird ersichtlich, dass B − Ψn Eigenzustand zum Hamiltonoperator Ĥ2 ist, wo(2) (2) hingegen B + Ψn Eigenzustand zum Hamiltonoperator Ĥ1 mit der Energie En ist. Grundzustand Zur weiteren Betrachtung von SuSy-Systemen ist vor Allem der Grundzustand mit E = 0 von Interesse. Hierfür zerfällt der supersymmetrische Hamiltonoperator ĤS in zwei 20 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Gleichungen der Form Ĥ1 |00i = B + B − |00i = 0, Ĥ2 |01i = B − B + |01i = 0. (3.61) (3.62) Hieraus lässt sich ablesen, dass nur die Gleichungen Ĥ1 |00i = 0 ⇐⇒ B − |00i = 0, Ĥ2 |01i = 0 ⇐⇒ B + |01i = 0 (3.63) (3.64) zu erfüllen sind. Setzt man nun für die bosonischen und fermionischen Wellenfunktionen E = 0 an, so folgen (1) (2) Ψ0 (x) := hx|00i und Ψ0 (x) := hx|01i. (3.65) Nun gilt es B − |00i = 0 und B + |01i = 0 in der Ortsdarstellung zu lösen. Mit Gl.(3.44) ergeben sich die Gleichungen ip̂ (1) Ψ0 (x) = 0, (3.66) W (q̂) + √ m ip̂ (2) (3.67) Ψ0 (x) = 0. −W (q̂) + √ m Es wird ersichtlich, dass die Lösungen dieses Problems durch √ Z 0 (1) m Ψ0 (x) W (x̃)dx̃ = C exp ∓ (2) ~ x Ψ0 (x) (3.68) bestimmt sind. Für diese Lösung muss jedoch auch die Normierbarkeit erfüllt sein, d.h. (1) sie muss für x → ±∞ auf Null absinken. Dies stellt an Ψ0 die Bedingungen Z ∞ Z 0 W (x̃)dx̃ = +∞. (3.69) W (x̃)dx̃ = −∞ und ∞ 0 (2) Analog gelten auch für Ψ0 Bedingungen, welche die Form Z 0 Z ∞ W (x̃)dx̃ = +∞ und W (x̃)dx̃ = −∞ ∞ (3.70) 0 annehmen. Aus diesen Bedingungen wird ersichtlich, dass sie nicht beide zur gleichen Zeit erfüllt werden können. Damit ist klar, dass es nur einen Grundzustand geben kann, welcher entweder in System 1 oder System 2 liegt. Es sind nun drei Fälle möglich: System 1, Der Grundzustand mit E = 0 gehört zu System 2, keinem System. Für die Fälle 1 und 2 wird die Symmetrie als exakt, für den dritten Fall als gebrochen bezeichnet. 21 3. Supersymmetrie Eigenzustände und Eigenfunktionen der SuSy-Partner Durch Gl.(3.60) wird deutlich, dass für ein System in dem der Grundzustand mit E = 0 zu Ĥ1 gehört jede Energie sowohl Eigenwert zu Ĥ1 als auch zu Ĥ2 ist. Dies bedeutet, dass im Fall exakter Supersymmetrie die Nummerierung der Zustände für die einzelnen Systeme folgendermaßen vonstatten geht: (1) (1) E0 = 0 und En(2) = En+1 (3.71) Es gilt für die Wellenfunktionen bei gleicher Energie demnach mit 1 1 (1) B + Ψ(2) B − Ψn+1 und Ψ(1) Ψ(2) n . n = q n = q (1) (2) En+1 En (3.72) Eine genaue Erläuterung findet sich in [7]. Dies bedeutet, dass mithilfe der Operatoren B ± die Eigenfunktionen von Ĥ1 in die von Ĥ2 überführt werden können und umgekehrt, indem sie Knoten erzeugen bzw. vernichten. Hierbei sei erwähnt, dass für gebrochene Supersymmetrie die Eigenwertspektren identisch sind und es gilt (2) E(1) n = En für E > 0, (3.73) für die Wellenfunktionen gilt hier natürlich Ψ(2) n = q 1 B − Ψ(1) und Ψ(1) B + Ψ(2) n n = q n . (1) (2) En En 1 (3.74) 3.2.7. Konstruktion des Superpotentials In dieser Bachelorarbeit ist das Superpotential von zentraler Bedeutung, da mit seiner Hilfe der Partnerzustand und die Partnerwellenfunktion berechnet werden können. Hierbei ist es zielführend vom Grundzustand auszugehen und hieraus das Superpotential zu bestimmen. Der Grundzustand und seine Wellenfunktion werden hierzu als bekannt vorausgesetzt. Es wird des Weiteren in diesem Kapitel darauf eingegangen, wie aus dem Superpotential W der Partnerzustand entsteht. Als Ansatz für das Superpotential, wird die Schrödingergleichung für den Grundzustand in der Form (1) (1) (1) Ĥ1 Ψ0 = E0 Ψ0 (3.75) (1) betrachtet. Für exakte Supersymmetrie ist E0 = 0 und sie vereinfacht sich auf die Form Ĥ1 Ψ0 (1) = 0. Mit dem Hamiltonoperator Ĥ1 aus Gl.(3.52) ergibt sich ~ ∂ ~2 ∂ 2 (1) 1 2 Ψ + W −√ W = 0. − 2m ∂x2 0 2 m ∂x 22 (3.76) (3.77) 3.2. Konstruktion und Eigenschaften der SuSy-Operatoren Es handelt sich hierbei offensichtlich um eine nichtlineare Differentialgleichung für das Superpotential W . Durch Umstellen erhält man jedoch schnell eine einfachere Formulierung 2 (1) ∂ 2 Ψ ∂x2 0 ~ ∂ ~ W . (3.78) = √ W − √ (1) m m ∂x Ψ0 Unter Ausnutzung der Kettenregel für Ψ ! (1) (1) ∂ ∂2 Ψ Ψ ∂ ∂x 0 ∂x2 0 = − (1) (1) ∂x Ψ0 Ψ0 (1) ∂ Ψ ∂x 0 (1) Ψ0 !2 (3.79) lässt sich als mögliche Lösung für das Superpotential W finden: ~ ∂ (1) ln(Ψ0 ). W = −√ m ∂x (3.80) Für die Konstruktion eines SuSy-Partners zu einem beliebigen Hamiltonoperator kann ein allgemeines Verfahren angewendet werden. Zunächst wird von Ĥ die Grundzustandsenergie abgezogen um auf Ĥ1 zu schließen. Es wird somit sichergestellt das der Grundzustand von Ĥ1 bei E = 0 liegt. Mithilfe der Grundzustandswellenfunktion Ψ0 wird anschließend das Superpotential W und der Hamiltonoperator des Partnersystems bestimmt. Allgemeine Eigenschaften der Potentiale Nach der Behandlung der allgemeinen Konstruktion des Superpotential, soll nun noch auf die Zusammenhänge der Potentiale V1 , V2 , W und deren Beziehungen zur Grundzustandswellenfunktion eingegangen werden. Hierbei sei darauf hingewiesen, dass W nur 1 Potential genannt wird, jedoch die Dimension (Energie) 2 besitzt. Sobald das Potential V2 bestimmt ist, kann das Partnersystem mithilfe von (2) (2) (2) Ĥ2 Ψ1 = E1 Ψ1 2 (3.81) 2 ~ ∂ mit Ĥ2 = − 2m +V2 (x) gelöst werden. Es gilt für das Potential V1 , mit dessen Hilfe Ĥ1 ∂x2 konstruiert wird, der einfache Zusammenhang mit dem Potential V des ursprünglichen Problems V1 = V − E0 , (3.82) was in der Regel für jedes System lösbar ist. Für V1 gilt außerdem 1 1 ∂ V1 = W 2 − W. 2 2 ∂x (3.83) 23 3. Supersymmetrie Hierbei wurden die Größen ~ = m = 1 gewählt. Es muss bei diesem alternativen Vorgehen für das Superpotential nur eine Differentialgleichung gelöst werden. Hierbei umgeht man geschickt einen direkten Ansatz mit Wellenfunktionen, was für manche Probleme eine deutliche Reduzierung des Rechenaufwands bedeuten kann. Durch Berechnung des Superpotentials W ist direkt auch das Partnerpotential V2 bestimmt, welches sich über 1 ∂ 1 W V2 = W 2 + 2 2 ∂x (3.84) berechnen lässt. Es muss zur Bestimmung von V2 lediglich eine Differentialgleichung für W gelöst und das so bestimmte W abgeleitet werden. Mit V2 ist automatisch das System 2 bekannt und es lassen sich die Wellenfunktionen wie in der Quantenmechanik üblich, durch Lösen der Schrödingergleichung bestimmen, welche in diesem Fall durch (2) (2) Ĥ2 Ψ(2) n = En Ψn (3.85) gegeben ist. Hierbei sind die Energieeigenwerte dieselben wie im System 1, jedoch fehlt im Spektrum von Ĥ2 der Grundzustand. Es lassen sich alternativ bei bereits bestimmten (1) Potentialen, die Wellenfunktionen aus den bekannten Wellenfunktionen für System 1 Ψn durch Anwendung der Operatoren B ± bestimmen. Hierbei gilt (2) B + Ψ(1) n = Ψn+1 (2) und B − Ψ(1) n = Ψn−1 . (3.86) Es wird deutlich, dass es meist mehr als einen Weg gibt um ein SuSy-Problem zu lösen. Es bleibt je nach Fall zu entscheiden, welcher Weg sich anbietet um die gesuchten Größen und Funktionen zu bestimmen. 24 4. Doppel-δ-Potential Zur Beschreibung von Ein- und Auskopplungsprozessen sowie den Nachweis von PT Symmetrie bei Teilchen, bietet sich ein sogenanntes Doppelmulden-Potential an. Für ein solches Potential gestaltet sich die Beschreibung mit analytischen Mitteln jedoch unmöglich, weswegen hier direkt eine numerische Lösung herangezogen werden muss. Für eine grundlegende Analyse eines solchen Systems bietet es sich an einen vereinfachten Grenzfall des Doppel-Mulden-Potentials zu betrachten. Im Fall verschwindender Ausdehnung und unendlicher Tiefe der Mulden geht dieses in ein Doppel-δ-Potential über. Hierbei liegt der Vorteil klar auf der Hand, denn für dieses Problem existieren für das quantenmechanische Grundproblem analytische Lösungen. Ziel wird es im Folgenden sein, die grundlegenden Eigenschaften eines Doppel-δ-Systems und die analytischen Lösungen zu ermitteln. 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz Im Fall eines Doppel-δ-Potentials ist selbstverständlich die grundlegende Eigenschaft der δ-Distribution wichtig, für die gilt: Z δ(a − x)f (x)dx = f (a). (4.1) Das allgemeine Doppel-δ-Potential nimmt die Form V (x) = V0 δ(x − a) + V0 δ(x + a) (4.2) an. Hierbei bezeichnet a den Abstand der beiden Potentiale vom Ursprung und V0 die Tiefe der Delta-Fallen. In einer früheren Publikation [8] wurde zur Konstruktion eines PT -symmetrischen Quantensystems ein allgemeinerer Ansatz der Form V (x) = (V0 + iγ)δ(x − a) + (V0 − iγ)δ(x + a) (4.3) vorgeschlagen, wobei hier γ eine mögliches Ein- und Auskoppeln von Teilchen beschreibt. Dieser Ansatz erfüllt die Bedingung V (x) = V (−x)∗ , welche die PT -Symmetrie garantiert, wie man leicht an V (x) = vδ(x − a) + v ∗ δ(x + a) (4.4) 25 4. Doppel-δ-Potential sieht, wobei v = V0 + iγ benutzt wurde. Die Schrödingergleichung für dieses Problem nimmt die Form ∂2 ∗ − 2 + vδ(x − a) + v δ(x + a) Ψ(x) = −κ2 Ψ(x) (4.5) ∂x an. Hierbei interessieren für eine Lösung primär nur gebundene Zustände, da diese eine stationäre Lösung liefern. Zur Vereinfachung des Problems wurde E = -κ2 verwendet. Diese Zustände besitzen negative Energien, weswegen das Vorzeichen von κ2 in Gl.(4.5) negativ gewählt wurde. Für die Art der Lösung eines solchen Systems wird eine Fallunterscheidung notwendig, welche aus den physikalischen Randbedingungen an das System folgt. Zum einen muss die Wellenfunktion normierbar sein, weswegen sie außerhalb der δ-Funktionen auf Null abfallen muss, zum anderen wird für den Bereich zwischen den δ-Funktionen ein allgemeiner Ansatz in Form einer Linearkombination von Exponentialfunktionen benötigt. Der kombinierte Ansatz lautet demnach κx Ae für x < −a Ψ(x) = Beκx + Ce−κx für − a < 0 < a (4.6) −κx De für x > a. Hierbei ist zu beachten, dass die Wellenfunktion an den Stellen der δ-Funktionen eine Unstetigkeitsstelle aufweist. Im weiteren Verlauf werden die Wellenfunktionen in den einzelnen Bereichen mit I,II und III bezeichnet. Für die Wellenfunktion an der Stelle der δ-Funktionen müssen sowohl Sprungbedingungen als auch die Stetigkeitsbedingungen erfüllt werden. Dabei sind die Stetigkeitsbedingungen über ΨI (−a) = ΨII (−a) und ΨII (a) = ΨIII (a) (4.7) gegeben. Die Sprungbedingungen ergeben sich durch Integration in einer Umgebung an den Stellen der δ-Funktionen zu ∂ ∂ ΨII (−a + ) − ΨI (−a − ) = vΨI (−a), (4.8) ∂x ∂x ∂ ∂ ΨIII (a + ) − ΨII (−a − ) = v ∗ ΨII (−a). (4.9) ∂x ∂x Es folgt aus der Stetigkeit der Wellenfunktion an den Stellen x = a und x = −a mit dem Ansatz aus Gl.(4.6) Ae−κa = Be−κa + Ceκa an der Stelle x = −a, De−κa = Beκa + Ce−κa an der Stelle x = a. (4.10) (4.11) Die Sprungbedingung ergibt sich durch Einsetzen des Ansatzes für die Wellenfunktionen an der Stelle x = −a zu κ(Be−κa − Ceκa ) − κAe−κa = vAe−κa . 26 (4.12) 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz Mithilfe von Gl.(4.11) kann die Sprungbedingung durch die Konstanten B und C ausgedrückt werden. Es ergibt sich κ(Be−κa − Ceκa − Be−κa − Ceκa ) = v(Be−κa + Ceκa ). (4.13) Hieraus folgt die erste Bestimmungsgleichung für die Wellenfunktion zu B + C(1 + 2κ 2aκ )e = 0. v (4.14) Analoges Vorgehen an der Sprungstelle bei x = a liefert −κDe−κa − κ(Beκa − Ce−κa ) = v ∗ De−κa . (4.15) Einsetzen von Gl.(4.11) liefert die zweite Bestimmungsgleichung: ( 2κ + 1)Be2κa + C = 0. v∗ (4.16) Aus den beiden Bestimmungsgleichungen kann ein Gleichungssystem gewonnen werden, welches in Matrixschreibweise die Form 1+ 1 2κ v 1+ e2κa 2κ v∗ 1 e2κa B 0 = C 0 (4.17) annimmt. Ein Gleichungssystem dieser Form weist nur im Fall einer verschwindenden Determinante eine nichttriviale Lösung auf. Damit folgt direkt aus Gl.(4.17) 2κ 2κ 1+ 1 + ∗ = e−4aκ . v v (4.18) Aus dieser Gleichung können die Energieeigenwerte in Abhängigkeit der Position a der beiden δ-Funktionen gewonnen werden, was in 4.1 zu sehen ist. Gl.(4.18) besitzt keine analytische Lösung, weswegen der numerische Weg eingeschlagen werden muss um die Energieeigenwerte zu erhalten. 27 4. Doppel-δ-Potential 1 Re(κ(a, γ = 0)) Im(κ(a, γ = ±0, 3)) Re(κ(a, γ = ±0, 3)) 0.8 κ 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 1 2 3 a 4 5 6 Abbildung 4.1.: Energieeigenwerte des PT -symmetrischen Doppel-δ-Potentials nach Gl.(4.18). 4.1.1. Lösungen für das PT -symmetrische Doppel-δ-Potential Eine Lösung für das Doppel-δ-Potential auf analytischem Weg gestaltet sich, wie bereits an Gl.(4.18) ersichtlich wird, als unmöglich. Aus diesem Grund wird zur Lösung des Problems ein numerisches Verfahren benötigt. Hierzu wird eine fünfdimensionale reelle Nullstellensuche verwendet um die benötigten Energieeigenwerte zu finden sowie ein klassisches Runge-Kutta-Verfahren zum Finden der Wellenfunktionen. Numerische Methode Für die Nullstellensuche wurden die Randbedingungen, die an die Funktion zu stellen sind, verwendet. Hierbei wurde der Startwert für κ, sowie die Startwerte für die Wellenfunktion bei x = 0 solange verändert, bis die Bedingungen für eine stationäre Lösung Im(Ψ(±∞)) = 0 und Re(Ψ(±∞)) = 0, (4.19) sowie die Normierung Z |Ψ(x)|2 dx = 1 (4.20) erfüllt sind. Es sei hier darauf hingewiesen, dass Ψ nicht bis unendlich berechnet wurde, sondern der betrachtete Bereich nur bis zu einem endlichen Wert ging. Hierzu wurde in Anlehnung an das bereits in [8] beschriebene Verfahren gearbeitet. Für bestehende Startwerte wurde das zugehörige DGL-System mithilfe des Runge-Kutta-Verfahrens der 28 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz vierten Ordnung (siehe Anhang A) gelöst und geprüft, ob die berechnete Wellenfunktion den Bedingungen der Nullstellensuche entsprach. Hierbei wurde stets in einem Schritt ausgehend von x = 0 bis zur Position der δ-Funktionen integriert. Da an dieser Stelle die Sprungbedingung für die Wellenfunktion erfüllt werden muss, wurde diese getrennt berechnet und anschließend bis zu einem Grenzwert für x → ∞ die Integration weitergeführt. Es wurden demnach vier separate Bereiche und zwei Sprungstellen bei der Berechnung getrennt berücksichtigt, welche die Wellenfunktion bilden. Für verschiedene Werte des Parameters γ und der Potentialtiefe V0 wurden Lösungen berechnet. Einige sind in den Abbildungen der nun folgenden Abschnitte dargestellt. Es wird ersichtlich, dass ab einem kritischen Abstand zwischen den δ-Potentialen zwei komplex konjugierte Lösungen existieren. Es zeigt sich, dass es sich daher um ein PT -symmetrisches System handelt. Im folgenden sollen einige für den weiteren Verlauf dieser Arbeit wichtige Grundeigenschaften dieses Systems untersucht werden. 4.1.2. Variation des Parameters γ im Grundzustand Wird der Parameter γ siehe Gl.(4.3) langsam hochgefahren, so entsteht im Gegensatz zur Grundzustandswellenfunktion für ein rein reelles Potential ein Imaginärteil der Wellenfunktion. Auf das Systemverhalten in Abhängigkeit von γ soll im Folgenden eingegangen werden. 0.6 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)|2 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 Abbildung 4.2.: Numerische Lösung für das Doppel-δ-Potential im Grundzustand für γ = 0. In Abb.4.2 ist die numerisch berechnete Grundzustandswellenfunktion für das System mit γ = 0 zu sehen. Markant sind die Knicke in der Wellenfunktion, welche aufgrund 29 4. Doppel-δ-Potential der δ-Potentiale auftreten. Offensichtlich besitzt sie keinen Imaginärteil und ist rein reell. Das Grundsystem weist keine komplexen Energieeigenwerte auf. Bei Erhöhen des Parameters γ ergeben sich für die Wellenfunktionen neue Formen. Wellenfunktionen für γ 6= 0 0.6 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)|2 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 Ψ(x) Abbildung 4.3.: Numerische Lösung für das Doppel-δ-Potential im Grundzustand für γ = 0,1. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -15 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)|2 -10 -5 0 x 5 10 15 Abbildung 4.4.: Numerische Lösung für das Doppel-δ-Potential im Grundzustand für γ = 0,5. 30 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz Ist der Parameter γ 6= 0 so besitzt die Wellenfunktion einen Imaginärteil. Auch für ihn sind die typischen Knicke zu erkennen. Der Imaginärteil ist, wie in Abb.4.3 zu sehen, antisymmetrisch zum Ursprung. Die Wellenfunktion des Systems behält seine PT -Symmetrie bei, denn der Realteil der Wellenfunktion bleibt symmetrisch zum Ursprung. Für große γ wird die Symmetrie der Wellenfunktion gebrochen, daher ist die Wellenfunktion des Systems nicht mehr PT -symmetrisch. Das bedeutet, für ein komplexes Potential bleibt die Symmetrie nur bis zu einem bestimmten Wert γcrit erhalten. Um diesen zu bestimmen, bietet sich eine Analyse der Energieeigenwerte des Grundzustands in Abhängigkeit von γ an. Energieeigenwerte des Grundzustands 1 Re(κ) Im(κ) Im(κ̃) 0.8 0.6 κ 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 4.5.: Real und Imaginärteil der Energieeigenwerte für das Doppel-δ-Potential bei Variation des Parameters γ. Es wird deutlich, dass die Energieeigenwerte des Systems für γ > 0,4 zwei komplexkonjugierte Lösungen aufweisen. Hier wurde die zweite Lösung zur Unterscheidung mit κ̃ gekennzeichnet. Die komplexen Energieeigenwerte nehmen bei steigendem γ immer mehr zu, es bleiben jedoch stets die Beziehungen Re(κ̃) = Re(κ) und Im(κ̃) = −Im(κ) (4.21) an die Energieeigenwerte erfüllt. Die Abb.4.5 zeigt, dass beide Lösungen zueinander komplex konjugiert sind. Es existieren ab γcrit ≈ 0,4 auch zwei verschiedene Wellenfunktionen zu den Energieeigenwerten, die zweite Lösung für γ = 0,5 ist in Abb.4.6 zu 31 4. Doppel-δ-Potential Ψ(x) sehen. Es fällt auf, dass es sich um die gespiegelte Version der Wellenfunktion in Abb.4.4 handelt. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -15 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)|2 -10 -5 0 x 5 10 15 Abbildung 4.6.: Zweite Lösung für das Doppel-δ-Potential im Grundzustand bei γ = 0,5. Die Wellenfunktionen werden für größere γ immer weiter deformiert, wie man beispielsweise in Abb.4.7 an der Wellenfunktion für γ = 1 sieht. 0.7 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)|2 0.6 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -15 -10 -5 0 x 5 10 Abbildung 4.7.: Wellenfunktion des Grundzustands für γ = 1. 32 15 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz 4.1.3. Variation des Parameters γ im angeregten Zustand 0.3 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)| 0.2 Ψ(x) 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -80 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 Abbildung 4.8.: Angeregter Zustand im Doppel-δ-Potential für γ = 0. Es fällt auf, dass für den in Abb.4.8 zu sehenden angeregte Zustand, der Imaginärteil wie im Grundzustand antisymmetrisch zum Ursprung ist. Aus diesem Grund ist auch die Wellenfunktion des angeregten Zustands PT -symmetrisch. Für verschiedene Werte des Parameters γ ergeben sich auch hier Veränderungen in der Form der Wellenfunktion, wie beispielsweise anhand von Abb.4.9 ersichtlich wird. 0.5 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)| 0.4 0.3 Ψ(x) 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 Abbildung 4.9.: Angeregter Zustand im Doppel-δ-Potential für γ = 0, 2. Es zeigt sich für den angeregten Zustand für γ 6= 0, ein nicht verschwindender Realteil. Dieser ist wiederum symmetrisch zum Ursprung, wodurch eine zum Grundzustand 33 4. Doppel-δ-Potential Ψ(x) analoge Symmetrie vorliegt. Natürlich ist auch diese Wellenfunktion PT -symmetrisch. Bei weiterer Erhöhung des Parameters γ wird deutlich, dass für große γ die Symmetrie der Wellenfunktion gebrochen wird, wie man am Beispiel der Wellenfunktion für γ = 0,5 welche in Abb.4.10 dargestellt ist, erkennen kann. Es scheint auch hier analog zum Grundzustand einen kritischen Wert für γ zu geben, an dem die Symmetrie gebrochen wird. Um diesen zu ermitteln bietet sich eine Analyse der Energieeigenwerte für den angeregten Zustand an. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -20 Re(Ψ(x)) Im(Ψ(x)) |Ψ(x)| -15 -10 -5 0 x 5 10 15 20 Abbildung 4.10.: Angeregter Zustand mit gebrochener Symmetrie im Doppel-δ-Potential für γ = 0,5. 0.8 Re(κ) Im(κ) Im(κ̃) 0.6 κ 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 γ Abbildung 4.11.: Energieeigenwerte κ des angeregten Zustands im Doppel-δ-Potential aufgetragen über dem Kopplungsparameter γ. 34 4.1. Das Problem und der Lösungsansatz In Abb.4.11 zeigt sich für den angeregten Zustand ebenfalls bei γ = 0,4 eine Aufspaltung in zwei komplex konjugierte Lösungen für die Energieeigenwerte κ. Diese Lösungen erfüllen wie auch im Grundzustand die Beziehungen Im(κ) = −Im(κ̃) und Re(κ) = Re(κ̃). (4.22) Ab dem kritischen Wert von γ ≈ 0,4 ändert der Realteil des Energieeigenwerts κ zum angeregten Zustand sein Verhalten abrupt und zeigt ein fast lineares Verhalten. Der Imaginärteil von κ wird wie im Grundzustand erst ab γcrit relevant. Will man das Verhalten der beiden Energieeigenwerte von Grundzustand und angeregtem Zustand vergleichen, so bietet es sich an diese zunächst in einem gemeinsamen Schaubild darzustellen. In Abb.4.12 sind für beide Zustände die γ Abhängigkeiten dargestellt. 1 Re(κ̃) Re(κ) Im(κ) Im(κ̃) 0.8 0.6 κ 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 4.12.: Energieeigenwerte κ beider Zustände des Doppel-δ-Potentials, aufgetragen über dem Kopplungsparameter γ. Es fällt auf, dass die Energieeigenwerte des angeregten Zustands für γ < 0,4 (hier blau gekennzeichnet) wesentlich geringer sind als die des Grundzustands, was sich auch im Verhalten der Wellenfunktionen zeigt. Die Wellenfunktionen fallen außerhalb der δ-Funktionen proportional zu e−κ auf Null ab, womit sich erklärt, warum diese im Gegensatz zum Grundzustand für γ < γcrit wesentlich langsamer abfallen als die Wellenfunktionen des Grundzustands. Der Unterschied ist beim Vergleich der Wellenfunktionen für γ = 0 am deutlichsten zu sehen. Betrachtet man Abb.4.12, so stellt man fest, dass an der Stelle γcrit ≈ 0,4 beide Realteile ineinander übergehen. Die komplex konjugierten Lösungen, welche nach γcrit auftreten, sind für beide Zustände identisch. Dies erklärt auch, warum die in Abb.4.10 dargestellte Wellenfunktion mit der Lösung für den Grundzustand bei γ = 0,5 identisch ist. Als Konsequenz dieser Tatsache, folgt dass es 35 4. Doppel-δ-Potential offensichtlich keinen Grundzustand für γ > γcrit gibt. Es bleibt frei zu wählen, welche der beiden Lösungen nach γcrit als Grund- bzw. angeregter Zustand zu interpretieren ist, da beide im Realteil κ welcher die messbare Energie des jeweiligen Zustands beschreibt übereinstimmen. Es sei an dieser Stelle abschließend noch darauf hingewiesen, dass alle Zustände für das gewählte Doppel-δ-Potential mit a = 1 (siehe Gl.(4.3)) zwei Lösungen besitzen. Dies wird in Kapitel 6 relevant, wenn es zur Anwendung des SuSy-Formalismus kommt. 36 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential In Kapitel 4 wurde bereits das Doppel-δ-Potential behandelt und seine Eigenschaften untersucht. In einer früheren Arbeit [4] wurde als Ansatz zur Realisierung eines PT symmetrischen Quantensystems ein System gekoppelter Wellenfunktionen vorgeschlagen. In dieser Arbeit soll nun zunächst geprüft werden, in wie weit sich ein gekoppeltes System für die Anwendung des Supersymmetrie-Formalismus eignet. Zunächst wird als Vorbereitung für die spätere Anwendung des SuSy-Formalismus das gekoppelte System eingehend untersucht. Es zeigte sich bereits in Kapitel 4, dass ein komplexes Doppel-δPotential die Eigenschaften eines PT -symmetrischen Quantensystems erfüllt. Die PT Symmetrie liefert physikalisch interpretierbare Ergebnisse, da stets reelle Energieeigenwerte vorliegen. Es wurde in Kapitel 4 gezeigt, dass für das Doppel-δ-Potential stets zwei Zustände gefunden werden können, was eine Grundvoraussetzung für die Anwendung der Supersymmetrie ist. Ein Doppel-δ-Potential stellt zunächst ein stark idealisiertes System dar. Deshalb soll in dieser Arbeit als erster Schritt für die Annäherung an ein physikalisch realisierbares System eine Kopplung mit einem zweiten Potential erfolgen. Diese liefert unter anderem eine mögliche Antwort auf die Frage, woher die ein- bzw. auskoppelnden Teilchen, welche durch das komplexe Doppel-δ-Potential beschrieben werden, kommen oder wohin sie gehen. Auf das so konstruierte System soll im anschließenden Kapitel 6 der SuSy-Formalismus seine Anwendung finden. 5.1. Die Kopplung Die Kopplung zwischen den Potentialen und damit auch zwischen den Wellenfunktionen wird im weiteren Verlauf sehr idealisiert betrachtet. Es werden im folgenden Kopplungen zwischen zwei eindimensionalen Doppel-δ-Potentialen betrachtet, wobei der Ansatz für die Kopplung in Anlehnung an [9] und [4] gewählt wurde. Die Schrödingergleichungen zweier quantenmechanischer Teilchen nehmen für den Fall einer beliebigen Kopplung die allgemeine Form ∂2 (5.1) − 2 + V1 Ψ1 (x) + K1 (Ψ2 ) = E1 Ψ1 (x), ∂x ∂2 − 2 + V2 Ψ2 (x) + K2 (Ψ1 ) = E2 Ψ2 (x) (5.2) ∂x 37 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential an. Eine Kopplung zwischen zwei eindimensionalen Systemen wird durch die stationären Zustände in einem Gesamtpotential beschrieben. Das Gesamtpotential eines Systems setzt sich aus dem Potential Vi und der Kopplung Ki zusammen, wobei hier natürlich jedes beliebige Potential Vi gewählt werden kann. Beschränkt man die Betrachtung der Kopplung auf einen Punkt, so liegt ein Ansatz mithilfe einer δ-Funktion nahe. Zudem muss ein Kopplungsterm, um physikalisch sinnvoll zu sein, selbstverständlich von der jeweils anderen Wellenfunktion abhängen, da nur so gekoppelte Differentialgleichungen entstehen. Beschränkt man sich als ersten Ansatz auf lineare Kopplungen, so muss diese linear in ihrem Argument sein. Dies legt den Ansatz mit K1 (Ψ2 ) = η1 Ψ2 δ(x − a) und K2 (Ψ1 ) = η2 Ψ1 δ(x − a) (5.3) nahe. Es bleibt hier noch zu erwähnen, dass die jeweilige Wellenfunktion nur am Kopplungspunkt auszuwerten ist, und der Parameter ηi die Stärke der Kopplung bestimmt. Setzt man den so ermittelten Kopplungsansatz in Gl.(5.1) bzw. Gl.(5.2) ein, so ergeben sich durch eine triviale Umformung die Gleichungen: Ψ2 (x) ∂2 δ(a − x) Ψ1 (x) = E1 Ψ1 (x), (5.4) − 2 + V 1 + η1 ∂x Ψ1 (x) ∂2 Ψ1 (x) − 2 + V2 + η2 δ(a − x) Ψ2 (x) = E2 Ψ2 (x). (5.5) ∂x Ψ2 (x) Es zeigt sich, dass die so konstruierte Kopplung wie eine Erweiterung des Potentials Vi wirkt. Dies führt auf die Gleichungen für das effektive Potential der beiden Systeme, welche sich zu Veff,1 = V1 + η1 Ψ2 (x) δ(a − x) Ψ1 (x) und Veff,2 = V2 + η2 Ψ1 (x) δ(a − x) Ψ2 (x) ergeben. Für ein δ-Potential nimmt Veff,i die besonders kompakte Form Ψj (x) Veff,i = V0 + ηi δ(a − x) Ψi (x) (5.6) an. Um einen allgemeinen Fall zu erhalten, wird der Kopplungsparameter η ∈ C gewählt. Durch die Kopplung besteht ein Wahrscheinlichkeitsstrom zwischen beiden Systemen. Von diesem kann gefordert werden, dass er in beide Richtungen gleichermaßen fließt. Da die Kopplung auf beide Systeme gleichermaßen wirken soll, liegt es nahe, den Betrag des Kopplungsparameters am Kopplungspunkt für beide Systeme identisch zu wählen. Diese Forderungen können nun in die Kontinuitätsgleichung (siehe Gl.(2.30)) eingesetzt werden, und es ergibt sich bei konstanter Wahrscheinlichkeitsstromdichte die Gleichung ! 0 = 2VIm,eff,1 (x)|Ψ1 (x, t)|2 + 2VIm,eff,2 (x)|Ψ2 (x, t)|2 . 38 (5.7) 5.1. Die Kopplung Dies kann an der Stelle x = a aufgrund der zeitunabhängigen Norm der Wellenfunktionen und der Forderung nach identischen Wellenfunktionen am Kopplungspunkt zu ! 0 = Im(η1 ) Ψ1 (a) Ψ2 (a) |Ψ1 (a)|2 + Im(η2 ) |Ψ2 (a)|2 Ψ1 (a) Ψ2 (a) (5.8) vereinfacht werden. Da beide Wellenfunktionen am Kopplungspunkt gleiche Beträge aufweisen, d.h. |Ψ2 (a)|2 = |Ψ1 (a)|2 gilt, ergibt sich für die Kopplungsparameter die Beziehung Im(η1 ) = −Im(η2 ) ⇒ η1 = η2∗ = η ∗ , (5.9) wobei die letzte Gleichheit aus der Forderung an die Beträge der Kopplungsparameter folgt. Es ergeben sich für die Schrödingergleichungen der beiden Teilchen mit dem bisherigen Ansatz ∂2 Ψ2 (x) − 2 + V0 + η δ(a − x) Ψ1 (x) = E1 Ψ1 (x), (5.10) ∂x Ψ1 (x) ∂2 ∗ Ψ1 (x) − 2 + V0 + η δ(a − x) Ψ2 (x) = E2 Ψ2 (x). (5.11) ∂x Ψ2 (x) Wie oben bereits gefordert, werden nur stationäre Lösungen betrachtet, hierzu muss Gl.(5.6) zeitlich konstant sein. Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch e−iEi t beschrieben. Betrachtung von Gl.(5.6) zeigt direkt, Veff ist nur zeitlich konstant, sofern in beiden Zuständen der gleiche Energieeigenwert vorliegt. Um reelle Energieeigenwerte zu garantieren, soll außerdem das gekoppelte Gesamtsystem PT -symmetrisch sein. Es bietet sich an, die selben Ein- bzw. Auskopplungsprozesse wie für das PT -symmetrische Doppel-δ-Potential anzusetzen(siehe [4]). Dies führt mithilfe von Gl.(5.10) auf die Bedingung ηΨ2 (a) = α1 Ψ1 (a). (5.12) Um einen allgemeinen Fall zu erhalten, wurde hier α1 ∈ C gewählt, wobei Umformen nach α1 α1 = η Ψ2 (a) Ψ1 (a) (5.13) liefert. Dies ist gleichbedeutend mit α1 = |η| |Ψ2 (a)| i[φ2 (a)−φ1 (a)+φη (a)] . e |Ψ1 (a)| (5.14) Es sind hier φ1 (a) und φ2 (a) die Phasen der beiden Moden und φη (a) die Phase des Kopplungsparameters [4]. 39 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential 5.2. Schrödingergleichung des gekoppelten Systems Die im vorherigen Abschnitt behandelte Kopplung soll nun in das in dieser Bachelorarbeit untersuchte Doppel-δ-Potential integriert werden. Hierzu wurden sowohl die Kopplung als auch die δ-Potentiale an den Stellen x = ±a gewählt. Um reelle Energieeigenwerte zu erhalten, soll das so konstruierte System PT -symmetrisch sein. Dies impliziert zusätzlich Bedingungen an die Parameter, wodurch direkt α1 (−a) = α1∗ (a) = α2 (a) = α2∗ (a) (5.15) gelten muss. Stellt man die Forderung nach einer PT -symmetrischen Wellenfunktion, so gilt auch Ψ1 (−a) = Ψ1 (a)∗ , Ψ2 (−a) = Ψ2 (a)∗ . Des Weiteren muss aufgrund des Ansatzes, welcher die selbe Stärke der Kopplungen an den Stellen x ± a fordert, für die Phase des Kopplungsparameters φη (−a) = −φη (a) (5.16) gelten. Zusammenfassend liefert dies für eine PT -symmetrische Lösung den Zusammenhang η(−a) = η ∗ (a). (5.17) Mit dieser Beziehung sowie dem Doppel-δ-Potential der Form Vδ = V0 (δ(a − x) + δ(a + x)) (5.18) lassen sich die Schrödingergleichungen des gekoppelten Systems Gl.(5.10) bzw. Gl.(5.11) ∂2 − 2 + V0 (δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ1 (x) + ∂x ∗ (5.19) (η δ(a + x) + ηδ(a − x))Ψ2 (x) = −κ21 Ψ1 (x), 2 ∂ − 2 + V0 (δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ2 (x) + ∂x (ηδ(a + x) + η ∗ δ(a − x))Ψ1 (x) = −κ22 Ψ2 (x) (5.20) aufstellen. Auch hier wurde wie im Abschnitt 4.1 die Ersetzung E = −κ2 benutzt, um die weitere Rechnung zu vereinfachen. 40 5.3. Kopplung gebundener Zustände 5.3. Kopplung gebundener Zustände Für gebundene Zustände wird die Gleichheit der Energieeigenwerte beider Wellenfunktionen gefordert. Um die Kontinuitätsgleichung zu erfüllen, müssen die Wahrscheinlichkeitsströme gerade entgegengesetzt fließen, d.h. erfährt eine Wellenfunktion einen Verlust, so muss die andere einen Gewinn verzeichnen. Um diese Bedingungen zu erfüllen, müssen die Wellenfunktionen Lösungen der selben Schrödingergleichung, jedoch am Ursprung zueinander gespiegelt sein. Durch diesen Ansatz ist sichergestellt, dass Quellen auf Senken liegen, und somit das System abgeschlossen ist. Es steht für diesen Ansatz stets die Wahl der globalen Phase frei, was bedeutet, dass für beide Wellenfunktionen trotz allen Forderungen dennoch eine gewisse Flexibilität bleibt. Es gilt für diesen Ansatz Ψ1 (x) = eiθ Ψ2 (−x). (5.21) Im folgenden wird für die Wellenfunktionen stets θ = 0 gesetzt, beide Wellenfunktionen sind demnach in Phase. 5.3.1. Lösungen für das gekoppelte Problem Die gesuchten Wellenfunktionen erfüllen nun für das gekoppelte Doppel-δ-Potential die Schrödingergleichungen Gl.(5.19) bzw. Gl.(5.20). Es müssen nun mehrere Fälle, je nach betrachtetem Bereich der Wellenfunktionen, unterschieden werden. Da die Kopplung lediglich an den Stellen der δ-Funktionen wirkt, ergibt sich für die zu lösenden Gleichungen außerhalb der δ-Peaks ∂2 Ψ1 (x) = −κ21 Ψ1 (x), ∂x2 ∂2 − 2 Ψ2 (x) = −κ22 Ψ2 (x). ∂x − Dies entspricht Lösungen der Form Ψj = Ae−κj x + Beκj x . Die Wirkung der δ-Funktionen wird erst durch die Sprungbedingungen ersichtlich. Diese sind nun im Gegensatz zum einfachen Doppel-δ-Potential erweitert und nehmen nach einer Integration in einer Umgebung um die Positionen der δ-Funktionen die Form Ψ01 (a + ) = Ψ01 (a − ) + V0 Ψ1 (a) + ηΨ2 (a), Ψ02 (a + ) = Ψ02 (a − ) + V0 Ψ2 (a) + η ∗ Ψ1 (a) in positiver x-Richtung an der Stelle x = a, bzw. Ψ01 (−a + ) = Ψ02 (−a − ) + V0 Ψ2 (−a) + η ∗ Ψ2 (−a), Ψ02 (−a + ) = Ψ01 (−a − ) + V0 Ψ1 (−a) + ηΨ1 (−a) (5.22) (5.23) 41 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential in negativer x-Richtung an der Stelle x = −a an. Dies führt, wie bereits in Kapitel 4 für das PT -symmetrische Doppel-δ-Potential zu typischen Knicken in den Wellenfunktionen an den Stellen der δ-Funktionen. Eine analytische Lösung für dieses Problem gestaltet sich, wie schon zuvor für das PT -symmetrische Doppel-δ-Potential als unmöglich. Aus diesem Grund wird ein numerisches Verfahren angewendet, um Lösungen für das Problem zu finden. Analog wie bereits in Kapitel 4 wurde zum Lösen dieses Problems mithilfe der physikalischen Randbedingungen eine zehndimensionale reelle Nullstellensuche sowie ein klassisches Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Wellenfunktionen verwendet. Für die Nullstellensuche ist zu beachten, dass Real- und Imaginärteile der Wellenfunktionen getrennt betrachtet werden. Numerische Methode für das gekoppelte System Für die Nullstellensuche wurden die Randbedingungen, welche an die Wellenfunktion zu stellen sind, in Analogie zu den bereits aus Kapitel 4 bekannten Randbedingungen verwendet. Für eine stationäre Lösung gelten nun die Bedingungen Re(Ψ1 (±∞)) = 0, Im(Ψ1 (±∞)) = 0, Re(Ψ2 (±∞)) = 0, Im(Ψ2 (±∞)) = 0. (5.24) (5.25) Des Weiteren müssen beide Wellenfunktionen die Normierungsbedingungen erfüllen, welche durch Z Z 2 |Ψ1 (x)| dx = 1 und |Ψ2 (x)|2 dx = 1 (5.26) gegeben sind. Auch hier wurde für die Ψi nicht bis unendlich integriert, sondern bei einem endlichen Wert abgebrochen. Für gegebene Startwerte der Wellenfunktionen an der Stelle x = 0 und vorgegebene Energieeigenwerte κi wurde das DGL-System mithilfe des Runge-Kutta-Verfahrens der vierten Ordnung gelöst. Anschließend wurde geprüft, ob die so bestimmte Wellenfunktion die Randbedingungen erfüllt. Hierbei musste die Integration, wie auch bereits beim einfachen Doppel-δ-Potential, in vier Bereiche aufgeteilt werden. Auch hier wurde jeweils vom Ursprung in positive und negative Richtung bis zur Position der δ-Funktionen integriert. Anschließend wurden die Sprungbedingungen an die Wellenfunktionen berücksichtigt und nach den δ-Funktionen erfolgte eine Integration bis zu einem festgelegten Grenzwert. Dieser Grenzwert fungierte als Näherung für x → ±∞. Im Folgenden wurden für verschiedene Werte des Kopplungsparameters η die Lösungen des Systems berechnet. 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand Das Verhalten des gekoppelten Systems weist starke Analogien zum PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential auf. Es soll hier analog zu Kapitel 4 zunächst der Grundzustand 42 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand des Systems betrachtet werden. Für einen verschwindenden Kopplungsparameter η ergeben sich zwei entkoppelte Schrödingergleichungen für das Doppel-δ-Potential und der Gundzustand beider Wellenfunktionen ist mit dem aus Kapitel 4 für ein rein reelles Doppel-δ-Potential identisch, was anhand von Abb.5.1 ersichtlich wird. Die Auswirkungen des Kopplungsparameters auf die Form der Wellenfunktionen und die Energieeigenwerte sollen im Folgenden untersucht werden. Es wird an dieser Stelle als Vorbereitung für den SuSy-Formalismus ein besonderes Augenmerk auf die Existenz zweier Zustände zu werfen sein. Hierauf wird jedoch in Kapitel 6 genauer eingegangen. 0.6 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 Abbildung 5.1.: Wellenfunktionen im Grundzustand des gekoppelten Systems für η = 0. 43 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential Ψ(x) 5.4.1. Auswirkungen von Re(η) im Grundzustand 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -20 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) -15 -10 -5 0 x 5 10 15 20 Abbildung 5.2.: Wellenfunktionen im Grundzustand des gekoppelten Systems für Re(η) = 0,5. Wählt man den Kopplungsparameter rein reell, so beobachtet man als Veränderung der Wellenfunktion niedrigere Peaks. Dies erklärt sich durch eine Betrachtung der Grundzustandswellenfunktionen ohne η. Man erkennt anhand der Abb.5.2, dass beide Wellenfunktionen an den Positionen der δ-Funktionen identisch sind. Da exakt an diesen Stellen auch die Kopplung wirkt und für η ∈ R, η ∗ = η gilt, vereinfachen sich die dem Problem zu Grunde liegenden Gleichungen auf ∂2 − 2 + (V0 + η)(δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ1 (x) = −κ21 Ψ1 (x), ∂x ∂2 − 2 + (V0 + η)(δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ2 (x) = −κ22 Ψ2 (x). ∂x (5.27) (5.28) Hierbei wurde die Gleichheit der Wellenfunktionen an den Kopplungsstellen Ψ1 (±a) = Ψ2 (±a) verwendet. Man sieht eindeutig, dass die Kopplungen für Im(η) = 0 lediglich wie eine Verstärkung bzw. Abschwächung des gewöhnlichen Doppel-δ-Potentials wirken. Da das Potential V0 = −1,0 gewählt wurde, sinkt durch einen positiven Realteil von η die Stärke der δ-Mulden. Es gilt demnach für einen kritischen Wert von ηcrit = −V0 die Schrödingergleichung eines freien Teilchens. Für die Form der Wellenfunktionen erwartet man keine neuen Phänomene bei Erhöhung des Realteils von η. Dies bestätigt sich beispielsweise für eine Wellenfunktion mit Re(η) = 0,8. Bei der Wahl höherer Re(η) 44 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand schwächt sich das δ-Potential zunehmend ab, wodurch der abfallende Bereich der Exponentialfunktionen stark vergrößert wird. Die zur Berechnung der Wellenfunktionen angesetzte Aufspaltung in 4 Integrationsbereiche, sorgt auch für schwache Wirkungen des δ-Potentials für die turmähnliche Wellenfunktionen, wie sie in Abb.5.3 dargestellt sind. Dieser Ansatz wird immer schlechter, je mehr man sich dem Wert ηcrit nähert. Es zeigt sich leicht anhand von Gl.(5.27) und Gl.(5.28), dass diese Berechnungsmethode nicht mehr sinnvoll ist sofern ηcrit erreicht wurde, denn es bleiben lediglich Gleichungen der Form − ∂2 Ψi (x) = −κ2i Ψi (x) ∂x2 (5.29) zu lösen. Die zugehörigen Lösungen sind hierbei die eines freien Teilchens. 0.4 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.35 0.3 Ψ(x) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -40 -30 -20 -10 0 x 10 20 30 40 (a) Re(η) = 0,8. 0.25 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.2 Ψ(x) 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -150 -100 -50 0 x 50 100 150 (b) Re(η) = 0,95. Abbildung 5.3.: Wellenfunktionen im Grundzustand des gekoppelten Systems für rein reelles η. 45 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential Energieeigenwerte für Re(η) im Grundzustand 0.7 Re(κ1 ) Im(κ1 ) Re(κ2 ) Im(κ2 ) 0.6 0.5 κ 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Re(η) 0.7 0.8 0.9 1 Abbildung 5.4.: Real und Imaginärteil der Energieeigenwerte des gekoppelten Systems, für einen rein reellen Kopplungsparameter η ∈ R. Betrachtet man die Energieeigenwerte κ in Abhängigkeit von Re(η) wie in Abb.5.4, so erkennt man, dass diese mit steigendem Re(η) immer mehr abnehmen. Dies erklärt auch, warum die Wellenfunktionen einen wesentlich größeren Bereich benötigen um auf Null abzufallen. Hier gilt, wie auch für das einfache Doppel-δ-Potential, dass die Wellenfunktionen außerhalb der δ-Funktionen ∝ e±κx sind. 46 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand 5.4.2. Auswirkungen von Im(η) im Grundzustand Wird der Kopplungsparameter η rein imaginär gewählt, d.h. Re(η) = 0, so entwickeln die Wellenfunktionen im Grundzustand Imaginärteile. Diese zeigen ähnliche Formen wie die bereits für das Doppel-δ-Potential berechneten. Hierbei zeigt sich, dass stets die Bedingungen für PT -symmetrische Wellenfunktionen für beide Systeme erfüllt bleiben, wodurch auch das Gesamtsystem PT -symmetrisch bleibt. 0.6 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 Abbildung 5.5.: Wellenfunktionen des gekoppelten Systems im Grundzustand für Im(η) = 0,3. Es zeigt sich, dass für die Wellenfunktionen der beiden Systeme für einen rein imaginären Kopplungsparameter, wie sie beispielsweise in Abb.5.5 dargestellt sind, die Beziehungen Re(Ψ1 (x)) = Re(Ψ2 (x)) und Im(Ψ1 (x)) = −Im(Ψ2 (x)) (5.30) gelten. Wird der Kopplungsparameter η größer gewählt, so wächst der Imaginärteil der Wellenfunktionen immer mehr an. Das System behält jedoch stets seine PT -Symmetrie bei, wodurch reelle Energieeigenwerte stets garantiert sind. Je größer jedoch die Kopplung gewählt wird, desto mehr werden die Wellenfunktionen gestaucht. Dies zeigt sich anhand von Abb.5.6 in der die Evolution der Wellenfunktionen für steigende Werte von Im(η) dargestellt ist. 47 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -15 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) Ψ(x) Ψ(x) 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential -10 -5 0 x 5 10 15 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -15 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) -10 (a) Im(η) = 0,5. Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 10 15 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.6 0.4 Ψ(x) 0.2 Ψ(x) 5 0.8 0.4 0 -0.2 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -10 -8 -6 -4 -2 0 x 2 4 6 8 -0.6 10 -8 -6 -4 (c) Im(η) = 1. -2 0 x 2 4 6 8 (d) Im(η) = 1,8. 0.8 0.8 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.6 0.4 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.6 0.4 0.2 Ψ(x) 0.2 Ψ(x) 0 x (b) Im(η) = 0,7. 0.6 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -5 -6 -4 -2 0 x (e) Im(η) = 2,4. 2 4 6 -0.8 -6 -4 -2 0 x 2 4 6 (f) Finale Wellenfunktionen für Im(η) = 3,2. Abbildung 5.6.: Wellenfunktionen im Grundzustand des gekoppelten Systems für verschiedene Werte von Im(η). 48 5.4. Variation des komplexen Parameters η im Grundzustand Die in Abb.5.6f dargestellte Wellenfunktion wurde ’final’ genannt, da sie die letzte Formveränderung bei steigendem Im(η) enthält. Wählt man höhere Werte von Im(η) so zeigt sich als Formveränderung der Wellenfunktionen lediglich dass sich Real- und Imaginärteil an der Stelle x = 0 immer mehr annähern. Energieeigenwerte für Im(η) im Grundzustand Betrachtet man die Energieeigenwerte wie in Abb.5.7 in Abhängigkeit von Im(η), so zeigt sich, dass diese auch für große Werte von Im(η) stets rein reell und zu jedem Wert für beide Wellenfunktionen identisch sind. Es bietet sich an, das Verhalten nur für kleine Im(η) zu betrachten, da größere Kopplungen keine nennenswerten Veränderungen mehr liefern, und deshalb auch für die anschließend in Kapitel 6 beschriebene Anwendung des SuSy-Formalismus keine Relevanz mehr haben. Es zeigt sich, dass die Energieeigenwerte mit stärkerem Imaginärteil von η auch größer werden. Es bleibt im Vergleich zum rein reellen η nur festzustellen, dass beide Systeme größere Energieeigenwerte besitzen. 1 0.8 κ 0.6 Re(κ1 ) Im(κ1 ) Re(κ2 ) Im(κ2 ) 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Im(η) Abbildung 5.7.: Energieeigenwerte des gekoppelten Systems in Abhängigkeit von Im(η). Anhand der Betrachtungen des gekoppelten Systems in Abhängigkeit von Re(η) und Im(η) zeigt sich deutlich, dass für den Grundzustand ein äußerst stabiles Gesamtsystem vorliegt, welches auch für starke Kopplungen PT -symmetrisch bleibt und keinerlei symmetriebrechende Effekte aufweist. Diese Tatsache erscheint ideal für eine erfolgreiche Anwendung des SuSy-Formalismus. 49 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential 5.4.3. Auswirkungen eines gemischten η im Grundzustand Im Ansatz aus Gl.(5.6) für das effektive Potential wurde der Kopplungsparameter um einen möglichst allgemeinen Fall zu beschreiben als η = Re(η)+iIm(η) ∈ C gewählt. Die Auswirkungen für den rein reellen bzw. rein imaginären Fall wurden in den beiden vorherigen Abschnitten bereits untersucht. Man vermutet für einen gemischten Parameter η nun eine Kombination der bereits bekannten Eigenschaften für die reinen Fälle. Es zeigt sich für eine gemischte Kopplung tatsächlich das kombinierte Verhalten der beiden reinen Fälle. Im Folgenden wurden einige Wellenfunktionen für unterschiedliche Werte von η ∈ C berechnet und ihr Verhalten analysiert. Einige der so berechneten Lösungen sind in Abb.5.9 dargestellt. An dieser Stelle soll keine Energiebetrachtung erfolgen, da diese keine neuen Informationen über das System liefert. Es bleibt abschließend zu vermerken, dass auch für gemischte η die PT -Symmetrie erhalten bleibt und keine kritischen Phänomene auftreten. Der Grundzustand des gekoppelten Systems erweist sich zusammenfassend als äußerst stabil unter der Veränderung des Parameters η und erscheint daher ideal für die Anwendung des Supersymmetrieformalismus. 0.6 0.5 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.4 0.3 0.4 0.3 0.1 Ψ(x) Ψ(x) 0.2 0 0.2 0.1 -0.1 -0.2 0 -0.3 -0.1 -0.4 -15 -10 -5 0 x 5 10 -0.2 -15 15 -10 -5 0 x 5 10 15 (b) η = −0,3 + 0,3i. (a) η = 0,3 + 0,3i. 0.8 0.6 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.4 0.2 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.6 0.4 0.2 Ψ(x) Ψ(x) Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.5 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -15 -0.6 -10 -5 0 x (c) η = 0,5 + 0,3i. 50 5 10 15 -0.8 -15 -10 -5 0 x (d) η = 0,7 + 0,3i. 5 10 15 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand 0.6 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.4 Ψ(x) Ψ(x) 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -10 -8 -6 -4 -2 0 x 2 (a) η = 0,3 + i1,0. 4 6 8 10 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -10 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) -8 -6 -4 -2 0 x 2 4 6 8 10 (b) η = −0,5 + i1,0. Abbildung 5.9.: Wellenfunktionen im Grundzustand des gekoppelten Systems für verschiedene Werte des Kopplungsparameters η ∈ C. 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand Für die spätere Anwendung des SuSy-Formalismus soll nun auch der angeregte Zustand für das gekoppelte System untersucht werden. Beim Doppel-δ-Potential war dieser durch kleinere κ und eine Wellenfunktion, welche einen Knoten aufweist, vom Grundzustand zu unterscheiden. Der selbe Ansatz soll nun für das gekoppelte System verwendet werden, wobei nun zwei Wellenfunktionen mit den Bedingungen aus Abschnitt 4.3 gesucht werden. Für verschwindende Kopplung zwischen den beiden Wellenfunktionen ergeben sich rein imaginäre Wellenfunktionen, welche zum Ursprung antisymmetrisch sind. Es wird anhand von Abb.5.10 deutlich, dass auch der angeregte Zustand PT -symmetrische Wellenfunktionen aufweist und somit reelle Energieeigenwerte besitzt. Die Form der Wellenfunktionen ist für η = 0 mit der des PT -symmetrischen Doppel-δ-Potentials identisch. Es liegen hier wie auch im Grundzustand zwei entkoppelte Doppel-δ-Systeme vor, wodurch die Schrödingergleichungen einzeln gelöst werden können. Aufgrund der überaus kleinen Energieeigenwerte κ stößt man bei der numerische Berechnung des angeregten Zustands schnell auf Schwierigkeiten, da für die Wellenfunktionen außerhalb der δ-Funktionen Ψi ∝ e±κx gilt. Um eine Lösung mit den geforderten Randbedingungen (siehe Gl.(5.24) bzw. Gl.(5.25)) zu erhalten, muss der Integrationsbereich für kleinere κ entsprechend größer sein. Im Folgenden sollen analog zum Grundzustand zunächst die Auswirkungen von Re(η) bzw. Im(η) und anschließend die Auswirkungen eines gemischten Parameters η auf den angeregten Zustand des gekoppelten Systems untersucht werden. Diese Untersuchung ermöglicht anschließend Aussagen über die Stabilität der PT -symmetrischen Wellenfunktionen in Abhängigkeit der Kopplung sowie einen ersten Eindruck auf die mögliche Anwendbarkeit des SuSy-Formalismus. 51 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential 0.3 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.2 Ψ(x) 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -80 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 Abbildung 5.10.: Wellenfunktionen im angeregten Zustand des gekoppelten Systems für η = 0. 5.5.1. Auswirkungen von Re(η) im angeregten Zustand Wählt man den Kopplungsparameter η rein reell, so bleiben die Wellenfunktionen des gekoppelten Systems rein imaginär. Ist η ∈ R, so gilt η = η ∗ , womit sich die Schrödingergleichungen des Systems, analog wie im Fall des Grundzustands vereinfachen lassen. Es gilt jedoch im Gegensatz zum Grundzustand an den Kopplungsstellen Ψ1 (±a) = −Ψ2 (±a), was aus den Wellenfunktionen für η = 0 ersichtlich wird. Die Schrödingergleichungen des Systems nehmen somit die Form ∂2 − 2 + (V0 − η)(δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ1 (x) = −κ21 Ψ1 (x), ∂x ∂2 − 2 + (V0 − η)(δ(a − x) + δ(a + x)) Ψ2 (x) = −κ22 Ψ2 (x) ∂x (5.31) (5.32) an. Der Unterschied zum Grundzustand ist nun dadurch gegeben, dass für positive Re(η) die Kopplung wie eine Verstärkung der Doppel-δ-Potentiale wirkt, da die Stärke des Doppel-δ-Potentials negativ gewählt wurde. Für einige Werte von Re(η) wurden im folgenden Lösungen berechnet und das Verhalten der Wellenfunktionen analysiert. Es zeigt sich, wie in Abb.5.11 für steigende Werte von Re(η), dass sich die Wellenfunktionen immer mehr zusammenziehen und die Ausschläge an den Stellen der δ-Funktionen größer werden. Ab einem Kopplungsparameter von Re(η) ≈ 0,13 werden die gefunde- 52 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand nen Lösungen instabil und es treten numerische Fluktuationen auf weswegen, mit der verwendeten Methode, keine Lösungen mehr gefunden werden konnten. 0.4 0.4 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 0.2 0.2 0.1 Ψ(x) Ψ(x) 0.1 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -80 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 -0.4 -60 -40 Ψ(x) (a) Re(η) = 0,05. 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -30 -20 0 x 20 40 60 (b) Re(η) = 0,1. Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) -20 -10 0 x 10 20 30 (c) Re(η) = 0,13. Abbildung 5.11.: Wellenfunktionen im angeregten Zustand des gekoppelten Systems für verschiedene Werte von Re(η). Energieeigenwerte für Re(η) im angeregten Zustand Für den im Verhältnis zum Grundzustand eher kleinen betrachteten Bereich in Abb.5.12 wird deutlich, dass die Energieeigenwerte mit zunehmendem Re(η) größer werden. Weitere Aussagen können an dieser Stelle nicht getroffen werden, da der betrachtete Bereich der Lösungen zu klein ist. 53 κ 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 Re(κ1 ) Im(κ1 ) Re(κ2 ) Im(κ2 ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Re(η) Abbildung 5.12.: Energieeigenwerte für das gekoppelte System im angeregten Zustand in Abhängigkeit von Re(η). 5.5.2. Auswirkungen von Im(η) im angeregten Zustand Wählt man den Parameter η rein imaginär, so entwickeln die Wellenfunktionen identische Realteile. Mit zunehmender Kopplung zeigt sich, dass die Symmetrie des Systems stets erhalten bleibt. Im Folgenden werden für verschiedene Werte von Im(η) die Wellenfunktionen des angeregten Zustands präsentiert. Es zeigt sich, wie bereits für den Grundzustand, dass stets die Beziehungen Re(Ψ1 (x)) = Re(Ψ2 (x)) und Im(Ψ1 (x)) = −Im(Ψ2 (x)) (5.33) für die Wellenfunktionen gelten. Wird der Imaginärteil von η größer gewählt, so steigen die Realteile der Wellenfunktionen immer mehr an. Das System behält für alle im folgenden betrachteten Werte von Im(η) seine PT -Symmetrie bei. Im Gegensatz zum Grundzustand werden die Wellenfunktionen mit steigendem Im(η) immer weitläufiger, wodurch bei der Berechnung die Näherung durch einen endliche Integrationsbereich immer schwieriger wird. 54 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand 0.3 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.2 Ψ(x) 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -80 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 Abbildung 5.13.: Wellenfunktionen des angeregten Zustands für Im(η) = 0,1. 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -80 0.15 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.1 0.05 Ψ(x) Ψ(x) Anhand der Wellenfunktion in Abb.5.13 lassen sich bereits die grundlegenden Eigenschaften des Systems im angeregten Zustand erkennen. Es zeigt sich für größere Werte von Im(η), dass auch bei starker Vergrößerung des Integrationsbereichs die Wellenfunktionen nicht mehr schnell genug auf 0 abfallen können. Dies wird anhand von Abb.5.14 deutlich. 0 -0.05 -0.1 -60 -40 -20 0 x (a) Im(η) = 0,2. 20 40 60 80 -0.15 -300 -200 -100 0 x 100 200 300 (b) Im(η) = 0,27. Abbildung 5.14.: Wellenfunktionen im angeregten Zustand des gekoppelten Systems für verschiedene Werte von Im(η). 55 5. Gekoppelte Wellenfunktionen im Doppel-δ-Potential Energieeigenwerte für Im(η) im angeregten Zustand κ Um das Verhalten der Wellenfunktionen zu verstehen, bietet sich eine Analyse der Energieeigenwerte des Systems an. Das System verliert zu keinem Zeitpunkt seine PT Symmetrie, wodurch die Energieeigenwerte stets rein reell sind. Es zeigt sich anhand von Abb.5.15, dass die Energieeigenwerte beider Wellenfunktionen in Abhängigkeit von Im(η) stets identisch sind. Betrachtet man das Spektrum der Energieeigenwerte, so erkennt man direkt, dass deren Tendenz bereits für kleine Im(η) gegen 0 geht. Außerhalb des Bereichs der δ-Funktionen gilt Ψi ∝ e±κi x . Dies bedeutet, dass für κ → 0 keine Wellenfunktionen für endliche Integrationsgrenzen gefunden werden können. Betrachtet man die Abhängigkeit der Energieeigenwerte, so lässt sich vermuten, dass ab einem Wert von Im(ηcrit ) ≈ 0,3 die Energieeigenwerte auf 0 abgefallen sein sollten. Dies bedeutet, dass für einen rein imaginären Kopplungsparameter nur in einem Bereich 0 < Im(η) < 0,3 Lösungen zu finden sind. 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 Re(κ1 ) Im(κ1 ) Re(κ2 ) Im(κ2 ) 0 0.05 0.1 0.15 Im(η) 0.2 0.25 0.3 Abbildung 5.15.: Energieeigenwerte für das gekoppelte System im angeregten Zustand in Abhängigkeit von Im(η). 56 5.5. Variation des komplexen Parameters η im angeregten Zustand 5.5.3. Auswirkungen eines gemischten η im angeregten Zustand Die Wertebereiche, für die es möglich war, bei rein reellen bzw. imaginären η Lösungen des angeregten Zustands zu finden, waren im Vergleich zum Grundzustand eher klein. Dies schränkt auch die spätere Anwendung des SuSy-Formalismus auf den angeregten Zustand ein. Es bleibt nun noch zu überprüfen, ob durch einen gemischten Parameter η ein größerer Bereich an möglichen Lösungen zu Werten von η abgedeckt werden kann. Auch hier erwartet man für die Eigenschaften der Wellenfunktionen eine Kombination aus denen der rein reellen Fälle. In Abb.5.16 werden einige Lösungen zu verschiedenen Werten des Kopplungsparameters gezeigt. Eine Energiebetrachtung erscheint auch für den angeregten Zustand mit gemischtem η nicht sinnvoll, weswegen an dieser Stelle auf sie verzichtet wird. 0.4 0.4 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 0.2 0.2 0.1 Ψ(x) Ψ(x) 0.1 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -60 -40 -20 0 x 20 40 -0.4 -60 60 (a) η = 0,1 + i0,1. -20 0 x 20 40 60 0.4 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 0.2 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 0.2 0.1 Ψ(x) 0.1 Ψ(x) -40 (b) η = 0,1 + i0,2. 0.4 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -50 Re(Ψ1 (x)) Im(Ψ1 (x)) Re(Ψ2 (x)) Im(Ψ2 (x)) 0.3 -40 -30 -20 -10 0 x 10 (c) η = 0,2 + i0,2. 20 30 40 50 -0.4 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 (d) η = 0,2 + i0,3. Abbildung 5.16.: Wellenfunktionen im angeregten Zustand des gekoppelten Systems für verschiedene Werte der Kopplungskonstanten η ∈ C. 57 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials In diesem Kapitel soll nun der Supersymmetrieformalismus auf das gekoppelte Doppel-δSystem angewendet werden. Hierbei ist es wichtig, zu beachten, dass nur solche Zustände für eine mögliche Anwendung in Frage kommen, welche an keinem Punkt zugleich sowohl im Real- als auch im Imaginärteil der Wellenfunktionen Null sind, da dies wie im Verlauf des Kapitels deutlich werden wird, zu Divergenzen führt. Diese Tatsache gestaltet die Konstruktion eines Partnersystems für angeregte Zustände mit rein reeller Kopplung, wie sich an Abb.5.11 erkennen lässt, als unmöglich. Der angeregte Zustand ist nur für gemischte η für die Konstruktion eines Partnersystems geeignet, da der Bereich der möglichen Lösungen auch für die rein imaginären Fälle äußerst klein ist. Aus den in Kapitel 5 berechneten Lösungen für den Grundzustand zeigt sich, dass dieser für ein breites Spektrum an Kopplungsparametern η sowohl PT -symmetrisch, als auch zu keiner Zeit in Real und Imaginärteil Null ist. Er eignet sich aus diesen Gründen überaus gut für eine supersymmetrische Erweiterung. Im folgenden soll nun überprüft werden, in wie weit der SuSy-Formalismus auf das gekoppelte System anwendbar ist und wie sich die möglichen Lösungen für Potentiale und Wellenfunktionen verhalten. Die im folgenden durchgeführten Berechnungen für das Superpotential erfolgten auf Grundlage einer früheren Bachelorarbeit [6]. 6.1. Bestimmung des Partnersystems für den Grundzustand Um das Partnersystem zum Grundzustand bestimmen zu können, muss dieser zunächst entfernt werden. Für die weitere Behandlung dieses Systems wird exakte Supersymmetrie vorausgesetzt. Die Forderung der exakten Supersymmetrie ist gleichbedeutend mit einem Grundzustand bei der Energie 0. Dies kann durch subtrahieren der Energieeigenwerte des Grundzustands E0 für beide Teilsysteme von den jeweiligen Schrödingergleichungen des Grundsystems realisiert werden. Da für die Energieeigenwerte Ei = −κ2i gewählt wurde, ergeben sich unter Verwendung des phasenabhängigen Kopplungsparameters α 59 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials die Gleichungen ∂2 2 Ĥ1 Ψ1 (x) = − 2 + V0 (δ(x − a) + δ(x + a)) + κ0 Ψ1 (x) ∂x +Ψ2 (x)(ηδ(a − x) + η ∗ δ(a + x)), (6.1a) ∂2 2 Ĥ2 Ψ2 (x) = − 2 + V0 (δ(x − a) + δ(x + a)) + κ0 Ψ2 (x) ∂x +Ψ1 (x)(η ∗ δ(a − x) + ηδ(a + x)). (6.1b) Wie bereits in Kapitel 3 beschrieben, geschieht der Wechsel ins Partnersystem mithilfe der Operatoren B ± , für die in dimensionslosen Einheiten B ± = W (x) ∓ ∂ ∂x (6.2) gilt. Verwendet man nun die B ± für den durch Gl.(3.48) gegebenen Fundamentalhamiltonian, so ergibt sich dieser zu ∂2 ∂ − ∂x2 + W (x)2 − ∂x W (x) 0 ĤS = . (6.3) ∂2 ∂ 2 0 − ∂x 2 + W (x) + ∂x W (x) Wichtig ist nun, dass es für beide Gleichungen einen solchen Hamiltonoperator gibt. Diese hängen über das Superpotential W (x) voneinander ab. Die Partnerpotentiale für ein eindimensionales System ergeben sich mit dem in Gl.(3.84) gegebenen Ansatz zu V1 (x) = W (x)2 − ∂ W (x) ∂x und V2 (x) = W (x)2 + ∂ W (x). ∂x (6.4) Wichtig ist, dass dieser Supersymmetrieformalismus nicht direkt auf die gekoppelten Gleichungen (6.1a) und (6.1b) angewendet werden kann. Hierfür wird ein einziges Potential in einem eindimensionalen System benötigt. Es interessieren an dieser Stelle wie auch in Kapitel 5 lediglich Kopplungen, welche ein PT -symmetrisches System verwirklichen. Für diese gilt die Relation (5.13), die hier ausgenutzt wird. Somit ergeben sich insgesamt für das gekoppelte System im Grundzustand die Gleichungen ∂2 (6.5a) Ĥ1 Ψ1 (x) = − 2 + V1,1 (x) Ψ1 (x) = −κ21 Ψ1 (x) ∂x und ∂2 Ĥ2 Ψ2 (x) = − 2 + V1,2 (x) Ψ2 (x) = −κ22 Ψ2 (x). ∂x 60 (6.5b) 6.1. Bestimmung des Partnersystems für den Grundzustand Der Kopplungsterm K1 (ψ2 (x)) = (ηδ(x + a) + η ∗ δ(x − a))Ψ2 (x) = ηΨ2 (−a) + η ∗ Ψ2 (a) (6.6) kann umgeformt werden. Für die Potentiale V1,i lässt sich somit V1,1 = V0 (δ(a + x) + δ(a − x)) + αδ(a − x) + α∗ δ(a + x) + κ20 V1,2 = V0 (δ(a + x) + δ(a − x)) + α∗ δ(a − x) + αδ(a + x) + κ20 bzw. (6.7) (6.8) schreiben. Um das Partnersystem zu berechnen, muss zunächst das Superpotential W (x) bestimmt werden und mit ihm über Gl.(6.4) die Partnerpotentiale V2,i . 6.1.1. Berechnung des Superpotentials Um das Superpotential zu bestimmen, stehen wie bereits in Kapitel 3 erwähnt wurde, verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Ist das Superpotential bestimmt, so ergeben sich die Wellenfunktionen des Partnersystems durch lösen der Differentialgleichungen ∂2 − 2 + V2,1 (x) Ψ1,p (x) = −κ21,p Ψ1,p , (6.9a) ∂x ∂2 − 2 + V2,2 (x) Ψ2,p (x) = −κ22,p Ψ2,p . ∂x (6.9b) Hierbei wurde mit p ein neuer Index zur Kennzeichnung der Größen des Partnersystems eingeführt. Für das Superpotential der einzelnen Teilsysteme, kann nach Gl.(3.80) der Ansatz ∂ Ψ0 (x) W1 (x) = − ∂x 0 1 Ψ1 (x) bzw. ∂ Ψ0 (x) W2 (x) = − ∂x 0 2 Ψ2 (x) (6.10) verwendet werden. Hierbei bezeichnet der hochgestellte Index 0 die Grundzustandswellenfunktion. Außerhalb der Sprungstellen liegen zwei entkoppelte Doppel-δ-Systeme vor, weswegen für die Wellenfunktionen hier der Ansatz aus Gl.(4.6) verwendet werden kann. Es gilt demnach für die drei Teilbereiche: W (x) = − W (x) = − Aκeκx = −κ Aeκx κ (Beκx − Ce−κx ) Beκx + Ce−κx für x < −a, (6.11a) für −a < x < a, (6.11b) 61 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials W (x) = Dκe−κx =κ De−κx für x > a. (6.11c) Für die Bereiche außerhalb der δ-Potentiale ist das Superpotential demnach konstant. Des weiteren, gilt abseits der Sprungstellen W1 (x) = W2 (x), da beide Schrödingergleichungen identisch sind. Der Ansatz zwischen den δ-Funktionen lässt sich mithilfe der Zusammenhänge in Gl.(4.17) auf die Form W (x) = −κ 1 + (1 + 1 − (1 + 2κ )e−2κ(x−a) V0 +α 2κ )e−2κ(x−a) V0 +α (6.12) umformen. Hierbei ist zu beachten, dass anstelle von v nun V0 +α in Gl.(4.17) verwendet wurde. Es wurde bei der weiteren Betrachtung der Spezialfall, dass die Wellenfunktionen am Kopplungspunkt identische Phasen besitzen und damit der in Kapitel 5 eingeführte Parameter α mit dem Kopplungsparameter η identisch ist, angenommen. Unter dieser Annahme kann der Ansatz dass die Sprungbedingungen wie auch im Fall des PT symmetrischen Doppel-δ-Potentials als komplex konjugierte Paare vorliegen verwendet werden. Aufgrund der Symmetrie des Problems, kann deshalb auch für beide Wellenfunktionen ein analoges Potential wie in Kapitel 4 verwendet werden. Für die Ableitung ∂ W (x) folgt somit direkt ∂x 4κ(1+ V 2κ )e−2κ(x−a) 0 +α −κ h i2 für − a < x < a, 1−(1+ V 2κ )e−2κ(x−a) ∂ 0 +α W (x) = (6.13) ∂x 0 sonst. Hieraus kann mithilfe von Gl.(6.4) das Potential V1 berechnet werden. Dies ergibt durch Einsetzen der bisherigen Ergebnisse: V1,i = κ2i + V0 (δ(a − x) + δ(a + x)) + α(δ(a ± x)) + α∗ (δ(a ∓ x)). (6.14) Es wurde in Kapitel 3 bereits darauf hingewiesen, dass als alternativer Ansatz das Superpotential auch über die Differentialgleichung W (x)2 − ∂ W (x) = V1 (x) ∂x (6.15) berechnet werden kann. Da die V1,i abseits der δ-Funktionen identische Form aufweisen, kann auf die Fallunterscheidung an dieser Stelle verzichtet werden. Es handelt sich bei Gl.(6.15) um eine separable Differentialgleichung, die typischerweise durch Separation der Variablen gelöst wird. Dies führt auf eine Gleichung der Form dW = dx, W (x)2 − κ2i 62 (6.16) 6.1. Bestimmung des Partnersystems für den Grundzustand wobei hier verwendet wurde, dass V1 außerhalb der Positionen der δ-Funktionen stets κ2 ist. Umformung und Integration der rechten Seite liefert Z 1 1 dW = x − ξ. (6.17) − 2 2 W (x) κi (− κ2 + 1) i Mithilfe der Substitution tanh(θ) = 1 − κi Z W (x) κi und dW = κi dθ cosh(θ)2 ergibt sich Z 1 dθ 1 1 =− dθ 2 2 2 1 − tanh(θ) cosh(θ) κi cosh(θ) − sinh(θ)2 1 W (x) 1 = − θ = − arctanh κi κi κi = x − ξ. (6.18) (6.19) Umformen nach W (x) liefert nun die Gleichung für das Superpotential W (x) = −κi tanh(κi (x − ξ)). (6.20) Bestimmung der Integrationskonstante ξ In Gl.(6.20) ist noch eine Integrationskonstante ξ unbestimmt. Betrachtet man die drei Abschnitte links von, zwischen und rechts von den δ-Funktionen, so müssen für alle drei Bereiche die Integrationskonstanten bestimmt werden. Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen hängen jedoch zwei davon von der dritten ab, weswegen nur eine Konstante frei wählbar ist. Für die analytischen Berechnung des Superpotentials wurde die Integrationskonstante bestimmt, da in das so berechnete Superpotential lediglich die Energieeigenwerte der jeweiligen Zustände eingehen. Die so berechnete Lösung ist im Gegensatz zu einer Bestimmung über die numerisch berechneten Wellenfunktionen deutlich weniger fehleranfällig, da nur der Energieeigenwert κ eingeht und das Partnerpotential V2 damit analytisch berechnet werden kann. Die nachfolgende Berechnung wurde auf der Grundlage des von Philippe Schraft vorgeschlagenen Ansatzes aus [10] durchgeführt. Es liegen für dass Superpotential nun 2 Ansätze vor, welche gleichgesetzt werden können um die Integrationskonstante ξ in Abhängigkeit der δ-Funktionen zu bestimmen. −κi tanh(κi (x − ξ)) = −κi 1 + (1 + 1 − (1 + 2κi )e−2κi (x−a) V0 +α 2κi )e−2κi (x−a) V0 +α (6.21) Kürzen von −κi und Umformung der linken Seite ergibt tanh(κi (x − ξ)) = 1 − e−2κi (x−ξ) eκi (x−ξ) − e−κi (x−ξ) = . eκi (x−ξ) + e−κi (x−ξ) 1 + e−2κi (x−ξ) (6.22) 63 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials Dies kann nun in Gl.(6.21) eingesetzt werden und führt auf die Form 2κi −2κi (x−ξ) −2κi (x−a) 1 − (1 + 1−e )e V0 + α 2κi −2κi (x−ξ) −2κi (x−a) =(1 + e ) 1 + (1 + . )e V0 + α Substituiert man Zähler und Nenner der rechten Seite aus Gl.(6.21) mit man die Gleichung (1 − e−2κi (x−ξ) )R1 = (1 + e−2κi (x−ξ) )R2 . (6.23) R2 , R1 so erhält (6.24) Hieraus kann durch Umformung auch (R1 − R2 ) = (R1 + R2 )e−2κi (x−ξ) , e−2κi (x−ξ) = (R1 − R2 ) (R1 + R2 ) (6.25) erhalten werden. Die beiden Terme der rechten Seite, lassen sich getrennt berechnen. Diese ergeben sich nach einigen einfachen algebraischen Umformungen zu 2κi (R1 − R2 ) = −2 1 + e−2κi (x−a) , (6.26a) V0 + α (R1 + R2 ) = 2. (6.26b) Damit lässt sich Gl.(6.25) als −2κi (x−ξ) e =− 1+ 2κi V0 + α e−2κi (x−a) (6.27) schreiben. Nun kann nach ξ umgeformt werden und es ergibt sich ξ= ln(−(1 + 2κi )e−2κi (x−a) ) V0 +α 2κi + x. (6.28) Dies lässt sich nun noch weiter vereinfachen, wodurch sich die Integrationskonstante letztlich zu ξ =a+ ergibt. 64 ln(−(1 + 2κi 2κi )) V0 +α (6.29) 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand 6.1.2. Explizite Berechnung des Partnerpotentials Durch die so bestimmte Integrationskonstante, lässt sich das Superpotential komplett analytisch berechnen. Es ergibt sich innerhalb des Bereichs zwischen den δ-Funktionen nun zu !# " i ln(−(1 + V2κ )) 0 +α , (6.30) W (x) = −κi tanh κi x − a + 2κi wohingegen außerhalb immer noch W (x) = ±κi gilt. Berechnet man nun noch die Ableitung des so bestimmten Superpotentials, so können die V2,i mithilfe von Gl.(6.4) berechnet werden. Die Ableitung von W (x) ergibt sich zu ( −κ2i für − a < x < a ∂ cosh(κi (x−ξ))2 W (x) = (6.31) ∂x 0 sonst. Da nun auch die Ableitung des Superpotentials berechnet ist, ergeben sich die Partnerpotentiale V2,i , unter Ausnutzung von Gl.(6.4) im Bereich −a < x < a zu V2,i = κ2i tanh(κi (x − ξ))2 − κ2i 1 . cosh(κi (x − ξ)) (6.32) Dies kann mithilfe der elementaren Zusammenhänge der hyperbolischen Funktionen cosh(y)2 − sinh(y)2 = 1 und tanh(y) = sinh(y) cosh(y) (6.33) leicht auf die Form V2,i = κ2i 2 1− cosh(κi (x − ξ))2 gebracht werden. Dies ergibt für die Partnerpotentiale zusammenfassend: 2 κ für x < −a, V2,i = κ2 1 − cosh(κi2(x−ξ))2 für −a < x < a, κ2 für x > a. (6.34) (6.35) 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand Mit den im vorherigen Abschnitt bestimmten analytischen Ansätzen für das Superpotential W (x) kann nun das SuSy-Problem formuliert werden. Es wurden zur Berechnung der Lösungen des gekoppelten Partnersystems zunächst dessen Schrödingergleichungen 65 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials formuliert. Diese ergeben sich nach Gl.(6.9) mithilfe der Partnerpotentiale V2,i . Die analytischen Lösungen für die Teilbereiche der Potentiale können nun zur Bestimmung des Partnersystems mit den jeweiligen Integrationskonstanten ξ und Energieeigenwerten κi verwendet werden. Es ergeben sich hierbei, je nach verwendetem Kopplungsparameter η und zugehörigem Energieeigenwert κi , unterschiedliche Formen des Superpotentials. Es wurden im folgenden die in Kapitel 5 berechneten Lösungen für das gekoppelte System verwendet. Uns interessieren zunächst nur die Lösungen, die sich ergeben, wenn wir voraussetzen, dass in beiden Systemen die Kopplungskonstante identisch ist. Dies ist keine korrekte Anwendung des SuSy-Formalismus, sondern entspricht dem idealisierten Fall, dass η = α in Gl.(5.13) ist und wird ergeben, dass die Kopplung im Partnersystem von einem anderen Wert der Konstanten η vermittelt werden muss. Für den Fall ohne Kopplung zwischen den Wellenfunktionen ergibt sich die in Abb.6.1 dargestellte Form für das Superpotential. Es zeigt sich bei einem Vergleich mit dem für das Doppel-δ-System bestimmten Superpotential [6], dass dieses und das hier berechnete nahezu identische Form haben. Dies ist nicht weiter verwunderlich, da für den entkoppelten Fall, wie bereits in Kapitel 5 erwähnt wurde, zwei separate Doppel-δ-Probleme vorliegen welche unabhängig voneinander gelöst werden können. 1 W (x) 0.5 0 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 -1 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 Abbildung 6.1.: Real- und Imaginärteil des Superpotentials für η = 0. Um die Wellenfunktion des Partnersystems berechnen zu können, muss das Partnerpotential berechnet werden. Dieses nimmt für η = 0 die in Abb.6.2 zu sehende Form an, wobei auch hier für das entkoppelte System beide Teilsysteme identische Potentiale aufweisen. 66 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand 1 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 0.8 V2 (x) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 Abbildung 6.2.: Real- und Imaginärteil des Partnerpotentials für η = 0. 6.2.1. Formulierung der Schrödingergleichungen für das Partnersystem Um die Partnerpotentiale vollständig anzugeben, müssen von Gl.(6.35) noch die δ-Funktionen subtrahiert werden, da diese auch in das Partnerpotential eingehen. Diese liefern auch für das Partnersystem Sprungbedingungen, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen zu denen des Grundzustands. Es ergeben sich für das Partnersystem in den drei Teilbereichen der Partnerpotentiale V2,i unterschiedliche Differentialgleichungen, welche bei der Berechnung der Wellenfunktion berücksichtigt werden müssen. Es wurde hierbei davon ausgegangen, dass beide Wellenfunktionen sowohl im Grundsystem als auch im Partnersystem am Kopplungspunkt identische Phasen besitzen. Im Bereich zwischen den δ-Funktionen ergeben sich für die Schrödingergleichungen des Partnersystems mithilfe von Gl.(6.35) 2 ∂2 2 Ψ1,p (x) = (κ1,p )2 Ψ1,p (x), (6.36a) − 2 + (κ1,g ) 1 − ∂x cosh(κ1,g (x − ξ))2 2 ∂2 2 Ψ2,p (x) = (κ2,p )2 Ψ2,p (x), − 2 + (κ2,g ) 1 − ∂x cosh(κ2,g (x − ξ))2 (6.36b) wobei hier der Index g zur Kennzeichnung der zum Grundsystem gehörenden Größen eingeführt wurde. Außerhalb der δ-Funktionen ergeben sich, da das Potential V2 hier für x → ±∞ konstant (κi,g )2 ist, die Schrödingergleichungen des Partnersystems zu ∂2 2 − 2 + (κ1,g ) Ψ1,p (x) = (κ1,p )2 Ψ1,p , (6.37a) ∂x 67 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials ∂2 2 − 2 + (κ2,g ) Ψ2,p (x) = (κ2,p )2 Ψ2,p . ∂x (6.37b) An den Stellen der δ-Funktionen müssen auch für das Partnersystem die Sprungbedingungen der Wellenfunktion erfüllt werden. Diese berechnen sich analog zu denen des Grundsystems durch Integration in einer -Umgebung bei x = ±a. Es gelten hierbei die Sprungbedingungen Ψ01,p (a + ) = Ψ01,p (a − ) − V0 Ψ1,p (a) − ηΨ2,p (a), Ψ02,p (a + ) = Ψ02,p (a − ) − V0 Ψ2,p (a) − η ∗ Ψ1,p (a) an der Stelle x = a, bzw. Ψ01,p (−a + ) = Ψ01,p (−a − ) − V0 Ψ1,p (−a) − η ∗ Ψ2,p (−a), Ψ02,p (−a + ) = Ψ02,p (−a − ) − V0 Ψ2,p (−a) − ηΨ1,p (−a) an der Stelle x = −a. Auch für die Wellenfunktion des Partnersystems vermutet man damit die typischen Knicke an den Stellen x = ±a. Wie auch das ursprüngliche System kann das Partnersystem analytisch nicht gelöst werden, weswegen zur Berechnung der Wellenfunktion eine numerische Methode angewendet werden muss. Es wird anhand der Bestimmungsgleichung des Partnerpotentials aus Gl.(6.35) klar, dass die Energieeigenwerte des ursprünglichen Grundsystems für die Berechnung des Partnersystems benötigt werden. Aus diesem Grund muss wie bereits zuvor erwähnt, zunächst das ursprüngliche gekoppelte System aus Kapitel 5 numerisch gelöst werden, um anschließend das Potential für die Berechnung des Partnersystems bestimmen zu können. Die Stärke der hier verwendeten Methode im Gegensatz zur direkten Berechnung von W (x) über die numerisch berechneten Wellenfunktionen des Grundsystems liegt nun darin, dass die Energieeigenwerte die einzigen benötigten Parameter sind. Damit ist das Partnerpotential weitaus weniger durch numerische Fluktuationen und Ungenauigkeiten beeinflussbar. Numerische Methode zur Berechnung der Wellenfunktion des Partnersystems Das Partnersystem unterscheidet sich formal lediglich durch die Potentiale V2,i vom Grundsystem. Die Methodik zur Bestimmung der Wellenfunktion erfolgt auf die gleiche Weise wie auch bereits für das Grundsystem. Jedoch ist nun zu beachten, dass für die Potentiale V2,i der Energieeigenwert des Grundzustands benötigt wird, deshalb liegt es nahe, zunächst das gekoppelte Grundsystem zu lösen. Dies wurde mit dem in Kapitel 5 beschriebenen Verfahren durchgeführt, um anschließend die Energieeigenwerte des Grundsystems zur Berechnung der Partnerpotentiale verwenden zu können. Die Bestimmung des Partnersystems erfolgte analog zu der des Grundsystems mithilfe einer zehndimensionalen Nullstellensuche. Diese berücksichtigte die physikalischen Randbedingungen des Systems, wobei auch für das Partnersystem stets die Wellenfunktionen mit einem Runge-Kutta-Verfahren der vierten Ordnung (siehe Anhang A) bestimmt 68 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand wurden. Die Nullstellensuche prüft auch hier lediglich, ob die berechneten Wellenfunktionen die Randbedingungen, die an das System zu stellen sind, erfüllt. Diese sind auch für das Partnersystem durch die an Real- bzw. Imaginärteil der Wellenfunktionen zu stellenden Bedingungen Re(Ψi,p (±x → ∞)) = 0 und Im(Ψi,p (±x → ∞)) = 0 (6.38) sowie die Normierungsbedingungen Z Ψi,p (x)dx = 1 (6.39) gegeben. Die Integration im Partnersystem erfolgte dabei in vier Teilbereichen jeweils von Null bis zu den Positionen der δ-Funktionen bei x = ±a, nach Berücksichtigung der geänderten Sprungbedingungen für das Partnersystem in positiver und negativer Richtung bis zu einem festgelegten Grenzwert, wobei dieser als Näherung für x → ±∞ fungierte. 6.2.2. Wellenfunktionen des Grundzustands im Partnersystem Im Folgenden wurden die Wellenfunktionen für das Partnersystem explizit mit der im vorherigen Abschnitt beschriebenen numerischen Methode berechnet. Wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben, liegen für den entkoppelten Fall bei η = 0 zwei identische getrennte Systeme vor. In Abb.6.3 sind die Wellenfunktionen für den entkoppelten Fall dargestellt. Es wird ersichtlich, dass auch hier, wie bereits im Grundsystem, die Wellenfunktionen identisch und stets rein reell sind. Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass auch hier stets Wellenfunktionen mit identischer Phase berechnet wurden. Vergleich mit [10] und [6] zeigt, dass sie die identische Form wie die zum einfachen Doppel-δ-Potential bestimmten, Partnerwellenfunktionen aufweisen. Im folgenden sollen die Auswirkungen des komplexen Parameters η auf die Form der Wellenfunktionen und die der Potentiale untersucht werden. Hierzu wurden die Wellenfunktionen und Potentiale für die reinen Fälle von η berechnet. 69 Ψ(x) 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -80 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 Abbildung 6.3.: Wellenfunktionen des Partnersystems im Grundzustand für η = 0. 6.2.3. Auswirkungen von Re(η) Wählt man den Kopplungsparameter η rein reell, so wirkt dieser als Verstärkung bzw. Abschwächung des δ-Potentials. Dies verändert sowohl die Form des Superpotentials als auch die des Partnerpotentials. Im Grundsystem konnten die Gleichungen für den rein reellen Fall stark vereinfacht werden, auch für das Partnersystem gelten die Vereinfachungen aus Abschnitt 5.5.1. Es werden für das Partnersystem jedoch auch die Partnerpotentiale benötigt, weswegen das zu lösende Differentialgleichungssystem auch im rein reellen Fall nicht auf eine kompakte Form reduziert werden kann. Betrachtet man die Superpotentiale für verschiedene Re(η), so zeigt sich, wie in Abb.6.4 zu sehen ist, dass die Potentialsprünge je nach Wahl des Vorzeichens von Re(η) entweder größer oder kleiner werden. Die Potentiale entwickeln für reelle η keine Imaginärteile, was nicht verwundert, da auch bereits die Wellenfunktionen des Grundsystems für reelle η keine Imaginärteile aufweisen. 70 1 1 0.5 0.5 W (x) W (x) 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand 0 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 0 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 3 -1 4 -4 -3 -1 0 x 1 2 3 4 1.5 2 (b) Re(η) = −0,1. (a) Re(η) = 0,05. 1 1 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 0.8 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 (c) Re(η) = 0,05. 1 1.5 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 0.8 V2 (x) V2 (x) -2 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 (d) Re(η) = −0,1. Abbildung 6.4.: Superpotentiale und Partnerpotentiale für verschiedene Werte von Re(η). Die veränderten Potentiale für einen reellen Kopplungsparameter η führen auch in den Partnerwellenfunktionen zu Veränderungen. Es wurden hier nur für kleine Werte eines positiven Re(η) die Wellenfunktionen des Partnersystems berechnet, da ein positiver Re(η) zur Abschwächung der Bindungsstärke der δ-Funktionen führt, was wiederum zu kleineren Energieeigenwerten κ führt und daher der Integrationsbereich schon für kleine Werte aufgrund von Ψi,p ∝ e−κx immens vergrößert werden muss, dies wird auch aus Abb.6.5a ersichtlich. Wird der Parameter Re(η) negativ gewählt, so wirkt dieser wie eine Verstärkung der δ-Funktionen, was für eine höhere Amplitude der Wellenfunktionen führt und wiederum dafür sorgt, dass die Wellenfunktionen stärkere Knicke aufweisen wie man in Abb.6.4 sieht. 71 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 0.25 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.2 Ψ(x) 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -200 -150 -100 -50 0 x 50 100 150 200 (a) Re(η) = 0,05. 0.6 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.5 Ψ(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -40 -30 -20 -10 0 x 10 20 30 40 (b) Re(η) = −0,1. Abbildung 6.5.: Wellenfunktionen des Partnersystems für verschiedene Werte von Re(η). 6.2.4. Auswirkungen von Im(η) Wählt man den Parameter η rein imaginär, so entwickeln sich imaginäre Anteile sowohl in den Potentialen als auch in den Wellenfunktionen. Es zeigen sich hierbei stets antisymmetrische Imaginär- und symmetrische Realteile sowohl in den Potentialen als auch in den Wellenfunktionen. In Abb.6.6 sind die für verschiedene Im(η) berechneten Superpotentiale dargestellt. Es ist offensichtlich, dass mit steigendem Im(η) die Imaginärteile der beiden Superpotentiale größer werden. Dies schlägt sich auch in den zugehörigen Partnerpotentialen, welche in Abb.6.7 dargestellt sind, nieder. Auch für größere Werte 72 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand von η bleiben die Realteile der Potentiale identisch, wobei die Imaginärteile für größere Im(η) stets antisymmetrisch zum Ursprung sind und die Beziehung Im(V2,1 (x)) = −Im(V2,2 (x)) (6.40) 1 1 0.5 0.5 W (x) W (x) erfüllen. An den Sprungstellen fällt auf, dass diese mit zunehmender Kopplung, immer stärkere Unterschiede im Bezug auf die Höhe der Sprünge bei x = ±a aufweisen. 0 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 -1 -3 -2 -1 0 x 1 0 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 2 -1 3 -4 -3 (a) Im(η) = 0,2. -2 -1 0 x 1 2 3 4 3 4 (b) Im(η) = 0,5. 2 1 1.5 1 0.5 W (x) W (x) 0.5 0 0 -0.5 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 0 x (c) Im(η) = 0,8. 1 2 Re(W1 (x)) Im(W1 (x)) Re(W2 (x)) Im(W2 (x)) -1 -1.5 3 4 -2 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 (d) Im(η) = 1. Abbildung 6.6.: Real- und Imaginärteile der Superpotentiale Wi (x) für verschiedene Werte von Im(η). 73 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 1 0.6 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 1.5 1 V2 (x) 0.4 V2 (x) 2 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 0.8 0.2 0 0.5 0 -0.5 -0.2 -0.4 -1 -0.6 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 -2 2 -1.5 (a) Im(η) = 0,2. -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 (b) Im(η) = 0,5. 4 5 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 3 2 Re(V2,1 (x)) Im(V2,1 (x)) Re(V2,2 (x)) Im(V2,2 (x)) 4 3 2 1 V2 (x) V2 (x) -1 0 1 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 -4 -2 -1.5 (c) Im(η) = 0,8. -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 (d) Im(η) = 1. Abbildung 6.7.: Real- und Imaginärteil der Partnerpotentiale V2,i (x) für verschiedene Werte von Im(η). Wellenfunktionen im Partnersystem für Im(η) 6= 0 Die Wellenfunktione im Partnersystem wurden mithilfe der zuvor berechneten Partnerpotentialen und der eingangs beschriebenen Methode numerisch berechnet. Es zeigt sich für die Wellenfunktionen, dass diese wie auch im Grundzustand für rein imaginäre η einen Imaginärteil aufweisen. Dieser wird mit steigendem Im(η) größer, wodurch die Wellenfunktionen sich immer mehr zusammenziehen. Dies musste bei der Berechnung für höhere Im(η) durch Verkleinern des Integrationsbereichs berücksichtigt werden. Betrachtet man auch hier wie im Grundzustand die Evolution der Wellenfunktionen mit steigendem Im(η), so zeigt sich auch hier eine stetige Entwicklung. Es fällt auf, dass die Symmetrie der Realteile der Wellenfunktionen für steigende Im(η) scheinbar gebrochen wird, denn die Sprünge sind nun nicht mehr gleich hoch. Dies schlägt sich auch in einer Veränderung der Imaginärteile der Wellenfunktionen nieder. Für die Im(Ψi,p ) zeigt sich eine Symmetriebrechung, wobei hier stets Im(Ψ1,p ) = −Im(Ψ2,p ) 74 (6.41) 6.2. Lösung des SuSy-Problems für den Grundzustand gilt. Es scheint, als würden die Teilchen verstärkt zu einem der δ-Potentiale gezogen werden. 0.7 0.6 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.5 0.5 0.4 0.3 Ψ(x) Ψ(x) 0.4 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0 -0.1 -60 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.6 0 -40 -20 0 x 20 40 -0.1 -25 60 -20 (a) Im(η) = 0,2. -5 0 x 5 10 15 20 25 0.7 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.6 0.5 0.4 Re(Ψ1,p (x)) Im(Ψ1,p (x)) Re(Ψ2,p (x)) Im(Ψ2,p (x)) 0.6 0.5 0.4 0.3 Ψ(x) Ψ(x) -10 (b) Im(η) = 0,5. 0.7 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -20 -15 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 20 -0.2 -20 (c) Im(η) = 0,8. -15 -10 -5 0 x 5 10 15 20 (d) Im(η) = 1. Abbildung 6.8.: Wellenfunktionen des Partnersystems im Grundzustand für verschiedene Werte von Im(η) Energieeigenwerte des Partnersystems in Abhängigkeit von Im(η) In Abb.6.9 sind die berechneten Energieeigenwerte für das Partnersystem in Abhängigkeit von η aufgetragen. Es zeigt sich, dass die Energieeigenwerte des Partnersystems mit steigendem Im(η) größer werden. Hierbei fällt auf, dass für beide Teilsysteme die Realteile der Energieeigenwerte stetig ansteigen und stets die Beziehung Re(κ1,p ) = Re(κ2,p ) (6.42) erfüllen. Ab einem kritischen Wert von Im(η ≈ 0,2) weisen die Energieeigenwerte der beiden Systeme jeweils zueinander komplex konjugierte Imaginärteile auf. Dies bedeutet es gilt, für alle hier betrachteten Werte von Im(η), die Beziehung κ1,p = κ∗2,p . (6.43) 75 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 1.4 Re(κ1,p ) Im(κ1,p ) Re(κ2,p ) Im(κ2,p ) 1.2 1 κp 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Im(η) Abbildung 6.9.: Energieeigenwerte des Partnersystems in Abhängigkeit von Im(η). 6.2.5. Diskussion der Ergebnisse Für die rein reellen Fälle liegen hier effektiv nur unterschiedliche Stärken der δ-Potentiale vor, was an sich keine wirkliche Veränderungen im Verhalten des Systems bewirkt. Dies wurde bereits für das Grundsystem bestätigt, da hier keine imaginären Größen auftreten. Für die imaginäre Kopplung, welche den physikalisch wesentlich aussagekräftigeren Fall der Teilchenaustauschwechselwirkung zwischen den beiden Systemen beschreibt, kann für ein breites Spektrum an Kopplungen die zugehörigen Wellenfunktionen berechnet werden. Für das Partnersystem mit imaginärer Kopplung η ist offensichtlich die PT -Symmetrie gebrochen, da keine rein reellen Energieeigenwerte mehr vorliegen. Auch weisen die Wellenfunktionen bereits bei Werten von Im(η) ≈ 0,3 erkennbare Symmetriebrechungen auf. Dies legt die Vermutung nahe, dass für stark gekoppelte Systeme es einen bevorzugten Aufenthaltsort der Teilchen gibt, welcher sich in der Nähe einer der δ-Funktionen befindet. Es zeigt sich zusammenfassend beim Versuch, den SuSy-Formalismus mit dem verwendeten Ansatz auf das gekoppelte System anzuwenden, dass dieser nicht die zu erwartenden Energieeigenwerte liefert, und auch die PT -Symmetrie gebrochen wird. Dies liegt daran, dass der verwendete Ansatz bei der Wahl des Parameters η für das Partnersystem die Phasendifferenz zwischen den beiden Wellenfunktionen am Kopplungspunkt nicht berücksichtigt. Dies tut jedoch die Ersetzung aus Gl.(6.7) und Gl.(6.8), die im folgenden Abschnitt betrachtet werden soll. 76 6.3. Alternative Korrekturberechnung unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen 6.3. Alternative Korrekturberechnung unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen Der korrekte Ansatz wurde bereits in Kapitel 5 beim Einführen der Kopplung angesprochen. Um die Phasenbeziehung korrekt zu berücksichtigen, ist es notwendig einen Parameter α1 über ηΨ1 (x) = α1 Ψ2 (x) ⇒ α1 = Ψ1 (x) η Ψ2 (x) (6.44) einzuführen. Berücksichtigt man nun, dass die Phasenbeziehung der Wellenfunktionen im Partnersystem nicht zwanghaft mit denen des Grundsystems übereinstimmt, so wird klar, dass der komplexe Parameter ηp im Partnersystem nicht derselbe ist wie im Grundsystem. Wie bereits erwähnt, wird der SuSy-Formalismus auf die beiden entkoppelten Gleichungen (6.7) und (6.8) angewendet. Anschließend wird geprüft, welche Kopplung ηp wiederum dieses Partnersystem darstellen kann. Dazu wird unter Berücksichtigung, dass die Kopplungen im Partnersystem als negativ gewählt wird, ηp = − Ψ2,p (a) α1 . Ψ1,p (a) (6.45) gewählt. Interessant ist nun das Verhalten des so bestimmten Kopplungsparameters ηp in Abhängigkeit vom ursprünglich benutzten Parameter η. Es zeigt sich, dass der mit diesem Ansatz berechnete Kopplungsparameter ηp sich stark von η unterscheidet. Dieser ist für die Wahl eines rein imaginären Parameters η keineswegs eine rein imaginäre Größe mehr. Es zeigen sich für ihn schon bei kleinen Werten von η reelle Anteile. Anhand von Abb. 6.10 wird offensichtlich, dass die Abweichung vom Im(η) nicht über einen Wert von Im(ηp ) ≈ 1,1 hinausgeht. Für größere η steigt auch der Realteil von ηp . Anhand dieser Betrachtung wird deutlich, warum die Energieeigenwerte für die im vorherigen Abschnitt berechneten Lösungen für das gekoppelte System nicht mit den Erwartungen übereinstimmen. 77 6. Supersymmetrische Erweiterung des gekoppelten Doppel-δ-Potentials 1.5 Re(ηp ) Im(ηp ) 1 ηp 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Im(η) 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 6.10.: Real- und Imaginärteil von ηp im Partnersystem in Abhängigkeit von η des Grundsystems. Es zeigt sich, dass um auch im SuSy-System gekoppelte Wellenfunktionen zu erhalten, ein völlig anderer Kopplungsparameter benötigt wird. Selbst für ein rein imaginäres η ist ηp für das Partnersystem eine echt komplexe Größe. Es zeigt sich außerdem, dass der Imaginärteil von ηp ab einer Kopplung von η ≈ 0,185 nicht weiter steigt. Der reelle Anteil von ηp steigt bei Erhöhung von Im(η) stetig an. Zusammenfassend findet man, dass η und ηp in beiden Systemen, sofern eine Kopplung vorliegt, niemals identisch sind. 78 7. Zusammenfassung Es konnten im Rahmen dieser Bachelorarbeit die grundlegenden Eigenschaften eines PT -symmetrischen Systems benutzt werden, um für ein idealisiertes Modellsystem aus δ-Potentialen reelle Eigenwerte zu erhalten. Mithilfe der komplexen Potentiale konnte auf der Grundlage des PT -symmetrische Doppel-δ-Potentials ein gekoppeltes System konstruiert werden. Hierzu wurde zunächst das Doppel-δ-System mit komplexen Potentialen eingehend untersucht. Dabei konnte gezeigt werden, dass bei Erhöhung des komplexen Parameters γ ab einem Wert von γcrit ≈ 0,4 eine Aufspaltung in 2 komplex konjugierte Zustände erfolgte und hier Grund und angeregter Zustand zusammenfallen. Bei Betrachtung der Energieeigenwerte des Doppel-δ-Potentials zeigte sich, dass dieses zu jedem Wert γ genau zwei Zustände besitzt. Auf Grundlage dieser Untersuchung wurde ein gekoppeltes System aus zwei einzelnen Doppel-δ-Systemen konstruiert, um ein verallgemeinertes System zu erhalten, bei dem die Imaginärteile der Kopplung das Ein bzw. Auskoppeln von Teilchen beschreiben sollten. Für die Kopplung wurde dabei die Betrachtung auf einen Punkt beschränkt, weswegen sich für das effektiv wirkende Potential, welches aus dem einfachen Doppel-δPotential V0 und der Kopplung η besteht, die Form Ψj (x) δ(a − x) (7.1) Veff,i = V0 + ηi Ψi (x) ergibt. Für die Kopplung wurde, um einen möglichst allgemeinen Fall zu erhalten, η ∈ C gewählt. Es wurden für die weiteren Betrachtungen stets Wellenfunktionen mit gleicher Phase verwendet, weswegen der Grundzustand für η = 0 rein reelle Wellenfunktionen besaß. Das so konstruierte gekoppelte System wies, im Gegensatz zum einfachen Doppelδ-Potential keine Bifurkation auf, sondern es zeigte sich, dass stets für angeregten und Grundzustand genau ein Energieeigenwert zu einem Kopplungsparameter η existiert. Für das gekoppelte Problem wurden numerische Lösungen berechnet und gezeigt, dass das Spektrum der Energieeigenwerte stets rein reell ist und die beiden Wellenfunktionen stets komplex konjugiert zueinander vorliegen. Bei der Analyse der Schrödingergleichungen für rein reelle η im Grundzustand zeigte sich, dass diese, mit dem verwendeten Ansatz, lediglich wie eine Abschwächung bzw. eine Verstärkung der δ-Potentiale wirken. Die Wellenfunktionen wiesen hier lediglich kleinere bzw. größere Ausschläge an den Positionen 79 7. Zusammenfassung x = ±a auf. Da ein reelles η wie eine Abschwächung der δ-Funktionen wirkt, existiert ein Re(ηcrit ) = −V0 für das die Kopplung die δ-Potentiale kompensiert und damit die Schrödingergleichungen für freie Teilchen vorliegen. Die Analyse der Wellenfunktionen im Grundzustand ergab, dass sofern die Kopplung einen nichtverschwindenden Imaginärteil besitzt, für beide Ψi (x) jeweils zueinander komplex konjugierte Imaginärteile entstehen. Diese wurden mit steigendem Im(η) immer größer, wobei sich die Wellenfunktionen in ihrer Ausdehnung immer mehr zusammen zogen. Für gemischte η zeigten sich die kombinierten Eigenschaften der reinen Fälle. Das Spektrum des gekoppelten Systems im Grundzustand erwies sich auch bei imaginären η als rein reell und es zeigten sich keine kritischen Phänomene, was den Grundzustand als guten Kandidaten für den SuSy-Formalismus erscheinen lies. Das gekoppelte System im Grundzustand behielt auch für sehr große Kopplungsparameter η seine PT Symmetrie bei. Die Wellenfunktionen des angeregten Zustands des Systems konnten ebenfalls numerisch berechnet werden, jedoch zeigten sich hier schnell numerische Schwierigkeiten. Auch hier konnten die Schrödingergleichungen für den rein reellen Fall vereinfacht werden, jedoch wirkte hier die Kopplung je nach Vorzeichen gerade umgekehrt wie im Grundzustand. Die Wellenfunktionen zum angeregte Zustand waren für η = 0 rein imaginär und antisymmetrisch zum Ursprung. Für die berechneten rein reellen η blieben sie auch rein imaginär. Die Ausschläge an den Positionen der δ-Funktionen wurden jedoch je nach Wahl des Vorzeichens höher oder niedriger. Bei Betrachtung der Schrödingergleichungen konnte festgestellt werden, dass diese im angeregten Zustand für Re(ηcrit ) = V0 in die von freien Teilchen übergehen. Es wurden hier schnell numerische Schwierigkeiten deutlich, weswegen nur für kleine Re(η) Lösungen berechnet werden konnten. Für rein imaginäre η zeigten sich nichtverschwindende Realteile der Wellenfunktionen, welche für beide Ψi (x) identisch waren. Jedoch wurden die Energieeigenwerte schnell so klein, dass der Integrationsbereich aufgrund der Proportionalität Ψi (x) ∝ e±κi x schon für kleine Imη stark vergrößert werden musste und ab Im(ηcrit ) ≈ 0,3 die Wellenfunktionen mit der verwendeten Methode nicht mehr bestimmt werden konnten. Das Spektrum der Energieeigenwerte blieb für den betrachteten Bereich stets rein reell und für beide Wellenfunktionen identisch. Für eine genauere Analyse, müsste dieser Bereich jedoch stark erhöht werden, da die Lösungen nur für sehr kleine η bestimmt wurden, und somit nur eine grobe Tendenz angegeben werden kann. Für gemischte η beobachtete man auch hier beim Verhalten der Wellenfunktionen eine Kombination aus den bereits beobachteten Phänomenen der reinen Fälle. Der angeregte Zustand erwies sich im Gegensatz zum Grundzustand als wesentlich instabiler unter der Variation des Parameters η. Die numerischen Schwierigkeiten machen eine Anwendung des SuSy-Formalismus im angeregten Zustand unverhältnismäßig 80 aufwändiger, weswegen im Rahmen dieser Bachelorarbeit darauf verzichtet wurde, den SuSy-Partner für diesen zu bestimmen. In Kapitel 6 konnte einleitend die Bestimmungsgleichungen für die Superpotentiale des gekoppelte Doppel-δ-Systems hergeleitet werden. Diese wurden anschließend durch analytische Berechnung der Integrationskonstante ξ komplett analytisch bestimmt. Für die Superpotentiale ergab sich Wi (x) = −κi,g tanh(κi,g (x − ξ)), (7.2) wobei die Integrationskonstante ξ zu ξ =a+ ln(−(1 + 2κi,g )) V0 +α 2κi,g (7.3) gewählt wurde (der Index g steht hier für das Grundsystem). Aus den Superpotentialen Wi (x) konnte durch Berechnung der Ableitungen Wi0 (x) die Partnerpotentiale V2,i (x) analytisch berechnet werden. Diese ergaben sich innerhalb von x = ±a zu 2 V2,i (x) = κi,g 1 − . (7.4) cosh(κi,g (x − ξ)) Mithilfe des so berechneten Partnerpotentials konnten die Differentialgleichungen des Partnersystems angegeben werden, wobei hier an den Sprungstellen die selben Sprungbedingungen verwendet wurden wie zuvor im Grundsystem. Hierbei wurden jedoch, da der SuSy-Formalismus angewendet wurde, alle Vorzeichen umgekehrt. Da für diese Arbeit für das Grundsystem lediglich Lösungen betrachtet wurden, welche PT -symmetrisch sind, wurde für das Partnersystem zunächst der Spezialfall für η = α betrachtet, was zur Folge hat, dass η im Grundsystem den gleichen Wert wie im Partnersystem besitzt. Dies stellt keine korrekte Anwendung des SuSy-Formalismus dar, da die Phasenbeziehungen der Wellenfunktionen am Kopplungpunkt so vernachlässigt werden, behandelt aber den interessanten Fall, dass in beiden Systemen (Grundsystem und SuSy-Partner) dieselbe Kopplung vorliegt. Es konnte festgestellt werden, dass dieser Ansatz in der Tat nicht die erwarteten Ergebnisse der Supersymmetrie liefern konnte. Die berechneten Wellenfunktionen wiesen dennoch eine Form auf, die sich unter Betrachtung bereits bestehender Arbeiten als durchaus plausibel darstellte. Für die Energieeigenwerte wurde hingegen festgestellt, dass der so verwendete Ansatz nicht die für eine Entfernung des Grundzustands erwarteten Werte lieferte. Um die Phasenbeziehung korrekt zu berücksichtigen, kann nicht davon ausgegangen werden, dass η = ηp gilt. Es wurde jedoch über α=η Ψ2 (a) Ψ1 (a) (7.5) 81 7. Zusammenfassung der phasenabhängige Kopplungsparameter im Grundsystem bestimmt. Mit seiner Hilfe konnte nun der Kopplungsparameter ηp berechnet werden, der benötigt wird, um das Grundsystem korrekt im Partnersystem darstellen zu können. Hierzu wurde ηp über ηp = −α Ψ2,p (a) Ψ1,p (a) (7.6) berechnet. Ein Vergleich zwischen diesem und dem verwendeten Parameter η zeigte die Gründe für die unerwarteten Ergebnisse des verwendeten Ansatzes auf. Schon für kleine rein imaginäre Parameter η konnte festgestellt werden, dass ηp auch einen Realteil besaß und sich die Größenordnung vom verwendeten Im(η) deutlich unterschied. Das gekoppelte System lässt sich zusammenfassend überaus vielseitig erweitern. Als weiterer Ansatz kann hier mit einem korrekten phasenabhängigen Kopplungsparameter α der SuSy-Partner bestimmt werden. Auch wäre eine Berechnung der SuSy-Partner zum angeregten Zustand interessant, da dieser im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt wurde. Ein weiterer Schritt zur Konstruktion eines realistischeren Systems wäre ein Kopplungsansatz für zwei Doppel-Mulden-Potentiale, da diese die Verallgemeinerung eines Doppel-δ-Potentials darstellen. Auch könnte man andere Formen der Kopplung als für das hier betrachtete Doppel-δ-System untersuchen oder die Schrödingergleichungen durch Einführen einer Nichtlinearität auf die Gross-Pitaevskii-Gleichungen erweitern, um Bose Einstein-Kondensate im SuSy-Partner eines gekoppelten Systems zu beschreiben. 82 A. Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist ein explizites vierstufiges Verfahren vierter Ordnung zur numerischen Lösung von Differentialgleichungssystemen. Die klassische Arbeitsweise dieses Verfahren ist die Lösung eines Differentialgleichungssystems der Form u0 (t) = f (t, u) (A.1) durch Approximation der Ableitungen mithilfe der zugehörigen Differentialquotienten. Für ein klassischen Runge-Kutta-Verfahren berechnet sich ein Zeitschritt für ein System wie in Gl.(A.1) bei bekanntem Startwert u(t) ≈ v für einen anschließenden Wert w welcher einen Zeitschritt h entfernt ist, für den u(t) ≈ v → w = u(t + h), (A.2) gilt, über die Rekursionsbeziehung y1 = f (t, v), y1 h y2 = f (t + , v + h ), 2 2 y2 h y3 = f (t + , v + h ), 2 2 y4 = f (t + h, v + hy3 ), y y2 y3 y4 1 w =v+h + + + . 6 3 3 6 Der so berechnete Wert für w kann nun als neuer Startwert für den nächsten Schritt benutzt und somit eine numerische Lösung für das Differentialgleichungssystem gefunden werden [11]. 83 Literaturverzeichnis [1] Carl M. Bender und Stefan Böttcher. Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT-symmetry. Phys.Rev.Lett. 80, 5243-5246 (1998). [2] Mohammed-Ali Miri, Matthias Heinrich und Demetrios N. Christodoulides. Supersymmetry-generated complex optical potentials with real spectra. Phys. Rev. A 87 (4) (2013). [3] Holger Cartarius. Quantum Systems with balanced gain and loss, signatures of branch points, and dissociation effects. Habilitationsschrift, Universtität Stuttgart (2014). [4] Jan Schnabel. Kopplung von Bose-Einstein-Kondensaten in einer Doppel-δ-Falle, zur realisierung eines PT -symmetrischen Quantensystems. Bachelorarbeit, Universität Stuttgart (2014). [5] Nikolas Abt. Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppeldeltapotentials. Bachelorarbeit, Universität Stuttgart (2014). [6] Daniel Haag. Numerische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten im PT symmetrischen Doppelmuldenpotential. Masterarbeit, Universität Stuttgart (2012). [7] Harald Kalka und Gerhard Soff. Supersymmetrie. Teubner Studienbücher (1997). [8] Holger Cartarius und Günter Wunner. Model of a PT -symmetric Bose-Einstein condensate in a delta-function double-well. Phys. Rev. A 86, 013612 (2012). [9] Fabian Single. Modelle für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate. Masterarbeit, Universität Stuttgart (2013). [10] Philippe Schraft. Stabilität von Bose-Einstein-Kondensaten im SUSY-Partner des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials. Bachelorarbeit, Universität Stuttgart (2015). [11] Klaus Höllig. Höhere Mathematik 4, Teil 1: Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Vorlesungsskript, Universität Stuttgart (2014). 85 Danksagung Ich möchte mich bei allen bedanken, die mich beim Schreiben meiner Bachelorarbeit unterstützt und damit diese ermöglicht haben. Als erstes möchte ich mich an dieser Stelle besonders bei Prof. Dr. Jörg Main bedanken, der sich stets für meine Fortschritte interessierte und sich viel Zeit nahm, mir bei Fragen während meiner Bachelorarbeit zu helfen. Des weiteren möchte ich mich vor allem bei Dr. Holger Cartarius bedanken, der mir stets bei Fragen jeder Art eine große Hilfe war. Außerdem möchte ich Herrn Prof. Dr. Wunner für die Möglichkeit danken, meine Bachelorarbeit am 1. Institut für Theoretische Physik anfertigen zu können. Besonders möchte ich mich auch bei Philippe Schraft für die gute und entspannte Zusammenarbeit während der gesamten Bachelorarbeit bedanken. Ich danke auch Cedric Sommer für die angenehme Arbeitsatmosphäre und den freundlichen Umgang beim Arbeiten. An dieser Stelle möchte ich mich ebenfalls bei allen Mitarbeitern des ITP-1 für die angenehme Atmosphäre bedanken. Abschließend gilt mein Dank meinen Eltern und meiner Schwester welche mich stets unterstützt haben. 87 Ehrenwörtliche Erklärung Ich erkläre, • dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe, • dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet habe, • dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist, • dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt • und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars übereinstimmt. Stuttgart, den 4. September 2015 Robin Schuldt
