Serie 4 - D-MATH

D-BAUG
Dr. Meike Akveld
Analysis II
FS 2014
Serie 4
1. Die Oberfläche einer Insel sei gegeben durch
f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )/8
− e−2 .
Berechnen Sie das Volumen der Insel, welches über der Wasseroberfläche (Höhe z =
0) liegt!
2. Skizzieren Sie die folgenden Gebiete und berechnen Sie mittels Integration den jeweiligen Flächeninhalt!
a) Das Gebiet innerhalb der Kardioide r = 1 − cos ϕ und des Kreises r = 1.
b) Das Gebiet, welches durch die Spirale r = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π und die x-Achse
eingeschlossen wird.
3. Wir betrachten drei verschiedene Flaschen in der Form eines Paraboloids P , eines
Hyperboloids H und eines Kegels K. Diese sind wie folgt gegeben:
• P = {(x, y, z) ∈ R3 | z = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4},
o
n
p
• H = (x, y, z) ∈ R3 | z = 1 + x2 + y 2 , 1 ≤ z ≤ 5 ,
n
o
p
3
2
2
• K = (x, y, z) ∈ R | z = x + y , 0 ≤ z ≤ 4 .
a) Alle drei Flaschen haben Höhe 4 vom Boden der Flasche aus gemessen. Welche
fasst am meisten Wasser, wenn man sie bis zum Rand füllt?
b) Welche Höhe müssten K respektive P mindestens haben, um das Wasser der
gefüllten Flasche H (1 ≤ z ≤ 5) fassen zu können?
4.
a) Berechnen Sie das Volumen des Körpers K, welcher von der Sphäre
S = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 19
und dem Hyperboloid
H = (x, y, z) ∈ R3 | z 2 − x2 − y 2 = 1, z > 0
eingeschlossen wird.
Bitte wenden!
b) Wir betrachten ein Stück Käse, welches im ersten Oktanten liegt (d.h. x > 0 , y >
0, z > 0) und von den Ebenen y = z, y = 4, x = 4 begrenzt wird. Das Stück
Käse könnten wir halbieren, indem wir es mit der Ebene x = 2 schneiden. Wir
möchten es jedoch mit Hilfe einer Ebene y = a, 0 < a < 4 halbieren. Finden
Sie dieses a!
5. Online-Abgabe
RR p
1. Gegeben ist das Integral I = D x2 + y 2 dA, wobei D das Dreieck mit den
Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1) bezeichnet. Je nach Wahl des Koordinatensystems und
der Reihenfolge der Integrationen lässt sich I auf verschiedene Arten als zweifaches
Integral ausdrücken. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
(a) I =
R1R1p
(b) I =
R1Rxp
x2 + y 2 dy dx
0 0
(c) I =
R π/4 R 1/ cos ϕ
(d) I =
R1R1p
x2 + y 2 dx dy
0 y
0
0
0
x2 + y 2 dy dx
0
r2 dr dϕ
2. Das Integral der Funktion f (x, y) :=
0, x2 + y 2 ≤ 4 ist:
(a)
R
(b)
R
(c)
R
(d)
R
(e)
R
B
B
B
B
B
p
4 − x2 − y 2 über die Menge B := (x, y) | x, y ≥
f dA = 23 π
f dA = 43 π
f dA =
16
π
3
f dA = 8π
f dA =
32
π
3
Siehe nächstes Blatt!
3. Es sei B ein Bereich in der (x, y)-Ebene und B̃ der via Polarkoordinaten entsprechende Bereich in der (r, ϕ)-Ebene. Dann gilt
(a)
R
(b)
R
(c)
R
(d)
R
(e)
R
xy dA(x, y) =
B
R
xy dA(x, y) =
R
xy dA(x, y) =
B
R
B
B̃
B̃
B̃
xy dA(x, y) =
R
B
xy dA(x, y) =
R
B
B̃
B̃
r cos ϕ sin ϕ dA(r, ϕ)
r2 cos ϕ sin ϕ dA(r, ϕ)
r3 cos ϕ sin ϕ dA(r, ϕ)
r3 cos2 ϕ sin ϕ dA(r, ϕ)
2πr2 cos ϕ sin ϕ dA(r, ϕ)
4. Welche der folgenden Interpretationen vom Integral I =
sind korrekt?
RR
B
dA(x, y) mit B ⊂ R2
(a) I ist immer gleich 0.
(b) I ist die Fläche von B.
(c) I ist das Volumen eines Quaders der Höhe 1 über B.
(d) Hat keine geometrische Bedeutung, weil die Funktion f (x, y) fehlt.
(e) I ist die Masse von B mit homogener Dichte 1.
5. Sei R der Einheitskreis mit Zentrum (0, 0). Dann gilt
Z Z
Z 2π Z 1
2
2
(x + y ) dA =
r2 dr dϕ.
R
0
0
(a) Wahr
(b) Falsch
Bitte wenden!
6. Das Integral
Z
1
Z √1−y2
0
ex
2 +y 2
dx dy
0
ist in Polarkoordinaten einfacher auszuwerten als in kartesischen Koordinaten.
(a) Wahr
(b) Falsch
7. Das Dreifachintegral einer Funktion f über dem Gebiet
D = (x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3x − 3, 0 ≤ z ≤ 5
kann geschrieben werden als
Z 3x−3 Z
1
Z
5
f (x, y, z) dz dx dy.
0
0
0
(a) Wahr
(b) Falsch
8. Das Gebiet
n
o
√
√
D = (x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ z ≤ 1 − x2
ist eine Sphäre.
(a) Wahr
(b) Falsch
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: Mittwoch den 19. März 2014 oder Donnerstag den
20. März 2014 in der Übungsstunde oder bis Donnerstag den 20. März um 10:00 im Fach
Ihres Assistenten im HG J 68.