Mechanik (starrer Körper)

Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen
http://www.hs-heilbronn.de/ifg
Übungsaufgaben
Physik I
Mechanik (starrer Körper)
Autor:
Prof. Dr. G. Bucher
Bearbeitet:
Dipl. Phys. A. Szasz
Juli 2012
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Jojo (SS12)
Gegeben sei ein Jojo, bestehend aus zwei Rädern und einer Radnabe. Jedes Rad
besteht aus 12 Speichen der Länge l 0 und der Masse m 0 sowie einer runden Felge
der Masse 4 ⋅ m 0 und dem Radius R = l 0 . Die dünnschalige zylindrische Radnabe hat
l
die Masse 8 ⋅ m 0 und den Radius r = 0 .
2
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 dieser Anordnung bezüglich der
Rotationsachse des Zylinders.
b) Die Nabe wird mit masselosem Faden bewickelt. Unter dem Einfluss der
m
Schwerebeschleunigung g = 10 2 rollt nun das Jojo senkrecht ab.
s
Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung aSP des Jojos.
c) Verwenden Sie für die folgende Berechnung die Zahlenwerte:
Speichenlänge l 0 = 0.1 m ; Höhenunterschied im Schwerefeld ∆h = 1 m ;
Masseneinheit m 0 = 0.1 kg
Berechnen Sie die Rotationsfrequenz ω Jojo des Jojos.
d) Eine dünne Kugelschale mit Radius RKS , Masse m KS und
2
2
Trägheitsmoment J 0 = m KS RKS
wird mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit v KS
3
auf eine Kegelbahn geschoben. Zu Beginn gleitet die Kugelschale ohne zu rollen.
Der Reibungskoeffizient µ KS beschreibt das Verhältnis zwischen Normalkraft (in
diesem Fall Gewichtskraft) und resultierende Reibungskraft.
Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v KSroll , wenn die Kugelschale
rollt ohne zu gleiten.
e) Berechnen Sie die Energie ∆QKS , die in Wärme umgesetzt wird.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Zwei (verschiedene) Hanteln (WS11/12)
Gegeben seien zwei Hanteln. Eine Hantel besteht aus zwei homogenen Vollkugeln
mit jeweils der Masse 4 ⋅ m 0 und dem Radius R 0 . Das Verbindungsstück beider
R
Kugeln kann als homogener Zylinder mit der Masse 2 ⋅ m 0 und den Radius R z = 0
2
aufgefasst werden. Die zweite Hantel ist analog aufgebaut. Allerdings wird jetzt die
homogene Vollkugel durch eine dünnwandige Hohlkugel mit gleichem Radius R 0
und gleicher Masse 4 ⋅ m 0 ersetzt.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 beider Hanteln bezüglich der
Rotationsachse des Zylinders.
b) Die Höhe h Z des Verbindungszylinders zwischen beiden sphärischen Körpern sei
hZ = 2 ⋅ R0 .
Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 der Hantel mit den Kugelschalen
bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt und senkrecht zur ersten
Rotationsachse.
c) Berechnen Sie das Verhältnis k beider Trägheitsmomente.
d) Die Hantel mit den homogenen Vollkugeln rollt nun unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung g ohne zu gleiten eine schiefe Ebene hinunter. Dabei
durchläuft sie eine Höhendifferenz ∆h 0 . Die Rotation erfolgt parallel zur
Symmetrieachse des Vollzylinders, der beide Kugeln verbindet. Die Hantel rollt
über die Großkreise der beiden Kugeln ab.
Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v SP als Funktion der
überwundenen Höhe ∆h 0 .
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Zwölf Dreiecke bilden einen Stern (SS11)
Gegeben seien 12 identische gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a . Sie können
als flächenhafte Körper mit homogener Massendichte σ und Masse m0 je Dreieck
kg
aufgefasst werden. Die Massendichte σ hat die Einheit: [σ ] = 2 .
m
a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J ⊥ eines solchen dreieckigen Körpers
bezüglich einer Achse senkrecht zum Körper durch eine Ecke.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Steinerschen Satzes das Massenträgheitsmoment J 0
eines solchen Dreiecks bezüglich einer parallelen Achse durch den Schwerpunkt.
1
(Ergebnis: J0 = ⋅ m0 ⋅ a 2 ).
12
c) Setzen Sie die 12 Dreiecke paarweise zu 6 Rauten zusammen und bilden Sie einen
Stern indem Sie die Rauten mit der Spitze zum gemeinsamen Zentrum
ausrichten. Den Schwerpunkt markiert der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0Stern dieses Sterns bezüglich einer
Achse senkrecht zur Sternebene durch dessen Schwerpunkt.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Jaja ein Jojo (WS10/11)
Bei der Konstruktion des nachfolgend beschriebenen Jojos werden die Massen m0
und die Längen l 0 verwendet.
Das Jojo besteht aus zwei identischen Rädern mit einer Nabe als
Verbindungselement. Räder und Nabe sind rotationssymmetrisch montiert.
Die Räder bestehen aus 12 Speichen der Länge l 0 und jeweils der Masse m0 . Sie
können als dünne Stäbe idealisiert werden. Die Felge hat den Radius l 0 , die
Masse 4 ⋅ m 0 und kann als dünner Zylindermantel idealisiert werden. Die Nabe hat
l
den Radius 0 , die Masse 4 ⋅ m 0 und kann ebenfalls als dünner Zylindermantel
2
behandelt werden.
a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 dieses Jojos.
b) Die Nabe wird mit masselosem aber reißfestem Faden bewickelt und kann sich
m
im Schwerefeld (Schwerebeschleunigung g = 10 2 ) abspulen.
s
Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a J bei diesem Abspulvorgang.
c) Berechnen Sie die notwendige Abspullänge h bis die
m
Schwerpunktsgeschwindigkeit vSP = 1
erreicht ist.
s
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Kugel in Würfel in Kugel (SS10)
Gegeben sei ein Körper bestehend aus einer dünnwandigen Kugelschale der
Masse m0 und dem Radius R . In diese Kugelschale ist ein Flächenwürfel, bestehend
aus 6 dünnwandigen, quadratischen Flächen der Kantenlänge a eingefügt. Die
Raumdiagonale des Würfels entspricht genau dem Durchmesser 2 R der äußeren
Kugelschale. In diesen Würfel ist wiederum eine dünnwandige Kugelschale
eingefügt, deren Durchmesser 2R1 genau der Seitenlänge a des Würfels entspricht.
Auch der Flächenwürfel und die kleinere Kugelschale haben die gleiche Masse m0
wie die äußere Kugelschale.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 dieses Körpers bezüglich seines
Schwerpunktes.
b) Der Körper rollt nun (ohne zu gleiten) unter dem Einfluss der Schwerekraft eine
schiefe Ebene hinunter.
Berechnen Sie die Höhendifferenz ∆h , die er zurücklegen muss, bis eine
m
Schwerpunktsgeschwindigkeit v = 10
erreicht ist.
s
m
Die Schwerebeschleunigung sei: g = 10 2
s
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Kreuzgegenständige Sätze von Segelohren (WS09/10)
Gegeben sind 5 identische flache Zylinder (Scheiben) mit dem Radius R und der
Masse m0 . Je zwei dieser Zylinder sind an ihrer Außenkontur an einem Punkt
verbunden (Modell für Segelohren). Alle 5 Zylinder werden nun zu einem
Sandwich zusammengefügt, wobei die Mittellage (also die Füllung), aus dem
fünften Zylinder besteht und die beiden Deckschichten durch die Modelle der
Segelohren (zusammengesetzt aus jeweils zwei Zylindern) gebildet werden. Der
Schwerpunkt der gesamten Anordnung ist identisch mit dem Schwerpunkt des
fünften Zylinders (Füllung). Kreuzgegenständig bedeutet, dass beide Segelohren
um 90° gegeneinander verdreht sind.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 der beschriebenen Anordnung bezüglich
einer Achse durch den Schwerpunkt und senkrecht zur Deckfläche der Zylinder.
b) Berechnen Sie für diese Anordnung auch das Trägheitsmoment J bezüglich einer
Achse durch den Schwerpunkt der Anordnung und parallel zur Deckfläche der
Zylinder.
Begründen Sie, warum die Wahl der Achsenorientierung in der Ebene der
Deckflächen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.
c) Die Anordnung wird nun als Jojo behandelt. Der mittlere Zylinder (Füllung des
Sandwichs) wird mit masselosem Faden bewickelt. Unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung g wird nun eine Strecke s abgespult.
Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a der Anordnung.
v
d) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsverhältnis 1 , wenn die Anordnung unter
v2
dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g einmal als Jojo die Fadenlänge s
abgespult und im Vergleich dazu einen freien Fall über die entsprechende
Fallhöhe h = s ausgeführt hat.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Teil I: Massive Kugel und massiver Zylinder (SS09)
Eine massive Kugel und ein massiver Zylinder, jeweils mit konstanter
Massenverteilung, starten gleichzeitig und aus gleicher Höhe auf einer schiefen
Ebene, die den Winkel α mit der Horizontalen einschließt. Sie rollen, ohne zu gleiten
eine Höhendifferenz ∆h = 1.0 m hinab. Beide haben dieselbe Masse m0 und
m
denselben Durchmesser d . Die Schwerebeschleunigung sei g = 10 2 .
s
a) Welcher der beiden Körper ist schneller unten und warum?
b) Welche Schwerpunktsgeschwindigkeit v besitzt die Kugel, nachdem sie die
Höhendifferenz ∆h = 1.0 m bewältigt hat?
m
c) Nun werden die beiden Körper gleichzeitig mit der Geschwindigkeit v0 = 10
s
vom unteren Ende der schiefen Ebene nach oben geschubst. Beide Körper rollen
wieder ohne zu gleiten.
Welcher der Körper ist früher oben und welche Geschwindigkeit hat er am
oberen Ende der schiefen Ebene (also nach Überwindung einer
Höhendifferenz ∆h = 1.0 m )?
Teil II: Eisstockschießen (SS09)
Zwei Mannschaften treten zum Eisstockschießen an. Einen Eisstock kann man als
homogenen Zylinder mit Radius R und Masse m0 annähern. Zwei Eisstöcke werden
parallel gegeneinander geschickt: der eine Eisstock gleitet genau auf der x_Achse
( y = 0 ) in positiver Richtung mit der Geschwindigkeit v 0 , der zweite in negativen
1
x_Richtung entlang der Geraden y = R mit der Geschwindigkeit − v 0 . (die
2
Schwerpunkte verfehlen sich also um den Abstand s = R ).
a) Berechnen Sie die Bahn, auf der der gemeinsame Schwerpunkt gleitet.
b) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v des Systems.
c) Berechnen Sie die beiden Relativgeschwindigkeiten v1 und v 2 , der beiden
Eisstöcke relativ zum Schwerpunkt vor einem Zusammenprall.
d) Berechnen Sie den Drehimpuls L des Systems vor einem Zusammenprall.
e) Berechnen Sie die Rotationsfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit u
nach einem vollkommen inelastischen Stoß der beiden Eisstöcke.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Volle und ausgestanzte Scheibe (WS07/08)
kg
). Daraus
m2
werden zwei Scheiben mit Radius R ausgestanzt. Die eine Scheibe wird mit 6
R
zusätzlichen Ausstanzungen mit dem Radius
versehen. Die Mittelpunkte sollen
3
2
auf einem Kreis mit dem Radius R , jeweils um 60° gegeneinander versetzt,
3
angeordnet sein.
a) Berechnen Sie die Trägheitsmomente J 1 und J 2 bezüglich zweier Achsen durch
den Schwerpunkt: einmal senkrecht zur Scheibenebene und einmal in der
Scheibenebene.
b) Die Mittelpunkte beider Scheiben werden nun durch ein masseloses Seil
verbunden. Die Scheibe ohne Ausstanzung rollt unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung g eine schiefe Ebene (Neigungswinkel: α 1 = 30° bezogen
auf die Horizontale) abwärts. Über das masselose Seil zieht die abwärts rollende
Scheibe die Scheibe mit den Ausstanzungen aufwärts entlang einer schiefe Ebene
mit dem Neigungswinkel α 2 = 30° zur Horizontalen. Beide Scheiben rollen ohne
zu gleiten.
Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a dieses gekoppelten Systems.
c) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v , wenn die Scheiben eine
Strecke s = 1 m auf der schiefen Ebene zurückgelegt haben.
d) Geben Sie eine Beziehung zwischen den Neigungswinkeln α 1 und α 2 der beiden
schiefen Ebenen an, für die beide Scheiben unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung in Ruhe verharren.
Gegeben sei ein Blech mit der homogenen Flächendichte σ ( [σ ] =
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Wenn Kugeln kugeln (SS07)
Gegeben sind eine dünne Kugelschale mit Radius R und Masse m0 , sowie zwei
R
homogene Vollkugeln mit Radius
und ebenfalls Masse m0 . Die Kugeln befinden
2
sich in der Kugelschale und sind fest mit dieser verbunden.
a) Berechnen Sie das größtmögliche und das kleinstmöglich Trägheitsmoment J 0 max
und J 0 min dieser Anordnung bezüglich einer Achse durch den gemeinsamen
Schwerpunkt.
b) Berechnen Sie den Unterschied in der Kreisfrequenz ∆ω für beide
Trägheitsmomente, wenn dieser Körper unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung g eine schiefe Ebene hinunterrollt und dabei eine
Höhendifferenz ∆h überwindet.
c) Jetzt befinde sich nur eine Kugel in der Kugelschale und diese sei auch frei
beweglich. Die Kugelschale rollt ohne zu gleiten unter dem Einfluss der
Schwerebeschleunigung eine schiefe Ebene mit einem Winkel α = 30° hinunter.
Berechnen Sie die Beschleunigung a dieser Anordnung.
d) Berechnen Sie den Ort, an dem die Vollkugel die Kugelschale während des
Abwärtsrollen auf der schiefen Ebene mit der Beschleunigung a berührt.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Tetraeder (WS06/07)
Gegeben sei ein regelmäßiger Tetraeder (Vierflächner mit 4 identischen,
gleichseitigen Dreiecken als Oberfläche). An jeder der 4 Ecken dieses Körpers sitzt
ein Massenpunkt der Masse m0 . Die Verbindungsstangen und die Oberflächen seien
masselos.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieses Körpers bezüglich einer Achse, die
gleichzeitig durch einen der Eckpunkte geht und parallel zur gegenüber
liegenden Verbindung zweier Eckpunkte orientiert ist.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Steinerschen Satzes das Trägheitsmoment J 0
bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt des Tetraeders.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Jojo (SS06)
Ein dünnwandiger Zylinder mit Radius R und Masse m0 sowie zwei dünne,
homogene Scheiben mit Radius 2 R und ebenfalls jeweils Masse m0 bilden ein JoJo.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 dieses JoJos bezüglich der Achse
senkrecht zur Scheibenebene durch den Schwerpunkt (Rotationsachse).
b) Das JoJo wird mit masselosem Faden bewickelt und kann im Schwerefeld unter
dem Einfluß der der Schwerebeschleunigung g abrollen.
Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit vS
nach dem eine Strecke s abgewickelt ist.
Verwenden Sie folgende Zahlenwerte:
m
R = 0.01 m ; s = 0.075 m ; g = 10 2
s
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Lichtmühle (WS05/06)
Der Rotator einer Lichtmühle besteht aus 4 identischen, quadratischen dünnen
Blechen der Seitenlänge a und der Masse m0 . Die vier Bleche sind paarweise so
angeordnet, dass ihre Flächendiagonalen fluchten. Alle vier Flächen berühren sich
mit einer Spitze (siehe Skizze).
1
2
a
Berechnen Sie die Trägheitsmomente J 01 und J 02 bezüglich der eingezeichneten
Rotationsachsen.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Amulett (SS05)
Aus einem Vollkreis mit Radius R wird ein Kreis mit dem Radius r = 0.8 ⋅ R
ausgestanzt. Zwei Kreise dieser Art bilden ein Amulett (siehe Skizze).
a) Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes bezüglich des Berührungspunktes der
beiden Kreise, wenn die Figur konstante Dichte ρ und konstante Dicke d hat.
b) Berechnen Sie den Wert des Amuletts, wenn es aus purem Gold gearbeitet ist, der
€
Radius R = 50 mm , die Dicke d = 1 mm und der Preis für Gold 2 ⋅ 10 17
sind.
km 3
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Loisl auf dem Eis (WS04/05)
Loisl ist ein gestandenes Mannsbild der Masse M = 90 kg , das näherungsweise als
Zylinder mit dem Radius R = 0.2 m angenähert werden kann. Loisl steht senkrecht
auf dem Eis. Sein Reibungskoeffizient mit dem Eis ist µ = 0 . Er hält waagrecht vor
sich einen rotierenden Kreisel der Masse m = 10 kg , dem Radius r = 0.1 m und der
Kreisfrequenz ω = 10 s -1 . Der Abstand zwischen seiner Symmetrieachse und der
5
Kreiselachse beträgt d =
m . Loisl kippt im Abstand d von seiner Symmetrieachse
5
die Kreiselachse aus der Horizontalen in die Vertikale.
a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz von Loisl plus Kreisel ω KL , wenn Loisl den
Kreisel weiter im Abstand d hält.
b) Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω0 , wenn Loisl die Orientierung der
Kreiselachse beibehält und den Kreisel so über seinen Kopf hält, dass
Kreiselachse und Symmetrieachse vom Loisl fluchten.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Doppelwürfel (SS04)
Gegeben sind ein Würfel bestehend aus 12 dünnen Stangen der Länge l0 und der
Masse m0 , sowie ein Würfel bestehend aus 6 quadratischen Flächen der
Kantenlänge l0 und ebenfalls der Masse m0 .
a) Berechnen Sie die Massenträgheitsmomente J 0 beider Würfel.
b) Die Würfel sind nun über eine masselose Öse an den Spitzen verbunden so daß
die Raumdiagonalen beider Würfel fluchten. Dieses Gebilde kann sich unter dem
Einfluß der Schwerebeschleunigung g um diese Öse drehen.
In welcher Stellung hat der Doppelwürfel die größtmögliche potentielle Energie?
c) Wenn der Doppelwürfel vom Zustand größtmöglicher potentieller Energie in den
Zustand kleinstmöglicher potentieller Energie übergeht, welche Kreisfrequenz ω
erreicht er dann?
d) Wenn der Doppelwürfel unter dem Einfluß der Schwerebeschleunigung g kleine
Schwingungen um die Ruhelage ausführt, welche Kreisfrequenz ω0 haben diese
Schwingungen?
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
JoJo (WS03/04)
Ein dünnwandiger Zylinder mit Radius R und Masse m0 sowie zwei dünne,
homogene Scheiben mit Radius 2 R und ebenfalls jeweils Masse m0 bilden ein JoJo.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J 0 dieses JoJos bezüglich der Achse
senkrecht zur Scheibenebene durch den Schwerpunkt (Rotationsachse).
b) Das JoJo wird mit masselosem Faden bewickelt und kann im Schwerefeld unter
dem Einfluß der der Schwerebeschleunigung g abrollen.
Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit vS
nach dem eine Strecke s abgewickelt ist.
Verwenden Sie folgende Zahlenwerte:
R = 0.01 m ; s = 0.075 m ;
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Quadrat (SS03)
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a und der Flächendichte σ . Das
Quadrat hat die unten skizzierten Durchbrüche bzw. die schraffierten Teile sind
ausgestanzt.
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 bezüglich einer Achse senkrecht zur
Fläche (also senkrecht zur Zeichenebene).
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Würfel (WS02/03)
Gegeben ist ein Würfel, bestehend aus 6 dünnen, homogenen, quadratischen
Flächen mit der Seitenlänge a und der Masse m0 .
a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 für eine Fläche bezüglich einer
Achse senkrecht zur Fläche.
b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des Würfels bezüglich einer Achse
durch den Schwerpunkt des Würfels.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Speichenrad (SS02)
12 Stäbe der Länge l0 und Masse m0 bilden ein Rad mit 6 Speichen und 6 Felgen.
a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 dieses Rades bezüglich einer
Achse senkrecht zur Radebene durch den Schwerpunkt.
b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des Rades bezüglich einer Achse in
der Radebene durch den Schwerpunkt.
Zwei gegenüberliegende Speichen sollen auf der Bezugsachse liegen.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Kugelschale in sechskantiger Säule (WS01/02)
Gegeben ist eine dünne Kugelschale der Masse M = 12 ⋅ m und Radius R , sowie 12
dünne Stäbe der Masse m und der Länge l = 2 ⋅ R . Die Stäbe bilden eine sechskantige
Säule der Höhe h = 2 ⋅ R und diese Säule umhüllt die Kugel.
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 dieser Anordnung bezüglich des
Schwerpunktes.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Kugelschale in Würfel (SS01)
Gegeben ist ein Würfel dessen 12 Kanten durch identische idealisierte Stäbe der
Länge a und Masse m gebildet werden. In diesem Würfel befindet sich eine
idealisierte dünne Kugelschale mit dem Durchmesser a und der Masse M = 12 ⋅ m .
Würfel und Kugelschale besitzen den gleichen Mittelpunkt.
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J 0 dieser Anordnung bezüglich einer
Achse Ihrer Wahl durch den Schwerpunkt.
Institut für
mathematisch-naturwissenschaftliche
Grundlagen (IFG)
www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung
Mechanik/Massenträgheit
Scheibe mit Bohrungen (WS00/01)
Gegeben sei eine Scheibe mit Radius R , Dicke d und konstanter Massendichte ρ
R
sowie sieben gleichartigen Durchbrüchen mit Radius r = .
3
a) Berechnen Sie die Gesamtmasse M sowie das Trägheitsmoment J 0 bezüglich der
Symmetrieachse senkrecht zur Scheibenebene.
b) Berechnen Sie eine symmetrische Hantel (2 Massenpunkte, masselose
Verbindungsstange) mit gleicher Masse und gleichem Trägheitsmoment wie die
oben betrachtete Scheibe.
c) Diese Scheibe rollt nun unter dem Einfluß der Schwerekraft ohne zu gleiten über
eine identische fest verankerte Scheibe ab. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich die
bewegliche Scheibe im oberen Totpunkt in Ruhe.
Berechnen Sie die Orte, an denen die rollende Scheibe
-den Kontakt zur festen Scheibe verliert
-auf der Horizontalen auftrifft.