T.A. Knie - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl I Analysis
Seminar Sommersemester 13:
Analysis III
Lehramt Gymnasium
Dr. Thomas Dohnal
Partielle Summation
gehalten von Tillmann Knie
Inhaltsverzeichnis
1 Abstract DE
1
2 Abstract EN
1
3 Problem und Motivation
1
4 Vorbereitung
2
5 Dirichletsches- und Abelsches-Konvergenzkriterium
3
6 Abelscher Grenzwertsatz
7
2
1
Abstract DE
In dieser Arbeit wird, wie es schon dem Titel zu entnehmen ist, die Partielle
Summation eingeführt um mit Ihrer Hilfe einige Konvergenzaussagen über Potenzreihen zu treffen. Dabei ist der Abelsche Grenzwertsatz der zentrale Punkt auf
den hin gearbeitet wird. Mit seiner Hilfe lässt sich zeigen ob eine auch auf dem
Rand konvergente Reihe, dort auch den wahren Wert annimmt, ob also auch die
Stetigkeit in den Randpunkten erhalten bleibt.
2
Abstract EN
This script introduces the summation by parts, to prove some conclusions about
convergence of power series. Abel’s theorem is the central theorem we are working
towards. With it’s help we are able to prove, if a power series wich is convergent
at the border, also delivers the right value in this points.
3
Problem und Motivation
Die Partielle Summation, im englischen ”summation by parts” genannt, ist eine
vereinfachende Umformung einer Summe von Produkten. Sie geht zurück auf
den norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829). Die Formel der
Partiellen Summation wird auch Abels Lemma genannt, welches wir im Folgenden genauer betrachten werden. In der Theorie der unendlichen Reihen ist die
Partielle Summation von ähnlicher Bedeutung wie die Partielle Integration für
die Integralrechnung. Mit Ihrer Hilfe können zahlreiche Aussagen über die Konvergenz von Reihen gezeigt werden. Wir werden dabei auch auf den Abelschen
Grenzwertsatz stoßen. Welcher der eigentliche zentrale Punkt dieser Arbeit ist.
Mit seiner Hilfe wollen wir Beispielsweise die Identität
log(1 − z) = −
∞
X
zk
k=1
k
diskutieren. Die Reihe hat Konvergenzradius 1 und beide Seiten erfüllen die gleiche Differentialgleichung erster Ordnung. Zudem haben sie den gleichen Wert für
z = 0. Somit sind beide Seiten gleich für |z| < 1. Nun ist die Frage jedoch was in
P
zk
den Randpunkten passiert. Nur weil − ∞
bei z = −1 konvergiert zeigt dies
k=1
k
noch nicht, dass sie für z = −1 tatsächlich den Wert log(2) annimmt. Die Frage
ist nun also, wie können wir zeigen, ob die Reihe in ihren Randpunkten liefert,
was wir durch das Konvergenzverhalten erwarten. Ob also beispielsweise für eine
Konvergente Reihe mit Konvergenzradius 1
∞
X
k=0
ak = lim
x↑1
gilt.
1
∞
X
k=0
ak x k
4
Vorbereitung
Abels Lemma Für n < m ∈ Z seien Zahlen (ck )n+1≤k≤m+1 und (sk )n≤k≤m ⊆ C
gegeben. Dann gilt:
m
X
ck (sk − sk−1 ) = cm+1 sm − cn+1 sn −
k=n+1
m
X
(ck+1 − ck )sk
k=n+1
[Beweis]
Wir zerlegen die linke Summe in 2 Teilsummen und transformieren den Index der
zweiten von k nach k + 1.
Daraus ergibt sich folgendes:
m
X
ck (sk − sk−1 ) =
k=n+1
m
X
ck s k −
k=n+1
=
m
X
ck s k −
k=n+1
m
X
ck sk−1 =
k=n+1
m
X
m
X
ck s k −
k=n+1
m−1
X
ck+1 sk
k=n
ck+1 sk + cm+1 sm − cn+1 sn =
k=n+1
cm+1 sm − cn+1 sn −
m
X
(ck+1 − ck )sk
k=n+1
Und es ergibt sich, was zu zeigen war.
Vergleich part. Summation/Integration
Wie bereits erwähnt, ist die partielle Summation ähnlich zur partiellen Integration.
m
m
X
X
ck (sk − sk−1 ) = cm+1 sm − cn+1 sn −
sk (ck+1 − ck )
k=n+1
Z
k=n+1
m
Z
0
m
c(k)s (k)dk = c(m)s(m) − c(n + 1)s(n + 1) −
n+1
s(k)c0 (k)dk
n+1
Wir untersuchen nun, auf einer Menge M definierte, Funktionsreihen, im Hinblick
auf gleichmäßige Konvergenz. Zu Beginn allerdings noch einige wichtige Wiederholungen
Definition Partialsumme Sei (an )n∈N ⊂ R eine Folge. Für n ∈ N sei die Summe
sn (z) :=
n
X
ak (z) = a1 (z) + ... + an (z) (n ∈ N)
k=1
sn heißt n-te Partialsumme. Diese Partialsummen bilden selbst wieder eine Folge
(sn )n∈N ⊂ R (oder C). Zudem sei s−1 (z) := 0.
2
Cauchy-Kriterium Eine Reihe
wenn das Cauchy-Kriterium
P
ak ist genau dann gleichmäßig konvergent,
m
X
∀ ε > 0 ∃ no ∈ N ∀ m > n ≥ n0 :k
ak k< ε
k=n+1
erfüllt ist. Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen. Nach diesen Wiederholungen, können wir nun mit den Konvergenzaussagen beginnnen.
5
Dirichletsches- und Abelsches-Konvergenzkriterium
P∞
Hilfssatz Eine
Reihe
k=0 ak (z)ck (z) konvergiert gleichmäßig, falls
P
a) die Reihe ∞
s
(z)(c
k (z) − ck+1 (z)) gleichmäßig konvergiert und
k=0 k
b) die Folge (sn (z)cn+1 (z)) gleichmäßig konvergiert.
[Beweis]
P
Wir betrachten die Partialsummen von nk=0 ak (z) Dies liefert:
sn (z) :=
n
X
ak (z) = a1 (z) + ... + an (z)
k=1
betrachte nun sk und sk−1 daraus ergibt sich
ak (z) = sk (z) − sk−1 (z)
Wir nehmen Abels Lemma zur Hilfe und erhalten folgendes:
m
X
k=0
ak (z)ck (z) =
m
X
(sk (z) − sk−1 (z))ck (z) =
k=0
cm+1 (z)sm (z) − cn+1 (z)sn (z) −
m
X
(ck+1 (z) − ck (z))sk (z)
k=n+1
wegen der Indextransformation folgt n = −1 also:
cm+1 (z)sm (z) −
m
X
(ck+1 (z) − ck (z))sk (z)
k=0
Wenn also wie in der Voraussetzung beide Teile gleichmäßig konvergieren, so
konvergiert auch
∞
X
ak (z)ck (z)
k=0
gleichmäßig.
3
P
Dirichletsches Konvergenzkriterium Eine Reihe ∞
k=0 ak (z)ck (z) konvergiert
gleichmäßig, falls
a) die Folge ksn k beschränkt ist und
b) die Funktionen ck reellwertig sind, sowie c1 ≥ ... ≥ ck ≥ ck+1 ≥ ... ≥ 0 also
monoton fallend und kck k −→ 0 erfüllen.
[Beweis]
a) Gilt ksk k ≤ A für k ∈ N0 , so folgt
ksk ck+1 k ≤ Akck+1 k −→ 0 da eben (ck ) monoton fallende Nullfolge ist. Die
Folge (sk ck+1 ) konvergiert somit gleichmäßig, was die zweite Bedingung aus dem
vorherigen Satz erfüllt. Wir haben nun also eine Bedingung für die gleichmäßige
Konvergenz der Reihe gezeigt.
P
b) Um auch den zweiten Teil zu zeigen, schätzen wir die Reihe m
k=n sk (z)(ck (z)−
ck+1 (z)) mit Hilfe von A aus a) ab und können später aus dem Cauchy-Kriterium
die gleichmäßige Konvergenz folgern. Daher gilt für 0 ≤ n < m ∈ N und z ∈ M
wegen der Monotoniebedingung in b)
m
m
X
X
|sk (z)| (ck (z) − ck+1 (z))
sk (z)(ck (z) − ck+1 (z)) ≤
k=n
k=n
≤
m
X
m
m
X
X
ck+1 (z))
ck (z) −
A(ck (z) − ck+1 (z)) = A(
k=n
k=n
k=n
= A(cn (z) − cm+1 (z))
also gilt weiter
k
m
X
sk (ck − ck+1 ) k ≤ A k cn − cm+1 k
k=n
Da A fest ist und k cn − cm+1 k−→ 0, können wir also für ein ε > 0 entsprechend
ein n0 mit n0 ≤ n < m wählen, so dass uns das Cauchy-Kriterium die gleichmäßige Konvergenz unserer Reihe liefert. Es gilt also die Abschätzung
k
m
X
sk (ck − ck+1 ) k ≤ Aε
k=n
Somit ist die Behauptung des Dirichletschen Konvergenzkriteriums bewiesen.
Folgerung Da das Cauchy-Kriterium auch für Folgen komplexer Zahlen gilt,
können wir zusätlich aus dem Vorherigen Satz eine Aussage
über die Konvergenz
P
von Reihen komplexer Zahlen treffen. Eine Reihe k≥0 ak ck komplexer Zahlen
konvergiert, falls P
a) die Folge (sn = nk=0 ak ) beschränkt ist und
b) die Folge (ck ) ⊆ R eine monoton fallende Nullfolge ist.
4
Beispiel Erinnern wir uns an die Leibnizkriterien,
Ist (fk ) ⊆ F(M, R) eine P
Funktionenfolge mit fk ≥ fk+1 ≥ 0 und k fk k→ 0, so ist
die alternierende Reihe (−1)k fk gleichmäßig konvergent.
so fällt auf, dass das Dirichletsche-Konvergenzkriterium eine Verallgemeinerung
dessen ist.
Wir können mit dem Dirichletschen-Konvergenzkriterium nun zeigen, dass die
Reihe
n
X
eikx
k
k=1
auf dem Intervall [γ, 2π − γ] gleichmäßig konvergiert mit 0 < γ < π und x ∈
[γ, 2π − γ]. Dazu setzen wir ck = k1 und ak = eikx . Damit wären Voraussetzung b)
des Dirichletschen-Konvergenzkriteriums
schon erfüllt. Es bleibt noch zu zeigen,
P
dass | nk=1 eikx | nach oben beschränkt ist.
n
n
X
X
ikx
ix k
e = (e ) − 1
k=1
k=0
1 − einx eix − 1 + eix 1 − eix(n+1)
− 1 = = 1 − eix
1 − eix
1 − einx 1 − einx e−ix/2 =
= eix 1 − eix 1 − eix e−ix/2 |e ix(2n−1)
e−ix/2 − e ix(2n−1)
2
2
| + |e−ix/2 |
≤
= −ix/2
e
− eix/2 |eix/2 − e−ix/2 |
≤
2
|2i|
= ix/2
−ix/2
−e
|
|e
− e−ix/2 |
1
1
≤
= sin (x/2)
sin (γ/2)
|eix/2
Somit ist also die Reihe der ak für [γ, 2π − γ] also beschränkt, was noch zu
zeigen war. Aus dem Dirichletkriterium folgt dann, dass die Reihe tatsächlich
gleichmäßig konvergiert.
Es folgt ein weitere Konvergenzaussage
P
Abelsches Konvergenzkriterium Eine Reihe k≥0 ak (z)ck (z) konvergiert gleichmäßig, falls
P
a) die Reihe k≥0 ak (z) gleichmäßig konvergiert und
b) die Funktionen ck reellwertig sind, stets ck ≥ ck+1 gilt und die Folge k ck k
beschränkt ist.
5
[Beweis]
P
Wir benutzen wieder Abels Lemma, mit S := ∞
n=1 an ergibt sich aus der Summation dann
m
X
m
X
ak ck = sm cm+1 − sn cn+1 −
k=n+1
sk (ck+1 − ck )
k=n+1
Nun wenden wir einen Trick an, indem wir 0 addieren, was uns eine Umordnung
des Ausdrucks ermöglicht.
sm cm+1 − sn cn+1 −
m
X
sk (ck − ck+1 ) +
k=n+1
m
X
S(ck+1 − ck ) − Scm+1 + Scn+1
k=n+1
{z
=0
|
= (sm − S)cm+1 − (sn − S)cn+1 −
m
X
}
(sk − S)(ck+1 − ck )
k=n+1
Wir wählen nun zu ε > 0 ein N so groß, dass k sk − S k≤ ε ist, für k ≥ N . Zudem
sei N ≤ n < m. Da (ck ) monoton fallend für jedes x ist, folgt weiter
m
X
ak (x)ck (x) ≤ |(sm − S)| |cm+1 | + |−(sn − S)| |cn+1 |
{z
} | {z }
| {z } | {z } |
k=n+1
≤ε
≤M
≤ε
≤M
X
m
|(sk − S)| |(ck − ck+1 )|
+ −
k=n+1 | {z }
≤ε
X
m ck − ck+1 = 2εM + ε(cn+1 − cm+1 )
≤ 2εM + ε {z }
k=n+1 | >0
≤ 2εM + ε(|cm+1 | + |cn+1 |) ≤ 4εM
| {z } | {z }
≤M
≤M
Mit dem Cauchy-Kriterium folgt nun die gleichmäßige Konvergenz von
X
ak (z)ck (z)
k≥0
.
P
Folgerung Eine
Reihe
k≥0 ak ck komplexer Zahlen konvergiert, falls
P
a) die Reihe k≥0 ak konvergiert und
b) die Folge (ck ) ⊆ R monoton und beschränkt ist.
Anwendung des Abelschen Konvergenzkriteriums Eine Aufgabe, welche
mit dem Abelschen Konvergenzkriterium nun zu lösen wäre, ist die folgende.
6
ak
konvergiert. Als Voraussetzung ist bereits
log k
P
1
gegeben, dass die Reihe k≥2 ak konvergiert. Wir betrachten also ck =
.
log k
Wir kennen die folgenden Eigenschaften des Logarithmus.
a) (0, ∞) → R also ist ck reellwertig
b) der Logarithmus ist stetig
c) er wächst streng monoton
d) und er beschreibt eine bijektive Abbildung
Wir können also daraus folgern, dass unser ck gegen 0 konvergiert und stets
reellwertig ist. Zudem gilt sogar, dass (k ck k) beschränkt ist. Es sind also alle
Voraussetzungen für das Abelsche Konvergenzkriterium gegeben. Also gilt:
X ak
Überprüfe, ob die Reihe
P
k≥2
k≥2
log k
konvergiert.
Im Inneren des Konvergenzintervalls, definieren reelle Potenzreihen differenzierbare und somit stetige Funktionen. Auch in manchen Randpunkten liegt noch
Konvergenz vor. Ob dort auch die Stetigkeit erhalten bleibt und somit die Reihendarstellung auch in diesen Punkten den Richtigen Wert liefert, können wir
mit dem folgenden Satz klären.
6
Abelscher Grenzwertsatz
P
Abelscher Grenzwertsatz Es sei k≥0 ak eine konvergente Reihe. Dann konP
vergiert die Potenzreihe k≥0 ak xk gleichmäßig auf [0, 1]. Insbesondere gilt
∞
X
k=0
ak = lim
x↑1
∞
X
ak x k
k=0
.
[Beweis]
Auf dem Intervall [0, 1] können wir die gleichmäßige Konvergenz der Reihe dank
des Abelschen Konvergenzkriteriums leicht folgern. Auf [0, 1] gilt xk ≥ xk+1 und
kxk k[0,1] ≤ 1 die ck sind also eine monoton fallend und beschränkt. Die gleichmäßige Konvergenz können wir also wie angekündigt aus dem Abelschen Konvergenzkriterium schlussfolgern. Es bleibt nun noch zu zeigen, dass die Stetigkeit
auch am Rand erhalten bleibt. Dies erhalten wir aus einem Theorem der Analysis
I, da eine Grenzfunktion f ∈ F(I) stetig ist, falls alle fn ⊆ F(I) stetig sind und
die Folge gleichmäßig auf einem Intervall I ⊆ R gegen f konvergieren.
P
Folgerung Die Potenzreihe k≥0 ak (z − a)k habe den Konvergenzradius 0 < ρ <
∞, und sie konvergiere gleichmäßig auf einer Menge Z ⊆ Sρ (a). Dann konvergiert
7
die Reihe auch gleichmäßig auf der Menge [a, Z] := {a + r(ζ − a)|0 ≤ r ≤ 1, ζ ∈
Z}, und es gilt
∞
X
k
ak (ζ − a) = lim
r↑1
k=0
∞
X
ak rk (ζ − a)k , ζ ∈ Z
k=0
[Beweis] P
Die Reihe k≥0 ak rk (ζ − a)k konvergiert nach dem Abelschen Konvergenzkriterium gleichmäßig auf [0, 1] × Z
Anwendung des Abelschen Grenzwertsatzes Wir Prüfen nun die zu Beginn
genannte Gleichung
∞
X
zk
log(1 − z) = −
k
k=1
Nach dem Dirchichletschen Konvergenzkriterium
konvergiert die Reihe, da die
Pn
iϕ
Folge der Partialsummen von
beschränkt ist. Dies wird mit der Gek=1 e
1
eine reellwertige monoton fallende
ometrischen Reihe gezeigt. Zudem stellt
k
Nullfolge mit ||ck || → 0 dar. Außnahme ist nur z = 1. Somit gilt auch für
ϕ ∈ [γ, π − γ], 0 < γ < π
−
∞
X
eiϕk
k=1
k
= − lim
r↑1
∞
X
rk eiϕk
k=1
k
also
lim log(1 − reiϕ ) = log(1 − ei ϕ)
r↑1
und mit obriger Gleichung folgt nun eben
iϕ
log(1 − e ) = −
∞
X
eiϕk
k=1
k
Nun betrachten wir dies für ϕ = π
−
∞
X
eiϕk
k=1
k
=−
∞
X
cos(πk) + i sin(πk)
k=1
k
=−
∞
X
cos(πk)
k=1
k
π
= log(2 sin( )) = log(2)
2
Dies kann auch durch Trennung von Real- und Imaginärteil vereinfacht werden.
(1)
P∞ cos kϕ
ϕ
= − ln(2 sin ) ϕ ∈ (0, 2π)
k=1
k
2
(2)
P∞ sin kϕ
π−ϕ
=
ϕ ∈ (0, 2π)
k=1
k
2
Zudem ergeben sich aus obigen speziell weitere interessante Ergebnisse für ϕ =
z.B.
(2)
sin(k π2 )
k=1
k
P∞
= 1 − 13 + 51 − ... =
π−
2
8
π
2
=
π
4
π
2
Literaturverzeichnis
- Kaballo, W., Einführung in die Analysis 1 (2. Auflage) (2000), Spektrum,
Heidelberg, Berlin
- Storch, U., und Wiebe, H., Lehrbuch Der Mathematik, Band 1: Analysis Einer
Veränderlichen. (2003), Spektrum.
- Königsberger, K., Analysis 1 (2. Auflage) (1992), Springer, Heidelberg, Berlin,
New York
- Heuser, H., Lehrbuch der Analysis (6. Auflage (1989), Teubner
- www.mathi.uni-heidelberg.de/ busam/analysis1+2/analysis-skript.pdf
- Conrad, K., Boundary behavior of power series: Abel’s theorem
9