Übersicht Kapitel 13: Evolutionäre Spieltheorie Einleitung Evolutionäre Biologie Evolutionäre Spieltheorie: Idee Gefangenendilemma (Beispiel) Evolutionäre Stabilität Beispiele Wiederholtes Gefangenendilemma Chicken-Spiel Koordinationsspiel Kapitel 13 1 Kapitel 13 Übersicht 2 Rationalität als zentrale Annahme der Spieltheorie. Sinnvoll in vielen ökonomischen Zusammenhängen Empirisch bestätigt? Einleitung Können wir diese Annahme fallen lassen? Was sind die Alternativen? Kapitel 13 Einleitung 3 Kapitel 13 Einleitung 4 Alternative: Biologische Evolutionstheorie Keine Rationalität, da keine bewussten Entscheidungen gefällt werden. Evolutionäre Biologie „Gute“ Strategien werden gegenüber „schlechten“ belohnt. „Gute“ Strategien erhöhen die Fitness der Anwender und vermehren sich dadurch stärker in der Bevölkerung. Kapitel 13 Einleitung 5 Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 6 Grundlagen der evolutionären Biologie Fitness Tierisches Verhalten ist weitgehend genetisch bestimmt. Fitness: Mass für den Erfolg eines Phänotypen. Einige Phänotypen passen besser zu den herrschenden Umweltbedingungen als andere. Zusammenwirken der Gene bestimmt eine Verhaltensweise. Phänotyp: Spezielles Verhaltensmuster, welches durch ein oder mehrere Gene bestimmt wird. Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 7 Kapitel 13 Evolutionäre Biologie Selektion 8 Mutationen Der Zufall produziert Mutationen: Es entstehen neuen Phänotypen. Selektion: Ändert die Zusammensetzung der Phänotypen. Anzahl der Tiere mit einer höheren Fitness nimmt zu, weil sie relativ mehr Nachkommen haben. Fitness und Selektion bestimmen den Erfolg der Mutanten. Die meisten Phänotypen, welche durch eine Mutation entstehen, sind schlecht an die Umwelt angepasst und verschwinden unmittelbar wieder. Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 9 Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 10 Evolutionäre Stabilität Von Zeit zu Zeit entsteht ein neuer Phänotyp, der besser an die Umwelt angepasst ist. Ein Phänotyp wird evolutionär stabil genannt, wenn keine Mutanten den Phänotypen verdrängen können. Der Mutant kann in eine bestehende Population von Phänotypen eindringen und erreicht einen signifikanten Anteil in der Bevölkerung. Eine Population heisst monomorph, wenn sie aus nur einem Phänotypen besteht. Eine Population heisst polymorph, wenn sie aus mehreren Phänotypen besteht. Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 11 Kapitel 13 Evolutionäre Biologie 12 Evolutionäre Spieltheorie: Anwendung der evolutionären Biologie auf Strategien. Strategien werden nicht mehr vom Spieler durchdacht, vielmehr sind sie angeboren. Evolutionäre Spieltheorie: Idee Fitness und Selektion bestimmen dann den „Erfolg“ der Strategie. Kapitel 13 Evolutionäre Spieltheorie:Idee 13 Wir nutzen die evolutionäre Spieltheorie, um die Annahme der Rationalität vollständig fallen zu lassen. Kapitel 13 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 14 Interpretation „erben“: Spieler treffen keine bewussten Entscheidungen, da sie die Strategien „erben“. Akteure erhalten Strategien mittels nichtgenetischer Prozesse: z.B. Imitation, Erziehung etc.. Spieler müssen daher nicht rational sein: sie müssen die Welt nicht verstehen. Fitness beinhaltet Gewinne, Macht, Prestige usw. und nicht das Überleben als solches. Kapitel 13 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 15 Evolutionär stabile Strategie Populationsdynamik 16 Der Ansatz der evolutionär stabilen Strategien versucht einen Bevölkerungszustand zu beschreiben, unter dem sich keine alternative Strategie (eine “Mutation”) in der Bevölkerung ausbreiten kann. Das sind unsere neuen „Prognosetools“ Evolutionäre Spieltheorie: Idee Evolutionäre Spieltheorie: Idee Der Ansatz der Populationsdynamik betrachtet dynamische Prozesse, die beschreiben wie sich die relative Häufigkeit, mit den unterschiedlichen Strategien in einer Bevölkerung, im Zeitablauf ändern. Das Nashgleichgewicht wird ersetzt durch zwei Konzepte: Kapitel 13 Kapitel 13 17 Kapitel 13 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 18 „Evolutionary Theory of Gravitation“ Question: Why does an apple fall from the tree to the earth? Answer: Originally, apples that came loose from trees went in all directions. But only those that were genetically predisposed to fall to the earth could reproduce. Kapitel 13 Evolutionäre Spieltheorie: Idee 19 Kooperierende: Gestehen nicht Abweichende: Gestehen Gefangenendilemma 20 Zufälliges Aufeinandertreffen vs. geordnetes Aufeinandertreffen. Spieler können Strategie nicht wählen: Sie werden als Kooperierende oder Abweichende „geboren“. Gefangenendilemma Kapitel 13 Um die durchschnittliche Auszahlung (Fitness) einer Strategie zu bestimmen, braucht es ein Modell der Interaktion innerhalb der Bevölkerung. Bevölkerung besteht aus 2 Phänotypen Kapitel 13 Gefangenendilemma Wir betrachten das einfachste Modell der Interaktion innerhalb einer Bevölkerung. 21 Kapitel 13 Für jedes Individuum in der Bevölkerung gilt: die Wahrscheinlichkeit, dass er auf ein Individuum mit einer gegebenen Verhaltensweise trifft, entspricht genau der relativen Häufigkeit dieser Verhaltensweise in der Bevölkerung. Gefangenendilemma 22 SPALTE 1-x Gestehen x Kooperieren Gestehen 10 yr, 10 yr 1 yr, 25 yr Kooperieren 25 yr, 1 yr 3 yr, 3 yr ZEILE x = Wahrscheinlichkeit auf einen Kooperierenden zu treffen Sei x der Anteil kooperierender Spieler (Phänotyp „nicht gestehen“). Kapitel 13 Gefangenendilemma 23 (1 – x) = Wahrscheinlichkeit auf einen nicht kooperierenden zu treffen Kapitel 13 Gefangenendilemma 24 Evolutionär stabile Strategie Erwartete Freiheitsstrafe für kooperieren 3x + 25(1 – x) = 25 – 22x Die Strategie „gestehen“ erwartet eine geringere Haftstrafe für jedes x ∈ (0,1). In einer Population in der alle Spieler „gestehen“, kann damit die Mutation „kooperieren“ nicht erfolgreich eindringen. Falls „kooperieren“ per Zufall entsteht, wird sie unmittelbar wieder verdrängt. Die Strategie „gestehen“ ist damit evolutionär stabil (ESS) im Gefangenendilemma. Erwartete Freiheitsstrafe für gestehen x + 10(1 – x) = 10 – 9x Für jedes 0 ≤ x ≤ 1 gilt: 10 – 9x < 25 – 22x 13x < 15 Kapitel 13 Gefangenendilemma 25 Kapitel 13 Gefangenendilemma 26 Populationsdynamik Im Gegensatz dazu ist die Strategie „kooperieren“ nicht evolutionär stabil. Sei x der Anteil Spieler die anfänglich nicht gestehen. Wie ändert sich x über die Zeit? Da für jedes x „gestehen“ eine geringere Haftstrafe erzielt als „ kooperieren“ wird x über die Zeit abnehmen. Dieser Prozess hört erst auf, wenn es nur noch Spieler gibt, welche gestehen. Daher ist nur x = 0 ein Gleichgewicht (stabiler Zustand) der Populationsdynamik. In einer Population in der alle Spieler die Strategie „kooperieren“ anwenden, kann die Strategie „gestehen“ erfolgreich eindringen. Kapitel 13 Gefangenendilemma 27 Stabilität für reine Strategien Gefangenendilemma 28 Symmetrisches 2-Personen-Spiel in strategischer Form mit m Aktionen. Evolutionäre Stabilität für reine Strategien Kapitel 13 Kapitel 13 Zumeist betrachten wir den Fall m = 2. In biologischen Anwendungen ist die Betrachtung von 2-Personen-Spielen die Regel. 29 Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 30 Auszahlungsfunktion: verwendet in einer Interaktion ein Spieler die Aktion k so ist seine Auszahlung u(k, l) wenn sein Gegenspieler die Aktion l verwendet. Definition: Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede Aktion l ≠ k entweder u(k, k) > u(l, k) oder u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l) gilt. Wir betrachten in diesem Abschnitt den Fall, in dem jeder einzelne Spieler eine reine Strategie verwendet, d.h. eine der m Aktionen verwendet. Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 31 Es wird eine Situation betrachtet, in der die gesamte Bevölkerung die Aktion k verwendet. Wechselt nun ein Teil ε der Bevölkerung zu einer alternativen Aktion l ≠ k, so sind die durchschnittlichen Auszahlungen: (1 − ε)u(k, k) + εu(k, l) für die Aktion k (1 − ε)u(l, k) + εu(l, l) für die Aktion l Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 33 Gilt u(k, k) > u(l, k) wird die “Mutation” l verdrängt, da der erste Summand strikt positiv und der zweite Summand für hinreichend kleine ε diesen Effekt nicht umdrehen kann Gilt u(l, k) = u(k, k), so ist der Gesamtausdruck für ε > 0 genau dann strikt positiv, wenn u(k, l) > u(l, l) gilt. Stabilität für reine Strategien Stabilität für reine Strategien 32 Die Aktion k erzielt eine strikt grössere durchschnittliche Auszahlung als die Aktion l (und kann diese daher per Annahme aus der Bevölkerung verdrängen) falls (1 − ε) [u(k, k) − u(l, k)] + ε[u(k, l) − u(l, l)] > 0 gilt. Die Bedingungen in der Definition einer evolutionär stabilen Strategie sind genau diejenigen, die sichern, dass diese Ungleichung für alle hinreichend kleinen ε > 0 erfüllt sind. Kapitel 13 Kapitel 13 35 Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 34 Theorem: Ist k eine evolutionär stabile Strategie, so ist (k, k) ein NashGleichgewicht in reinen Strategien. Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 36 Das Theorem liefert eine Rechtfertigung für das Konzept des Nash-Gleichgewichts aus evolutionärer Sicht. Theorem: Ist (k, k) ein striktes Nash-Gleichgewicht so ist k evolutionär stabil. In einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ist (k, k) genau dann ein striktes Nash-Gleichgewicht, wenn u(k, k) > u(l, k) für alle l gilt. Die Rechtfertigung ist nur teilweise, da nur symmetrische Nash-Gleichgewichte einer evolutionär stabilen Strategie entsprechen können. nicht jedes Nash-Gleichgewicht evolutionär stabil ist. Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 37 Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien Insbesondere ist (k, k) ein striktes NashGleichgewicht – und damit k evolutionär stabil wenn k eine dominante Aktion ist (Beispiel: einfaches Gefangenendilemma). Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 38 Wiederholtes Gefangenendilemma 39 Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 40 Spiel für die Strategien A und T Zwei Wiederholungen SPALTE Wiederholtes Gefangenendilemma (zweimal) A 1-x Zwei Strategien Immer gestehen (A) Tit-for-tat (T) ZEILE T A 20, 20 11, 35 T 35, 11 6, 6 x x = Wahrscheinlichkeit auf einen T Spieler zu treffen (1 – x) = Wahrscheinlichkeit auf einen A Spieler zu treffen Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 41 Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 42 Evolutionär stabile Strategien Populationsdynamik Sei x der Anteil der tit-for-tat (T) Spieler. Wie ändert sich dieser Anteil über die Zeit? Die erwartete Freiheitsstrafe eines A Spielers beträgt 11x + 20(1 – x) = 20 – 9x. Die erwartete Freiheitsstrafe eines T Spielers ist 6x + 35(1 – x) = 35 – 29x. Wenn x > 3/4 : 35 – 29x < 20 – 9x (A, A) und (T, T) sind strikte Nashgleichgewichte in reinen Strategien. A und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS). Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 43 Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 44 Unfitness (Jahre im Gefängnis) 35 Unfitness des Typ T Wenn mehr als 75% der Bevölkerung schon vom Typ T ist, dann hat T eine höhere Fitness als A und wird zu 100% anwachsen (x = 1). 35 – 29x 20 Typ A Wenn weniger als 75% der Bevölkerung vom Typ T ist, hat A eine höhere Fitness und wird zu 100% wachsen (x = 0). 20 – 9x 11 6 1 0 Anteil x des Typs T in der Bevölkerung Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 45 Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 46 Ein polymorphes Gleichgewicht existiert, wenn die Bevölkerung exakt zu 75% aus T und zu 25% aus A besteht. Beide Typen besitzen dieselbe Fitness und vermehren sich proportional. Chicken-Spiel Dies ist ein Gleichgewicht, es ist aber nicht stabil. Einführung eines Mutanten eines Typs stürzt das Gleichgewicht. Kapitel 13 Wiederholtes Gefangenendilemma 47 Kapitel 13 Chicken-Spiel 48 Evolutionär stabile Strategien Ist Wimp eine ESS? B Wimp Macho Wimp 0, 0 -1, 1 Macho 1, -1 -2, -2 Wimp ist evolutionär stabil, falls u(Wimp, Wimp) > u(Macho, Wimp) A Es gilt u(Wimp, Wimp) = 0 und u(Macho, Wimp) = 1. Somit ist Wimp keine ESS. Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company Kapitel 13 Chicken-Spiel 49 Evolutionär stabile Strategien Kapitel 13 Chicken-Spiel 50 Jeder Typ hat eine höhere Fitness, wenn er in der Bevölkerung eine Minderheit repräsentiert. Ist Macho eine ESS? Jeder Typ kann somit erfolgreich in eine Bevölkerung eindringen, welche nur aus Spielern mit den anderen Phänotypen besteht. Macho ist evolutionär stabil, falls u(Macho, Macho) > u(Wimp, Macho) Es gilt u(Macho, Macho) = -2 und u(Wimp, Macho) = -1. Die reinen Strategien Wimp und Macho sind damit keine ESS. Somit ist Macho keine ESS. Kapitel 13 Chicken-Spiel 51 Evolutionär stabile Strategien 52 Definition: Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile Strategie, wenn für jede Aktion l ≠ k entweder u(k, k) > u(l, k) oder u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l) gilt. Ist die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ein ESS? Chicken-Spiel Chicken-Spiel Betrachten wir noch einmal die Definition einer EES. Das Chicken Spiel hat das symmetrische Nashgleichgewicht [(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)]. Kapitel 13 Kapitel 13 53 Kapitel 13 Stabilität für reine Strategien 54 Evolutionär stabile Strategien Evolutionär stabile Strategien Die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ist eine evolutionär stabile Strategie falls, Es gilt dass u[(0.5, 0.5), (1, 0)] = 0.5 und u[(1, 0), (1, 0)] = 0. u[(0.5, 0.5), i] > u(i, i) Es gilt auch dass u[(0.5, 0.5), (0, 1)] = -1.5 und u[(0, 1), (0, 1)] = -2. wobei i entweder Wimp = (1, 0) oder Macho = (0, 1) ist. Somit ist (0.5, 0.5) ein ESS. Kapitel 13 Chicken-Spiel 55 Populationsdynamik Chicken-Spiel 56 Typ Macho hat die höhere Auszahlung wenn: 1 – 3x > -x , d.h. wenn x < ½. Wenn die Bevölkerung also weniger als zur Hälfte aus Machos besteht, haben Machos eine höhere Fitness und der Anteil an Machos nimmt zu. (0.5, 0.5) ist ein polymorphes Gleichgewicht. Dieses Gleichgewicht ist stabil: nach einer kleine Änderung der Anteile gehen die Anteile wiederum auf (0.5, 0.5) zu. x = Anteil Machos, (1 – x) = Anteil Wimps Fitness eines Wimps: (0)(1 – x) + (-1)x = -x Fitness eines Machos: 1(1 – x) + (-2)x = 1 – 3x Kapitel 13 Kapitel 13 Chicken-Spiel 57 Kapitel 13 Chicken-Spiel 58 Fitness Vergleich mit klassischer Spieltheorie 1 Macho 1/2 0 Wimp 1 Anteil x an Machos Machos in Bevölkerung Klassische Spieltheorie: Das Chicken Spiel hat die drei Nashgleichgewichte [(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)], [(1, 0), (0, 1)] und [(0, 1), (1, 0)]. -1 Evolutionäre Spieltheorie: Die zwei reinen Strategien sind nicht evolutionär stabil. -2 Fitness Graphen und polymorphes Gleichgewicht für Chicken-Spiele Kapitel 13 Chicken-Spiel Die gemischte Strategie ist evolutionär stabil. Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company 59 Kapitel 13 Chicken-Spiel 60 Interpretationen unterscheiden sich: In der klassischen Spieltheorie mischen die Spieler. Koordinationsspiele In evolutionären Spielen ist die Bevölkerung eine Mischung aus ihren Phänotypen. Kapitel 13 Chicken-Spiel 61 Kapitel 13 Koordinationsspiele 62 Evolutionär stabile Strategien (M,M) und (T,T) sind strikte Nashgleichgewichte in reinen Strategien. B T M T 1, 1 0, 0 M 0, 0 2, 2 M und T sind damit evolutionär stabile Strategien (ESS). A Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company Kapitel 13 Koordinationsspiele 63 Kapitel 13 Evolutionär stabile Strategien Koordinationsspiele 64 Evolutionär stabile Strategien [(2/3,1/3), (2/3,1/3)] ist ein symmetrisches Nashgleichgewicht in gemischten Strategien. Da u((2/3,1/3), T) = 2/3 und u(T, T) = 1, ist die gemischte Strategie nicht evolutionär stabil. Die gemischte Strategie (2/3,1/3) ist eine ESS falls, u[(2/3,1/3), i] > u(i, i) wobei i entweder T = (1, 0) oder M = (0, 1) ist. Kapitel 13 Koordinationsspiele 65 Kapitel 13 Koordinationsspiele 66 Populationsdynamik Populationsdynamik T hat Fitness: x(1) + (1 – x)(0) = x Sei x > 2/3, dann konvergiert x gegen x = 1. Sei x < 2/3, dann konvergiert x gegen x = 0. M hat Fitness: x(0) + (1 – x)(2) = 2(1 – x) Instabiles Gleichgewicht der Populationsdynamik wenn x = 2/3. T hat grössere Auszahlung wenn x > 2/3 Instabil: jegliche Mutation von T oder M führt weg von x = 2/3. M wenn x < 2/3 Kapitel 13 Koordinationsspiele 67 Kapitel 13 Koordinationsspiele 68 Fitness 2 Vergleich mit klassischer Spieltheorie Typ M Typ T 0 2/3 Klassische Spieltheorie: Drei Nash Gleichgewichte [(1, 0),(1,0)], [(0,1), (0,1)], und [(2/3, 1/3), (2/3, 1/3)]. 1 Evolutionäre Spieltheorie: Die gemischte Strategie ist keine evolutionär stabile Strategie. Die reinen Strategien sind evolutionär stabile Strategien (ESS). 1 Anteil x an T Typen In der Bevölkerung Copyright © 2000 by W.W. Norton & Company Kapitel 13 Koordinationsspiele 69 Kapitel 13 Koordinationsspiele 70