Lösung 8

Festkörperphysik I
Prof. Klaus Ensslin
HS 2016
Verteilung: 9. November 2016
Nachbesprechung: 16./17. November 2016
8. Übungsblatt: Lösungen
Aufgabe 1: Energie freier Elektronen
a) Das reziproke Gitter des√quadratischen Gitters ist wieder ein quadratisches Gitter. Daher gilt nach
Pythagoras, dass k1 = 2k0 mit der Bezeichnung der Vektoren gemäss der Skizze. Die Energie ist
quadratisch im Wellenvektor, also gilt E1 ∝ k12 und E0 ∝ k02 und damit E1 = 2E0 .
k1
b) Im dreidimensionalen Fall gilt analog k1 =
k0
√
3k0 und damit E1 = 3E0 .
c) Die Elektronen suchen den niedrigsten freien Energiezustand auf. Sofern die Bandlücke am Mittelpunkt
der Seitenfläche der Brillouin-Zone nicht grösser ist als der Energieunterschied zwischen diesem Punkt
und einer Ecke der Brillouin-Zone, werden die Elektronen zunächst den entsprechenden Zustand am
Mittelpunkt der Seitenfläche in der zweiten Brillouin-Zone aufsuchen und somit erhält man ein nicht
vollständig gefülltes Band. Zweiwertige Metalle sind in diesem Falle Leiter und nicht Isolatoren.
Anmerkung: Auch wenn in dieser Aufgabe der Überlapp von Energiebändern betrachtet wird, begründen
wir das Ergebnis mit Abschätzungen für freie Elektronen. Dies ist für eine grobe Näherung ausreichend.
Aufgabe 2: Energie von Elektronen und Phononen im Festkörper
a) Der maximale Phononenwellenvektor befindet sich am Rand der Brillouinzone und ist im Fall des bccGitters am H-Punkt:
2π
kD =
= 1.5 · 1010 m−1 .
a
Um die maximale Energie zu bestimmen, berechnen wir zunächst die maximale Phononenfrequenz nach
dem Debye-Modell:
ωD = kD · v = 1.5 · 1013 s−1
und daraus die Energie
EF = ~ωD ≈ 9.8 meV.
b) Der maximale Wellenvektor wird mit dem bekannten Ausdruck für den 3D Fall berechnet:
(
)1/3
kF = 3π 2 n
= 9.2 · 109 m−1
wobei n = N/V = 1 · 2/a3 die Elektronendichte ist. Hier verwenden wir die Angabe, dass jedes Atom ein
Valenzelektron zur Verfügung steht und sich im bcc-Kristall 2 Atome pro Einheitszelle befinden.
Die Energie der Elektronen ergibt sich damit zu
EF =
~2 kF2
≈ 3.2 eV.
2m
c) Für den betrachteten Übergang ist sowohl eine Energieänderung als auch eine Änderung des Wellenvektors
nötig. Man spricht von einem indirekten Bandübergang.
Aus den oben berechneten Werten sehen wir, dass die Elektronenenergie die des Phonons um zwei
Grössenordnungen übertrifft. Sie wird nach dem Streuprozess daher kaum verändert und reicht daher
nicht aus, um das Elektron in das höherliegende Band zu bringen.
Der Wellenvektor des Elektrons dagegen kann durch die Wechselwirkung mit dem Phonon stark beeinflusst
werden und somit die erforderliche Änderung erreichen.
Um eine Anregung in das nächsthöhere Band zu realisieren, kann die Energie z.B. in Form von Photonen
eingebracht werden.
Aufgabe 3: Kronig-Penney-Modell der Energiebänder
Man verwendet als Ansatz ebene Wellen: Im Bereich 0 < x < a ist V (x) = 0, d.h.
ψk (x) = Aeiκx + Be−iκx
mit
κ2 =
2mE
,
~2
x ∈ (0, a).
Für die um eine Gitterkonstante verschobene Wellenfunktion gilt nach dem Bloch-Theorem
ψk (x) = eika ψk (x − a).
Also muss im Bereich x ∈ (a, 2a) gelten:
ψk (x) = eika [Aeiκ(x−a) + Be−iκ(x−a) ].
Zwischen diesen beiden Darstellungen muss man nun die Anschlussbedingungen finden.
Die Wellenfunktion ψ ist bei x = a stetig, nicht aber die Ableitung von ψ, wie man durch Integration der
Schrödinger-Gleichung von a − ϵ bis a + ϵ feststellt:
0
{
}
~2 ′′
= lim
dx Eψ(x) +
ψ (x) − V (x)ψ(x)
ϵ→0 a−ϵ
2m
{
}
∫ a+ϵ
~2 ′′
= lim
dx Eψ(x) +
ψ (x) − V0 δ(x − a)ψ(x)
ϵ→0 a−ϵ
2m
∫
a+ϵ
Damit ergibt sich:
~2 ′
~2 ′
ψ (a + 0) −
ψ (a − 0) + V0 ψ(a) = 0
wenn
ϵ → 0.
2m
2m
Die Wellenfunktion ψ ist bei x = a stetig und mit der Bedingung aus obiger Integration gilt:
ψ(a − 0) = ψ(a + 0)
′
′
ψ (a + 0) − ψ (a − 0) +
2m
V0 ψ(a) = 0.
~2
Insgesamt ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Aeiκa + Be−iκa = (A + B)eika
eika (iκA − iκB) − (iκAeiκa − iκBe−iκa ) +
oder in Matrix-Schreibweise:
[
−eika + eiκa
ika
iκa
iκ(e − eiκa ) + 2m
~2 V0 e
2m
V0 (Aeiκa + Be−iκa ) = 0,
~2
e−iκa − eika
ika
−iκa
−iκ(e − e−iκa ) + 2m
~2 V0 e
](
A
B
)
= 0.
Die Lösbarkeitsbedingung für dieses Gleichungssystem erhält man durch Nullsetzen der Determinaten:
0
−iκ(eiκa − eika )(eika − e−iκa ) − iκ(eika − eiκa )(e−iκa − eika )
2m
+ 2 V0 [(1 − ei(k−κ)a ) + (ei(κ+k)a − 1)]
~
2m
= −iκ(2ei(k+κ)a − 2 − 2e2ika + 2ei(k−κ)a ) + 2 V0 (eiκa − e−iκa )eika .
~
=
Daraus folgt nach Multiplikation mit e−ika und Division durch −4iκ die Eigenwertgleichung
cos(ka) = cos(κa) −
amV0 sin κa
≡ f (κa).
~2
κa
(1)
Diese Gleichung stellt eine Beziehung zwischen k und E her. Statt E vorzugeben und k auszurechnen, kann
man auch k vorgeben und E ausrechnen, was auf graphischem Wege machbar ist.
2
f(k*a), arb. units
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
k*a, arb. units
Wegen | cos(ka) |≤ 1 hat man für | f (κa) |> 1 keine Lösung der Eigenwertgleichung.
1.Fall:
E < 0 (gebundene Zustände), κ = iβ, β ∈ R+ ∗, β =| 2mE/~2 |1/2 .
Nun ist sin iβ = i sinh β, cos iβ = cosh β und
f (iβa) = cosh(βa) −
amV0 sinh(βa)
~2
βa
ist eine monoton wachsende, gerade Funktion, die bei β0 a grösser als 1 wird. Für Werte grösser als 1 gibt es
keine Lösung mehr. Es liegt also der gebundenene Grundzustand vor und es gilt:
| E |= β02
2. Fall:
~2
≡ E0 .
2m
E > 0, κ ∈ R+ ,
f (κa) ist gerade und die “Einsstellen” liegen bei κa = x mit
cos x −
amV0 sin x
=1
~2
x
Dies ist erfüllt für
sin
x
=0
2
d.h.
oder
−
amV0 2
x
x
x
sin cos = 2 sin2 .
~2 x
2
2
2
tan
x
amV0 1
=−
2
2~2 x/2
d.h. für (x1 )n = 2nπ und (x2 )n = 2nπ − ∆(nπ) mit
n ∈ N (n ̸= 0), wobei limn→∞ ∆(nπ) = 0.
0 sin x
Nun ist cos x − 2amV
= 1 für x = 2πn erfüllt,
~2
x
während für x geringfügig kleiner als 2π der Sinus
negativ wird. Dann wird die rechte Seite (siehe
Gl.1) grösser als 1 und es existiert keine Lösung
mehr.
Die “(−1)-Stellen” findet man analog bei
′
′
(x1 )n = (2n−1)π und (x2 ) = (2n−1)π−∆[(2n−1)π].
′
′
Zwischen (x2 )n und (x1 )n bzw. (x2 )n und (x1 )n
gibt es keine erlaubten Energieeigenwerte.
Die graphische Darstellung der Energie in
Abhängigkeit von der Wellenzahl k ist durch
”verbotene Zonen” charakterisiert, die mit wachsendem k immer kleiner werden. Teilchen mit Energien
in einer Lücke können keinen propagieren Zustand
einnehmen.
Das Spektrum zerfällt in erlaubte
Energiebereiche (Energiebänder) und unerlaubte
Energiebereiche (Energielücken oder Energiegaps).
Verständnisfragen zum Bloch-Theorem
a) Antwort A.
Die Periodizität der Wellenfunktion im k-Raum ist gegeben durch die Periodizität des Potentials (reziproke
Gittervektoren), aber unabhängig von Amplitude und Form des Potentials.
b) Antwort A.
Siehe 1.
c) Antwort C.
Die parabolische Dispersion des freien Elektronengases geht im quasi-freien Elektronengas von allen Punkten des reziproken Gitters aus. Somit entsteht die zweitunterste Bandlücke am Schnittpunkt mit der um
zwei reziproke Gittervektoren verschobenen Parabel. Die zweitunterste Bandlücke ist somit durch die
zweite Fourierkomponente bestimmt (vgl. Herleitung des Bloch-Theorems in der Vorlesung).