meeresoberfläche ist

I.
Schwerepotential und Integralformeln
I.1
Das Konzept "natürlicher" Koordinaten im Schwerefeld
Unter physikalischer Geodäsie versteht man das Studium der physikalischen Eigenschaften des Schwerefeldes des Körpers Erde bezüglich geodätischer Anwendungen, insbesondere hinsichtlich der Koordinatenbestimmungen von Festpunkten.
Das Schwerepotential W ( x iP ) der Erde bildet bezüglich eines erdverbundenen Koordinatensystems X eine skalare Raumfunktion.
Die Dimension des Potentials ist ( m=Meter ; s=Sekunde )
1) m2⋅s-2
2) geopotentielle Einheit 1gpu = 10 m2⋅s-2
Flächen gleichen Schwerepotentials
i
W ( x ) = const
nennt man Äquipotentialflächen des Erdschwerepotentials oder kurz Niveauflächen. Die ideelle Meeresoberfläche ist definiert als eine spezielle Niveaufläche
i
W ( x ) = W0 = const ;
sie wird Geoid genannt. Der Begriff der Äquipotentialfläche ist vor allem zur
Veranschaulichung des (abstrakten) Potentialbegriffs von fundamentaler Bedeutung.
W1
W1<W2
W2
Geoid
Erdoberfläche
Erdschwerpunkt
W=V+φ
Das Fliehkraftpotential ist Null entlang der Rotationsachse der Erde und wird größer für
Punkte P weiter entfernt von dieser Achse. Das Gravitationspotential wird kleiner, je
weiter man sich (z.B. längs einer Lotlinie) nach außen oder nach innen von der
Erdoberfläche entfernt.
Gekrümmte Linien, die alle Niveauflächen senkrecht durchdringen, werden Kraftlinien
des Erdschwerepotentials oder kurz Lotlinien genannt; sie führen alle zum
Erdschwerpunkt (Massenzentrum der Erde).
Hängt man in einem mit der sich drehenden Erde verbundenen Punkt P (also nicht etwa
z.B. in einem Satelliten) ein Lot auf, so bildet die Lotschnur die Tangente an der durch
den Punkt P laufenden Lotlinie. Das Lot zeigt nur näherungsweise zum
Erdschwerpunkt, da Lotlinien keine Geraden sind. Die Kraft, mit der das
Erdschwerepotential einen Lotkörper von der Masse 1 kg (Einheitsmasse) anzieht, wird
Schwerebeschleunigung oder kurz Schwere g P im Punkte P genannt; sie kann
unmittelbar im Punkte P gemessen werden (Anschauliche Vorstellung : Lot mit
Federwaage).
Lotrichtung und Schwerebeschleunigung werden zusammengefaßt zum SchwereH
beschleunigungsvektor g ,
 cos Φ cos Λ 
P
P


H
g = g P  cos ΦP sin Λ P 


sin ΦP


T
 eH   0 
 H1   
 e2  =  0 
H   
 e3   g P 
T
 eH 
 HΦ 
 eΛ 
H 
 eh 
Die Winkel Φ und Λ beschreiben die Lotrichtung bezüglich der Achsen eines globa-len
geozentrischen Systems X und werden astronomische Länge Λ und Breite Φ genannt;
beide Winkel kann man (indirekt) im Punkte P messen.
Niveauflächen
Lotlinie
Das Erdschwerepotential wird zerlegt entsprechend seiner beiden Ursachen in das
Erdgravitationspotential V und das Erdfliehkraftpotential φ,
Es seien Karten der Erde gegeben, in der Kontinente und Städte nach ihren
astronomischen Koordinaten Φ und Λ eingezeichnet sind, wobei anstelle von
Höhenlinien Äquidistanzlinien gleicher Schwere g angegeben sind. Ein
Navigator kann dann seine Position unmittelbar an Ort und Stelle feststellen,
jedoch nicht, in welcher Richtung und Entfernung ein angestrebtes Ziel liegt.
Horizontalentfernung, Horizontalwinkel und Höhen sind konventionell, d.h.
durch Konvention definierte Größen.
Es sei eine mathematische Funktion gegeben, die das Potential als Funktion kartesii
scher Koordinaten x beschreibt. Der Schwerevektor kann dann als Gradient der
i
skalaren Raumfunktion W ( x ) berechnet werden. Es ergibt sich
 ∂W / ∂x 1 


2
g = grad W = ∂W / ∂x 

3
 ∂W / ∂x 
T
e 
 1
 e2 
 
 e3 
I.2
Im Hinblick auf die mathematische Beschreibung des Schwerepotentials eines im Raum
rotierenden Körpers wie die Erde zerlegt man das Schwerepotential W in die Summe
von Fliehkraftpotential φ und Gravitationspotential V, also
W = V +φ
Das Fliehkraftpotential in einem Punkt P wird ausgedrückt durch
und damit die Meßgrößen g, Φ und Λ zu
 cos Φ cos Λ 


g  cos Φ sin Λ  =


 sin Φ 
Fliehkraftpotential der Erde
1
φ (t ) = ω 2 (t ) p 2 (t )
2
 ∂W / ∂x 1 


2
∂W / ∂x 

3
 ∂W / ∂x 
ω ( t ) ...
p( t ) ...
momentane Rotationsgeschwindigkeit des Körpers
Abstand des Punktes P von der momentanen Rotationsachse.
Man beachte:
oder zu
2
1)
1
tan Λ = ( ∂W / ∂ x ) / ( ∂W / ∂ x )
2
2
 ∂W   ∂W   ∂W 
g =  1  + 2  + 3 
 ∂x   ∂x   ∂x 
2
2)
2
 ∂W   ∂W 
tan Φ = (∂W / ∂ x 3 ) /  1  +  2 
 ∂x   ∂x 
3)
Die momentane Rotationsachse eines freien Körpers verläuft jederzeit durch
sein Massenzentrum (Schwerpunkt).
Die Richtung der Rotationsachse verlagert sich sowohl innerhalb des Körpers
(Polbewegung) als auch im Raum (Präzession, Nutation).
Die Rotationsgeschwindigkeit ist zeitlich variabel.
Als absolut gelagertes geodätisches Koordinatensystem wird jedes geodätische Koordinatensystem bezeichnet, dessen Ursprung im Massenzentrum der Erde liegt.
i
Sind die Koordinaten eines Punktes P( x ) auf der Erdoberfläche in einem globalen,
absolut gelagerten Koordinatensystem bekannt, so ist zunächst umzuformen
2
i
Das inverse Problem, die Berechnung der Koordinaten x aus dem Tripel ( g , Φ, Λ )
kann (oder kann nicht) eindeutig sein, führt aber sicherlich zu einem nicht-linearen
Problem, das iterativ gelöst werden muß. Die Lösungstechnik wird in Abschnitt II. 4
beschrieben.
Die Elemente des Größentripels ( g , Φ, Λ ) , manchmal auch des Tripels (W , Φ, Λ ) ,
werden als "natürliche" Koordinaten bezeichnet.
i
Die mathematische Beschreibung der Funktion W ( x ) ist Hauptaufgabe der physikalischen Geodäsie.
[x (t )] = [ P (t ) ][x ]
i
i
j
i
[ P (t )] = Polbewegungsmatrix
i
j
(orthogonale Matrix)
3
Sodann definiert man die Komponenten des Abstandsvektors p bezüglich der x Achse des Systems X durch
T
 p1 ( t )   x 1 ( t ) 
 x 1(t )   x 1(t ) 
 2   2 
 2   2 
2
,
( p( t ) ) =
 p (t) = x (t)
x (t) x (t)
 3  



 
 p (t)  0 
 0   0 
 x1 
 2
1
x  =
M
 3
 x 0
Die Komponenten des Fliehkraftvektors ergeben sich bezüglich des Systems X ( t )
mittels
 ∂φ / ∂x 
x (t ) 




H
2
2
2
2
∂φ / ∂x  = ω ( t ) x ( t )  = ω ( t ) p ( t )



3
 ∂φ / ∂x 
 0 
1
1
ω 2 0 0
∂ 2 φ / ∂x 1∂x 3 



∂ 2 φ / ∂x 2∂x 3  =  0 ω 2 0
 0
∂ 2 φ / ∂x 3∂x 3 
0 0
Die Matrixelemente sind die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen bezüglich
des Systems X ; bezüglich eines anderen Systems werden die anderen Komponenten
nicht Null.
Die Spur der Matrix ergibt folgende Gleichung :
∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
+
+
= ∆φ = 2ω 2
∂x 1∂x 1 ∂x 2∂x 2 ∂x 3∂x 3
Diese Gleichung wird Poissongleichung genannt.
Das Fliehkraftpotential wird unendlich groß für p → ∞,
1
3)
Q
K
1
[θ ] = M ∫∫∫ ρ
ij
 0
 
 0
 
 0
Q
[ R] Q dKQ
[ R] = [ x][ x] T
;
K
In Komponenten ausgedrückt ergibt sich [ R] zu
 0

[ R ] = − x 3
 2
x
(
x
2
−x   0

1
3
x  x
 2
0  − x
3
0
−x
1
 x 2 x 2 + x 3x 3

1 2
= − x x

1 3
 − x x
Gravitationspotential und Volumenintegrale; Laplace Gleichung
Folgende Volumenintegrale sind von wesentlicher Bedeutung in der Geodäsie
(
(
)
)
)
0
x
1
−x x
(x x
1
1
2
x 

1
−x 

0 
3
−x
2
3
+x x
2
−x x
1
3
3
)
1
3
2
3
−x x
−x x
(x x
1
1
2
+x x
2
)





Masse des Körpers
Beachte:
M = ∫∫∫ ρ Q dK Q ; dK Q = Volumenelement
- Bei einem starren Körper sind die Komponenten zeitunabhängig bezüglich einer
körperverbunden Basis.
K
2)
 x1 
 2
 x  dKQ =
 3
 x Q
Die Komponenten des für das Rotationsverhalten des Körpers (und damit für
das Fliehkraftpotential) wichtigen Trägheitstensors sind definiert (bezüglich
eines beliebigen Systems X ) durch
lim φ ( P ) = ∞
1)
∫∫∫ ρ
M
p →∞
I.3
K
Ein absolutes terrestrisches System X ist definiert durch die Bedingung
Die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen (stets eine symmetrische Matrix)
ergeben sich zu
 ∂ 2 φ / ∂x 1∂x 1 ∂ 2 φ / ∂x 1∂x 2
 2
2
1
2
2
2
∂ φ / ∂x ∂x ∂ φ / ∂x ∂x
2
3
1
2
3
2
∂ φ / ∂x ∂x ∂ φ / ∂x ∂x
∫∫∫
 x1 
 2
ρ Q  x  dK Q
 3
 x Q
Koordinaten des Massenzentrums (Schwerpunkt) des Körpers bezüglich
eines beliebigen Systems X
- Rotiert ein starrer Körper, so sind die Komponenten des Trägheitstensors stets
zeitabhängig bezüglich einer inertialen Basis. Der Tensor selbst ist aber zeitunabhängig, d.h. Invarianten wie Eigenwerte, Spur, Determinante usw. sind zeitunabhängige Konstante.
- Bei einem deformierbaren Körper ist der Trägheitstensor zeitabhängig, d.h. neben
den Komponenten also auch seine Eigenwerte usw.
4)
und den Elementen
H
H
Das Gravitationspotential (skalares Raumfeld) eines Körpers in einem Punkt
P ist definiert durch
VP = k
∫∫∫
K
ρQ
l PQ
H
h1 
 2
h  dK Q
 3
 h  PQ
)
)
)
(
(
(
)
)
)
1
1
1
3
∂ 1 / l
 h1 
/ ∂ x P   x P − x Q / l PQ 
PQ




 2
2
2
2
3
h  = ∂ 1 / l PQ / ∂ x P  = − x P − x Q / l PQ 

 

 3
3
3
3
3
 h  PQ ∂ 1 / l PQ / ∂ x P   x P − x Q / l PQ 
Man führe die partiellen Ableitungen von (1 / l PQ ) selbst durch.
Die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen sind definiert durch
P
=k
∫∫∫
K
ρQ [ H
ij
]
PQ
2
ij
PQ
[ (1 / ) / ∂ x ∂ x ]
= ∂
3
1
3
(x
+3
+3
(x
)
1
− xQ
l
2
P
5
)
2
)
2
2
− xQ
5
3
P
3
− xQ
5
2
H
12
H
13
H
23
(x
=3
1
P
(x
=3
1
P
(x
2
P
=3
1
)(
2
2
− xQ x P − xQ
)
5
1
)(
3
3
)
3
3
)
− xQ x P − xQ
5
2
)(
− xQ x P − xQ
5
2
i
PQ
1
∂x ∂x
j
ij
2
∂ V
1
+
2
∂x ∂x
 −4π kρ
= ∆V = 
∂x ∂x
 0
2
∂ V
2
+
∂ V
3
3
; P im Körper
; P außerhalb des Körpers
- Eine Gleichung ∆V=0 wird Laplace Gleichung genannt, ihre Lösungen heißen
harmonische Funktionen.
- Eine Gleichung der Form ∆V=c(xi) wird Poissongleichung genannt.
- Ist die Dichte ρ(xi) gegeben, können das Gravitationspotential sowie die Komponenten des Gravitationskraftvektors und des Tensors der zweiten Ableitungen unabhängig voneinander für jeden beliebigen Punkt des Raumes durch (numerische)
Integration berechnet werden.
i
- Die umgekehrte Aufgabe, die Berechnung der Dichte ρ ( x ) aus Angaben über das
Gravitationspotential, ist nicht eindeutig lösbar, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen. Zur eindeutigen Lösung werden zusätzliche Informationen (Geophysik) benötigt.
I.4
dK Q
mit der symmetrischen Matrix
[H ]
=−
1
1
P
Beachte:
wobei (Vorzeichen!)
ij
33
=−
l
3
Die Spur der Matrix E
 ∂V / ∂ x 1 


2
∂V / ∂ x  = k ∫∫∫ ρ Q

K
3
∂V / ∂ x 
[E ]
22
=−
(x
+3
[ ] ergibt (Divergenz des Gravitationskraftvektors)
dK Q
Die Komponenten des Gravitationskraftvektors g~ P sind definiert bezüglich eines
beliebigen Systems X durch
(
(
(
11
1
Gravitationspotential und Oberflächenintegrale, das Konzept von Flächenbelegungen und Flächendipolbelegungen
Die folgenden Integraltransformationen beruhen auf der Integralformel von Gauß und
den aus ihr abgeleiteten Integralformeln von Green. Die Identität von Gauß lautet (mit
i
dS : = nach außen gerichtete Flächennormale)
r
∫∫∫ div F dK = ∫∫ [ F ] [ dS ]
i T
K
S
Anwendung auf den
H
~ = −4πkρ zu
divg
−4πk
T
i
∫∫∫
K
Gravitationskraftvektor
H
i
i
~
g = ∂V / ∂x ≡ F
[
] [ ]
führt
mit
0
H  
~
g = 0
~
g 
Dann ist
ρ dK = ∫∫ [
i
~
g
S
] [ dS ]
T
i
T
0
 
∫∫  0 
∆S  ~ 
g 
und damit zu der wichtigen Formel
q
kM = −
1
4π
 eH 
 H1 
e2 
H 
 e3 Y
1
∫∫ [ ~g ] [ dS ] = − ∑ ∫∫ [ ~g ] [ dS ]
4π
i T
i
S
i T
 cos σ1 


g
cos σ 2 dS = ∆S cos β g~ = ∆S ~


 cos β 
i
q ∆S q
d.h. aus den Schwerewerten an der Erdoberfläche kann die Masse der Erde berechnet
werden.
Beachte :
- Kennt man Gravitationskraftvektor und Form der Erdoberfläche, so kann man die
Masse der Erde kM bestimmen, ohne die Dichte des Erdkörpers zu kennen.
- Da über Skalarprodukte integriert wird, können bei einer numerischen Integration
für jedes finite Oberflächenelement ∆S q die Komponenten von Gravitationskraftvektor und Flächenelementvektor in jeweils einem geeigneten lokalen Koordinatensystem bestimmt werden.
- Es
H sei die Erdoberfläche in ebene Dreiecke zerlegt mit folgenden Komponenten für
dS
wobei ∆S = ∆S cosβ der Betrag der Horizontalfläche ist.
Die Identitäten von Green verknüpfen zwei Funktionen U und V miteinander. Die erste
Identität von Green lautet
T
∫∫∫ U ∆V dV + ∫∫∫
K
K
β := Winkel zwischen Lotrichtung und Richtung senkrecht zum finiten Flächenelement ( Geländeneigung)
In einem solchen lokalen System ist
[ ]
Die zweite Identität von Green lautet
T
 ∂V 
∫∫∫ (U ∆V − V ∆U ) dV = ∫∫ U  i 
∂x
S
K
[ dS ]
i
cos σ 
 cos σ 
1
1




dS  cos σ 2  = ∆S cos σ 2 




 cos β 
 cos β 
T
 ∂U   ∂V 
 ∂V 
i
 i   i dV = ∫∫ U  i  dS
 ∂x   ∂x 
 ∂x 
S
[ dS ] − ∫∫
i
S
T
 ∂U 
i
V  i  dS
 ∂x 
[ ]
.. Komponenten des (axialen) Vektors, der senkrecht
zur Fläche S steht und dessen Länge die skalare
differentielle Flächengröße ist.
[∂V / ∂x ] ,[∂U / ∂x ]
i
i
.. Komponenten der Raumfunktionen grad U und
grad V bezüglich der Basis, auf die sich die Komponenten des differentiellen Flächenelementes beziehen.
Ein wichtiger Sonderfall ergibt sich, wenn man U = 1 / l einsetzt. Wegen der dann
dessen Lösung
auftretenden Polstellen für l → 0 erhält man ein nicht-triviales Problem,
H
oft als 3. Identität von Green bezeichnet wird. Sie lautet ( dS soll in beiden Fällen
nach außen zeigen):
1. Fall : I ist der Innenraum einer geschlossenen Fläche S
∫∫∫
1
∆V dK = − pV + ∫∫
l
 4π .... wenn

p =  2π .... wenn

 0 .... wenn
I
S
T
1  ∂V 
 i
l  ∂x 
P in
I
P auf
S
P in
A
Definiert man
T
∂ (1 / l ) 
i
i
dS − ∫∫ V 
 dS
i


∂x
S
[ ]
[ ]
A
1
l
V( P) =
4π
∫∫
S
µ = V / 4π k
und
4π k ∂n
∫∫ κ
S
1
l
dS + k
∫∫ µ
S
∂ (1 / l )
∂n
dS
Beachte:
S
1  ∂V 
 i
l  ∂x 
P in
A
P auf
S
- Integrale der Form V1 nennt man Potentiale einer Flächenbelegung mit der
Flächendichte κ.
- Integrale der Form V2 nennt man Potential einer Flächendipolbelegung mit der
Flächendipoldichte µ.
- Jede harmonische Funktion läßt sich in dieser Form ausdrücken.
- Sind S sowie κ und µ auf S gegeben, kann man das Potential im Außenraum
eindeutig berechnen.
P in
I
Man bleibt wesentlich flexibler, wenn man mit der vektoriellen Form arbeitet.
T
∂ (1 / l ) 

i
∂x 
[ dS ] − ∫∫V 
i
S
[ dS ]
i
Für die Geodäsie ist der 2. Fall von Interesse; wenn V das Gravitationspotential ist, wird
das Volumenintegral ebenfalls Null und es bleibt folgende Formel
1
∂V
V ( P ) = V1 + V2 = k
T
∆V dV = − pV + ∫∫
 4π .... wenn

p =  2π .... wenn

 0 .... wenn
1
erhält man
2. Fall : A ist der Außenraum einer geschlossenen Fläche S (V muß gewisse Bedigungen im Unendlichen erfüllen z.B.: V ( P ) = 0 für P → ∞ )
∫∫∫
κ=−
T
1  ∂V 
 i
l  ∂x 
T
∂ (1 / l ) 
i
dS −
∫∫ V  i  dS i
4π S
∂x
[ ]
1
[ ]
Es sei erinnert, daß die Komponenten beider Gradienten und des (axialen)
Flächenelementvektors bezüglich der gleichen Basis zu bestimmen sind.
I.5
Schwerepotential und Linienintegrale; das Konzept des Nivellements
In jedem konservativen Kraftfeld (rot g = 0) ist ein Linienintegral wegunabhängig; sein
Ergebnis ist die Potentialdifferenz zwischen den Endpunkten P und Q,
∫
Anmerkung:
Oft findet man in der Literatur, daß eine lokale Basis so gewählt wird, daß sich folgende
Komponenten für den Flächenelementvektor ergeben
 ∂ (1 / l ) / ∂y 1 
 dS 1   0 
 ∂V / ∂y 1 


 2  


2
2
dS  =  0  sowie ∂V / ∂y  und ∂ (1 / l ) / ∂y 


 3  


 ∂ (1 / l ) / ∂n 
 dS  dS 
 ∂V / ∂n 
T
P
P
 ∂V 
i
WP − WQ = g ds =  i  ds =


Q ∂x
Q
ds
g
W
∫
[ ] ∑ ∫ g ds
q ∆S q
.... differentielle Weglänge
.... konservativer Kraftvektor
.... zu dem Kraftfeld gehörendes Potentialfeld
Beachte:
- Es ist nicht erforderlich, daß die Laplace-Gleichung erfüllt ist, sondern nur, daß
H
H
der Kraftvektor g aus einem Potential ableitbar ist, also daß gilt rot g = 0. Daher
kann die Formel unmittelbar zur Bestimmung von Schwerepotentialdifferenzen
(auch im Körperinnern) verwendet werden:
WP − WQ = (V + φ ) P − (V + φ ) Q
- Da über Skalarprodukte integriert wird, können bei einer numerischen Integration
für jedes finite Integrationslinienelement die Komponenten von Schwerkraftvektor
und Linienelementvektor bezüglich einer lokalen Basis verwendet werden.
- In dem lokalen System eines Nivellementstandpunktes gilt
∆h = Differenz der Lattenablesung
Man wählt die lokale Basis so, daß
 ∆s 1 
H
H  2
ds = ∆s =  ∆s 


 ∆h 
T
 eH 
 H1 
e2 
H 
 e3 
T
0
H  
g = 0 
 
− g 
 eH 
 H1 
 e2 
H 
 e3 
Damit wird
T
0
H H  
g ds =  0 
 
∆S q
gP 
∫
 ∆s 1 


 ∆s 2  = − gq ∆hq


 ∆hq 
und zwischen zwei Festpunkten P und Q entspricht dem Integral die Summe
(numerische Integration des Linienintegrals)
WP − WQ = −
∑ g ∆h
q
q
q
Aus den somit gewonnenen Potentialdifferenzen werden Höhen über dem
Meeresspiegel (Höhen über NN) berechnet. Potentialdifferenzen sind physikalische
Größen; alle Höhen über dem Meeresspiegel sind hingegen konventionelle, d.h. durch
zweckmäßige Konvention definierte Größen. (siehe Abschnitt VIII.)
II.
Potential homogener Kugelschalen; der Begriff des Normalpotentials und
Störpotentials
( P ) = k ∫∫∫
ρ
K
II.1
= 2πkρ
Die Erde ist in einer ersten, verhältnismäßig groben Näherung aufgebaut aus homogenen Kugelschalen. Zur mathematischen Beschreibung des Gravitationspotentials
einer homogenen Kugelschale führt man zweckmäßigerweise auf die Richtung zu P
bezogene Kugelkoordinaten (r = Abstand vom Kugelzentrum, ψ PQ = sphärischer
Abstand = sphärische Cobreite, α PQ = Azimut = spärische Länge) ein.
1
l
2
Q
(
rQ sin ψ PQ drQ dψ
2
sin ψ PQ rQ + rP − 2 rP rQ cos ψ PQ
2
2
PQ
)
dα Q
−1/ 2
drQ dψ PQ
Wegen
d
 rQ

 rP

2
2
2
l  = rQ sin ψ PQ rQ + rP − 2 rP rQ cos ψ PQ

(
)
−1/ 2
ergibt sich für die Integration über ψ PQ zwischen 0≤ ψ PQ ≤ π der Ausdruck
Q
rP
rQ
π
∫ ∫r
Ri ψ = 0
dψ PQ
P
2π
∫∫ ∫
Ri ψ = 0 α = 0
Ra
Potential homogener Kugeln und Kugelschalen
l PQ
l
Ra π
dK = kρ
r
Q
2
2

rQ + rP − 2 rP rQ cos ψ PQ
 rP
(
ψ PQ
)
1/ 2
 2 rQ
π


2

=  2 rQ


ψ =0
 rP
für rP ≤ Ri
für rP ≥ Ra
0
Ri
Man erhält somit
Ra
( P ) = 4πkρ
∫
rQ
2
 4π
 1
3
3
drQ = 
Ra − Ri kρ 
 3
 rP
rP
rQ
(
)
(P im Außenraum)
( P ) = 4πkρ ∫ rQ drQ = 2πkρ ( Ra2 − Ri2 ) = const .
(P im Innenraum)
rQ
Abb.: Schnitt durch 0,Q,P
Für den Rauminhalt K K bzw. die Oberfläche OK einer Kugel mit dem Radius R gilt
Bei dieser Wahl von Koordinaten hängt der Ausdruck
1
l
(
= rQ + rP − 2rP rQ cos ψ PQ
2
2
)
KK =
−1/ 2
4
3
π R
3
bzw.
OK = 4π R
2
Damit kann man das Ergebnis auch in folgender Form ausdrücken
nicht von der dritten Kugelkoordinate α PQ ab, eine große Erleichterung für die
folgende Integration. Mit ρ = const und dK = drQ rQ dψ PQ rQ sin ψ PQ dα PQ ergibt
sich daher unmittelbar:
(
)(
)
für P im Außenraum
( P ) = kρ ( Ka − Ki )
1
rP
( P) =
für P im Innenraum
kρ
2
(O
a
)
− Oi = const
Für die Vollkugel, d.h. Ri = 0, Ra = R ergibt sich (P im Außenraum)
 4π
 1 kM
3
=
R k ρ
 3
 rP
rP
( P) = 
Das Außenraumpotential einer Kugel bzw. einer Kugelschale kann also durch eine
Punktmassensingularität im Kugelmittelpunkt dargestellt werden, sowie man sich
umgekehrt eine Punktmassensingulariät physikalisch durch eine sehr kleine, sehr
dichte Kugel ( R → 0 , M = const ., ρ → ∞ ) im Singularitätspunkt Q vorstellen kann.
Rechnet man mit dieser Formel einen Potentialwert für einen Punkt P im
Kugelinneren, so nennt man diese Größe die analytische Fortsetzung des Außenraumpotentials. Dieser Wert stimmt nicht mit dem tatsächlichen Potential im
Körperinnern überein, jedoch spielt der Begriff der sogenannten analytischen
Fortsetzung von Außenraumpotentialen eine wichtige Rolle bei der Approximation
des Außenraumpotentials der Erde.
Zur Berechnung des tatsächlichen Potentials in einem Punkt P im Inneren einer
homogenen Kugel (oder homogenen Kugelschale) zerlegt man die Integration in zwei
Summen und erhält
( P) = k
rP
∫ ∫∫
r =0 ψ α
=
4π
3
ρ
l
r
kρ 
 rP
3
P
R
∫ ∫∫
dK + k
r = rP ψ α

 + 2πkρ R 2 − rP2

(
ρ
l
also, wie bereits erwähnt, einen anderen Wert als für die analytische Fortsetzung
( P ) = kM / rP
II.2
Verhalten des Potentials im Erdinnern
Die für die homogene Kugel abgeleitete Formel kann benutzt werden, um das
Verhalten des Potentials im Erdinnern zu untersuchen. Dazu wird eine kleine, als
homogen vorausgesetzte Kugel um einen Punkt P0 nahe P im Körperinnern
ausgespart bei der Integration und durch den Ausdruck für die homogene Kugel
ersetzt
P( x i )
q
p
P0 ( x 0i )
q=

2
rP 

3
i
)
2
Man erhält also für das Potential für einen Punkt P im Innern eines Körpers
)
I
=k
∫∫∫
E−K
ρ
 2 1 2
dK + 2π k ρ  p − q 

l
3 
)
Läßt man p→0 und q→0, bzw x P − x0 → 0 gehen, so verschwindet der zweite
Summand und man erhält wie für den Außenraum
P im Körperinnern einer Kugel
I
=k
∫∫∫
E
und
2

2
1 r 
( P ) = 2πkρ  Ra2 − Ri3 − P 
3
3
rP

− x0
dK
(

i
P
i
also
( P ) = 2πkρ  R 2 −
∑( x
ρ
l
i
i
dK
Bildet man die 1. Ableitungen, erhält man für den Schwerevektor
P im Körper einer Kugelschale
W=U+T
∂V / ∂ x = − k
i
P
∫∫∫
(
ρ x P − xQ
i
l
E−K
i
3
) dK − 4 π k ρ ( x
3
i
P
− x0
i
)
und damit für p → 0, q → 0 wie für den Außenraum
∫∫∫
∂V / ∂ x = − k
i
P
(
ρ x P − xQ
i
l
E
i
3
Die Forderung beinhaltet, daß sich das Normalpotential U aus einem (möglichst einfachen) Gravitationspotentialanteil U und dem tatsächlichen Fliehkraftpotentialanteil φ zusammensetzt.
Der einfachste Ausdruck für den Gravitationsanteil U ist das Potential einer homogenen Kugel, für das Außenraumpotential also
) dK
Erst für die Diagonalelemente des Tensors der 2. Ableitungen zeigt sich eine Abweichung gegenüber dem Verhalten im Außenraum. Man erhält
∂ V
2
∂x ∂x
i
P
j
P
= 3k
∫∫∫
E
und
∂ V
2
∂ x P∂ x P
i
j
=k
∫∫∫
E
(
)(
ρ x P − xQ x P − xQ
i
i
l
j
j
5
(

i
i
x P − xQ
 1
ρ − 3 + 3
5
 l
l

)
)dK
2

4

 dK − 3 π k ρ

für i ≠ j
für i = j
Die Spur des Tensors der 2. Ableitungen wird demnach
 −4πkρ
∆V = 
 0
im Körperinnern
im Außenraum
Für das Schwerepotential (also einschließlich Fliehkraftpotential) erhält man
 2ω 2 − 4πkρ
∆V = 
 2ω 2
II.3
Die Zerlegung wird so vorgenommen, daß im Hinblick auf Reihenentwicklungen
- das Störpotential T harmonisch ist im Außenraum des Körpers
- das Störpotential T möglichst klein ist
im Körperinnern
im Außenraum
Das Konzept von Normalpotential und Störpotential
II.3.1 Das Konzept eines Normalpotentials
Das Schwerepotential W eines rotierenden Körpers kann zerlegt werden in die
Summe eines sogenannten Normalpotentials U und eines Störpotentials T
U = VU + φ =
kM
rP
+
1
2
ω p
2
2
In der Geodäsie wird meist eine andere Forderung an das Normalpotential gestellt,
daß nämlich eine Äquipotentialfläche U 0 = const. ein Rotationsellipsoid ist (siehe
Abschnitt V). Dieses spezielle Niveauellipsoid dient dann als Grundlage zur
Definition geodätischer (ellipsoidischer) Koordinaten. Die Formeln (nicht das
Konzept) werden wesentlich komplizierter.
II.3.2 Störpotential und Schwerestörungsvektor
(
1
2
Das Störpotential sei als eine Funktion der kartesischen Koordinaten x , x , x
3
)
P
oder praxisnäher der Kugelkoordinaten (ϕ , λ ,r ) P mathematisch durch eine entsprechende Funktion ausgedrückt
(
T ( P ) = f kar x , x , x
1
2
3
) = f (ϕ , λ , r )
Kug
Der Schwerestörungsvektor wird durch Gradientenbildung aus dem Störpotential
abgeleitet
T
 ∂T / ∂x 1   er 

  r1 
r
2
δg = grad T = ∂T / ∂x   e2 

r 
3
 ∂T / ∂x   e3 
Bezüglich folgender lokaler Basis im Punkte P
r
r1
Richtung zum Südpol (θ= 90 - ϕ)
eθ = g =
r
r
e λ = g 2 = Richtung nach Osten
r
r
er = g 3 =
Richtung des Radiusvektors
Herleitung der Vektorkomponentenformeln:
erhält man dann
 ∂T / ∂y 1 


2
 ∂T / ∂ y 

3
 ∂T / ∂y 
r
δg = grad T =
=
=
∂T / ∂θ 


 ∂T / ∂λ 


 ∂T / ∂ r 
T
∂T / ∂θ 


 ∂T / ∂λ 


 ∂T / ∂ r 
T
 er 
 rθ 
 eλ 
r 
 er 
T
(
 1/ r
P

 0

 0




HP 




Wir führen die lokalen, auf den Punkt P bezogenen Winkel ψ PQ undα PQ , ein, die der
spärischen Cobreite θ und der spärischen Länge λ im globalen System entsprechen.
Q
)
T
0
(
1 / rP sin θ P
)
0
r
 e  ∂T / ∂θ T
 rθ  

 eλ  =  ∂T / ∂λ 
r  

 er   ∂T / ∂r 
0

0

1
 gr 
 rθ 
 gλ 
r 
 gr 
 er 
 rθ 
 eλ 
r 
 er 
P
r
e3
Q′
P′
ϕQ
ψ PQ
α PQ
λQ
ϕP
Oft ist das Störpotential als Funktion des reziproken Abstandes 1/ l gegeben,
l=
rP2
+ rQ2
T=k
− 2 rP rQ cos ψ PQ , vor allem in Integralformeln wie z.B.
∫∫∫
E
δρ
l
dK
r
e1
r
e2
λP
Äquator
r
Man erhält dann folgenden Ausdruck für die Komponenten von δg
 
r  
δg =  H P 
 
 
 − r −1
 P−1
=  − rP


∂T / ∂θ 


 ∂T / ∂λ  =


 ∂T / ∂r 
cos α PQ
sin α PQ
 
 
 HP 
 
 
∂T / ∂ψ

∂T / ∂ψ

 ∂T / ∂r
∂ψ / ∂θ 

∂ψ / ∂λ 


∂T / ∂ψ 

∂T / ∂ψ 

∂T / ∂r 
Transformationsformeln (ϕ = 90 − θ ) :
Wir gehen aus von dem Einheitsvektor
(
)
(
)
 cos ϕ sin ϕ − sin ϕ cos ϕ cos λ − λ
 sin ψ cos α 
P
Q
P
Q
Q
P
PQ
PQ



 sin ψ PQ sin α PQ  = 
cos ϕ Q sin λQ − λP



 sin ϕ P sin ϕ Q + cos ϕ P cos ϕ Q cos λQ − λP
 cos ψ PQ


(
)




Diese Vektorkomponentenformel wird in der Geodäsie sehr oft benutzt.
Um die beiden Terme ∂ψ / ∂ϕ und ∂ψ / ∂λ zu bestimmen, differenzieren wir die
dritte Gleichung nach ϕ P bzw. λP
− sin ψ PQ
− sin ψ PQ
∂ψ PQ
∂ϕ P
∂ψ PQ
∂λP
(
= cos ϕ P sin ϕ Q − sin ϕ P cos ϕ Q cos λQ − λP
(
= cos ϕ P cos ϕ Q sin λQ − λP
)
)
∂ϕ
∂ψ PQ
= − cos α PQ
∂λ
= − cos ϕ P sin α PQ
was zu beweisen war.
II. 4
"Natürliche " Koordinaten und Kugelkoordinaten
II.4.1 Kugelkoordinaten als "natürliche" Koordinaten des Gravitationsfeldes
einer homogenen Kugel
Dem Gravitationspotential einer Punktmasse (homogene Kugel der Masse M) im Ursprung des Koordinatensystems entspricht folgendes Potential
( P) =
kM
(
2
(
sin Φ = ∂V∂x
3
2
) / (∂V / ∂x )
1
)/ g
=
kMx
3
2
kM x ( r )
=
kM ( r ) x
3
3
=
(r )3 g
1
2
3
kM x ( r )
3
kM ( r )
=
=
x
2
x
1
x
= tan λ
3
r
= sin ϕ
"Natürliche" Koordinaten Φ und Λ sind den Kugelkoordinaten ϕ und λ nur im Falle
des Gravitationsfeldes einer homogenen Kugel identisch; kM spielt die Rolle eines
Maßstabsfaktors.
II.4.2 Transformation zwischen "natürlichen" Koordinaten des Erdschwerefeldes (g,Φ,Λ) und Kugelkoordinaten
Es seien gegeben die Kugelkoordinaten (ϑ , λ , r ) eines Punktes P,
das Normalpotential U durch
U=
kM
r
+
1
2
ω p
2
2
T = T (ϕ , λ , r ) .
 ∂V / ∂x 
 x / (r ) 

 2


3
2
∂V / ∂x  = kM  x / ( r ) 
 3

3
3
 ∂V / ∂x 
 x / (r )  P
1
1
3
Man erhält durch Differenzieren für die "natürlichen" Koordinaten
Man erhält als "natürliche" Koordinaten des Punktmassenfeldes
(∂V / ∂x ) + (∂V / ∂x ) + (∂V / ∂x )
= kM
= kM / ( r )
und das Störpotential T als Funktion von Kugelkoordinaten z.B. in Form einer
Reihenentwicklung
rP
Der Gradient im Punkte P ergibt sich zu
g=
g
tan Λ = ∂V / ∂x
Einsetzen der 1. und 2. Transformationsformel in diese Ausdrücke und Division
durch sin ψ PQ ergibt
∂ψ PQ
also
1 2
2 2
[( x ) + ( x ) + ( x ) ] / (r )
1 2
2 2
3 2
3 2
6
 g 1   ∂W / ∂x 1  1 / r
P
 2 
 
2
 g  = ∂W / ∂x  =  0
 3 

3
 g   ∂W / ∂x   0
0
(
1 / rP cos ϕ
0
)
0  ∂U / ∂ϕ + ∂T / ∂ϕ 


0   ∂U / ∂λ + ∂T / ∂λ 


1   ∂U / ∂r + ∂T / ∂r 
Aus dem dazugehörigen Einheitsvektor
 cos Φ cos Λ 


r
r
g = ge = g  cos Φ sin Λ 


 sin Φ 
erhält man unmittelbar die astronomische Länge und Breite. Der Absolutbetrag der
Schwere wird als dritte "Koordinate" angegeben.
Die inverse Transformation geht aus von der gemessenen Schwere bzw. der astronomischen Länge und Breite
g,Φ , Λ
Die Transformation muß, da U und T als Funktion der Kugelkoordinaten gegeben
sind, iterativ durchgeführt werden, indem man beim 1. Iterationsschritt setzt
.
( λ,ϕ ,r ) = ( Λ ,Φ,
kM / g
)
Wenn, wie stets in der Praxis,
δλ = ( Λ − λ ),
δψ = ( Φ − ϕ ),
δg = ( γ − g )
klein sind ( γ = kM / r = Normalschwere für eine Kugel) , führt die Iteration nach
wenigen Schritten zum Ziel.
2
III.
Gravitationspotential und Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen
 1 
α 
 2
α 
rP  3 
= α
l  4
α 
α 5 
 
 M 
III.1 Legendresche Polynome
Die Entfernung l läßt sich ausdrücken mittels (der Ausdruck ist unabhängig vom
Azimut !)
(
l = rP2 + rQ2 − 2rP rQ cos ψ PQ
)
1/ 2
  r 2

 rQ 
Q
= rP 1 +   − 2   cos ψ PQ 
 rP 
  rP 

1/ 2
Der Faktor in Klammern ist eine dimensionslose Größe. Führt man weiterhin zur
Abkürzung die dimensionslosen Größen α und t ein,
rQ
rP


[ Pn (t )] = 
 K ij
erhält man
(
)
rP
T
= [α n ]
l
0



1
0
1
−
2
0
1
M
3
2
0
−
3
8
0










63

8
M O
3
2
0
−
15
8
M
0
5
2
15
4
0
−
0
M
35
4
M
35
8
0
M
1
t
 2
t 
t 3 
 4
t 
t 5 
 
M




 
 n
t 
 
sodaß man auch schreiben kann
−1 / 2
[
 
 n
t 
 
n = 0,∞
∞
] ∑
rP
T
= [α n ] Pn ( t ) =
l
Eine Entwicklung in eine Taylorreihe nach α um α=0 liefert folgende (unendliche
,d.h. n → ∞) bilineare Form



 K ij













Die sog. Legendreschen Polynome sind definiert durch den Vektor
= α ≤ 1 , cos ψ PQ = t , t ≤ 1
rP
= 1 + (α 2 − 2α t )
l
T
n= 0
 rQ 
  Pn cos ψ PQ
 rP 
n
(
)
Für praktische Anwendungen sind Rekursionsformeln extrem wichtig. Für die
Legendreschen Polynome bzw. für die Komponenten der Matrix K ij kann man
herleiten
 2n − 1 
 n − 1
 t P (t ) − 
 P (t )
Pn ( t ) = 
 n  n −1
 n  n−2
Ausführlich geschrieben erhält man für die ersten Glieder
bzw.
 2i − 1  i
 i − 1  ( i −1)
 k ( j −1) − 
k
k ij+1 = 
 i 
 i  j
(i = Zeile, j = Spalte)
III.2 Helmholtz-Polynome, zugeordnete Legendresche Funktionen und harmonische Funktionen
Es sei folgende Klasse von Funktionen definiert
Pnm (ϑ ) = sin m ϑ Hnm (c) = sin m ϑ
N nm = 21−δ ( 2n + 1)
m0
 0
δ m0 = 
 1
für m = 0
für m ≠ 0
sind sie definiert durch
m
d
P ( c)
dc m n
( n − m) !
( n + m) !
mit
Pnm (ϑ ) = N nm Pnm (ϑ )
c = cosϑ ; 0 ≤ m ≤ n
sowie
Die Polynome Hnm ( c) werden Helmholtz-Polynome, die Funktionen Pnm (ϑ ) werden
zugeordnete Legendresche Funktionen genannt. In Matrizenschreibweise kann man
schreiben
Hnm ( c) = N nm Hnm (c)
In Matrizenform erhält man




 = 

 Hnm ( c)



 Pnm (ϑ )
O

sin m ϑ









O
also z.B.:
 P00
P
 10
 P20
 M
 H 00
H
10
=
 H 20
 M
P11
P21
H11
H 21
P22




O
H 22
1
3
5
7
9
M
3
5/ 3
7/6
9 / 10
5 / 12
7 / 60
9 / 180
7 / 360
9 / 2520






9 / 20160

O
Wir definieren weiter die (harmonischen) Kugelflächenfunktionen
 1

  sin ϑ



2
sin ϑ


O 
O
wobei
 1

 P ( c)


1
1



( )
3c
3

 =  P2 c


1

2
15c − 1 15c 15
 P3 ( c)


2
 M

O


Es ist für die meisten (nicht alle) Anwendungen zweckmäßig, sogenannte
"normalisierte" Funktionen einzuführen. Mit dem Normalisierungsfaktor



H
 ij








 N nm  = 






(
)
Rnm (ϑ , λ) = Pnm (ϑ ) cos m λ
S nm (ϑ , λ) = Pnm (ϑ ) sin m λ
sowie die "normalisierten" Kugelflächenfunktionen
Rnm (ϑ , λ) = N nm Rnm (ϑ , λ)
S nm (ϑ , λ) = N nm Rnm (ϑ , λ)
Räumliche Kugelfunktionen werden definiert durch
Knm ( r ,ϑ , λ) = r n Rnm (ϑ , λ)
bzw. K nm ( r ,ϑ , λ) =
Lnm ( r ,ϑ , λ) = r n S nm (ϑ , λ)
bzw. Lnm ( r ,ϑ , λ) =
1
r
n +1
1
r
n +1
Rnm (ϑ , λ)
S nm (ϑ , λ)
wobei der jeweils 2. Ausdruck in der Geodäsie zur Anwendung kommt.
Die räumlichen Kugelfunktionen lassen sich als Produkt zweier Diagonalmatrizen mit
einer Dreiecksmatrix darstellen, z.B.

 O

 
n
r

=
 
O



 Knm



 Pnm (ϑ )





O


cos mλ



O
Man kann zeigen, daß die Elemente der Matrix der räumlichen harmonischen
Funktion r n Rnm (ϑ , λ) bzw. r n Snm (ϑ , λ) homogene Polynome in den
Koordinaten x , y , z sind. Man erhält bis zum Grade 2





1



z
x

 = 
 2 1 2

2 
2
2 
 z − 2 ( x − y )  3xz 3( x − y ) 



 r n Rnm
( )
Rnm ϑ P , cos m λP , sin m λP und ( a / rP ) sind Funktionen der Kugelkoordinaten
( rP ,ϑ P = 90 − ϕ P , λP ) eines Punktes auf oder außerhalb der Erdoberfläche.
In Matrixschreibweise kann man die Formel als Spur der folgenden Produkte von
Diagonal- und Dreiecksmatrizen darstellen
n
O



n+1


a


 
( P ) = Spur

r
 P

 P (ϑ )
O nm

O


+ Spur


und

0





 = 0 y

 0 3 yz 6xy 



 r n S nm
Hierbei ist a eine geeignet gewählte Konstante; i.a. wird hierzu die große Halbachse a
des mittleren Erdellipsoids gewählt.
a nm bzw. bnm sind konstant für eine starre Erde, zeitabhängig für die deformierbare
Erde.
 a 
 
 rP 
n+1




 P (ϑ )
O nm
O



cos mλ



O
anm 



O



sin
m
λ



O
bnm 



Da wegen sin 0λ ≡ 0 ebenfalls S n0 ≡ 0 ist, werden auch die bn0 ≡ 0 gesetzt für alle n.
Entsprechende Ausdrücke erhält man für die "normalisierten" Kugelfunktionen, wenn
man definiert
Diese Terme bis zum Grade n = 2 werden im Abschnitt III.5 benötigt. Für praktische
Anwendungen sind Rekursionsformeln von ausschlaggebender Bedeutung.
III.3 Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen
a
nm
=
1
N
nm
a
nm
, b =
nm N
1
nm
b
nm
III.32 Reihe für die harmonische Funktion (1/l)
III.3.1 Reihe für eine Potentialfunktion V(P)
Die Entwicklung einer harmonischen ( d . h. ∆V = 0) räumlichen Funktion V(P) an der
Stelle P mittels
n +1
n
a
( P)=
a nm Rnm (ϑ P , λP ) + bnm S nm (ϑ P , λP )
 
n = 0  rP 
m= 0
wird als Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen bezeichnet; sie ist das wichtigste
Hilfsmittel zur Beschreibung des Gravitationspotentials der Erde.
∞
∑
∑[
]
Zur Entwicklung des Potentials eines Körpers ist es extrem wichtig, daß sich die
Funktion (1/l) nicht nur in eine Reihe nach Legendreschen Polynomen, sondern
ebenfalls in eine Reihe nach räumlichen Kugelfunktionen darstellen läßt. Man kann
zeigen, daß die Reihe in "normalisierten" Funktionen folgende einfache Form
annimmt:
n
1 1 ∞
1  rQ  n
=
∑
  ∑ R ϑ , λ R ϑ , λ + S nm ϑ P , , λ P S nm ϑ Q , , λ Q
l rP n = 0 ( 2n + 1)  rP  m= 0 nm P , P nm Q , Q
[ (
)
(
)
(
)
(
)]
erhält man durch Einsetzen der Reihenentwicklung für (1/ l ) (wobei Größen, die
nicht von Q abhängen, vor das Integral gezogen werden) in Matrizenschreibweise
d.h. man hat in die allgemeine Form als Koeffizienten einzusetzen
anm =
(
1
R ϑ ,λ
rQ ( 2n + 1) nm Q Q
)
(
1
S ϑ ,λ
rQ ( 2n + 1) nm Q Q
, bnm =
)
, a = rQ
( P) =
Vergleich mit der Entwicklung nach Legendre Funktionen ergibt den Ausdruck
1
Pn ( cos ψ) =
( 2n + 1)
∑ [ R (ϑ
n
m= 0
nm
P,
(
)
)
(
) (
, λ P Rnm ϑ Q , , λQ + Snm ϑ P , , λ P Snm ϑ Q , , λQ
)]




O  Rnm ( P )
O

a n +1
Spur 
rPn +1






K
O
n
S nm ( Q)  
rQ


( 2n + 1)a n+1
 

O

a n+1
+ Spur 
n+1

rP


O

1
1
= Spur
( n +1)
l
rP






( )
O  Rnm P



 

Rnm ( Q)  O


n
rQ (1 / ( 2n + 1))


 
O
Integration über K ergibt die beiden Koeffizientenmatrizen (obere Dreiecksmatrizen)
O

1
+ Spur
( n +1)
r

P





( )
O  S nm P



 

S nm ( Q)  O


n
rQ (1 / (2n + 1))


 
O
a nm 







k
 ∫∫∫
K 






und


 ρ dK Q

O


 ρ dK
Q


O
Durch Einbeziehung des Normalisierungsfaktors N nm erhält man beide Ausdrücke für
die nicht-normalisierten Funktionen, sie sind etwas komplizierter.
In Matrizenschreibweise hat man die Spur der folgenden beiden Produkte von
Diagonal- bzw. Dreiecksmatrizen zu bilden.








  S nm ( P )
O
∫∫∫
O
Rnm ( Q)  
rQn



( 2n + 1)a n +1
 



k

bnm 



wobei deren Elemente berechnet werden mittels
Mittels der Reihenentwicklung für (1/l) werden im nächsten Abschnitt Ausdrücke für
die Kugelfunktionskoeffizienten eines (starren) Körpers abgeleitet.
a nm
III.4 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials der Erde
bnm
Ausgehend von dem Volumenintegral
P
=k
∫∫∫
K
1
l PQ
k
=
(
a 2n + 1)
k
=
(
a 2n + 1)
( P) =
mit
(
K
∫∫∫
K
n
(
)
 rQ 
  S nm ϑ Q , λQ ρQ dKQ
a
n
(
)
Durch die Spurbildung erhält man
ρ Q dK Q
dK Q = dx 1dx 2 dx 3 = drQ rQ dϑ Q
∫∫∫
 rQ 
  Rnm ϑ Q , λQ ρQ dKQ
a
) ( r sinϑ
Q
dλQ
)
∞
∑
n=0
n +1
a
 
 rP 
n
∑ [a
m= 0
nm
]
Rnm (ϑ P , λ P ) + bnm Snm (ϑ P , λ P )
Damit die gesamte Summe dimensionslos wird, definiert man gewöhnlich dimensionslose Koeffizienten mittels (kM = Gesamtmasse des Körpers)
cnm = a ⋅ anm / kM , snm = a ⋅ bnm / kM
a10 = k
R10 ϑ Q , λQ ρ dK = k
∫∫∫ r
R11
∫∫∫ r
S11
Q
E
a11 = k
so daß man als endgültiges Ergebnis erhält
Q
∞
∑
n =1
n
a
 
 rP 
n
∑ [c
m= 0
]
nm Rnm (ϑ P , λ P ) + snm Snm (ϑ P , λ P )
Zu jedem Satz von Kugelfunktionskoeffizienten cnm , snm gehört immer die Angabe
derjenigen Größen kM und a, die zu deren Definition verwendet wurden. Normalerweise wird man als Geodät nicht in die Situation kommen, cnm , snm zu bestimmen,
wohl aber, berechnete Werte zu verwenden (Vorinformation).
Beachte:
- da die Dichte ρ nicht bekannt ist, müssen die Kugelfunktionskoeffizienten auf
andere Art und Weise bestimmt werden, nicht mittels obiger Formeln
- jedes geophysikalische Dichtemodell der Erde sollte jedoch die geodätisch bestimmten Werte erfüllen.
III.5 Kugelfunktionskoeffizienten als Funktion von Erdmasse, Schwerpunktskoordinaten und Trägheitstensorkomponenten
1.) Kugelfunktionskoeffizient 0. Ordnung
Man erhält
a 00 = k
∫∫∫
ρ dK = kM
E
Der Koeffizient entspricht also der Gesamtmasse der Erde multipliziert mit der Gravitationskonstanten.
2) Kugelfunktionskoeffizienten 1. Ordnung
Man erhält ( x si = Schwerpunktskoordinaten) durch Einsetzen der homogenen Polynome für die räumlichen Kugelfunktionen die Beziehungen
b11 = k
Q
3
Q
dM = kM x S3
1
Q
dM = kM x S1
E
E
kM
( P) =
{1 +
rP
( )
∫∫∫ x
(ϑ , λ ) ρ dK = k ∫∫∫ x
(ϑ , λ ) ρ dK = k ∫∫∫ x
∫∫∫ r
Q
Q
E
E
Q
2
Q
Q
dM = kM x S2
E
Die (nicht-normalisierten) Kugelfunktionskoeffizienten entsprechen also den Schwerpunktskoordinaten. Sie werden Null, wenn der Ursprung des Referenzsystems im
Massenzentrum der Erde gelagert ist.
3) Kugelfunktionskoeffizienten 2. Ordnung
Man kann unmittelbar, durch Einsetzen der homogenen Polynome für die räumlichen
Kugelfunktionen, folgende linearen Beziehungen ableiten.
 1
 a 20 
 2
a  = k 1
 22 
 −
4
1
2
1
4
 
−1  θ11 
 θ 22 
0  θ 
 33
 b22  θ 12 
   
 a 21  = k θ 13 
 b21  θ 23 
Fallen die Koordinatenachsen mit den Hauptträgheitsachsen des Körpers zusammen,
so werden bekanntlich die Deviationsmomente θ 12 ,θ 13 ,θ 23 Null. Das ist (näher
rungsweise) der Fall für die x 3 − Achse des terrestrischen Systems, so daß in guter
Näherung gilt
(
θ 13 = θ 13 = 0
und somit
)
a 21 = b21 = 0
Bei der deformierbaren Erde vollzieht die Hauptträgheitsachse Bewegungen in der
r
Erde; hinsichtlich einer festen x 3 − Achse werden dadurch a 21 und b21 zeitabhängig.
IV
Störpotential und Randwertaufgaben für die Kugel
IV.1 Allgemeines
Die Dichte ρ im Erdinnern ist nicht bekannt, so daß die bisher angegebenen Formeln nicht zur Berechnung des Gravitationspotentials genutzt werden können. Man
kann jedoch gewisse Größen an der Erdoberfläche S messen, die Funktionen des
Potentials sind, nämlich sogenannte Randwerte
f (T ) P , P ∈ S .
Die Lösung von Randwertaufgaben wird in der Geodäsie zur Bestimmung des
Störpotentials T benutzt.
Aus den folgenden Informationen
1)
2)
3)
das Störpotential T erfüllt im Außenraum die Laplace-Gleichung ∆T = 0 .
der Rand sei bekannt, sei z.B. durch eine Funktion r = f (ϕ , λ) mathematisch beschrieben
die Funktion der Randwerte f ( T ) P , P ∈ S ist bekannt
kann das Störpotential auf der Körperoberfläche und im Außenraum bestimmt
werden, nicht jedoch eindeutig im Körperinnern. Eine Aufgabe dieser Art wird als
Randwert- aufgabe bezeichnet.
Die folgenden Betrachtungen sind auf den einfachsten Fall beschränkt, in denen der
Rand eine Kugel ist.
Um den Zusammenhang mit Kugelfunktionsentwicklungen unmittelbar aufzuzeigen,
wird die Methode der Separation der Variablen verwendet. Hierbei soll die
gesuchte Funktion T(P) als Produkt von 3 unabhängigen Funktionen dargestellt
werden, bei der Verwendung von Kugelkoordinaten also durch
T ( r ,θ , λ) = f ( r ) ⋅ g(ϑ ) ⋅ h( λ)
Ist dies möglich, zerfällt die partielle Differentialgleichung in ein System von 3
gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Sind diese gewöhnlichen Differentialgleichungen vom sogenannten SturmLiouvilleschen Typ, dann ergibt das Produkt der Systeme der sogenannten
Eigenfunktionen der gewöhnlichen Differentialgleichungen das System der
Eigenfunktionen der partiellen Differentialgleichung.
Die Lösung der partiellen Differentialgleichung ergibt sich als Linearkombination der
Eigenfunktionen (Reihe).
Die Kugelfunktionsentwicklung entspricht einer typischen Lösung mittels der
Methode der Separation der Variablen.
IV.2 Laplace-Gleichung in orthogonalen, krummlinigen Koordinaten
IV.2.1 Transformationsformeln und Metriktensor
Die Lösungsstrategie hängt ab von
a)
b)
c)
der Form der partiellen Differentialgleichung. Die Laplace Gleichung ist
die einfachste unter den partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.
der Form der Körperoberfläche. Die Kugel hat die einfachste Form. Bereits das Rotationsellipsoid als Randfläche führt zu äußerst komplizierten Randwertaufgaben.
der Form der Funktion für die Randwerte. Die einfachsten Formen sind
f (T ) = T
(Dirichlet-Problem)
f ( T ) = ∂T / ∂n
(Neumann-Problem)
f ( T ) = c1 ∂T / ∂n + c 2 T ; c1 , c 2 = const .
(Robin-Problem)
wobei n die Änderung in Richtung der Flächennormale bezeichnet.
Unter den generellen Strategien zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen
sind drei, die in der Geodäsie Anwendung finden
a) Die Methode der Separation der Variablen
b) Die Methode der Greenschen Funktion bzw. der reproduzierenden Kerne
c) Die Methode der Transformation in Integralgleichungen
Standardkoordinaten im Euklidischen Raum sind rechtwinklige kartesische Koori
j
dinaten x ; krummlinige Koordinaten q seien implizit durch die Formeln
( )
x = fi q
i
j
definiert.
Man bildet die vollständigen Differentiale
[dx ]
i
( )
 ∂x i 
 ∂f q j 
i
j


 dq j
=
dq = 
 ∂q j 
 ∂q j 
[ ]
[ ]
Die Transformationsmatrix wird oft als Jacobi-Matrix bezeichnet.
Die Matrix
T
 ∂x i   ∂x i 
[ M] =  j   j 
 ∂q   ∂ q 
wird als Metriktensor bezeichnet. Für orthogonale krummlinige Koordinaten gilt,
daß die Komponenten des Metriktensors eine Diagonalmatrix bilden. Für orthogonale Koordinaten kann man deshalb schreiben
[dx ] = [ H ] [dq ] = [dy ]
i
i
j
j
j
i
∂ V
1
(
∂ V
2
1
+
∂x ∂x
2
2
2
+
∂x ∂ x
3
∂ V
2
3
=
2
∂y ∂ y
1
∂ V
1
+
∂y ∂y
2
∂ V
2
2
+
∂y ∂y
3
3
=0
Bezüglich orthogonaler krummliniger Koordinaten kann man zeigen, daß die
Laplace-Gleichung folgende Form annimmt
∆V =
 ∂

h1h2 h3  ∂q1
1
0
 dy 1 
p
 2

 dy  =  0
 3

0
 dy 
0

0

1
2) Kugelkoordinaten q1 = λ , q2 = ϕ , q3 = r
∂ V
2
∂x ∂x
1
i
Mi
Bezüglich kartesischer (orthonormaler) Koordinaten hat die Laplace-Gleichung die
einfache allgemeine Form (V allgemeine Potentialfunktion)
∆V =
0
 h h ∂V  ∂  h h ∂V  ∂
 2 3
 +
 1 3
 +
h
q
q
∂
∂
∂q 3
 1
1
2  h2 ∂q 2 
 h h ∂V  
 1 2
  = 0
 h3 ∂q3  
IV.2.2 Laplace-Gleichung bezüglich Zylinder- und Kugelkoordinaten
(
1) Zylinderkoordinaten q1 = p , q2 = λ , q 3 = z
 dx 1 
 − p sin λ
 2

 dx  =  p cos λ
 3

 0
 dx 
)
(
 x1 x1 + x 2 x 2
 tan λ 



2
1
x /x
 p  = 



3
x

 z 
 x1 
 p cos λ 
 2


 x  =  p sin λ 
 3


 z 
x 
cos λ
sin λ
0
0
1
0
0

0

1
 dλ 
 
 dp 
 
 dz 
 ∂ 2V 1 ∂V  1 ∂ 2V ∂ 2V
+ 2
∆V = 
+
+
=0
 ∂p∂p p ∂p  p ∂λ∂λ ∂z∂z
mit den Elementen
hi = Hi =
 p2

[ M] =  0

0
0

0

1
 dλ 
 
 dp 
 
 dz 
)
1/ 2





) (ϑ = 90 − ϕ )
2
1


 tan λ 
x /x




/
1
2
3
1 1
2 2

 tan ϕ  =  x / x x + x x
 1 1



2 2
3 3 1/ 2
 x x + x x + x x

 r 
 x1 
 r cos ϕ cos λ 
 2


 x  =  r cos ϕ sin λ 
 3


 r sin ϕ 
x 
(
 dx 1 
 − r cos ϕ sin λ
 2

 dx  =  r cos ϕ cos λ
 3

0

 dx 
− r sin ϕ cos λ
 r 2 cos 2 ϕ

[ M] =  0

0

0

0

1
0
r
2
0
− r sin ϕ sin λ
r cos ϕ
(
cos ϕ cos λ 

cos ϕ sin λ 

sin ϕ 
 dy 1 
 r cos ϕ
 2

 dy  =  0
 3

 0
 dy 
)
)
 dλ 
 
 dϕ 
 
 dr 
0
r
0
0

0

1
 dλ 
 
 dϕ 
 
 dr 
2
 ∂ 2V 2 ∂V   1 ∂ 2V
cot ϑ ∂V 
1
∂ V
∆V = 
+
=0
+ 2
+ 2
+ 2
2
∂ϑ  r sin ϑ ∂ϑ∂ϑ
r
 ∂r∂r r ∂r   r ∂ϑ∂ϑ
2
Multplikation mit r ergibt
2
2
 ∂ 2V
∂V   ∂ V
∂V 
∂ V
1
2
∆V =  r
+ 2r
=0
+
+ cot ϑ
+
2
∂r   ∂ϑ∂ϑ
∂ϑ  sin ϑ ∂ϑ∂ϑ
 ∂r∂r
IV.3 Das System der Eigenfunktionen der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
Die Kugelfunktionen 2. Art werden in der Geodäsie verwendet bei der Lösung von
Randwertaufgaben für das Ellipsoid als Randfläche, insbesondere bei der Ableitung
des ellipsoidischen Normalpotentials.
Basierend auf einer Separation der Variablen in der Form
IV.4 Orthogonalitätseigenschaften der Kugelfunktionen
( r ,θ , λ) = f ( r ) ⋅ g(ϑ ) ⋅ h( λ)
Die harmonischen (normalisierten) Funktionen (Kugelflächenfunktionen)
zerfällt die partielle Differentialgleichung ∆V = 0 in folgendes System von 3 gewöhnlichen Differentialgleichungen
d f (r )
df ( r )
2
I:
r
2
dr
2
+ 2r
d g(ϑ )
dr
− n ( n + 1) f ( r ) = 0
sin ϑ
2
d h( λ)
dϑ
2
− 2 cos ϑ
dg(ϑ )
dϑ
2

m 
+  n( n + 1) −
 g(ϑ ) = 0
2
sin ϑ 

dλ
2
+ m h( λ) = 0
2
Die Lösungen dieser Differentialgleichungen ergeben folgende Menge von harmonischen Funktionen, die sogenannten Eigenfunktionen des Laplace-Operators bzw.
der Laplace-Gleichung (Prüfung durch Einsetzen in die Differentialgleichungen)
I:
II:
III:
f1 (r ) = r
− ( n + 1)
f 2 (r ) = r
n
g1 (ϑ ) = Pnm ( cosϑ )
g2 (ϑ ) = Qnm ( cosϑ )
h1 ( λ) = cos m λ
h2 ( λ) = sin m λ
Die Funktionen Qnm ( cosϑ ) = Qnm ( t ) werden als Legendresche zugeordnete
Kugelfunktionen 2. Art bezeichnet. Sie sind definiert durch
m
Qnm ( t ) = sin ϑ
d
m
dt
m
erfüllen auf der Einheitskugel σ folgende Orthogonalitätsbeziehungen
Rnm ( Q) S sr ( Q) dσ Q = 0 =
σ
∫∫
∫∫
Rnm ( Q) S sr ( Q) dσ Q
∫∫
Rnm ( Q) Rsr ( Q) dσ Q
σ
n
1
k =1
k
∑
P( k −1) ( t ) P( n − k ) ( t )
σ
∫∫ S ( Q) S (Q) dσ
nm
sr
Q
= 0=
σ
∫∫ S (Q) S ( Q) dσ
nm
sr
Q
σ
3) Für s = n und r = m gilt
1
4π
∫∫ R (Q) R ( Q) dσ
nm
nm
Q
=
σ
1
4π
∫∫ S (Q) S ( Q) dσ
nm
nm
Q
=1
σ
Für die gewöhnlichen Kugelfunktionen ergibt sich (Einsetzen des Normalisierungsfaktors)
4π
mit
Rnm ( Q) Rsr ( Q) dσ Q = 0 =
σ
1
Qn ( t )
 1 1+ t 
Qn ( t ) =  ln
 P (t ) −
 2 1− t  n
∫∫
2) Für s ≠ n und/oder r ≠ m gilt
2
III:
Snm ( P ) = Pnm ( t ) sin mλ
1) Es gilt stets
2
II:
Rnm ( P ) = Pnm ( t ) cos m λ ,
∫∫ R ( Q) R ( Q) dσ
no
σ
no
Q
=
1
(N )
nm
2
=
1
2n + 1
1
4π
∫∫ R ( Q) R (Q) dσ
nm
nm
Q
=
σ
=
1
∫∫ S (Q) S (Q) dσ
nm
4π
I=
Q
σ
1
(
nm
N nm
)
2
=
( n + m) !
1
(0 ≤ ϑ ≤ π)
orthogonal und die normalisierten Polynome Pn ( t ) = Rno ( t ) in diesem
Fall orthonormal sind.
IV.5 Reihenentwicklung einer Funktion f(Q) auf einer Kugel
f (ϑ , λ) =
∑
f n (ϑ , λ) =
n=0
n
∑ ∑ [a
nm
I=
=
4π
1
4π
∫∫
(
a nm =
∫∫ ∑ ∑ a
σ
nm
Rnm (ϑ , λ) R sr (ϑ , λ) + bnm S nm
m= 0
I=

 1
a nm 
 4π
m= 0 

n
∑∑
n= 0
∫∫
σ
R nm (ϑ , λ)
4π
∫∫
f (ϑ , λ) R (ϑ , λ) dσ =
∆σq
1
4π
∑
(
~ ~
f q Rnm ϑ q , λq
q
)
)
Zur Transformation von Reihen in Integralformeln erweist sich folgender
(
(
 1

 4π
∫∫ S
σ
nm
(ϑ ,λ)
) ∑ [a
n
f n ϑ P , λP =

(ϑ , λ) Rsr (ϑ , λ)  dσ


R sr (ϑ , λ) dσ  + bnm

)
Integralausdruck in den lokalen Koordinaten ψ PQ ,α PQ als äußerst bedeutsam
nm
(
)
(
Rnm ϑ P , λP + bnm S nm ϑ P , λP
m= 0
=
Vertauschen von Integration und Summation führt zu
∞
1
)
IV.6 Randwertaufgaben für die Kugel
f (ϑ , λ) R sr (ϑ , λ) dσ
n
∫∫
f (ϑ , λ) Snm (ϑ , λ) dσ = bnm
4π σ
Diese beiden Formeln sind die grundlegenden Formeln für die Bestimmung der
Koeffizienten der Kugelfunktionsentwicklung einer Funktion f (ϑ , λ) , gegeben
auf einer Kugel.
Ist insbesondere eine Funktion empirisch, also in Form eines Datensatzes f ϑ q , λq
auf einer Kugel gegeben, so werden die Kugelfunktionskoeffizienten mittels
numerischer Integration bestimmt, also durch
σ
∞

 n=0
f (ϑ , λ) Rnm (ϑ , λ) dσ = a nm
σ
(
]
Man berechnet die Koeffizienten durch formales Einsetzen der Reihenentwicklung
für f (ϑ , λ) in das folgende bestimmte Integral
1
∫∫
~
~
wobei f q und Rnm ϑ q , λq Mittelwerte für das jeweilige Flächensegment ∆σ q sind.
Rnm (ϑ , λ) + bnm S nm (ϑ , λ)
n = 0 m= 0
1
I=
Die Grundlage zur Lösung der Randwertaufgaben für die Kugel mittels der Methode
der Separation der Variablen bildet die Reihenentwicklung nach Kugelkoordinaten
für eine auf einer Kugel gegebenen beliebigen Funktion f (ϑ , λ) . Eine derartige
Reihen-entwicklung besitzt folgende Form
∞
4π
Eine entsprechende Entwicklung ergibt entsprechend
2( 2 n + 1) ( n − m) !
Man beachte, daß die Legendreschen Polynome Pn ( t ) = Rno ( t ) im Intervall
∞
1
2n + 1
4π
∫∫
σ
(
f ϑ Q , λQ
)]
) P (cos ψ ) dσ
n
PQ
Er ist leicht herzuleiten durch Einsetzen der Identität
R sr (ϑ , λ) dσ 
n

1
Pn cos ψ PQ =
∑ Rnm ϑ P , λP Rnm ϑ Q , λQ + Snm ϑ P , λP
2 n + 1 m= 0
Infolge der Orthogonalitätseigenschaften der Kugelfunktionen haben die in eckigen
Klammern stehenden Integrale alle den Wert Null, bis auf eines. Für s = n und r = m
hat das Integral den Wert Eins und man erhält daher
(
)
(
)
(
in das Integral, was dem Leser überlassen sei.
)
(
)
(
S nm ϑ Q , λQ
)
Äußerst wichtig: stets Rekursionsformeln benutzen bei der praktischen Verwendung
dieser und aller folgenden Reihen.
IV.6.1 Reihenlösungen von Laplace
Die allgemeine Lösung von Randwertaufgaben für die Kugel ergibt sich als Linearkombination der Eigenfunktion des Laplace-Operators
2) Integrallösung, Formel von Poisson
1) für P im (massefreien) Innenraum einer Kugel mit Radius a mittels
Man setzt den Integralausdruck für
n
 rP 
 Vn ϑ P , λP
i
n=0  a 
2) für P im (massefreien) Außenraum einer Kugel mit Radius a mittels
∞
( P ) = V ( rP ,ϑ P , λP ) = ∑ 
a
∞
( P ) = V ( rP ,ϑ P , λP ) =
∑
n= 0
(
a
 
 rP 
n +1
)
(
P
)
, λP in die Reihenlösung ein,
n +1
∑
a
=  
n = 0  rP 
n +1
∑
)
2n + 1
4π
∫∫V (ϑ
Q
) (
)
, λQ Pn cos ψ PQ dσ ,
σ
vertauscht Summation und Integration und erhält
wobei
n
(ϑ
) ∑ [a
n
P
, λP =
nm
(
)
(
Rnm ϑ P , λP + bnm Snm ϑ P , λP
m= 0
)]
( P) =
Von Interesse in der Geodäsie ist die Außenraumlösung.
IV.6.2
(ϑ
a
( P ) =   Vn ( P )
n = 0  rP 
∞
∞
Vn ϑ P , λP
n
1) Reihenlösung
anm  1
 =
bnm  4π
Q
)
, λQ auf der Kugel. Man berechnet die Koeffizien-ten
 R (ϑ , λ) 
nm
 dσ
 nm (ϑ , λ) 
∫∫ V (ϑ , λ)  S
σ
∞
( P) = ∑
n=0
∞
∑
n=0
n +1
a
  Vn ( P )
 rP 
a
 
 rP 
n +1
∑ [a
n
m= 0
nm
(
)
∫∫
σ
∑
a
( 2 n + 1)  
 rP 
(
)∑
(
)

 dσ


(
Rnm ϑ P , λP + bnm S nm ϑ P , λP
)]
n +1
(
)
Pn cos ψ PQ =
(
a rP − a
2
l
2
)
3
sodaß man erhält
( P) =
(empirisch durch numerische Integration) und erhält unmittelbar für den Außenraum
die Lösung
=
∞
n=0
(ϑ
4π
n +1
∞
a

( 2n + 1)   Pn cos ψ PQ
V ϑ Q , λQ
 n= 0
 rP 

Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden Ausdruck ersetzt
werden
1.Randwertaufgabe, Formeln von Poisson (Dirichletsches Problem)
Gegeben ist die Funktion
1
(
a rP − a
2
4π
2
)
∫∫ V (ϑ
σ
Q
, λQ
) l1
3
dσ
Diese Integrallösung für die 1. Randwertaufgabe wird als Poissonsches Integral
bezeichnet.
Herleitung der Summationsidentität:
( P) =
Man multipliziere den Ausdruck
1
l
(
= r + a − 2 r a cos ψ PQ
2
2
(
2
mit dem Faktor − a l / l
2
)
−1 / 2
1
∞
∑
a
=
n=0
a
 
r
n +1
(
Pn cos ψ PQ
)
g= −
) und seine radiale Ableitung
∞
∑
a
n+ 2
( n + 1)  
r
n=0
(
Pn cos ψ PQ
2
l
2
)
3
∞
=
∑
n= 0
a
( 2 n + 1)  
r
n +1
(
Pn cos ψ PQ
a

 rP



n +1
(
Vn ϑ P , λP
)
bildet man die radialen Ableitungen
)
mit dem Faktor ( − 2 a r ) . Addition der beiden Produkte ergibt
(
∑
n= 0
r − a cos ψ PQ
d 1
1
= − 2
  = −
3
dr  l 
a
l
a r −a
∞
)
was zu zeigen war.
∂V
=
∂r
1
rP
∞
∑
n=0
(
a
( n + 1) 
 rP



n +1
(
Vn ϑ P , λP
)
)
Für die Randkugel rP = a erhält man folgende Funktion
(
∞
) ∑ g (ϑ
g ϑ Q , λQ =
n
Q
)
, λQ =
1
∞
n
a n=0
Gliedweiser Vergleich der Reihenglieder ergibt
n= 0
 n + 1
gn ϑ Q , λQ = 
 V ϑ Q , λQ
 a  n
(
)
(
(ϑ
∑ ( n + 1) V
Q
, λQ
)
)
also ausgeschrieben
IV.6.3
2.Randwertaufgabe (Neumannsches Problem)
∑ [d
1. Reihenlösung
∂V
∂r
n
=
m= 0
= g
(
a
(
)
a nm Rnm ϑ Q , λQ +
( n + 1)
a
)]

bnm Snm ϑ Q , λQ 

(
)
und damit
auf der Kugel. Man berechnet zunächst die Koeffizienten
 d 
1
nm
=

 enm  4π
 ( n + 1)
∑ 
)
Rnm ϑ Q , λQ + enm Snm ϑ Q , λQ
nm
m= 0
Gegeben seien die radialen Ableitungen
−
(
n
∫∫
σ
 R (ϑ , λ) 
nm
 dσ
g (ϑ , λ) 
 S nm (ϑ , λ) 
(empirisch durch numerische Integration). Um mittels dieser Komponenten d nm , enm
das Außenraumpotential zu berechnen, ist zunächst ihr Zusammenhang mit den
Koeffizieten a nm und bnm zu bestimmen. Ausgehend von
 d nm  n + 1  anm 
 
 =
 enm 
a  bnm 
und
 a nm 
a  d nm 
 
 =
 bnm  n + 1  enm 
Einsetzen in die Reihe für das Außenraumpotential ergibt
∞
( P) = a ∑
n= 0
a
 
 rP 
n +1
n
 d nm
∑  ( n + 1) R (ϑ
m= 0

nm
P
)
, λP +

Snm ϑ P , λP 
( n + 1)

enm
(
)
In der Praxis wird man i.a. die Koeffizienten a nm , bnm aus d nm , enm berechnen und
dann die Laplace-Reihe benutzen.
2. Integrallösung
Man setzt den Integralausdruck für
n
(ϑ
Q
, λQ
)=
(
a
)
g n ϑ Q , λQ in die Reihe
( n + 1)
(empirisch durch numerische Integration). Um mittels dieser Komponenten das
Außenraumpotential zu berechnen, ist zunächst der Zusammenhang zwischen
d nm , enm und a nm ,bnm zu bestimmen.
Wiederum ausgehend von
(
)
(
)
ein
∞
( P) = a ∑
n=0
a
 
 rP 
n +1
 2n + 1  1


 n + 1  4π
∫∫ g (ϑ
Q
) (
σ
∞
(
 2n + 1   a 
∑  n + 1   r 
) ∑
n +1
(
n=0
IV.6.4
(
Pn cos ψ PQ
) = 2la − ln
)
l + a − r cos ψ PQ
(
r 1 − cos ψ PQ
)
3.Randwertaufgabe; Formeln von Stokes und Vening-Meinesz
Das folgende Problem führt zu einer der wichtigsten Formeln der physikalischen
Geodäsie, der Formel von Stokes. Bei einer dritten Randwertaufgabe seien Randwerte der Form
 ∂V
2 
∆g (ϑ , λ) = − 
+
V
 ∂r
a 
, d .h.
c1 = − 1
,
c2 = −
2
n +1
(
Vn ϑ P , λP
)
 ∂V
2 
1
∆g ( P ) =  −
− V =
 ∂r
r 
rP
∞
∑
n= 0
a
( n − 1)  
 rP 
n +1
(
Vn ϑ P , λP
)
Dann erhält man auf der Randkugel (d.h. für rP = a ) folgende Funktion
(
) ∑ ∆g
∆g ϑ Q , λQ =
∞
n= 0
1
∞
a
n=0
∑(n − 1) Vn ( Q)
n ( Q) =
Gliedweiser Vergleich der Reihenglieder ergibt
 n − 1
∆g n ϑ Q , λQ = 
 V ϑ ,λ
 a  n Q Q
(
)
(
)
also ausgeschrieben für jeden Punkt Q die Beziehung
∑ [d
(
n
nm
n
=
 ( n − 1)
∑ 
m= 0
)
(
Rnm ϑ Q , λQ + enm Snm ϑ Q , λQ
m= 0
a
vorgegeben. In der Praxis sind ∆g (ϑ , λ) die sogenannten Schwereanomalien.
a
(
)
anm Rnm ϑ Q , λQ +
)]
( n − 1)
a

bnm S nm ϑ Q , λQ 

(
)
Dann und nur dann, wenn d10 = d11 = e11 = 0 , kann man für folgende Gleichungen
1. Reihenlösung
Man berechnet die Koeffizienten
 d nm 
1
 =
 enm  4π
n=0
a
 
 rP 
bildet man zunächst
 ∞   n +1

 2n + 1 
a



( P) =
g ϑ Q , λQ

 P cos ψ PQ  dσ
 n = 0  rP   n + 1  n

4π σ


Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden geschlossenen
Ausdruck ersetzt werden (Pick et.al. 1973, S. 478):
∫∫
( P) = ∑
)
, λQ Pn cos ψ PQ dσ
Vertauschen von Integration und Summation führt zu
a
∞
∫∫
σ
(
(

 Rnm ϑ Q , λQ
∆ g ϑ Q , λQ 
 S nm ϑ Q , λQ
(
)
)
) 
d nm =
dσ
( n − 1)
a
anm
bzw.
die inversen Gleichungen bilden
enm =
( n − 1)
a
bnm
a nm =
a
( n − 1)
bzw.
d nm
bnm =
a
( n − 1)
wobei S(ψ) als Funktion von Stokes bezeichnet wird. Als Formel von Stokes
bezeichnet man dann
enm
T ( P) =
und erhält damit als Reihenlösung für den Außenraum
a 
∞
( P) = a ∑  
n =1
n +1
r 
 d nm
∑  ( n − 1) R (ϑ
n
nm
P,
)
, λP +
m= 0

Snm ϑ P , λP 
( n − 1)

enm
(
)
(
)
a
Tn ϑ Q , λQ =
n −1
(
∆g n ϑ Q , λQ
r
δg ( P )
)
T ( P) =
4π
∫∫
σ
∞
∆g ϑ Q , λQ 
 n=2

(
)∑
a
 
 rP 
n +1

 2n + 1 
 P ( cos ψ )  dσ


 n −1  n

Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden geschlossenen
Ausdruck ersetzt werden
(
∞
) ∑
S rP , ψ =
n= 2
 2n + 1 


 n −1 
a
 
 rP 
n +1
Pn ( cos ψ )
3l a
a  2 rP

=
+ 1−
−
cos ψ
rP  l
rP rP

rP − a cos ψ + l 
5 + 3 ln

2 rP


Auf der Kugel, d.h. für a = rP , ergibt sich mit l = 2 a sin (ψ / 2)
S (ψ ) =
1
sin( ψ / 2 )
(
− 6 sin ( ψ / 2 ) + 1 − 5 cos ψ
)
−3 cos ψ ln sin ( ψ / 2 ) + sin ( ψ / 2 )
2
∫∫ ∆g (ϑ
Q
)
, λQ S (ψ ) dσ
σ


1 ∂T
 −



a ∂ϕ

∂T 
1
= −

 a cos ϕ P ∂λ 
 
2  
 − ∆g − T  
 
a  
 cos α ∂T 

−
a ∂ψ 

 cos α ∂T 
= −

a ∂ψ 

2 
 
 − ∆g − a T 
in die Reihenlösung ein, erhält man ( im folgenden mit ψ PQ = ψ ; ∆g 0 = 0 )
a
4π
Der Schwerestörungsvektor an der Kugeloberfläche ergibt sich ferner zu
2. Integrallösung, Formeln von Stokes und Vening-Meinez
In der Praxis benutzt man diese Lösung zur Bestimmung des Störpotentials T, von
dem vorausgesetzt wird, daß es keine Terme nullter und erster Ordnung enthält. Setzt
man den Integralausdruck für
a
T
 er 
 rϕ 
e λ
r 
 er 
T
 er 
 rϕ 
e λ
r 
 er 
mit α = α ( P , Q) und ψ = ψ ( P , Q) . Für die lateralen Komponenten δg1 und δg 2
ergeben sich nach Vertauschung von Integration und Differentiation folgende
Integral-formeln
 δg1 
a

 =−
4π
δg2 
∫∫ ∆g (ϑ
Q
σ
, λQ
∂S
) ∂ψ
 cos α PQ 

 dσ
 sin α PQ 
Die Integralformeln werden als Formeln von Vening-Meinesz, die Funktion
∂S (ψ )
∂ψ
= −
cos (ψ / 2)
2 sin
2
(ψ / 2 )
[
+ 8 sin ψ − 6 cos (ψ / 2) − 3
+ 3 sin ψ ln sin (ψ / 2 ) + sin
2
1 − sin(ψ / 2)
(ψ / 2)]
als Funktion von Vening-Meinesz bezeichnet.
Sowohl S (ψ ) als auch ∂S / ∂ψ haben für ψ = 0 eine Polstelle
sin ψ
lim S (ψ ) = ∞
ψ →0
lim
ψ →0
∂S
=∞
∂ψ
sodaß die Umgebung eines Aufpunktes P bei der numerischen Integration zunächst
ausgeklammert und gesondert behandelt werden muß.
S (ψ ) hat zwei Nullstellen
S (ψ = 39°) = 0
S (ψ = 117°) = 0
und zwei relative Extremwerte
S (ψ = 74 ,5°) = min ≈ − 2
S (ψ = 180°) = max ≈ + 3
Man skizziere danach die Funktion S (ψ ) .
V.
Ellipsoidisches Normalpotential
V.1
Normalpotential; Grundformeln
(
~ 1
U = U 0 = const . , φ 0 = ω~ 2 (b 2 + E 2 ) 1 − P2 ( sin β )
3
also
Elliptische und ellipsoidische (geodätische) Koordinaten ( E 2 = a 2 − b 2 )
~
0
 x1   r sin ϑ cos λ   ( N + h) cos ϕ cos λ   u2 + E 2 cos β cos λ 

  2
 2 
 
2
(
)
sin
sin
cos
sin
cos
sin
=
+
=
+
=
x
ϑ
λ
β
λ
r
ϕ
λ
u
E
N
h




  


 x 3   r cos ϑ   (1 − e2 ) N + h sin ϕ  
u sin β


(
)
~
u = const. : abgeplattetes Rotationsellipsoid mit kleiner Halbachse u
b = reduzierte Breite
b = const. einschaliges Rotationshyperboloid
wobei
Es kann gezeigt werden, daß das Potential einer längenunabhängigen Potentialfunktion durch folgende Reihe nach Kugelfunktionen dargestellt werden kann:
~
(u, β ) = ∑
n= 0

Qn i


Qn i

(
1
~
= U 0 − φ 0 = U 0 − ω~ 2 (b 2 + E 2 ) 1 − P2 ( sin β )
3
u

E ~
A P ( sin β )
b n n

E
(u , β ) =
q ( u) =
~
E 1
q ( u)
kM
arctan   + ω~ 2 a 2
P ( sin β )
u 3
q (b ) 2
E
 E   u 
1 
u2 
1 + 3 2  arctan   − 3 
 u   E 
2 
E 

 E 
1
~ 
k M = U 0 − ω~ 2 a 2   E / arctan  


 b 
3
~ ~
und somit wegen U = V + φ
U (u , β ) =
b = kleine Halbachse eines Referenzellipsoides
Konstanten:
Als Normalpotential wählt man
~ ~
U = V +φ
~
kM
q ( u)
E 1
1
arctan   + ω~ 2 a 2
P2 ( sin β ) + ω~ 2 ( u 2 + E 2 ) cos β
u 3
E
q (b )
2
~
a ,b , k M , und ω~
~
U 0 ,~
c20 , k M und ω~
~
a ,~
c , k M und ω~
20
mit
Achtung:
(
)
)
Es handelt sich also um eine erste Randwertaufgabe für ein abgeplattetes Rotations~
elllipsoid als Rand mit 0 = const . als Randwerte.
Es kann gezeigt werden (Heiskanen - Moritz 1967, S. 66), daß
Elliptische Koordinaten:
∞
)
(
1
1
2
2
~ 1
φ = ω~ 2 ( x 1 ) + ( x 2 ) = ω~ 2 ( u 2 + E 2 ) cos 2 β = ω~ 2 ( u 2 + E 2 ) 1 − P2 ( sin β )
2
2
3
)
~
Das normale Gravitationspotential
bestimmt man als Lösung folgender Randwertaufgabe. Auf einem Referenzellipsoid mit u = b sei
(geometrisch)
(physikalisch)
(praktisch; Referenzsystem 1980)
Durch Festlegung von 4 Konstanten ist das Normalpotential U im ganzen
Raum festgelegt.
~
c20 , k M und ω~ kann die zur Berechnung des
Aus den Konstanten U 0 , ~
Referenzellipsoids notwendige Größe E ( und dann b 2 = a 2 − E 2 )
berechnet werden.
V.2
Normalschwere am Niveauellipsoid (exakte Formeln)
γ =
Metriktensor: Man kann zeigen, daß ( q1 = u , q 2 = β , q 3 = λ)
 dy1   g11
  
 dy2  = 
 dy3   0
Mit
2
2
 m q ′(b) 
ρ P = 1 + e′

 3 q (b ) 
r
d y = orthonormale lokale Basis in Richtung der Koordinatenlinien
Die Elemente des Metriktensors sind
g11 =
a a sin β + b cos β
2
[ρ
p
sin 2 β + ρe cos 2 β
]
mit den Hilfsgrößen (Abkürzungen)
0   dq1 


  dq 2 
g33   dq 3 
g22
kM
2
q ′ ( u) = −
u 2 + E 2 sin 2 β
, g22 = u 2 + E 2 sin 2 β , g33 = ( u 2 + E 2 ) cos 2 β .
u2 + E 2
m=
hi = gii
 ∂ U / ∂ S1   (∂ U / ∂ q1 )(∂ q1 / ∂ S1 )   (1 / h1 )(∂ U / ∂ u) 
 

r 
 
γ = ∂ U / ∂ S2  = (∂ U / ∂ q2 )(∂ q 2 / ∂ S 2 )  = (1 / h2 )(∂ U / ∂ β ) 
∂ U / ∂ S 3   (∂ U / ∂ q 3 )(∂ q3 / ∂ S 3 )   (1 / h3 )(∂ U / ∂ λ) 
 E 
dq  u 2 + E 2   u 
=
1 −   arctan  − 1
 u 
du  E   E 
ω2 a2 b
kM
kM
ρ
(Schwere am Äquator)
ab e
kM
wird γ P = 2 ρ P
(Schwere am Pol)
a
wird γ e =
Für β = 00
erhält man die Komponenten des Normalschwerevektors in der lokalen Basis mittels
u2 + E 2
E

me′ q ′(b) 
ρe = 1 − m −

6 q(b) 

Für β = 90 0
Theorem vom Clairaut: kann aus obiger Formel abgeleitet werden
a − b γ P − γ e ω 2 b  e′ q ′ (b) 
*
+
=
1+
= f − f
γe
γ e  2 q (b ) 
a
oder ausführlich geschrieben:
(Prüfung durch Einsetzen). Mittels dieses Theorem und weltweit verteilten (wenigen)
Schweremessungen leitete Helmert im Jahre 1901 den Wert für die Abplattung von
f=1/298,3 ab.
∂U
γ 1 = γ u = ( u + E ) ( u + E sin β )
∂u
2
2
2
2
γ 2 = γ β = 1 / u 2 + E 2 sin 2 β
γ 3 = γ λ = 1/
(u
2
+ E 2 ) cos 2 β
2
∂U
∂β
∂U
∂λ
(γ
β
= 0 nur am Normalellipsoid
(γ λ ≡ 0
)
wegen Rotatiossymmetrie)
Bildet man die partielle Ableitung von U nach u und setzt u = b (Schwere am Normalellipsoid) erhält man folgenden Ausdruck für die Normalschwere am Normalellipsoid
U = U0
Aus obiger Formel ergibt sich
γ=
a γ P sin 2 β + b γ e cos 2 β
a 2 sin 2 β + b 2 cos 2 β
Mit tan β = (b / a ) tan ϕ ergibt sich das
Abb.: V.1 Normale Lotlinie und Ellipsoidnormale
V.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationsanteils des Normalpotentials
Theorem von Simogliana:
γ=
a γ e cos 2 ϕ + b γ P sin 2 ϕ
Der Gravitationsanteil % des Normalpotentials kann, da es nicht von l abhängt
(rotationssymmetrisch), nur zonale Terme enthalten:
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
Nach dieser exakten Formel wird die Normalschwere am Niveauellipsoid U = U 0
berechnet.
In Außenräumen sind die exakten Formeln für die Normalschwerekomponenten:
γ u = h1
γβ
+
r
~
kM
r
a
∑ ~cn 0   Pn ( cos ϑ )
r
n= 2
∞
n
2i
i
 E  ( −1) 
2i 
m e′
~
1 +

cn = ~
c2 i =  
 a  ( 2i + 1)  3q (b ) ( 2i + 3) 


∂U
ω 2 a 2 q( u)
2
2
2 

= h2
= h1
− ω u + E sin β cos β
∂β
 u 2 + E 2 q(b)

Anstelle dieser Formeln werden in der Praxis durch Taylerreihenentwicklung
entstandene Formeln benutzt:
Achtung: Das in der Satellitengeodäsie benutzte Störpotential (homogene Kugel als
Normalpotential) und in der terrestrischen Geodäsie benutzte Störpotential T,
(W=U+T), hängt zusammen durch
geod
 2
3 
γ h = γ 0 1− (1 + f + m − 2 f sin 2 ϕ ) h h 2 
 a
2 
h
ϕ * − ϕ = δϕ =& f * sin 2ϕ =& − 0′′.17 hkm sin 2ϕ
R
Ellipsoidnormalen
=
~
kM
Zum andern kann es, wegen der Äquatorsymmetrie, nur gerade zonale Terme (n = 2i,
n = 2,4 ...) enthalten. Man kann ableiten (Heiskanen - Moritz 1967, S. 73)
 kM

∂U
1
ω 2 a 2 E q ′( u)  1 2
 sin β −  − ω 2 u cos 2 β 
= − h1  2
+
2
2
2
6
∂u
u + E q (b )  2
u + E

δ ϕ L Winkel
zwischen
Normalschwerevektors.
~
cn
= cn − ~
cn
sat
V.4 Geodätische Referenzsysteme und Bezugsellipsoid
und
Richtung
des
International vereinbart durch die Internationale Union für Geodäsie und Geophysik
sollen seit 1980 folgende Größen zur Definition geodätischer Referenzsysteme (GRS
1980) verwendet werden:
a = 6378137 m
% = 398600.5 × 10T m3 sec −2
kM
δϕ
J 2 = + 1082 . 63 × 10 −6 = − c%20
ω% = 7 . 292115 × 10 −5 rad / sec
Mittels der beiden exakten Gleichungen
ϕ
~
c20 = −
(
e′
2
3 1 + e′
2
)

2 m e′ 
1 −

 3,5 q(b) 
q (b ) =
2
b 
b
E
1 
1 + 3    arctan − 3   
E 
 E  
b
2 
[(
= 3 + e′
2
) arctan e′ − 3] ( 2e′ )
2
lassen sich iterativ die beiden Größen e ′ und q (b) berechnen und, wenn e ′ berechnet
(
)
ist, alle anderen Größen z . B. U o , f , b , γ e , γ P usw. .
VI.1 Höhenanomalien und Geoidundulationen
Definition: Die Höhenanomalie eines Punktes P im Raum ist gleich dem Abstand des
Punktes P von der normalen Niveaufläche U = WP = const , gemessen
längs der normalen Lotlinie durch P.
Ist ein Normalpotential U definiert, so ergibt sich das Störpotential T aus
Theorem von Bruns:
VI.
Ellipsoidisches Störpotential
W =U + T
Achtung:
Das Störpotential und alle daraus abgeleiteten Begriffe sind abhängig von
Figur und Lagerung des das Normalpotential definierende Niveauellipsoids.
ς P = TP / γ Q
Beweis: Taylorentwicklung
(
)
T P = W P − U P = WP − U Q − ( ∂ U / ∂ h ) Q ς P + L = 0 + γ Q ς P
Definition: Die Höhenanomalie eines Punktes P am Geoid wird Geoidundulation
genannt.
Die Höhenanomalie eines Punktes P an der Erdoberfläche wird Quasigeoidundulation genannt.
Als Quasigeoid wird die Fläche bezeichnet, die durch Auftragen der
Quasigeoidundulation auf das Ellipsoid entsteht (rein fiktive Fläche).
Als Telluroid wird die Fläche bezeichnet, die durch Abtragen der
Quasigeoidundulationen nach unten entsteht (rein fiktive Fläche).
VI.2 Schwerestörungsvektor und Lotabweichungskomponenten
Der Schwerestörungsvektor ergibt sich mittels
∂ T / ∂ y  ∂ W / ∂ y  ∂ U / ∂ y 
1
1
1
 
 

r 
δ g =  ∂ T / ∂ y 2  =  ∂ W / ∂ y 2  − ∂ U / ∂ y 2 

 
 

∂ T / ∂ y 3  ∂ W / ∂ y 3  ∂ U / ∂ y 3 
Es ist zweckmäßig, 3 lokale Basen zu betrachten (Abb. VI.2):
r
y3 = Richtung der realen Lotlinie ( P auf Einheitskugel)
r
y 3γ = Richtung der normalen Lotlinie ( P* auf Einheitskugel)
r
y3 = Richtung der Ellipsoidnormalen ( P auf Einheitskugel)
Abb. VI.1 : Meridianausschnitt
r
x3
[yri ] =  R((90°−Φ)) R(∆λ) R(−(90°−Φ)) R(−ξ * )[yri ]γ .
2
Λ−λ
η
r
γ
∗
ξ*
r
- nE
Θ
P
f
f**
r
g
r
x1
λ
ξ
r
y3
cos ξ * ≈ 1,sin ξ * ≈ ξ * ,cos ∆λ ≈ 1,sin ∆λ ≈ ∆λ und ψξ * ≈ 0 mit ψ = ∆λ sin( Φ) lauten
die Formeln:
Φ
 γ z1   sin( Φ) 0 cos( Φ)   1 − ∆λ 0  sin( Φ) 0 − cos( Φ)   1 0 − ξ*   0 

γ  = 
 0 1
0
1
0  ∆λ
1
0  0
1
0
0   0 
 z2  

 γ z 3  − cos( Φ) 0 sin( Φ)   0
0
1 cos( Φ) 0 sin( Φ)  ξ* 0
1  − γ 


r
y3γ
r
x2
Λ

 0 
1
− ∆λ sin( Φ)
− ξ*


*
*
1
− ∆λξ sin(Φ) − ∆λ cos(Φ   0 
=  ∆λ sin( Φ) − ξ ∆λ cos( Φ)

 − γ 
∆λ cos( Φ)
1
ξ*

 

 
  ξ *γ 
ξ*γ
ξ *γ



  
=  γ ( ∆λξ* sin( Φ) + ∆λ cos( Φ))  =  γ ( ψξ* + η)  ≈  γη 

 
 − γ 
−γ
−γ

 
  
erfolgt aufgrund der Definitions-
ξ = Φ − ϕ = ξ − δϕ
*
ϕ − ϕ = δ ϕ =& − 0′′.17 hkm sin 2ϕ
*
 0 
r r r  
δg = g − γ =  0 
 − g 
 ∂ U / ∂ y1γ   0 

  
∂ U / ∂ y 2 γ  =  0 
 ∂ U / ∂ y  − γ 
γ  


r
Transformation der Komponenten des normalen Schwerkraftvektors in das y -System
erfolgt mittels
T
ξ * γ 


r
[yi ] −  ηγ 
−γ 


T
 − ξ*γ 


r
[yi ] =  − ηγ 
− g + γ 


T
 ξ*γ 


r
[yi ] = −  ηγ 
( g − γ ) 


T
[yvi ]
Die Größe δ g = ( g − γ ) wird Schwerestörung genannt. Alle Komponenten des
Schwerestörungsvektors sind von gleicher Größenordnung:
ξ
Die lokalen Basen sind so gewählt, daß für die realen und normalen Schwerkraftskomponenten gilt:
 ∂ W / ∂ y1   0 
∂ W / ∂ y  =  0 
2 


 ∂ W / ∂ y3  − g 
2
r
y3
Die positive Richtungsfestlegung für ξ und η
gleichungen
*
2
Nach Einführung der Vereinfachungen
r
r r
Abb. VI.2: Lokale Zenitrichtungen y 3 , y 3γ , y 3 auf der Einheitskugel
ξ = Φ−ϕ
η = Λ−λ
3
*
max
~ 1′ , η max ~ 1′ , δ g max ~ 300 mgal
VI.3 Schwereanomalien Dg (Meßgrößen) und Formel von Stokes
Definition:
∆ g = gP − γ Q
Wegen
1 ∂γ 
 TP
γ P = γ Q + (∂ γ / ∂ h ) ς = γ Q + 
 γ ∂ h Q
erhält man
1 ∂ γ 
 TP
∆ g = gP − γ P + 
γ ∂ h 
(
)
∆ gP = −
1 ∂γ 
 T
+
∂ h  γ ∂ h Q
∂T
Setzt man g =& R = 6371 km, g =& G = 979,8 gal = kM/ R 2
erhält man
∂γ
∂h
=&
∂G
2
= −   G = − 0.3086 [mgal / m]
R
∂R
und
1 ∂γ
γ ∂h
=&
1 ∂G
G ∂R
=−
2
R
Damit erhält man
∂ T 2 
∆ g =& − 
+ T
R 
∂ γ
Unter Vernachlässigung der Tatsache, daß diese Werte auf der Erdoberfläche als
Rand und nicht zu einer mittleren Erdkugel als Rand gegeben sind, kann man sie in
die Formel von Stokes einsetzen und erhält (IV.6.4) in guter Approximation
T=
R
4π
∫∫ ∆ g S (ψ ) dϑ
0
Mit Hilfe dieser Formel wird das Störpotential bzw. Quasigeoidundulationen aus
Schwereanomalien berechnet.
VII.
erhält man
Theorie des Nivellements
∫ gr
VII.1 Geometrisches Nivellement
q
r
r r
⋅ dy q = g ⋅ ∆s = − g ⋅ ∆n
q
Das Linienintegral in dem konservativen Kraftfeld des Erdschwerevektors ergibt die
Potentialdifferenz
und
WB − WA = −
B
r r
WB − WA = g ⋅ dx
∫
∑g
q
⋅ ∆nq
q
A
Man zerlegt das Integral in eine Summe über q einzelne Standpunkte:
WB − WA =
∑ ∫ gr
q
q
Sei W = WNN = const . die Äquipotentialfläche Normal Null, die als Höhenbezugsfläche in Deutschland dient. Dann nennt man
C A = WNN − WA
r
⋅ dx q
q
q
Für jeden Standpunkt wählt man ein neues lokales System y :
r
y 3 = Lotrichtung
die geopotentielle Kote eines Höhenfestpunktes A. die geopotentielle Höhe CB eines
anzuschließenden Neupunktes B
C B = WNN − WB
ergibt sich mittels
Niveau −
C A − CB = WB − WA = −
fläche
∑g
q
⋅ ∆n q
q
Geopotentielle Koten werden in geopotentiellen Einheiten ( geopotential units )
[g.p.u.] angegeben:
∆n q = Differenz der Lattenablesung
r
∆s q
Ist die Lattenentfernung so klein, daß man setzen kann
 0 

r 
g = 0 


 − g q 
 ∆s cos α 
q

r
r 
∆s = ds =  ∆sq sin α 


 ∆n q 
1[ g . p. u .] = 1 kgal ⋅ meter
VII.2 Astrogeodätisches Nivellement
Ein Linienintegral in dem konservativen Kraftfeld des Schwerestörungsvektors ergibt
die Potentialdifferenz
B
r r
TB − TA = δg ⋅ ds
∫
A
Mit
γ ⋅ ξ * 


r
δg = − γ ⋅ η 


 δg 
und
 ds cos α 

r 
ds =  ds sin α 


 dh 
erhält man
B
B
∫
∫
TB − TA = − γ ( ξ cos α + η sin α )ds − ( g − γ )dh
*
A
A
oder, wegen γ =& G = const
B
∫
B
TB − TA = − G ( ξ cos α + η sin α )ds − G
A
*
∫
A
δg
G
dh
Das zweite Glied wird Null, wenn das Nivellement längs einer Äquipotentialfläche
(z.B. das Geoid) durchgeführt wird.
Die Meßwerte für ξ und η müssen so dicht sein, daß linear zwischen den Meßwerten
interpoliert werden kann.
Bei dem astro-geavimetrischen Nivellement benutzt man Schweremeßwerte und die
Formel von Vening-Meinesz, um zwischen gemessenen Lotabweichungen zu
interpolieren.
VIII.
Höhen über dem Meeresspiegel
VIII.1 Normalhöhen
VIII.1.1 Ellipsoidische Höhe h und Normalpotential
Aus den geopotentiellen Koten C P werden Höhen über dem Meeresspiegel H P
abgeleitet durch Division mit einem geeignet gewählten Schwerewert. Die Wahl des
Schwerewertes bestimmt die Definition der Höhe.
Bei der Definition von Höhen ist zu beachten:
- aus gegebener Höhe H P muß die geopotentielle Kote C P eindeutig ableitbar
sein.
- Die Höhe H P über dem Meeresspiegel und die ellipsoidische Höhe h P
müssen eindeutig verknüpft sein.
Beiden Forderungen entsprechen am besten die von Molodenski definierten Normalhöhen ; die Definition geht von der 2. Forderung aus.
Das Linienintegral längs einer normalen Lotlinie
P
r r*
U P − U 0 = γ ⋅ dh = γ ⋅ dh
∫
∫
Q0
kann geschrieben werden als
 1
*
(U P − U 0 ) = hP  *
 h P
P
∫ γ ⋅ dh
Q0
*



*
wobei h P ( Länge der normalen Lotlinie) mit der ellipsoidischen Höhe h P fast
identisch ist. Der Ausdruck
1
*
hP
P
∫ γ ⋅ dh = γ =
*
Q0
1
hP
P
∫ γ ( z ) ⋅ dz
Q0
ist der Mittelwert der Normalschwere längs der normalen Lotlinie. Wird der
Ausdruck
 2
3 2
2
γ ( z ) = γ 0 1 − ( 1 + f + m − 2 f sin ϕ )z + 2 z 
 a

a
in das Integral eingesetzt, erhält man
2

hP  hP  
2

γ = γ 0 − γ 0 ( 1 + f + m − 2 f sin ϕ ) +   

a  a  
und damit für die ellipsoidische Höhe hP = hP
*
( U P − U 0 ) = γ hP
( U P − U 0 ) ist aus hP direkt, hP aus ( U P − U 0 ) iterativ zu berechnen, wobei die
Breite ϕ P näherungsweise bekannt sein muß.
Q
∫ γ dh = H γ
CP =
VIII.1.2 Normalhöhen über NN
*
Q0
2

HP*  HP*  
 
γ = γ 0 − γ 0 (1 + f + m − 2 f sin 2 ϕ )
+
a
 a  

W = WP ( Höhe des Punktes P )
P
Q
ζP
∫
*
*
∆W = γ dh = ∆H γ =& ∆H γ Q
Q
Q
P
∆h
∫
TP = γ dh = ζ γ =& ζγ Q
*
Q
Q
C P = WNN − WP
wobei bezeichnet wird
*
h
H als Normalhöhe
*
∆H als Datumskorrektion
ζ als Höhenanomalie
W = WNN ( Höhenreferenzflä che)
x
∆W = Wg − WNN
W = Wg ( ozeanographisches Geoid )
Offensichtlich ist dann mit sehr hoher Genauigkeit
h = H + ξ + ∆H
*
W = W0 = U 0 ( geodä tisches Geoid )
Q0
Der Normalhöhe allein kommt keine geometrische
Bedeutung zu, jedoch kann aus ihr C P jederzeit eindeutig wieder berechnet werden.
*
Sind Normalhöhen H ( Nivellement ) und ellipsoidische Höhe h ( z.B. GPS )
gegeben, kann daraus
ζ + ∆H = h − H
*
C P = geopotentielle Kote
∆W = Höhendatum
*
*
und
T + ∆W = ( ζ + ∆H ) ⋅ γ Q
*
Man kann zerlegen
U 0 − WP = W0 − ( WP − TP ) = ( W0 − WP ) + TP = C P + ∆W + TP
man zerlegt entsprechend die Integration willkürlich in 3 Teile
Q
Q
P
Q0
Q
Q
U 0 − U P = ∫ γ dh + ∫ γ dh + ∫ γ dh = C P + ∆W + TP
mit
berechnet werden.
Sobald T ( Satellitenmission ARISTOTELES ) mit sehr hoher Genauigkeit bestimmt
*
ist, kann ∆W berechnet werden. Dann wird man Normalhöhen H ableiten aus
H = h − ( ζ + ∆H )
*
und weiträumige Nivellements werden entbehrlich.
Orthometrische Höhen haben daher nur theoretische Bedeutung ; sie wurden früher in
der Praxis durch Helmert-Höhen, Niethammer-Höhen usw. als Näherungswerte für
die orthometrischen Höhen ersetzt.
VIII.2 Orthometrische Höhen
P
VIII.3 Sphäroidische Höhen
Da es bei der Entstehung des Deutschen Haupthöhennetzes noch keine transportablen
Gravimeter gab, konnten keine Schwerewerte gemessen werden. Nach einem Vorschlag von Helmert kann man daher Näherungswerte für die geopotentiellen Koten
ausgerechnen mittels
H
P0
B
∆H
W = WNN
∫
~
~
∆C AB = WB − WA = γ dn
A
P0
N
W = U0
Der Fehler ( Soll - Ist ) beträgt offensichtlich
∫
∫
∫
f∆C AB = g dn − γ dn = δg dn
Q0
U0
Die orthometrische Höhe ist definiert als Länge der Lotlinie zwischen dem Punkt P
und der Äquipotentialfläche W = WNN
P
1
C P = g dH = H 
 H
P
∫
0
P

P0

∫ g dH  = Hg
Um g exakt bestimmen zu können, muß die Dichte ρ des Gesteins der Topographie
bekannt sein.
Zwar gilt die Formel:
h = H + ∆H + N
jedoch muß zur Berechnung von N das tatsächliche Störpotential T ( P0 ) im Erdinneren bekannt sein, wozu wieder die Dichte ρ des Gesteins der Topographie
bekannt sein muß.
Dieser theoretische Schleifenschlußfehler wurde zusammen mit den Meßfehlern ausgeglichen.
~
Eine darauffolgende Berechnung sog. sphäroidischer Höhen H
~
~
C P = H P γ~P
mit
1
γ~ = ~
HP
~
HP
∫γ
dz
z=0
entspricht offensichtlich der Berechnung der Normalhöhen. Sphäroidische Höhen
sind als Approximation von Normalhöhen anzusehen ( Wolf, Zfv 1974 ).
IX.
Gravitationspotential und Kollokationsverfahren ; Kelvinkugel
mit der dimensionslosen Größe
(
IX.1 Grundprinzipien
Als Kollokationsverfahren bezeichnet man die Aufstellung einer speziellen Lösung
~
einer Differentialgleichung ( im folgenden ∆T = 0 ) derart, daß die Lösung T
vorgegebene Informationsdaten f ( T , Qi ) in Punkten der Randfläche oder im
Außenraum (wo ∆T = 0 gilt) exakt reproduziert:
(
)
(
~
f T ; Qi ≡ f T ; Qi
)
∑b K
i
f
Die Funktionen K ( P , Q ) sind die sogenannten reproduzierenden Kerne von
speziellen Hilberträumen harmonischer Funktionen. In den beiden angegebenen
Fällen ist eine einfache physikalische Interpretation der Kerne und damit des
Approximations-verfahrens möglich.
Wir stellen die dimensionslose Größe σin folgender Form dar
( P , Qi )
2
~
~
also für den zunächst betrachteten einfachsten Fall f ( T , P ) = T ( P )
∑ b K ( P, Q )
i
i
Die von den Meßpunkten Qi und dem Punkt P, an dem die Funktion berechnet
werden soll, abhängige Funktion K ( P , Qi ) wird reproduzierender Kern genannt.
Es kann gezeigt werden, daß für Potentialfunktionen, die außerhalb einer sogenannten
Kelvin-kugel mit dem Radius R harmonisch sind, der reproduzierende Kern die
folgende, sehr einfache Form haben muß
∞
σ=
rk
rP rQ
=
rM
rP
wobei
i
K ( P , Q ) = ∑ k nσ
1
2
IX.2.1 Punktmassenmodell
i
~
T ( P) =
2
IX.2 Kelvintransformation und physikalische Interpretation
Die Lösung hat die Form einer Summe
~
f (T , P) =
)
L = σ − 2σ cos ψ + 1
2
rM =
rk
rQ
der Radiusvektor eines Punktes M innerhalb der Kelvinkugel mit dem Radius rk ist.
(siehe Abb. IX.1)
2
n +1
Pn (cos ψ )
;
kn ≥ 0
;
σ=
n= 0
rk
rP rQ
wobei ψ der räumliche Winkel zwischen P und Q ist. Für gewisse k n kann diese
Reihe aufsummiert werden. Insbesondere ergeben sich für
K ( P ,Q) =
kn ≡ 1
kn =
1
n +1
σ
L
K L ( P , Q) = ln
L +σ +1
L −σ +1
Abb. IX.1 : Kelvinkugel und Kelvinspiegelung
Der Faktor km / c hat die Dimension eines Potentials. Das Integral hat folgende
Lösung
( nachprüfen durch Differenzieren ! )
Es läßt sich einfach nachweisen
σ
L
=
rM
l
z2
∫
wobei l die räunliche Strecke zwischen P und M ist. Man erhält
~
T( P)=
biσi
( bi rM )
∑ b K ( P , Q ) = ∑ L( P , Q ) = ∑ l ( P , M
i
i
i
i
i
i
l
= ln A − ln B = ln
)
(
i
i
(
− z ) + (s
)
(
B = zP
( k mi )
∑ l( P , M
B
(
)
1
2
2
P
(
+ zP
1
2 2
)
−z ) )
A = z P − z2 + s P + z P − z2
Ordnet man andererseits Punktmassen kmi in den Punkten M i an, erhält man
T( P ) =
A
mit
i
i
z1
dz
)
1
2 2
1
In Kugelkoordinaten erhält man für eine Massenlinie, angeordnet in radialer
Richtung, folgenden Ausdruck
Vergleich der Koeffizienten der beiden Summen ergibt
ϕ ( P) =
bi rM = k mi
i
Die zunächst abstrakten Koeffizienten b i (Dimension eines Potentials) lassen sich
r
also als Punktmassen dividiert durch den Radiusvektor M der Postion dieser
Punktmassen interpretieren.
i
[ln(r − r
c
km
P
)]
cos ψ + 1
r2
r = r1
Setzt man
r1 = 0
(r )
2
r2 = rM = σ rP =
K
rQ
IX.2.2 Massenlinienmodell
erhält man folgenden Ausdruck
Das Potential einer homogenen Massenlinie, angeordnet in Richtung der z-Achse,
wird mathematisch beschrieben durch
ϕ ( P) = k
z2
∫
z1
ρ
......
......
km ......
c
ρ
l
z2
dz = k ρ
∫
z1
dz
l
Massenliniendichte
Länge der Linie
Gesamtmasse der Linie
=
km
c
z2
∫
z1
ϕ ( P) =
dz
l
km
c
L + σ − cos ψ
ln
1 − cos ψ
Multipliziert man Zähler und Nenner mit ( L − σ + 1) , kann man den Ausdruck
umformen zu c ≡ rM :
(
ϕ ( P) =
)
km
c
ln
( L + σ + 1)
( L − σ + 1)
=
km
rM
K L ( P ,Q)
K L ( P , Q) ist ein weiterer Sonderfall eines reproduzierenden Kerns. Die Massenlinien müssen nicht unbedingt bis zum Kugelmittelpunkt reichen. Setzt man für den
unteren Begrenzungspunkt, anstelle von r1 = 0 ,
r1
rP
=
(r
M
−c
rP
)
In planarer Approximation ( lokaler Teil einer Äquipotentialfläche ( Geoid ) wird
durch Horizontalebene als Tangentialebene approximiert ) kann das Störpotential dargestellt werden mittels:
T ( P ) = ∑ bi K P , Qi
=σ
(
(
)
)
L +σ +1
km  ( L + σ + 1)
 ln
ϕ ( P) =
− ln
c  ( L − σ + 1)
L −σ +1
(



)
(
) 
) 
k m  ( L + σ + 1) L − σ + 1
 ln
ϕ ( P) =
c  ( L − σ + 1) L + σ + 1
)
(
(
)
)

 →

[(
LR = R + z P
(
σ
P
Q
)
R
+ zP + L
)
2
+ sP
)
]
1
2 2
2
1
2
+ sP 

2
L
Die Bedeutung der Größen sind folgender Zeichnung zu entnehmen.
IX.2.2 Planare Formen (Halbraumformen)
Die planaren Formen entstehen durch eine Kelvinspiegelung an einer Ebene,
mathematisch ausgedrückt durch
also
(B + z

L =  B + zQ + z P

Radiale Massenlinien, die nicht bis zum Erdmittelpunkt reichen, kann man offensichtlich gut nutzen, um geophysikalisch vorgegebene Massenanomalien ( z.B.
Krustenwurzeln von Gebirgen, abtauchende tektonische Platten usw. ) zu modellieren. Hierbei wird das Potential von vertikalen Quadern durch radiale Massenlinien
approximiert; die zunächst mathematisch abstrakte Approximationsformeln erhalten
einen geophysikalischen Sinn.
( z M − z k ) = −( zQ − z k )
(R + z ) + L
wobei
Läßt man c gegen Null gehen, bei Beibehaltung der Gesamtmasse, muß sich offensichtlich als Grenzwert das Potential eines Massenpunktes ergeben, also :
rM  ( L + σ + 1) L − σ + 1
ln 
c  ( L − σ + 1) L + σ + 1
)
oder mit ( entspricht Massenlinien )
K P , Qi = ln
(
(
(
1
2 2
B

K P , Qi = B s P 2 + z P + zQ + B  =


L
bzw.
c→0
)
mit ( entspricht Punktmassen )
erhält man
lim
(
i
z M = −( zQ − 2 z k ) = −( z Q + 2 B )
*****
Beachte, daß B , R > 0 und z P , zQ > − B / 2 sein müssen, normalerweise sind z P , zQ > 0
.Damit sind aus physikalischer Sicht die grundlegenden Informationen zur Form der
Massensingularitäten zusammengestellt, allerdings nur für den Fall, daß als
Dateninformationen nur Potentialwerte T ( Q) vorliegen.
IX.4 Prädiktionseigenschaften
IX.3 Massenbestimmung
Das Problem der Massenbestimmung führt zur Aufstellung und Lösung eines
linearen Gleichungssystems.
Es seien eine Anzahl von Potentialwerten T Qi im Außenraum der Kelvin-Kugel (in
der Praxis auf oder außerhalb der Erdoberfläche ) gegeben. Das Potentialmodell
~
T ( P ) ( d.s. als Parameter die Punkt- bzw. Linienmassen ) soll so bestimmt werden,
~
daß die Modellwerte T ( P ) exakt mit den Potentialwerten T ( Q) in den Meßpunkten
Q übereinstimmen, daß also gilt:
( )
Prädiktionsfunktionen in sog. Hilberträumen mit reproduzierendem Kern weisen alle
die sog. Minimum-Norm Eigenschaft auf
~
T ( P ) − T ( Q) = 0
Es sind n Daten ( die Potentialwerte T ( Q) ) gegeben und n Unbekannte ( die Koeffizienten bi = kmi / rM ) gesucht.
Man stellt nun folgendes Gleichungssystem ( mit zunächst unbekannten bi ) auf,
wobei in dem mathematischen Ausdruck für K ( P , Q) P = Q j und Q = Qi gesetzt
wird
:
i
( )
(
) (
)
(
)
T ( Q ) = b K ( Q , Q ) + b K ( Q ,Q )+ .....+b K ( Q , Q )
P = Q1 T Q1 = b1 K Q1 , Q1 + b2 K Q1 , Q2 + .....+bn K Q1 , Qn
rK → 0
P = Qn
2
0
1
( )
2
(
1
2
2
)
(
2
n
)
2
(
)
Man erhält in Matrizenschreibweise ( die Matrix K ij ist symmetrisch )
i , j = 1, n
Zwar ist det K ij ≠ 0 stets erfüllt, aber das System wird schlecht konditioniert, wenn
rK → 0 . Die [bi ] werden mit dem Algorithmus von Gauß bzw. Choleski berechnet.
Formal ist die Lösung
[b ] = [ K
i
i
j
T% = min
Die Norm ist mathematisch darstellbar entweder durch eine quadratische Form oder
ein Integral über den Außenraum Ω K bzw. die Oberfläche ω K der Kelvin-Kugel. Als
quadratische Form hat man stets
~
T
2
)] [T (Q )]
−1
j
Die Integralformen sind verschieden für individuelle reproduzierende Kerne. Für die
beiden bisher behandelten Kerne kann man zeigen
K ( P , Q) =
~
T
] [T ]
j
~
Die mittels der Werte bi = kmi / rM definierte Potentialfunktion T ( P ) P erfüllt die
~
Bedingung T ( P) − T ( Q) = 0 .
2
σ
:
L
=
1
4π
K ( P ,Q) = ln
~
T
−1
i
][ (
[
= T ( Qi ) K Qi , Q j
n
T Qn = b1 K Qn , Q1 + b2 K Qn ,Q2 + .....+bn K Qn , Qn
T j = K ij bi
~
Man beachte, daß das Modellpotential T ( P ) nur ein Modell unter unendlich vielen
Modellen ist, die die Daten exakt reproduzieren würden. Das Ergebniss ist abhängig
von der ( völlig beliebigen ) Form des reproduzierenden Kerns, d.h. von den Koeffizienten k n und dem Radius rK der Kelvin-Kugel. Es stimmt sicher nicht mit dem
tatsächlichen Potential T überein, sondern ist immer nur eine Annäherung an dieses.
IX.4.1 Globale Prädiktionseigenschaften ; Minimale Norm
2
=
~
~
TdΩ
∫∫∫ r grad Tgrad
1
K
ΩK
L +σ +1
:
L −σ +1
1
4π
~
~
TdΩ
∫∫∫ grad Tgrad
ΩK
K
+
1
2π
∫∫ grad
ωK
2
~
~
Tgrad 2 Tdω K
Hierbei ist ( r,ϕ , λ = Kugelkoordinaten ) gesetzt
~ 2
2
~
~  ∂T 
~ 2
~ 2
grad Tgrad T =   + ( grad 2 T ) = (δg ) + ( grad 2 T )
∂
r
 
K (ψ ) mit der Gitterweite ∆ψ übereinstimmt. Der Wendepunkt von K (ψ ) ist stark
korreliert mit dem Radius rK der Bjerhammar-Kugel.
IX.4.2.2
Kriterium des minimalen Prädiktionsfehlers :
und
~ 2
~
~  1 ∂T   1 ∂T 
 +
grad 2 Tgrad 2 T = 

 r ∂ϕ   r cos ϕ ∂λ 
2
d.h. die Integrationen werden über die Quadrate der radialen bzw. lateralen Komponenten des Schwerestörungsvektors durchgeführt. Infolge dieser globalen Prädiktionseigenschaften ist das Verfahren sehr gut geeignet zur numerischen Berechnung
Von Ableitungen aus gegebenen Funktionswerten (numerisches Differenzieren bzw.
numerische Gradientenbildung ).
IX.4.2 Lokale Prädiktionseigenschaften ; Radius der Kelvinkugel
Die lokalen Prädiktionseigenschaften hängen ab von:
-
dem Verhalten der Datenwerte (von der Natur vorgegeben)
der Verteilung der Meßpunkte (kann der Mensch wählen)
der Form des reproduzierenden Kerns (insbesondere der Größe rk des
Radius der Kelvinkugel)
Es empfiehlt sich i.a., von den Daten eine Kugelfunktionsentwicklung des
Störpotentials niedrigen Grades n und Ordnung m abzuziehen.
Es empfiehlt sich weiterhin, entweder von vornherein ein einigermaßen regelmäßiges
Datengitter anzustreben oder, bei stark unregelmäßig verteilten Meßdaten, ein
regelmäßiges Datengitter durch Interpolation zu erzeugen.
IX.4.2.1
Stabilitätskriterium
Damit die Interpolationskurve zwischen den Stützpunkten nicht oszilliert, sollten die
Horizontalgradienten in den Stützpunkten nicht zu groß werden. Für den Fall, daß die
Daten T ( Q) auf einer Ebene bzw. auf einer Kugel r = R = const in einem
regelmäßigen Gitter angeordnet sind, erreicht man das folgendermaßen; Durch
Variation von rK wird K ( P , Q) = K (ψ ) so gewählt, daß der Wendepunkt der Kurve
Das Verhalten der Daten wird mathematisch durch ihre sog. Kovarianzfunktion beschrieben; sie ist definiert für Daten auf einer Kugel.
∞
C(ψ ) = ∑ cn Pn ( cos ψ )
cn ≥ 0
n= 0
Ihre sog. Halbwertsbreite ψ H ist definiert durch
C(ψ H ) =
1
C(ψ = 0)
2
Da die Halbwertsbreiten der beiden bisher behandelten reproduzierenden Kerne für
gleiches σ extrem stark verschieden sind, können durch eine geeignete Linearkombination der Form
 σ   L + σ + 1
K ( P ,Q) = a  + b ln
 L   L − σ + 1 
die Faktoren a und b so bestimmt werden, daß gilt
K (ψ = 0) = C(ψ = 0)
und
K (ψ H ) = C(ψ H )
Die so bestimmte Kernfunktion ist eine gute Approximation der Kovarianzfunktion
der Daten, die zur Fehlerberechnung benötigt wird. Man beachte, daß hierbei nicht
über den Radius rK der Bjerhammar-Kugel verfügt wird, der ( in gewissen Grenzen )
frei wählbar bleibt.
IX.5 Kollokation und Kugelfunktionsentwicklung
Man beachte die Ähnlichkeit der Formeln für die Koeffizienten verglichen mit den
entsprechenden Integralformeln im Abschnitt IX.4 , insbesondere für k n ≡ 1 und
bi = k m / rM ( Punktmassen ). Es ist nur die Integration über die Erdmassen durch
eine Summation über Punktmassen ersetzt worden.
In die Summe für das Störpotential
n
~
T ( P) = ∑ bi K ( P , Qi )
i =1
IX.6 Gradienten und generalisierte Dipole
setzt man ein
K ( P , Q) =
1)
∞
∑
n= 0
r 
= M 
 rP 
n +1
2)
σ
3)
Pn ( cos ψ ) =
IX.6.1 Grundprinzipien und generalisierte Dipole
Bisher wurden als Stützpunktdaten nur Potentialwerte T Qi betrachtet. Das Kollokationsverfahren kann für beliebige Funktionale des Störpotentials verallgemeinert
werden. Im folgenden werden die Komponenten des Schwerestörungsvektors als
Stützpunktdaten einbezogen.
Es sei der geodätisch relevante Fall betrachtet, daß in einem Stützpunkt Q folgende
vier Informationsdaten gegeben sind :
( )
k nσ n +1 Pn ( cos ψ )
n +1
R 2
= B 
 rP rQ 
n +1
1 n
R nm ( P ) R nm ( Q) + S nm ( P) S nm ( Q)
2 n + 1 m= 0
∑[
]
und erhält
k n  rM

bi
i =1
n = 0 2 n + 1 rP
I
∞
∑ ∑
~
T ( P) =



n +1
n
∑[R
m= 0
nm
( P ) R nm ( Q) + S nm ( P ) S nm ( Q)]
1)
der Potentialwert
T ( Q)
2)
radiale Komp. des Schwerestörungsvektors
 ∂T 
δg r = + 
 ∂r  Q
3)
1.laterale Komp. des Schwerestörungsvektors
δgϕ =
1  ∂T 
 
rQ  ∂ϕ Q
4)
2.laterale Komp. des Schwerestörungsvektors
δg λ =
 ∂T 
 
rQ cos ϕ Q  ∂λ Q
Vertauschen der Summationen ( immer möglich, solange I ≠ ∞ ) führt zu :
a

n = 0  rP
∞
∑
~
T ( P) =



n +1
n
∑ [c nm R nm ( P ) + s nm S nm ( P)]
n +1
c nm
 rM 
= bi
 
( 2n + 1)  a 
i =1
n +1
s nm
 rM 
= bi
 
( 2n + 1)  a 
i =1
∑
I
∑
kn
kn
Um die vier Daten exakt zu reproduzieren, muß man im Kelvinpunkt M i vier Werte
vorgeben, die zusammen das Störpotential erzeugen. Man wählt
m= 0
mit folgenden Koeffizienten bezüglich einer Referenzkugel mit Radius a
I
1
( )
R nm Qi
1)
2)
3)
4)
eine Massensingularität
einen radialen ( generalisierten ) Dipol
1.lateraler ( generalisierter ) Dipol
2.lateraler ( generalisierter ) Dipol
km
r
kκ
ϕ
kκ
λ
kκ
Entsprechend der bekannten Formel für das Potential eines Dipols
( )
S nm Qi
ϕ ( P) = −κ
∂ 1
 
∂ nl
definiert man das Potential für
1)
einen rad. ( generalisierten ) Dipol
2)
1.lateral ( generalisierter ) Dipol
3)
2.lateral ( generalisierter ) Dipol
ϕ ( P ) = −( kκ
)
∂
K ( P ,Q)
∂rM
1 ∂
ϕ
ϕ ( P ) = −( kκ )
K ( P ,Q)
rM ∂ϕ M
ϕ ( P ) = −( kκ
)
r
∂σ
∂rM
=
1 ∂ψ
= − cos α QP
rP ∂ϕ Q
∂ψ
= − cos ϕ Q sin α QP
∂λQ
wobei gilt
K ( P , Q) =
∂
1
K ( P ,Q)
rM cos ϕ M ∂λM
Da der reproduzierende Kern i.a. als Funktion der beiden Hilfsgrößen σ und ψ
ausgedrückt wird, werden folgende partiellen Ableitungen ( siehe auch Abschnitt
IX.4) benötigt:
λ
 kκ λ 
∂
 sin α QP
ϕ ( P ) = −
K ( P ,Q)
∂ψ
 rM 
K
K
σ
ψ
= bi sin α PQ K
ψ
( P ,Q )
i
σ
L
(1 − σ cos ψ )
( P , Q) =
3
L
( P , Q) =
−σ sin ψ
2
3
L
und entsprechende Formeln für das Potential von Massenlinien.
IX.6.2 Dipolmassenbestimmung
Mit
∂
∂rM
∂
∂ϕ M
∂
∂λM
=
∂ ∂σ
∂σ ∂rM
=
=
∂
∂ψ
∂ψ ∂ϕ M
∂ ∂ψ
∂ψ ∂λM
1 ∂
=
Das Problem der Dipolmassenbestimmung führt ebenfalls zur Aufstellung und
Lösung eines linearen Gleichungssystems. Zur Aufstellung der Gleichungen hat man
zu berücksichtigen, daß nunmehr vier Arten von Daten ( Funktionale ) und vier Arten
von Unbekannten ( Massen bzw. Dipolmassen ) miteinander zu verbinden sind. Zur
Berechnung der Koeffizienten für das lineare Gleichungssystem hat man
entsprechende Funktionale zu bilden, die in folgender Tabelle aufgelistet sind.
rP ∂σ
=
=
1
rM
1
rM
cos α QP
sin α QP
∂
∂ψ
∂
D \U
∂ψ
T ( P)
ergeben sich folgende Formeln für die generalisierten Dipole
 km 
 K ( P , Q)
 rM 
 kκ r  ∂

ϕ ( P ) = −
K ( P ,Q)
 rM  ∂σ
 kκ ϕ 
∂
 cos α QP
ϕ ( P ) = −
K ( P ,Q)
∂ψ
 rM 
ϕ ( P ) = 
 km 
 
 rM 
(
= bi K P , Qi
= bi K
σ
1
−
δg ( P )
)
( P ,Q )
ϕ
δg ( P )
−
λ
δg ( P )
−
i
= bi cos α QP K
ψ
( P ,Q )
i
1
rP
K ( P , Q)
∂K
cos α PQ
∂σ
∂K
rP
sin α PQ
∂ψ
∂K
rP
∂ψ
( P ,Q)
( P ,Q)
( P ,Q)
 kκ r
−
 rM
∂



K ( P , Q)
∂σ
2
∂ K
( P ,Q)
∂σ∂σ
2
∂ K
( P ,Q)
∂ψ∂σ
2
∂ K
( P ,Q)
∂ψ∂σ
 kκ ϕ
−
 rM
D \U
T ( P)
1
−
δg ( P )
ϕ
δg ( P )
−
λ
δg ( P )
−
1
rP
∂

 cos α QP

K ( P , Q)
∂ψ
2
∂ K
cos α PQ
∂ψ∂σ
2
∂ K
rP
sin α PQ
∂ψ∂ψ
2
∂ K
rP
∂ψ∂ψ
( P , Q)
( P ,Q)
( P ,Q)
 kκ λ
−
 rM

 sin α QP

∂
K ( P , Q)
∂ψ
2
∂ K
( P , Q)
∂ψ∂σ
2
∂ K
( P ,Q)
∂ψ∂ψ
2
∂ K
( P ,Q)
∂ψ∂ψ
Aus den angegebenen Formeln sind leicht die entsprechenden Formeln für Linearkombinationen von Potential und Gradientenkomponenten abzuleiten, z.B. für
Schwereanomalien
 ∂T 2 
2
∆g = −
+ T  = δg − T
 ∂r r 
r
Es ist zu beachten, daß bei geeigneter Modellierung die Koeffizientenmatrix stets gut
konditioniert sein sollte. Schlechte Konditionierung weist immer auf das Auftreten
von unerwünschten Oszillationen hin - eine letzte Warnung des Algorithmus
hinsichtlich nicht sachgerechter Modellbildung.