Aufgabenblatt 6 - Mathematik, Uni

Mathematik I für Physiker und Elektrotechniker WS03/04
Aufgabenblatt 6
Seien U,V,W Vektorräume über einem Körper K.
Eine Abbildung ϕ :U × V → W heißt bilinear, wenn
∀λ1 , λ2 , µ1 , µ 2 ∈ K , u1 , u2 ∈ U , v1 , v2 ∈ V :
ϕ (λ1u1 + λ2u2 , µ1v1 + µ 2v2 ) = λ1µ1ϕ (u1 , v1 ) + λ1µ 2ϕ (u1 , v2 ) + λ2 µ1ϕ (u2 , v1 ) + λ2 µ 2ϕ (u2 , v2 )
Das einfachste Beispiel einer bilinearen Abbildung K × K → K ist die gewöhnliche
Körpermultiplikation ϕ ( x, y ) = x ⋅ y .
x1
Auch das Vektorprodukt ϕ : K × K → K , ϕ
3
3
3
x2 y3 − x3 y2
y1
x2 , y2
x3
y3
:= x3 y1 − x y y3 ist bilinear. Man
x1 y2 − x2 y1
schreibt für das Vektorprodukt zweier Vektoren x,y auch x × y und nennt es oft auch
Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt läßt sich nur in einem dreidimensionalen Raum erklären.
Eine bilineare Abbildung ist immer „eine Art Multiplikation“.
Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine bilineare Abbildung V × V → mit
folgenden Zusatzeigenschaften (wir schreiben in diesem Kontext meist < x, y > statt ϕ ( x, y ) ):
∀x, y ∈ V : < x, y >=< y, x > (Symmetrie)
∀x ∈ V : < x, x > ≥ 0 , ∀x ∈ V : < x, x > = 0 gdw. x = 0 (positive Definitheit).
x1
Im
n
benutzt man meist das „kanonische Skalarprodukt“ <
y1
>:=
,
xn
yn
n
i =1
xi yi
Ein Skalarprodukt < , > definiert in natürlicher Weise eine Norm durch x := < x, x > .
Wenn man für diese Norm die Dreiecksungleichung x + y ≤ x + y nachweisen möchte,
benötigt man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: ∀x, y ∈ V : < x, y > ≤ x y . Hat
man im übrigen eine Norm, so durch d ( x, y ) := x − y eine Metrik. Ein Vektorraum mit
Skalarprodukt ist also automatisch ein metrischer Raum. Das kanonische Skalarprodukt im
n
führt dabei zur uns bekannten euklidischen Metrik.
Aufgabe 1.
a) Man betrachte die durch ϕ
x1
x2
,
y1
y2
:= 5 x1 y1 + 7 x1 y2 + 7 x2 y1 + 10 x2 y2 gegebene
Abbildung 2 × 2 → und zeige: ϕ ist ein Skalarprodukt. (Dieses ist natürlich
verschieden vom kanonischen Skalarprodukt, welches uns zur Messung von Längen und
später auch Winkeln dient.)
b) Man weise durch direkte Rechnung für zwei Vektoren x, y ∈
c) Man zeige x × y = 0
gdw
3
nach, daß < x, x × y >= 0
x, y sind linear abhängig .
Aufgabe 2. Banachscher Fixpunktsatz (extrem wichtig!)
Sei ( X , d ) ein vollständiger metrischer Raum, d.h. jede Cauchyfolge in X konvergiert1. Eine
Abbildung f : X → X heißt Kontraktion, wenn es eine reelle Konstante 0<c<1 gibt mit
∀x, y ∈ X : d ( f ( x), f ( y ) ) ≤ cd ( x, y ) . Beim Abbilden schrumpfen also die Abstände
zwischen Punkten um einen festen Faktor.
Man zeige:
a) Die Abbildung f ist stetig in jedem Punkt von X.
b) Die Abbildung f besitzt höchstens einen Fixpunkt, d.h. es gibt höchstens einen Punkt
x0 ∈ X mit f ( x0 ) = x0 .
c) Man wähle einen beliebigen Punkt x1 ∈ X und definiere rekursiv xn +1 = f ( xn ) und zeige,
daß ( xn ) eine Cauchyfolge ist. Man zeige anschließend, daß der Grenzwert x0 = lim xn ein
n →∞
Fixpunkt von f ist.
Es ergibt sich also: Jede Kontraktion besitzt einen eindeutig bestimmten Fixpunkt!
d) Man interpretiere Aufgabe 3a von Blatt 5 im obigen Kontext, setze X = [1, 2] mit der von
den reellen Zahlen geerbten Metrik, zeige, daß für x ∈ [1, 2] auch f ( x) =
x2 + 2
∈ [1, 2] und
2x
1
die Abbildung f :[1, 2] → [1, 2] eine Kontraktion ist und
2
daß der Fixpunkt x0 ∈ [1, 2] die Gleichung x02 = 2 erfüllt.
zeige anschließend, daß mit c =
1
n
Vollständig ist z.B. der
mit den uns bekannten Metriken, ebenso jede abgeschlossene Teilmenge des
insbesondere auch abgeschlossene Intervalle in
, wie in 2d) .
n
,
Aufgabe 3
1
a) Man zeige: die durch xn := 1 +
n
oben beschränkt. (Also konvergent!)
n
gegebene Folge ist monoton wachsend und nach
b) Man zeige, daß für die Folge ( sn ) der Partialsummen der „alternierenden harmonischen
∞
Reihe“
(−1)i +1
i =1
1
folgendes gilt:
i
∀n ∈
: s2 n < s2( n +1) < s2 n +1 < s2 n −1 .
Das heißt, daß die Folge der Partialsummen mit geradem Index monoton steigt und nach oben
beschränkt ist, während die Folge der Partialsummen mit ungeradem Index monoton fällt und
nach unten beschränkt ist. Offenbar konvergiert daher die Folge der geraden und der
ungeraden Partialsummen und beide Grenzwerte sind gleich: daher ist die alternierende
harmonische Reihe konvergent, im Gegensatz zur harmonischen Reihe.
c) Die geometrische Reihe konvergiert natürlich auch für komplexe Zahlen mit z < 1 , und es
∞
1
1
. Man berechne für z = 0, 5 + 0,8i den Wert
und die ersten 10
1− z
1− z
n =0
Partialsummen der geometrischen Reihe und trage sämtliche Werte in ein Bild der komplexen
Ebene ein.
gilt:
zn =