in cl

Zur Erinnerung
Stichworte aus der System von Massenpunkten
8. Vorlesung:
Schwerpunkt-System
Schwerpunktsbewegung
Innere Kräfte, äußere Kräfte
Drehmoment und Drehimpuls eines Systems von
Massenpunkten (bezogen auf SPS und „externes“ KS)
Relative Masse, Relativbewegung, kinetische Energie
Experimentalphysik I SS 2011
9-1
Stoßprozesse
Stoßprozesse zwischen
zwei Teilchen:
Ohne Einwirkung äußerer Kräfte
Schlussfolgerungen aus Erhaltung der Gesamtenergie
(bei elastischen Stößen) und Erhaltung des Gesamtimpulses
Stoßprozesse sind „Sonden“ für Kräfte, insbesondere in der
Mikro-Physik (Kräfte zwischen Atomen)
Verlauf der Bahn im Wechselwirkungsgebiet hier nicht
untersucht
Grundlage:
(1) Erhaltung der Gesamt-Energie:
 ,1  Ekin
 ,2
Ekin,1  Ekin, 2  Ekin
(2) Erhaltung des Gesamt-Impulses
p1  p2  p1  p2
Experimentalphysik I SS 2011
9-2
Klassifizierung von Stößen
 ,1  Ekin
 ,2  Q
Ekin,1  Ekin, 2  Ekin
wobei Q den Austausch von Energie (in anderer Form als
kinetische Energie) zwischen den Teilchen angibt.
Elastische Stöße:
Q = 0 „elastische Stöße“
die Summe der inneren Energie der Teilchen (Schwingung
und Rotation) bleibt unverändert,
Bsp: H2(Ein,H) + Cl2(Ein,Cl) → Stoß → H2(Ein, H) + Cl2(Ein, Cl)
Unelastische Stöße:
Q > 0 „unelastische Stöße“
kinetische Energie wird in innere Energie der Teilchen (oder
Reibungswärme) umgewandelt
H2(Ein,H) + Cl2(Ein,Cl) → H2(E´in, H) + Cl2(E´in, Cl)
mit, z.B.: Ein,Cl < E´in, Cl
Super-elastische Stöße:
Q < 0 „super-elastische“ Stöße
innere Energie der Teilchen wird in kinetische Energie
umgewandelt
H2(Ein,H) + Cl2(Ein,Cl) → H2(E´in, H) + Cl2(E´in, Cl)
mit, z.B.: Ein,Cl > E´in, Cl
Experimentalphysik I SS 2011
9-3
Bestimmung von Impuls und Energie
Ausgangspunkt:
4 Gleichungen
px , p y , pz , E
vor dem Stoß
Gesucht:
6 Größen (??)
p1, p2
nach dem Stoß
p1   p1x , p1y , p1z ,
Gesamtdrehimpuls:
p2   p2 x , p2 y , p2 z 
L  LSPS  LSPO  m1 r1S  v1S   m2 r2 S  v M   M rS  v S 

LSP-O
Erhaltung der Schwerpunktsbewegung
LSPO  const.
 keine neue Information
 Aber: Drehimpuls im SPS ist konstant
 
LSPS  r1S  r2 S )   v12   r1S  r2S )   v12

r1S  r2 S , r1S  r2S , v12 , v12
liegen in einer
Ebene senkrecht zu LSPS
Stoß verläuft in einer Ebene (  4 Unbekannte übrig)
Experimentalphysik I SS 2011
9-4
Zentraler Stoß
m1
m2
x
p2  0
p1
Vektoren p1 , p1 und p2 sind kollinear!
Gesucht werden nur noch zwei Größen:
Impuls:
Energie:
Geschwindigkeiten
nach dem Stoß:
Relativgeschwindigkeit:
Experimentalphysik I SS 2011
p1  p1  p2

p1x , p2 x
p1x  p1x  p2x
p22
p12


2m1 2m1 2m2
p12
v1 
m1  m2
2m1

v1 , v 2 
v1
m1  m2
m1  m2
v12  v1  v 2 
m1  m2
2m1

 v1  v1
m1  m2 m1  m2
9-5
Zentraler Stoß
m1
m2
p2  0
p1
Energieübertrag:
Zentraler Stoß:
Nicht-zentraler Stoß:
x
Von Masse m1 auf Masse m2 (anfangs ruhend) übertragene
Energie:
max
Ekin  E kin
4
m1m2
E1kin
2
m1  m2 
max
Ekin  E kin
max
E kin
4
m1m2
1

E1kin  4 E1kin
m1  m2  m1  m2 
M
 m1  m2
 4

M
1
„Energieaustausch“ zwischen m1 und m2.
Experimentalphysik I SS 2011
9-6
Zentraler Stoß
Gleiche Massen:
m2  m1
m1
p2  0
p1
Vor dem Stoß:
v1  0, v2  0,
Warum nicht
Dann wäre:
Nach dem Stoß (für m1 = m2):
ges
E kin
 E1kin
v1  0, v2  v1 , E2 kin  E1kin
1
E1kin  E2 kin  E1kin
2
1
1
v12  v12 , v 22  v12
2
2
???
Gesamtimpuls vor
und nach dem Stoß
p  mv1 ,
p  m(v 1 v2 )  m 2v1  p

Experimentalphysik I SS 2011
x
p  p
Gesamtimpuls nicht erhalten
9-7
Zentraler Stoß
Zusammenfassung:
Experimentalphysik I SS 2011
9-8
Elastischer Stoß mit einer Wand
Feste Wand:
" m2  ", m1  m2
Geschwindigkeiten:
v1  v1 , v2  0,
Energien:
max
Ekin  E kin
4
m2   
Impulse:
v2  v1  v1


 Kein Energieübertrag

an die Wand!
m1


0

m2
m1m2
E1kin
2
m1  m2 
m1m2
m1  m2 2
p1  p1  p1  2 p1
wegen
p1  p2  0
wird
p2  2 p1
Die Wand nimmt den doppelten Impuls der auftreffenden
Masse m1 auf.  Impulsübertrag an die Wand!

elastische Reflexion
Energieübertrag ??
Experimentalphysik I SS 2011
9-9
Elastischer Stoß mit einer Wand
Impuls- und
Energieübertrag:
Feste Wand:
m2  ,  v2  0
1
Ekin  mv 2  0
2
Wand nimmt keine
Energie auf,
p  m  v  endlich
aber Wand nimmt Impuls
auf.
m2    m1 , v 2 
2v1
,     m2  , v 2  0
1   
2
Kein Energieübertrag:
1
1
v  1
1
Ekin ( )  m2 v22  m1  1   m1v12  
2
2
 
  2
 Ekin ( )  0 für   
Aber:
Impulsübertrag:
Experimentalphysik I SS 2011
 
2v1 
p  m2 v 2  m2
 2m2 v1
1 α
9-10
Energieübertrag und Massenverhältnis
Massenverhältnis
m1/m2:
max
Ekin

4
E1
M
m2 ruht vor dem Stoß:
Experimentalphysik I SS 2011
9-11
Unelastische Stöße
Voll unelastische Stöße:
Stoß mit zusätzlichen Nebenbedingungen (z.B.: Wagen
kleben zusammen, „gemeinsame“ Geschwindigkeit nach
dem Stoß)
v1  v2
Impulssatz:
Energiesatz:
p1  m1v1  p1  p2  (m1  m2 )v1  v1 
Ekin
m1
v1
m1  m2
1
m12
2
 E1kin  ( E1kin  E1kin )  m1v 1 
v 12
 2
m1  m2
1
( m1  m2 ) v1 2
2

1
m1  1
2  m1  m2  m1 
Ekin  m1v 12 1 

m
v

1 1 


2
 m1  m2  2
 m1  m2 
Ekin
Ekin
Experimentalphysik I SS 2011
1 2 1 2
 ,1  Ekin
 ,2  Q
 v 1  v 12 mit Ekin,1  Ekin, 2  Ekin
2
2
 Q
Deformationsarbeit und Wärme
9-12
Unelastische Stöße
Voll unelastische Stöße:
Ekin 
1 m1m2 2 1 m1m2 2
v1 
v12
2 m1  m2
2 m1  m2
Für m2   wird
Ekin  E1kin
Für m2  
wird
Ekin  E1kin
Für m2  
wird
1
Ekin  E1kin
2
Wegen der Erhaltung der Gesamtenergie folgt:
1 2 1
Ekin  v12
 Mv S2 ,
2
2
1 2
Ekin  v12
2
Vergleich zum Summe der kinetischen Energien bleiben nicht erhalten
elastischen Stoß: (ein Teil geht in Deformationsenergie über)
 Erhaltungssatz „Energie“ wird modifiziert
 Erhaltungssatz „Impuls“ bleibt unverändert
Gesamtimpuls ( = Impuls des Schwerpunktes) bleibt
erhalten (keine äußeren Kräfte)
Experimentalphysik I SS 2011
9-13
Unelastische Stöße
Voll unelastische Stöße:
1 2 1
Ekin  v12
 Mv S2 ,
2
2
1 2
Ekin  v12
2
Bei einem voll unelastischen Stoß v1  v 2 wird die
kinetische Energie der Relativbewegung Ekin
in „Anregungsenergie“ (Deformation, Wärme) umgewandelt.
Die kinetische Energie der Schwerpunktbewegung ES ,kin
bleibt als kinetische Energie der Stoßpartner erhalten.
Beispiel:
vS  0 
v2  v1
 v1  0
m1  m2
m2
m1
v1
v2  0
v1
v S  0  v2  v1  v1  0
m1
m1
m1  m1
v1
Experimentalphysik I SS 2011
v 2  v1
v1  0
9-14
Stöße und Erhaltungssätze
Zusammenfassung:
Impulserhaltung:
Drehimpulserhaltung:
pges  pges
p1 , p2 , p1, p2
liegen alle in einer Ebene
Energieerhaltung: Bestimmung des Betrages von p1 und
Experimentalphysik I SS 2011
p2
9-15
Zweidimensionale elastische Stöße
Nicht-zentrale Stöße:
p2  0
m2
p1
m1
p2
p1
Koordinatensystem:
Sonderfall p2  0 :
a) Im Labor verankert oder b) Schwerpunktsystem
p1  p1  p2
Es gilt:
p12
p12
p22


2m1 2m1 2m2
und
x 2P  y 2  p22
p  x 
2
1
P
 y 2  p12
m1v1 2  p1  x 2  y 2 x 2  y 2 1 2


 m1v
2m1
2m1
Rechnung 
Gleichung für Kreis
Experimentalphysik I SS 2011
2m2
2
1
x    v1 2  y 2    v1 2
x  xM 2  y 2  R 2 , xM  R    v1
9-16
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Spitze des Vektors p‘2 liegt auf einem Kreis
x    v1 2  y 2    v1 2
Radius:
Mittelpunkt:
Experimentalphysik I SS 2011
R    v1
M  (   v1 ,0),
  v1  p1
9-17
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Maximaler
Ablenkwinkel:
sin1,max 
  v1

m

 2
m1     v1 m1    m1
m2 < m1
Max. Ablenkwinkel = Tangente
an den Kreis mit R    v1
Experimentalphysik I SS 2011
9-18
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Spezialfall gleicher nichtzentraler elastischer Stoß zweier gleichgroßer
Massen: Massen: Impulse stehen nach dem Stoß senkrecht
aufeinander
1
   m1
2
1
R    v1  p1
2
m1  m2
Experimentalphysik I SS 2011
9-19
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Extrem ungleiche
Massen:
m1  m2
   m1
R    v1  p1
Streuwinkel kann alle Werte zwischen
0° (vorwärts) und 180° (rückwärts) annehmen.
p1  p1
Experimentalphysik I SS 2011
9-20
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Gleichung für Kreis (x – xM)2 + y2 = R2
mit xM = R = v1
R = v1 < |p1|
y
Mit Wahl der Richtung
von p´2
sind alle anderen
Größen durch
Energie- und
Impulssatz festgelegt
p´1
p´2
2
R = v1
Experimentalphysik I SS 2011
1
x
p1
9-21
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Gleichung für Kreis (x – xM)2 + y2 = R2
mit xM = R = v1
R = v1 < |p1|
y
p´2
p´1
1,max
2
p1
R = v1
sin1,max 
Experimentalphysik I SS 2011
x
  v1

m

 2
m1     v1 m1    m1
9-22
Zweidimensionale elastische Stöße
Gleichung für Kreis (x – xM)2 + y2 = R2
mit xM = R = v1
R = v1 < |p1|
y
p´2
R = v1
Experimentalphysik I SS 2011
2
p´1
1
x
p1
9-23
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Spezialfall: m1 = m2
 = ½ m1
(x – xM)2 + y2 = R2
mit xM = R = v1 = ½ p1
y
immer: p´2  p´1 !!
90o
p´2
p´1
x
R = v1
Experimentalphysik I SS 2011
p1, hier
m2 = m1
p1, hier: m2 > m1
9-24
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
(x – xM)2 + y2 = R2
mit xM = R = v1 = p1
Spezialfall: m1 <<< m2
 = m1
y
Streu-Richtung (p1´)
bezogen auf p1
p´2
p´2
p´1
p´1
R = v1
seitwärts Streuung
x
p1, m2 >>> m1
vorwärts Streuung
p 1 , m 2 = m1
rückwärts Streuung
Experimentalphysik I SS 2011
9-25
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Schwerpunktsystem:
Für p1  0 und p2  0 ist es günstiger im
Schwerpunktsystem zu rechnen:
p
i
0 
p1S  p1S ,
p2 S  p2 S
i
Aus dem Energiesatz folgt:
1 1
1 
1 1
1 
   p1,2S     p12,S  Q
2  m1 m2 
2  m1 m2 
Verwendung der reduzierten Masse:

p1,2S p12,S

Q
2 2
Q0 
Kinetische Energie im
SPS:
Experimentalphysik I SS 2011
p1,2S  p12,S ,
m1m2
m1  m2
p22,S  p22,S ,
Im SPS behält jeder Stoßpartner beim elastischen
Stoß seine kinetische Energie
9-26
Zweidimensionale nicht-zentrale Stöße
Elastischer Stoß im
Schwerpunktsystem:
Winkelverteilung bei
Stoßprozessen:
Experimentalphysik I SS 2011
Im Demtröder nachlesen, Übungen, Ergänzungen,…
9-27