Aufgaben Mechanik: Stoßvorgänge

Aufgaben Mechanik: Stoßvorgänge
1. Begriffe und Gleichungen
a) Welche beiden Prinzipien verwendet man, um Stöße physikalisch zu beschreiben?
b) Welche Arten von Stoßvorgängen unterscheidet man? Worin liegt der Unterschied?
c) Wie ist der mechanische Impuls p definiert? Verwenden Sie diese Definition, um die Bewegungsenergie Ekin als
Funktion der Masse m und des Impulses p darzustellen.
2. Stöße zwischen harten Körpern
Wenn ein Körper der Masse m1 mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden Körper der Masse m2 trifft und ihn ohne
Deformation geradlinig stößt, ergeben sich die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß gemäß:
v1 ' =
m1−m2
⋅v
m1 +m2 1
und
v 2 '=
2⋅m1
⋅v
.
m1 +m2 1
a) Schreiben Sie die Gleichungen um für den Fall, dass eine Billardkugel auf einen Betonboden fällt. Welche
Geschwindigkeiten erhalten Sie für Kugel und Boden nach dem Aufprall?
b) Wenn Sie mit einem sehr schweren Golfschläger (m1) einen ruhenden, sehr leichten Ball (m2) schlagen, welche
maximale Geschwindigkeit kann der Ball erreichen? Wie ändert sich die Geschwindigkeit des Schlägers durch den
Schlag?
3. Auf dem Rangierbahnhof
In einem Rangierbahnhof trifft ein Güterwagen (m1 = 20 t) mit v1 = 2 m/s auf einen stehenden Güterwagen (m2 = 30 t).
Beim Stoß schließt sich die Kupplung zwischen den Wagen automatisch. Verluste durch Reibung seien zunächst
vernachlässigt.
a) Welche Geschwindigkeit haben die Wagen nach dem Stoß?
b) Wie viel Energie wird beim Schließen der Kupplung „verbraucht“?
c) Können die beiden Wagen nach dem Stoß einen 4 cm hohen „Hügel“ überwinden?
d) Wie weit würden die beiden Wagen nach dem Stoß auf ebener Strecke weiter rollen, wenn eine Rollreibungskraft
von FR = 2 kN wirkt?
Lösungen auf Seite 2.
Lösungen zu Aufgaben Mechanik: Stoßvorgänge
1. Begriffe und Gleichungen
a) Man verwendet die Prinzipien der Impulserhaltung und der Energieerhaltung. Während die Impulserhaltung für
elastische und inelastische Stöße in gleicher Weise gilt, ist bei der Energieerhaltung zu berücksichtigen, dass bei
elastischen Stößen nur kinetische Energien auftreten, während bei inelastischen Stößen zusätzlich eine innere Energie
(Deformationsenergie, Wärmeenergie o.ä.) auftritt.
b) Man unterscheidet elastische und inelastische Stöße. Während bei elastischen Stößen die Körper nicht deformiert
werden und nur kinetische Energien auftreten, kommt bei inelastischen Stößen eine Deformation der Körper hinzu, so
dass ein Teil der Energie in Deformationsenergie bzw. Wärmeenergie, also in eine Form von innerer Energie
umgewandelt wird.
c) p = mv. Damit kann man die kinetische Energie schreiben als Ekin = ½ mv² = p²/(2m), weil p²/m = mv².
2. Stöße zwischen harten Körpern
a) Die Billardkugel (m1) ist im Vergleich zum Betonboden (m2) sehr leicht, so dass man näherungsweise die Masse der
Billardkugel gegenüber der Masse des Betonbodens vernachlässigen kann.
m1−m2≈−m2
m1 +m2≈m2
und
Dies lässt sich auch leicht durch Einsetzen eines Zahlenbeispiels zeigen: m1 = 0,2 kg und m2 = 20 000 kg. Damit
vereinfachen sich die Formeln zu
v1 ' ≈
−m2
⋅v =−v1 und
m2 1
v 2 '≈
2m 1
⋅v ≈0 .
m2 1
Der Boden bleibt also praktisch in Ruhe, während die Billardkugel mit gleicher Geschwindigkeit, nur in die umgekehrte
Richtung davon abprallt.
b) Hier gelten prinzipiell die gleichen Überlegungen wie in Teil (a), lediglich die Massen sind nun vertauscht: Der
Golfschläger (m1) ist im Vergleich zum Ball (m2) sehr schwer, so dass man näherungsweise die Masse des Balles der
Masse des Schlägers vernachlässigen kann.
m1−m 2≈m1
m1 +m2≈m1
und
Dies lässt sich auch durch Einsetzen eines Zahlenbeispiels zeigen: m1 = 400 g und m2 = 20 g. Damit vereinfachen sich
die Formeln näherungsweise zu
v1' ≈
m1
⋅v =v
m1 1 1
und
v 2 '≈
2m 1
⋅v ≈2v. 1
m1 1
Der Schläger setzt seine Bewegung also praktisch unverändert fort, während der Ball mit der doppelten
Geschwindigkeit des Schlägers losfliegt.
3. Auf dem Rangierbahnhof
a) Aus der Impulserhaltung folgt:
m1⋅v 1 +m2⋅v 2=( m1+ m2)⋅v '
Auflösen nach v' (der gemeinsamen Geschwindigkeit nach dem Stoß) und Einsetzen liefert: v' = 0,8 m/s
b) Die „verbrauchte“ Energie ergibt sich aus der Differenz der kinetischen Energien:
E Kupplung =E kin '− E kin ,1 ' − E kin ,2 '=1/2⋅(m1 + m2 )⋅v 2 '−1/2⋅m1⋅v 21−0
Einsetzen der Werte (Massen in kg) liefert: EKupplung = - 24 000 J.
c) Um den Hügel überwinden zu können, muss die kinetische Energie beider Wagen nach dem Stoß größer sein als
ihre potentielle Energie auf einer Höhe von 4 cm. Einsetzen liefert (Massen in kg, Höhe in m):
Ekin = 16 000 J, Epot = mgh = 19 620 J.
Es reicht also nicht.
d) Durch die Reibung verrichten die Wagen Reibungsarbeit W = FR s. Dadurch verringert sich ihre kinetische Energie.
Sie werden also nur so weit rollen (Strecke s), bis die kinetische Energie durch Reibungsarbeit aufgebraucht ist:
Ekin = FR · s, eingesetzt 16 000 J = 2 000 N · s, also s = 8 m.