Übungszettel 8

Übungen zur Atomphysik
Prof. I. Bloch, WS04/05
T. Best, S. Fölling, U. Schneider, A. Widera
Blatt 8
Abgabe bis Montag, 10.01.05, 13Uhr
1 Drehimpulskopplung
Wir betrachten im Folgenden ein vereinfaches Atom. Uns interessiert die Kopplung von zwei Drehimpulsen
L und S. Unser Atom habe zunächst S = 1/2 und auch L = 1/2. Diese werden durch einen Term der
~ ·S
~ zu einem Gesamtdrehimpuls J gekoppelt. Geben Sie wie in der Vorlesung alle vier möglichen
Form a · L
Zustände in der J, L, S, mJ -Basis an. Berechnen Sie außerdem die Energien der vier Zustände.
Punkte: 1
2 Drehimpulsentkopplung
Es geht wieder um ein „Atom´´ mit S = 1/2 und auch L = 1/2. Zu L gehört das magnetische Dipolmoment
~ und zu S das Moment µS /h̄ · S.
~ Das Atom befindet sich dazu in einem Magnetfeld der Stärke B
µL /h̄ · L
(natürlich in z-Richtung).
2.1 Geben Sie die vier möglichen Drehimpuls-Gesamtzustände in der {L, mL , S, mS } Basis an, schreiben
Sie den Hamiltonoperator zu diesen Zuständen in Matrixform und geben Sie die vier Energieeigenwerte an.
2.2 Da die beiden beiden Dipole sich im Feld des jeweils anderen befinden, gibt es eine Wechselwirkung
abhängig von der relativen Ausrichtung der beiden Dipole. Damit hat der Hamiltonian insgesamt die Form
H=
1
1 ~ ~
· (µL Lz + µS Sz ) B + 2 AL
·S
h̄
h̄
Es sei zunächst B = 0! Geben sie den Hamiltonoperator in der selben Basis wie vorher in Matrixform für
B = 0 an. Um die Matrixelemente zu ermitteln, formen Sie am besten zunächst die Drehimpulsoperatoren im
Wechselwirkungsterm in einen Term nur mit Sz , S± , Lz , L± um.
Zur Erinnerung: Jˆ± |Ψ(J, mJ )i =
p
(J(J + 1) − mJ (mJ ± 1)h̄|Ψ(J, mJ ± 1)i
2.3 Zwei Eigenwerte und -vektoren sollten Sie jetzt direkt ablesen können, damit lässt sich die Matrix reduzieren. Geben Sie alle vier Energieeigenwerte sowie die entsprechenden Eigenvektoren für B = 0 an. Vergleichen Sie die erhaltenen Eigenwerte mit denen aus Aufgabe 1 und ordnen Sie die Zustände entsprechend
zu.
2.4 Es sei jetzt B 6= 0. Betrachten Sie die vollständige Matrix mit B 6= 0 und berechnen Sie die Energieeigenwerte. Zeichnen/plotten Sie die vier Eigenwerte für µL = 1, µS = 0.1, h̄ = 1, A = 1 und B = 0.0.3 in
einem Graphen in Abhängigkeit von B.
2.5 Erklären Sie anhand des Hamiltonians oder anhand des Graphens warum man von einer Entkopplung
der Drehimpulse bei großen Magnetfeldern spricht.
Punkte: 5
1
3 Ramsey-Methode
Eine klassische Atomuhr funktioniert ungefähr so wie das folgende Modell: Man startet mit einem Ensemble
von Cäsiumatomen, welche alle perfekt polarisiert sind (alle im Grundzustand der Hyperfeinaufspaltung). Als
zweites Teil benötigt man eine Mikrowellenquelle, welche kontinuierlich bei der Frequenz läuft welche der
HFS-Aufspaltung entspricht (hier 9 192 631 770 Hz). Die Zeit wird gemessen indem man deren Schwingungen zählt, und man benutzt die Atome zum Stabilisieren (bzw. Korrigieren) der Mikrowelle.
Dazu kann man die Ramsey-Methode verwenden. Wie in der Vorlesung beschrieben strahlt man zunächst
einen π/2-Puls von der Mikrowellenquelle auf die Atome ein. Dann wartet man 100ms und strahlt danach
einen zweiten π/2-Puls ein. Schliesslich detektiert man die Atome und stellt fest, wieviele Atome sich in
welchem der beiden Spinzustände befinden.
3.1 Nehmen Sie an die Frequenz der Mikrowellequelle entspräche genau der Energiedifferenz der beiden
Niveaus (Hyperfeinaufspaltung). Wie groß sind die Anteile der Atome in den beiden Hyperfeinzuständen
wenn der zweite Puls mit exakt der gleichen Phase wie der erste eingestrahlt wird? Wie ist die Verteilung, wenn
der zweite Puls gegenüber dem ersten um π phasenverschoben ist? Und wie bei π/2 Phasenverschiebung? (Sie
können auch mit der Blochkugel argumentieren). Skizzieren Sie für einen der Fälle das Signal in Abhängikeit
der Mikrowellenfrequenz, wenn diese nicht genau „stimmt´´.
3.2 Wenn man es schafft, alle anderen Fehlerquellen weit genug zu reduzieren, dann ist am Ende nur noch
entscheidend wie gut man die Populationen in den beiden Hyperfeinzuständen bestimmen kann. Angenommen
diese lässt sich auf 0.01% genau messen. Wie gut ist dann die Zeitmessung für diese 100ms? Und wie gross
ist die Ungenauigkeit der Zeitmessung innerhalb eines Jahres, wenn man diese Uhr benutzt und den 100msZyklus einfach ohne Pause immer wiederholt?
Punkte: 2
4 Stern-Gerlach Experimente
Zur Analyse von Spinzuständen verwendet man im Experiment häufig sogenannte Stern-Gerlach (SG) Felder.
Darunter versteht man ein Magnetfeld mit einem Gradienten. Wegen des zum Spin gehörigen magn. Dipols
kann man damit verschiedene Spinzustände z.B. von Neutronen trennen. Als einen SG-Magneten bezeichnen
wir im folgenden einen Magneten, welcher einen Feldgradienten erzeugt, so daß Neutronen mit Spin in Richtung des Gradienten einen Impuls p in diese Richtung beim Durchfliegen des Magneten erhalten. Neutronen
mit Spin antiparallel zum Gradienten erhalten den Impuls −p.
Nachdem die Neutronen alle Magneten durchflogen haben wird Ihr Impuls ermittelt indem man sie lange Zeit
ohne Krafteinwirkung fliegen läßt und dann auf einem Schirm Ihre Ablenkung von der Mitte des Strahls misst.
4.1 Sendet man einen unpolarisierten Strahl (50% Spin rechts, 50% Spin links) durch einen Magneten mit
Gradient in horizontaler Richtung, so haben auf dem Schirm 50% der Atome den Impuls (p,0) und die anderen
50% den Impuls (-p,0). Wie ist die Verteilung der Impulse für den gleichen Strahl, wenn der Gradient des
Magneten in vertikaler Richtung verläuft?
Sie können dazu z.B. berechnen, wie sich der Zustand der Neutronen während der einzelnen „Stationen´´ des
Experiments verändert.
4.2 Wie sieht die Verteilung auf dem Schirm aus, wenn man ein polarisierte Quelle (alle Spins nach oben)
und einen Gradienten in horizontaler Richtung verwendet? Wie ist die Verteilung, wenn man hinter diesem
horizontalen Feld noch einen Stern-Gerlach-Magneten mit einem vertikalen Feld einfügt? (Weiterhin mit vertikal nach oben polarisiertem Strahl). Was passiert, wenn man die beiden Magnete vertauscht?
Punkte: 2
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