Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 1/14 7 Beugung 7.0 Einführung Beugung ist die Abweichung der Lichtausbreitung von den Gesetzen der geometrischen Optik. Die Beugung tritt als Phänomen immer dann auf, wenn die freie Ausbreitung des Lichts durch begrenzende Objekte (Blenden, Spalte, Kanten .... ) behindert wird. Versuch: Wie realistisch ist das Konzept “Lichtstrahl“ der geometrischen Optik? Beugungserscheinungen sind um so ausgeprägter, je kleiner die Dimensionen der begrenzenden Objekte (Blenden Spalte usw.) sind. Liegen die Abmessungen in der Größenordnung der Wellenlänge, sind die Beugungserscheinungen besonders ausgeprägt. Das Huygens-Fresnelsche Prinzip Beugungserscheinungen sind ein Wellen-Ausbreitungsphänomen und lassen sich mit Hilfe einer geometrischen Methode beschreiben und berechnen Huygens-Fresnel-Prinzip. Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle. Die Einhüllende aller Elementarwellen der Wellenfront in Ausbreitungsrichtung ergibt die neue Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 2/14 Fresnelsche Beugung und Fraunhofersche Beugung a) Fresnelsche Beugung: Lichtquelle und Beobachtungspunkt in endlicher Entfernung P L gekrümmte Wellenfront a) Fraunhofersche Beugung: Lichtquelle und Beobachter unendlich weit entfernt P L a) Realisierung der Fraunhoferschen Beugung: Lichtquelle und Beobachter im Brennpunkt einer Linse ebene Wellenfront P L Fernfeld - Nahfeld Nahfeld b z << b z = b Übergangsbereich Fernfeld Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 3/14 7.1 Beugung am Spalt Trifft eine ebene Welle auf einen (unendlich ausgedehnten) Spalt, wird nach dem Huygenschen Prinzip jeder Punkt der Spaltebene zum Ausgangspunkt von elementaren Kugelwellen. Die Elementarwellen können sich in bestimmten Richtungen verstärken und in anderen abschwächen, so dass man Helligkeitsmaxima und Minima beobachtet. Wir gehen zunächst nur von N = 8 diskreten Elementarsendern aus. 1 2 r1=R Richtung für das 1. Minimum: Für die paarweise Interferenz der Teilstrahlen (1+5), (2+6) ... ergibt sich Auslöschung, wenn der Gangunterschied = /2. Für den Gangunterschied von Strahl 1 und Strahl 5 gilt: b sin oder 2 b sin 3 4 r2 1 5 6 s 7 8 b rn R ( n 1) s sin N Allgemeine Berechnung der Intensitätsverteilung mit Phasoren Wir berechnen zunächst die Überlagerung der N diskreten Elementarwellen für eine Richtung. Dabei nehmen wir an, dass sich die einlaufende Feldamplitude E0 im Spalt auf die N Elementarwellen aufteilt und wegen der Kugelform der Elementarwellen mit 1/R abnimmt. En En A 1 j{t kr } A 1 j{t k [ R ( n1) s sin ]} 0 n 0 e e N R N R A 1 j{(t kR ) } A j (t kR ) j 0 N R n e 0 N e e n wobei n k (n 1) s sin Die gesamte Phasendifferenz zwischen Strahl 1 und Strahl N ist : N k ( N 1) s sin kb sin E ges A 1 j (t kR ) N 0 e N R e j n n 1 Im Zeigerdiagramm wird für die Addition der N Wellen jeder Zeiger um den konstanten Winkel = ks sin weitergedreht. Wenn N sehr groß ist und damit sehr klein, ergibt die Zeigersumme annähernd einen Kreis mit Eges als Sehne über diesen Kreisbogen. Die Länge des Kreisbogens ist: A N e NR 0 j n n 1 A 0 N NR Eges A 0 R X Nebenstehendes Zeigerdiagramm ergibt weiter: A 0 R X und |Eges | 2 X sin 2 Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 4/14 Eliminiert man X , ergibt sich dann | E ges | 2 E ges 2 A 0 R A 0 e sin 2 j (t kR ) R Für die Intensität I E ges sin 2 sin 2 I (sin ) I 0 ( R) 2 2 e j / 2 A 0 e j (t kR ) R sin j / 2 2e 2 erhält man schließlich: 2 Spaltfunktion mit kb sin 2 b sin b sin I (bsin) b Hauptmaximum: Man erhält für = 0 ein intensives Hauptmaximum, das von Nebenmaxima rasch abnehmender Intensität gefolgt wird. Minima: (Nullstellen): Bedingung sin m b Nebenmaxima: 1 sin (m ) 2 b 2 m m heißt Ordnung der Beugung; m = 1, 2, 3 ... Die Gesamtintensität aller Elementarwellen ist Null, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Bedingung I 0 sin Die Nebenmaxima liegen näherungsweise in der Mitte zwischen zwei Nullstellen. Beispiele für die Bedeutung der Beugung: a) Belichtung von Photomasken in der Halbleiterfertigung b) Divergenz von HL-Lasern Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 5/14 7.1.1 Beugung und Fouriertransformation (Allgemeine Behandlung der Beugung in Fraunhofernäherung) Raumfrequenz Eine beliebige räumliche Funktion, z.B. eine Rechteckfunktion lässt sich nach räumlichen harmonischen Funktionen {sin(kx), cos(kx) bzw. exp(jkx)} entwickeln (= Fouriertransformation). E ( x) 1 2 g (k ) e jkx dk und die zugehörige Umkehrtransformation: g (k ) E ( x) e jkx dx E(x) und g(k) bilden ein Fouriertransformationspaar. Beispiel: Rechteckfunktion E(x) g(k) x b Die Berechnung der Feldstärke E(sin) bzw. der Intenstität nach dem Spalt im letzten Kapitel lieferte die Spaltfunktion. Die Beugungsfigur des Spaltes sieht also genauso aus wie die Fouriertransformierte eines Rechtecks (= rechteckförmige Feldstärkeverteilung). Vermutung: Die Beugungsfigur auf dem Schirm ist die Fouriertransformierte der rechteckförmigen Feldstärkeverteilung im Spalt. Wir wollen nun diese Vermutung begründen. Beugung am Spalt Beim Spalt ergab sich für den Beitrag der n-ten Elementarwelle En und für die Gesamtfeldstärke Eges der N Elementarsender im Abstand R unter dem Winkel : En ( R, sin ) j (t kR ) A0 n e N R N j (t kR ) A0 n e n 1 N R E ges ( R, sin ) wobei n k (n 1) s sin Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 6/14 Übergang zu infinitesimalen Größen (siehe Skizze): n (n 1) s k sin n x k sin Schirm s Für die Feldstärke A0/N der Elementarsender setzen wir nun die sog. "Quellstärke" a0 (= Feldstärke pro Längeneinheit); a0dx ist dann die Feldstärke für das Element dx. R x r dE( dx xsin Die unendlich dichten Elementarwellen, die von diesem Linienelement dx ausgehen, liefern zum Gesamtfeld auf dem Beugungsschirm den Beitrag: a dx dE ( R,sin ) 0 e j (t kR kx sin ) R r ( x) R x sin Definition der Raumfrequenz in x-Richtung. k x k sin Diese Beiträge über den ganzen Spalt aufsummiert ergeben dann die Feldamplitude, die man unter dem Winkel beobachtet: 1 E ges ( R, sin ) e j (t kR ) R b a0 dx e j ( kx sin ) 0 Mit kx = ksin lässt sich schließlich schreiben: b 1 j(k x) E ges ( R ,sin ) E ges ( k x ) e j (t kR ) a0dx e x R 0 Die Faktoren vor dem Integral sind konstant oder bedeuten nur einen konstanten Phasenunterschied zwischen Spalt und Ort der Beobachtung; sie können zu einer einzigen Konstante zusammengefasst werden. b E ges (k x ) const. a0 ( x)e j ( k x x ) dx a0(x) = Erregung pro Längeneinheit im Spalt. 0 Dieses Integral heißt Beugungsintegral (in Fraunhofer-Näherung) und stellt nichts anderes als die Fouriertransformation der Spaltöffnung dar. Zusammenfassung der Ergebnisse und Verallgemeinerung: 1) Die Erregung (= Feldstärkeverteilung) im Beugungsmuster auf dem Schirm ist die Fouriertransformierte der Erregung innerhalb des Spaltes. 2) Jedem Punkt im Beugungsmuster E(R,sin) = E(kx) entspricht eine Raumfrequenz kx = ksin. Allgemein für 2-dimensionale Öffnung: Die Feldstärkeverteilung im Beugungsbild (sog. primäre Bildebene) ist das Raumfrequenzspektrum der Beugungsöffnung. E ges (k x , k y ) const. a0 ( x , y ) e Öffnung j (kx xk y y) dxdy Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 7/14 Beispiel: Beugung an einer rechteckigen Blende Die Feldstärke in der rechteckigen Öffnung wird durch eine konstante Quellstärke a0 beschrieben. a für | x | x0 / 2 und | y | y0 / 2 a0 ( x, y ) 0 0 sonst ky y k x kx yo xo Beugungsbi ld beuge nde Öffnung I(k x, k y ) Berechnung des Fraunhoferintegrals. j (k xk y ) a0 j (t kR ) x y e e dxdy R x /2 y0 / 2 jk y a0 j (t kR ) 0 jk x x E (k x , k y ) e e dx e y dy R x0 / 2 y0 / 2 E (k x , k y ) jk x 0 e jk y y a0 j (t kR) e x jk jk e y x R x0 / 2 y0 / 2 y0 / 2 x /2 y x 0 0 a0 j (t kR ) 2sin 2 k x 2sin 2 k y e k kx y R x0 y0 sin k x sin k y ax y 0 0 0 e j (t kR ) x 2 y 2 0k 0k R x y 2 2 Übergang zu Intensitäten: I E 2 2 2 x sin y0 k 2 y 2 x x0 y kx 0 k y 2 2 2 sin 0 k I (k x , k y ) ~ 1 A0 2 R wobei: k x 2 sin k y 2 sin y Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 8/14 7.2 Beugung an der Lochblende Berechnung mit Fraunhoferintegral in Zylinderkoordinaten. Aufsummation aller Beiträge der Huygenschen Elementarwellen aus der Blende liefert: A0 j (t-kR ) j (kx xk y y ) e a0 ( x , y ) e dxdy R Öffnung E (k x , k y ) A0 j (t-kR ) jk r (cos cos sin sin ) e dA a0 (r , ) e r R Öffnung E (k r , ) E (k r ) A0 j (t-kR) e R D / 2 2 0 r a0 (r , ) e jkr r cos ddr 0 x r cos y r sin k x k r cos k y k r sin dA rdrd Wehen der Symmetrie darf E(kr, ) nicht von abhängen: wir setzten willkürlich = 0. Ergebnis enthält Besselfunktionen 1. Ordnung J1. (typisch für Zylinderkoordinaten) J1 I I0 2 4 2 mit k r D kD sin k r k sin Der erste dunkle Ring entsteht dort, wo J1 zum ersten mal Null wird. 2 2 3,84 2 sin 1,22 D sin 1 2 D Beugungsfiguren sind konzentrische helle und dunkle Ringe mit einem hellen Fleck im Zentrum. D=2r Bedeutung: gesamte Technische Optik, da Begrenzungen (Fassungen, Linsen, Blenden usw.) in der Regel kreisförmig sind. Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 9/14 7.3 Beugung am Doppelspalt Der Doppelspalt besteht aus zwei parallelen Spalten gleicher Breite b mit dem Abstand d. Das Beugungsbild des Doppelspaltes erhält man, wenn man das früher berechnete Interferenzbild zweier Punktlichtquellen [ I cos 2 (d / sin ) ] mit dem Beugungsbild des Einzelspaltes moduliert. Begründung: Die beiden Spalte beugen das Licht in eine bestimmte Richtung entsprechend der Spaltfunktion. Die Amplitude der Elementarwellen in dieser Richtung ist durch die Spaltfunktion gegeben. Je zwei “äquivalente“ Elementarwellen, die von den Spalten in diese Richtung gehen, haben einen Gangunterschied von d sin . Sie interferieren damit wie zwei Punktlichtquellen, allerdings mit der winkelabhängigen Amplitude der Spaltfunktion. sin(b sin ) cos2 ( d sin ) I (sin ) I 0 b ( sin ) 2 Spaltfunktion Interferenzfunktion (Amplitude) (2 Sender im Abstand d) sin b b d d I (sin ) Interferenz Beugung Diskussion: Richtung der Interferenzmaxima: sin m Richtung der Beugungsminima: sin n d b Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 10/14 7.4 Beugung am Gitter Ein optisches Gitter besteht aus N äquidistanten Einzelspalten der Breite b mit dem Abstand d. Der Abstand d heißt Gitterkonstante. Das Beugungsbild ist hier ebenfalls wieder durch zwei Faktoren bestimmt: Der Beugung an den Einzelspalten, die zu einer richtungsabhängigen Amplitude der Elementarwellen aus den einzelnen Spalten führt. Der Interferenz zwischen den äquivalenten (oder homologen) Elementarwellen der einzelnen Spalte. Diese Verteilung entspricht damit genau dem Ergebnis der Vielstrahlinterferenz von N Sendern im Abstand d. sin(b sin ) sin( Nd sin ) I (sin ) I 0 b ( sin ) sin(d sin ) 2 2 Spaltfunktion Interferenzfunktion Beugung am Spalt der Breite b Interferenz von N Elementarsendern im Abstand d sin Gitter N = 5 b d d d I (sin ) Interferenz Beugung sin m (Interferenzmaxima) d Der Gangunterschied d sin m zwischen den homologen Strahlen zweier benachbarter Spalte muss für Hauptmaxima ein Vielfaches von sein. Die Lage der Hauptmaxima ist unabhängig von N. Zwischen den Hauptmaxima der Interferenz befinden sich (N-1) Minima und (N-2) Nebenmaxima. Die Hauptmaxima werden um so schärfer und intensiver, je mehr Spalte man ausleuchtet (I~N2). Für sehr großes N sind dann nur mehr die scharfen Hautmaxima sichtbar. Richtung der Hauptmaxima: sin n (Spaltfunktion) b Für b = d/N verschwindet das N-te Hauptmaximum, da es mit dem Minimum der Spaltfunktion zusammenfällt. Der Einfluss der Spaltbreite verschwindet für einen unendlich schmalen Spalt. Man spricht dann von einem “idealen Gitter“. Richtung der Beugungsminima: Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 11/14 Intensitätsverteilungen der Beugungsbilder mit verschiedener Anzahl N von Spalten. Die Intensität der Hauptmaxima nimmt mit N2 zu. Aus Platzgründen wurde jeweils durch N2 dividiert! I (sin )/N ^2 N=1 Einfachspalt d b sin N=2 1 M inim a zw ischen zwei Hauptm axim a Doppelspalt d/b = 3 d b sin N=3 1 Nebenmaxim a 2 M inim a Dreifachspalt d/b = 3 d b sin N=4 2 Nebenmaxim a 3 M inim a Vierfachspalt d/b = 3 d b sin N = 10 8 Nebenmaxim a 9 M inim a Zehnfachspalt d/b = 3 d b sin Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 12/14 Weiterführendes Beispiel: Berechnung der Beugung mit dem Faltungstheorem* Nach der Fraunhofer-Theorie der Beugung sind eine (gleichmäßig ausgeleutete) begrenzende Öffnung und ihr Beugungsbild über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft. Die Feldstärke im Beugungsbild ist damit einfach die Fouriertransformierte der geometrischen Blendenöffnungsfunktion. Die messbare Intensität erhält man durch Quadrieren der Fouriertransformierten: I E2. 1) Einfachspalt: Anordnung Ortsbereich (Blendenöffnungsfunktion) (Raum)-Frequenzbereich (Beugungsfigur) S(kx) s(x) b 2 b x b kx I ~ E2 2 d 2) Vierfachspalt: S(kx) s(x) d b 2 b x d(x) d b cos(bkx) cos(3bkx) D(kx) 2 d 3b e( x ) s ( x ) d ( x ) E(kx) I ~ E2 kx Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 13/14 Weiterführendes Beispiel: Divergenz eines Laserstrahls mit gaussförmigem Intensitätsprofil* Frage: Warum ist es unmöglich ein perfektes Parallelstrahlbündel zu erzeugen und warum hat ein Laserstrahl ein gaussförmiges Intensitätsprofil (sog. TEM00 - Mode) ? Antwort: Die Beugung ist verantwortlich dafür, dass sich ein Strahl immer auch seitlich ausbreitet, sein Strahlquerschnitt also immer größer wird. Die Bildung des Intensitätsprofils bei der wiederholten Reflexion an den (beugenden) Laserspiegeln ist eine ständige Fouriertransformation des Strahlquerschnittes. Aus Symmetriegründen muss das sich ergebende Profil stationär sein. Das gilt aber nur für eine gaussförmige Feldverteilung als „beugende Öffnung“, da sich nur diese Ortsfunktion immer wieder in sich selbst transformiert, d.h. wieder eine gaussförmige Feldverteilung ergibt. E (r ) E0e r2 w02 w0 w0 = 1/e-Radius der Feldstärke I (r ) I 0e 2r 2 w02 -w0 w0 = 1/e2 -Radius der Intensität w0 heißt „Beam waist“ I(w0) = 0,135 I0 Beugung der TEM00 - Mode (weiche Blende - Raumblende) Mathematik: (Fourierintegral) E ( x, y ) E0e ( E (r ) E0e x2 y2 w02 r2 w02 ) E (k x , k y ) E0 e E (k x , k y ) E0 e E (k x , k y ) e E (k r ) e k x2 w02 4 x2 y2 w02 jk x x jk y y e x2 w02 jk x x e e e dx e dxdy y2 w02 jk y y e k y2 w02 4 1 kr2 w02 4 r 2w0 k r 4 / w0 (voller 1/e-Durchmesser) (voller 1/e-Durchmesser) ( k r r 8 Unschärferelation für 1/e-Werte) 1 Hinweis zur Berechnung der Fouriertransformation (Lösung des bestimmten Integrals): e ax 2 bx dx a b2 4 e a dy Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 39_Beugung1_BA.doc - 14/14 Divergenz eines TEM00-Laserstrahls 1/e2-Intensitätsgrenze asymtotischer Divergenzwinkel Laseraustrittsfenster TEM00 -Mode in großer Entfernung TEM00 -Mode am Laser E (r ) e I (r ) e r2 2 w0 E (k r ) e 2r 2 w02 I (k r ) e r 2w0 (volle 1/e-Breite, Feldstärke) (volle 1/e2 -Breite, Intensität) kr2 w02 4 kr2 w02 2 k r 4 / w0 (volle 1/e-Breite, Feldstärke) (volle 1/e2 -Breite, Intensität) rk r 8 r 2w0 k r 2 k r ( ) 2 k sin rk r 2 w0 2 sin w0 2 sin 8 (Halber) Divergenzwinkel des gaussförmigen Laserstrahles Das gaussförmige Intensitätsprofil bleibt bei der Ausbreitung erhalten. Lochblende (zum Vergleich) sin 1,22 D Divergenzwinkel für Kreisblende mit homogener Quellfeldstärke