Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 7 Beugung 7.0

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7 Beugung
7.0 Einführung
Beugung ist die Abweichung der Lichtausbreitung von den Gesetzen der geometrischen Optik.
Die Beugung tritt als Phänomen immer
dann auf, wenn die freie Ausbreitung des
Lichts durch begrenzende Objekte
(Blenden, Spalte, Kanten .... ) behindert
wird.
Versuch:
Wie realistisch ist das Konzept “Lichtstrahl“
der geometrischen Optik?
Beugungserscheinungen sind um so
ausgeprägter, je kleiner die Dimensionen
der begrenzenden Objekte (Blenden
Spalte usw.) sind.
Liegen die Abmessungen in der
Größenordnung der Wellenlänge,
sind die Beugungserscheinungen
besonders ausgeprägt.
Das Huygens-Fresnelsche Prinzip
Beugungserscheinungen sind ein Wellen-Ausbreitungsphänomen und lassen sich mit Hilfe einer
geometrischen Methode beschreiben und berechnen  Huygens-Fresnel-Prinzip.
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle.
Die Einhüllende aller Elementarwellen der Wellenfront
in Ausbreitungsrichtung ergibt die neue Wellenfront zu
einem späteren Zeitpunkt.
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Fresnelsche Beugung und Fraunhofersche Beugung
a) Fresnelsche Beugung:
Lichtquelle und Beobachtungspunkt
in endlicher Entfernung
P
L
gekrümmte
Wellenfront
a) Fraunhofersche Beugung:
Lichtquelle und Beobachter unendlich
weit entfernt
P
L
a) Realisierung der Fraunhoferschen
Beugung:
Lichtquelle und Beobachter im
Brennpunkt einer Linse
ebene
Wellenfront
P
L
Fernfeld - Nahfeld
Nahfeld
b
z << b
z = b
Übergangsbereich
Fernfeld
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7.1 Beugung am Spalt
Trifft eine ebene Welle auf einen (unendlich ausgedehnten) Spalt, wird nach dem
Huygenschen Prinzip jeder Punkt der Spaltebene zum Ausgangspunkt von elementaren Kugelwellen.
Die Elementarwellen können sich in bestimmten Richtungen verstärken und in anderen abschwächen, so
dass man Helligkeitsmaxima und Minima beobachtet.
Wir gehen zunächst nur von N = 8
diskreten Elementarsendern aus.
1
2
r1=R
Richtung für das 1. Minimum:
Für die paarweise Interferenz der
Teilstrahlen (1+5), (2+6) ... ergibt sich
Auslöschung, wenn der
Gangunterschied  = /2.
Für den Gangunterschied von Strahl 1
und Strahl 5 gilt:
b
  sin 
oder
2
b sin   
3
4
r2
1
5
6
s
7
8
b
rn  R  ( n  1) s sin 

N
Allgemeine Berechnung der Intensitätsverteilung mit Phasoren
Wir berechnen zunächst die Überlagerung der N diskreten Elementarwellen für eine Richtung.
Dabei nehmen wir an, dass sich die einlaufende Feldamplitude E0 im Spalt auf die N Elementarwellen aufteilt und wegen der Kugelform der Elementarwellen mit 1/R abnimmt.
En 
En 
A 1 j{t kr } A 1 j{t k [ R ( n1) s sin  ]}
0
n  0 e
e
N R
N R
A 1 j{(t kR ) } A j (t kR )  j
0
N R

n
e
0
N
e
e
n
wobei  n  k (n  1) s sin 
Die gesamte Phasendifferenz zwischen Strahl 1 und Strahl N ist :
   N  k ( N  1) s sin   kb sin 
E ges 
A 1 j (t kR ) N
0
e
N R

e
 j
n
n 1
Im Zeigerdiagramm wird für die Addition der N Wellen
jeder Zeiger um den konstanten Winkel
 = ks sin weitergedreht. Wenn N sehr groß ist und
 damit sehr klein, ergibt die Zeigersumme annähernd
einen Kreis mit Eges als Sehne über diesen Kreisbogen.
Die Länge des Kreisbogens ist:
A
N
e
NR 
0
 j 
n

n 1
A
0 N
NR


Eges

A
0
R
X
Nebenstehendes Zeigerdiagramm ergibt weiter:
A
0
R
 X 
und
|Eges |
2

 X  sin 2
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Eliminiert man X , ergibt sich dann
| E ges |  2 
E ges  2
A
0
R
A
0 e
 sin

2
j (t  kR )
R
Für die Intensität I  E ges

sin

2
 
 sin 2 
I (sin  )  I 0 ( R)

  
 2 

2 e  j / 2

A
0 e
j (t  kR )
R

sin  j / 2
2e


2
erhält man schließlich:
2
Spaltfunktion
mit   kb sin  
2

b sin 
b sin 
I (bsin)
b

Hauptmaximum:
Man erhält für  = 0 ein intensives Hauptmaximum, das von
Nebenmaxima rasch abnehmender Intensität gefolgt wird.
Minima:
(Nullstellen): Bedingung
sin    m

b
Nebenmaxima:
1 
sin   (m  )
2 b

2
  m
m heißt Ordnung der Beugung; m =  1, 2, 3 ...
Die Gesamtintensität aller Elementarwellen ist Null, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches von  ist.
Bedingung
I
0
 sin 
Die Nebenmaxima liegen näherungsweise in der Mitte
zwischen zwei Nullstellen.
Beispiele für die Bedeutung der Beugung:
a) Belichtung von Photomasken in der Halbleiterfertigung
b) Divergenz von HL-Lasern
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7.1.1 Beugung und Fouriertransformation
(Allgemeine Behandlung der Beugung in Fraunhofernäherung)
Raumfrequenz
Eine beliebige räumliche Funktion, z.B. eine Rechteckfunktion lässt sich nach räumlichen
harmonischen Funktionen {sin(kx), cos(kx) bzw. exp(jkx)} entwickeln (= Fouriertransformation).
E ( x) 
1
2

g (k )  e jkx dk
und die zugehörige Umkehrtransformation:
g (k )   E ( x)  e  jkx dx
E(x) und g(k) bilden ein Fouriertransformationspaar.
Beispiel: Rechteckfunktion
E(x)
g(k)
x
b
Die Berechnung der Feldstärke E(sin) bzw. der Intenstität nach dem Spalt im letzten Kapitel lieferte
die Spaltfunktion. Die Beugungsfigur des Spaltes sieht also genauso aus wie die Fouriertransformierte
eines Rechtecks (= rechteckförmige Feldstärkeverteilung).
Vermutung: Die Beugungsfigur auf dem Schirm ist die Fouriertransformierte der rechteckförmigen
Feldstärkeverteilung im Spalt.
Wir wollen nun diese Vermutung begründen.
Beugung am Spalt
Beim Spalt ergab sich für den Beitrag der n-ten Elementarwelle En und für die
Gesamtfeldstärke Eges der N Elementarsender im Abstand R unter dem Winkel :
En ( R, sin  ) 
j (t  kR   )
A0
n
e
N R
N
j (t  kR   )
A0
n
e
n 1 N  R
E ges ( R, sin  )  
wobei  n  k (n  1) s sin 
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Übergang zu infinitesimalen Größen (siehe Skizze):
 n  (n  1) s  k sin 
 n  x  k sin 
Schirm
s
Für die Feldstärke A0/N der Elementarsender setzen wir nun die sog.
"Quellstärke" a0
(= Feldstärke pro Längeneinheit);
a0dx ist dann die Feldstärke für das
Element dx.
R
x
r
dE(
dx
xsin
Die unendlich dichten Elementarwellen,
die von diesem Linienelement dx
ausgehen, liefern zum Gesamtfeld auf
dem Beugungsschirm den Beitrag:
a dx
dE ( R,sin  )  0  e j (t  kR  kx sin )
R
r ( x)  R  x sin 
Definition der Raumfrequenz in x-Richtung.
k x  k sin 
Diese Beiträge über den ganzen Spalt aufsummiert ergeben dann die Feldamplitude, die man unter
dem Winkel  beobachtet:
1
E ges ( R, sin  )   e j (t  kR )
R
b

a0 dx  e  j ( kx sin  )
0
Mit kx = ksin lässt sich schließlich schreiben:
b
1
 j(k x)
E ges ( R ,sin  )  E ges ( k x )   e j (t  kR )  a0dx  e x
R
0
Die Faktoren vor dem Integral sind konstant oder bedeuten nur einen konstanten Phasenunterschied
zwischen Spalt und Ort der Beobachtung; sie können zu einer einzigen Konstante zusammengefasst
werden.
b
E ges (k x )  const. a0 ( x)e  j ( k x x ) dx
a0(x) = Erregung pro Längeneinheit im Spalt.
0
Dieses Integral heißt Beugungsintegral (in Fraunhofer-Näherung) und stellt nichts anderes
als die Fouriertransformation der Spaltöffnung dar.
Zusammenfassung der Ergebnisse und Verallgemeinerung:
1) Die Erregung (= Feldstärkeverteilung) im Beugungsmuster auf dem Schirm ist die
Fouriertransformierte der Erregung innerhalb des Spaltes.
2) Jedem Punkt im Beugungsmuster E(R,sin) = E(kx) entspricht eine Raumfrequenz
kx = ksin.
Allgemein für 2-dimensionale Öffnung:
Die Feldstärkeverteilung im Beugungsbild (sog. primäre Bildebene)
ist das Raumfrequenzspektrum der Beugungsöffnung.
E ges (k x , k y )  const.

a0 ( x , y )  e
Öffnung
 j (kx xk y y)
dxdy
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Beispiel: Beugung an einer rechteckigen Blende
Die Feldstärke in der rechteckigen Öffnung wird durch eine konstante
Quellstärke a0 beschrieben.
a für | x | x0 / 2 und | y | y0 / 2
a0 ( x, y )   0
0 sonst

ky
y
k
x

kx

yo
xo
Beugungsbi ld
beuge nde Öffnung
I(k x, k y )
Berechnung des Fraunhoferintegrals.
 j (k xk y )
a0 j (t kR )
x
y
e
e
dxdy

R
x /2
y0 / 2
 jk y
a0 j (t kR ) 0  jk x x
E (k x , k y )  e
e
dx   e y dy

R
 x0 / 2
 y0 / 2
E (k x , k y ) 
 jk x 0
 e  jk y y 
a0 j (t kR)  e x 
  jk 
   jk 
 e
y 
x 
R

  x0 / 2 
  y0 / 2
y0 / 2
x /2
y
x
0
0
a0 j (t kR ) 2sin 2 k x 2sin 2 k y
 e
 k
kx
y
R
x0
y0
sin k x sin k y
ax y
 0 0 0 e j (t kR ) x 2  y 2
0k
0k
R
x
y
2
2
Übergang zu Intensitäten: I  E 2
2
2
x
  sin y0 k 
2 y
2 x 



x0
y
kx   0 k y 
2
  2

2  sin 0 k
I (k x , k y ) ~
1  A0  
  
2 R  

wobei:
k x  2 sin 
k y  2 sin 
y
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7.2 Beugung an der Lochblende
Berechnung mit Fraunhoferintegral in Zylinderkoordinaten.
Aufsummation aller Beiträge der Huygenschen Elementarwellen aus der Blende liefert:
A0  j (t-kR )
 j (kx xk y y )
e
a0 ( x , y )  e
dxdy

R
Öffnung
E (k x , k y ) 
A0  j (t-kR )
 jk r (cos  cos  sin  sin  )
e
dA
 a0 (r ,  )  e r
R
Öffnung
E (k r ,  ) 
E (k r ) 
A0  j (t-kR)
e
R
D / 2 2

0
r  a0 (r ,  )  e  jkr r cos ddr
0
x  r cos 
y  r sin 
k x  k r cos 
k y  k r sin 
dA  rdrd
Wehen der Symmetrie darf
E(kr, ) nicht von  abhängen:
wir setzten willkürlich  = 0.
Ergebnis enthält Besselfunktionen 1. Ordnung J1.
(typisch für Zylinderkoordinaten)
 
 J1 
I  I0   2

 4
2
mit   k r  D  kD sin 


k r  k sin 

Der erste dunkle Ring entsteht dort, wo J1  zum ersten mal Null wird.
2

2
 3,84 
2

sin   1,22
D sin  
1
2

D
Beugungsfiguren sind konzentrische helle und dunkle Ringe mit einem hellen Fleck im Zentrum.
D=2r

Bedeutung: gesamte Technische Optik, da Begrenzungen (Fassungen, Linsen, Blenden usw.) in der
Regel kreisförmig sind.
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7.3 Beugung am Doppelspalt
Der Doppelspalt besteht aus zwei parallelen Spalten gleicher Breite b mit dem Abstand d.
Das Beugungsbild des Doppelspaltes erhält man, wenn man das früher berechnete Interferenzbild
zweier Punktlichtquellen [ I  cos 2 (d /   sin  ) ] mit dem Beugungsbild des Einzelspaltes moduliert.
Begründung:
 Die beiden Spalte beugen das Licht in eine bestimmte Richtung
entsprechend der Spaltfunktion. Die Amplitude der Elementarwellen
in dieser Richtung ist durch die Spaltfunktion gegeben.
 Je zwei “äquivalente“ Elementarwellen, die von den Spalten in diese
Richtung gehen, haben einen Gangunterschied von   d  sin  .
Sie interferieren damit wie zwei Punktlichtquellen, allerdings mit der
winkelabhängigen Amplitude der Spaltfunktion.
 sin(b sin  ) 
  cos2 ( d sin  )
I (sin  )  I 0  b

 ( sin  ) 
 

 


2
Spaltfunktion
Interferenzfunktion
(Amplitude)
(2 Sender im Abstand d)
sin 
b
b

d
d
I (sin )
Interferenz
Beugung
Diskussion:
 Richtung der Interferenzmaxima:
sin   m
 Richtung der Beugungsminima:
sin   n

d

b
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7.4 Beugung am Gitter
Ein optisches Gitter besteht aus N äquidistanten Einzelspalten der Breite b mit dem Abstand d.
Der Abstand d heißt Gitterkonstante.
Das Beugungsbild ist hier ebenfalls wieder durch zwei Faktoren bestimmt:
 Der Beugung an den Einzelspalten, die zu einer richtungsabhängigen Amplitude
der Elementarwellen aus den einzelnen Spalten führt.
 Der Interferenz zwischen den äquivalenten (oder homologen) Elementarwellen
der einzelnen Spalte. Diese Verteilung entspricht damit genau dem Ergebnis der
Vielstrahlinterferenz von N Sendern im Abstand d.
 sin(b sin  )   sin( Nd sin  ) 

  

I (sin  )  I 0  b
 ( sin  )   sin(d sin  ) 

 

 
 


2
2
Spaltfunktion
Interferenzfunktion
Beugung am Spalt
der Breite b
Interferenz von N Elementarsendern im Abstand d
sin 
Gitter N = 5
b
d
d
d

I (sin )
Interferenz
Beugung




sin   m

(Interferenzmaxima)
d
Der Gangunterschied   d  sin   m zwischen den homologen Strahlen zweier
benachbarter Spalte muss für Hauptmaxima ein Vielfaches von  sein.
Die Lage der Hauptmaxima ist unabhängig von N.
Zwischen den Hauptmaxima der Interferenz befinden sich (N-1) Minima und (N-2) Nebenmaxima.
Die Hauptmaxima werden um so schärfer und intensiver, je mehr Spalte man ausleuchtet (I~N2).
Für sehr großes N sind dann nur mehr die scharfen Hautmaxima sichtbar.
Richtung der Hauptmaxima:
sin   n

(Spaltfunktion)
b
 Für b = d/N verschwindet das N-te Hauptmaximum, da es mit dem Minimum der Spaltfunktion
zusammenfällt.
 Der Einfluss der Spaltbreite verschwindet für einen unendlich schmalen Spalt.
Man spricht dann von einem “idealen Gitter“.
Richtung der Beugungsminima:
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Intensitätsverteilungen der Beugungsbilder mit verschiedener Anzahl N von Spalten.
Die Intensität der Hauptmaxima nimmt mit N2 zu.
Aus Platzgründen wurde jeweils durch N2 dividiert!
I (sin  )/N ^2
N=1
Einfachspalt
d
b
sin 
N=2
1 M inim a zw ischen
zwei Hauptm axim a
Doppelspalt
d/b = 3
d
b
sin 
N=3
1 Nebenmaxim a
2 M inim a
Dreifachspalt
d/b = 3
d
b
sin 
N=4
2 Nebenmaxim a
3 M inim a
Vierfachspalt
d/b = 3
d
b
sin 
N = 10
8 Nebenmaxim a
9 M inim a
Zehnfachspalt
d/b = 3
d
b
sin 
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Weiterführendes Beispiel:
Berechnung der Beugung mit dem Faltungstheorem*
Nach der Fraunhofer-Theorie der Beugung sind eine (gleichmäßig ausgeleutete) begrenzende Öffnung
und ihr Beugungsbild über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft.
Die Feldstärke im Beugungsbild ist damit einfach die Fouriertransformierte der geometrischen
Blendenöffnungsfunktion.
Die messbare Intensität erhält man durch Quadrieren der Fouriertransformierten: I  E2.
1) Einfachspalt:
Anordnung
Ortsbereich
(Blendenöffnungsfunktion)
(Raum)-Frequenzbereich
(Beugungsfigur)
S(kx)
s(x)
b
2
b
x
b
kx
I ~ E2
2
d
2) Vierfachspalt:
S(kx)
s(x)
d
b
2
b
x
d(x)
d
b
cos(bkx)
cos(3bkx)
D(kx)
2
d
3b
e( x )  s ( x )  d ( x )
E(kx)
I ~ E2
kx
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Weiterführendes Beispiel:
Divergenz eines Laserstrahls mit gaussförmigem Intensitätsprofil*
Frage:
Warum ist es unmöglich ein perfektes Parallelstrahlbündel zu erzeugen und warum
hat ein Laserstrahl ein gaussförmiges Intensitätsprofil (sog. TEM00 - Mode) ?
Antwort: Die Beugung ist verantwortlich dafür, dass sich ein Strahl immer auch seitlich
ausbreitet, sein Strahlquerschnitt also immer größer wird.
Die Bildung des Intensitätsprofils bei der wiederholten Reflexion an den (beugenden)
Laserspiegeln ist eine ständige Fouriertransformation des Strahlquerschnittes. Aus
Symmetriegründen muss das sich ergebende Profil stationär sein. Das gilt aber nur für eine
gaussförmige Feldverteilung als „beugende Öffnung“, da sich nur diese Ortsfunktion immer
wieder in sich selbst transformiert, d.h. wieder eine gaussförmige Feldverteilung ergibt.
E (r )  E0e

r2
w02
w0
w0 = 1/e-Radius der Feldstärke
I (r )  I 0e

2r 2
w02
-w0
w0 = 1/e2 -Radius der Intensität
w0 heißt „Beam waist“
I(w0) = 0,135 I0
Beugung der TEM00 - Mode (weiche Blende - Raumblende)
Mathematik:
(Fourierintegral)
E ( x, y )  E0e
( E (r )  E0e


x2  y2
w02
r2
w02
)
E (k x , k y )  E0  e
E (k x , k y )  E0  e
E (k x , k y )  e
E (k r )  e




k x2 w02
4
x2  y2
w02
 jk x x  jk y y
e
x2
w02  jk x x
e
e

e
dx  e

dxdy
y2
w02  jk y y
e
k y2 w02
4 1
kr2 w02
4
r  2w0
k r  4 / w0
(voller 1/e-Durchmesser)
(voller 1/e-Durchmesser)
( k r r  8 Unschärferelation für 1/e-Werte)

1
Hinweis zur Berechnung der Fouriertransformation (Lösung des bestimmten Integrals):
e

 ax 2 bx
dx 

a
b2
4
e a
dy
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Divergenz eines TEM00-Laserstrahls
1/e2-Intensitätsgrenze

asymtotischer
Divergenzwinkel
Laseraustrittsfenster
TEM00 -Mode in großer Entfernung
TEM00 -Mode am Laser
E (r )  e
I (r )  e
r2
 2
w0

E (k r )  e
2r 2
w02
I (k r )  e
r  2w0 (volle 1/e-Breite, Feldstärke)
(volle 1/e2 -Breite, Intensität)


kr2 w02
4
kr2 w02
2
k r  4 / w0 (volle 1/e-Breite, Feldstärke)
(volle 1/e2 -Breite, Intensität)
rk r  8
r  2w0
k r  2  k r ( )  2  k sin 
rk r  2 w0  2
sin  

w0
2

sin   8
(Halber) Divergenzwinkel des gaussförmigen Laserstrahles
Das gaussförmige Intensitätsprofil bleibt bei der Ausbreitung erhalten.
Lochblende (zum Vergleich)
sin  
1,22  
D
Divergenzwinkel für Kreisblende mit homogener Quellfeldstärke

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