Uebung5_Tutoren
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TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übung 5 Wichtige Formeln aus der Vorlesung Das charakteristische Polynom.zu 00 + 1 0 + 0 = () lautet () = 2 + 1 + 0 Die Nullstellen liefern die Lösungen exp( ) oder exp() und exp(), wenn die Wurzeln zusammenfallen. Wenn die Inhomogenität die Form hat () ( ist ein Polynom m-ten Grades), dann ist eine partikuläre Lösung part () = () oder ein mit oder 2 multiplizierter Ausdruck. Basisaufgaben Beispiel 1: Finden Sie die allgemeine Lösung der DGL 2. Ordnung 00 − 6 0 + 5 = 0 Lösung: Charakteristische Gleichung 2 − 6 + 5 = 0 1 = 1 2 = 5 Daher allgemeine Lösung () = 1 + 2 5 Beispiel 2: Finden Sie die allgemeine Lösung der DGL 2. Ordnung 00 − 4 0 + 4 = 0 Lösung: Charakteristische Gleichung 2 − 4 + 4 = 0 1 = 2 2 = 2 Daher allgemeine Lösung () = (1 + 2 )2 Beispiel 3: Finden Sie die allgemeine Lösung der DGL 2. Ordnung 00 − 6 0 + 34 = 0 1 Lösung: Charakteristische Gleichung 2 − 6 + 34 = 0 1 = 3 + 5 2 = 3 − 5 Daher allgemeine Lösung () = 3 (1 cos 5 + 2 sin 5) Beispiel 4: Finden Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL 00 − 5 0 + 6 = 7, in dem Sie die Inhomogenität, multipliziert mit einer Konstanten, als Lösungsansatz versuchen. Wie sieht die allgemeine Lösung der DGL aus? Lösung: part = liefert = 76 Für die homogene Gleichung lösen wir die charakteristische Gleichung 2 − 5 + 6 = 0 was die Lösungen = 2 3 hat. Daher ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL hom = 2 + 3 und die allgemeine Lösung der DGL = 76 + 2 + 3 . Beispiel 5: Finden Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL 00 −4 = 5 cos 2 durch Übergang zu einer komplexen Darstellung und einem Ansatz, der bis auf eine Konstante der Inhomogenität entspricht. Lösung: Die komplexe DGL lautet 00 − 4 = 52 Mit dem Ansatz = 2 ergibt dies −42 − 42 = 52 oder = −58, also Davon der Realteil ist 5 = − 2 . 8 5 = − cos 2 8 Beispiel 6: Bei linearen DG 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für () mit einer Inhomogenität der Form lässt sich immer eine spezielle Lösung finden, die die Form () oder () hat, wobei ein Polynom . Grades ist. Finden Sie eine partikuläre Lösung für die DGL 00 + 4 = 2 2 Lösung: Der Ansatz = + + 2 liefert 2 + 4 + 4 + 42 = 2 Da beliebig ist, müssen alle Koeffizienten jeder Potenz von verschwinden. Koeffizientenvergleich liefert 2 + 4 = 0 4 = 0 4 = 1 und somit eine partikuläre Lösung 1 1 = − + 2 8 4 Ergänzungsaufgaben Beispiel 7: Lösen Sie das Anfangswertproblem 00 − 7 0 + 6 = sin so, dass () periodisch wird. Hilfe: Wandeln Sie die inhomogene DGL in eine komplexe Gleichung mit der Inhomogenität um. Lösung: 1. Homogene Gleichung: Die charakteristische Gleichung ist 2 − 7 + 6 = 0 und hat die Lösungen = 1 6. Somit ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung = + 6 . 2. Wir betrachten die komplexe inhomogene Gleichung : 00 − 7 0 + 6 = Wegen = + ist die gesuchte Lösung dann der Imaginärteil von , d.h. = Im . Der Ansatz = liefert und somit (− − 7 + 6) = 1 = Im = 1 5 + 7 = 5 − 7 74 7 5 sin + cos 74 74 1 (5 sin +7 cos ). Diese Lösung ist nur periodisch, Daraus erhalten wir die allgemeine Lösung = +6 + 74 wenn = = 0 Beispiel 8: Die DGL vom Typ 00 = ( 0 ) lassen sich durch Substitution von = 0 in eine DGL 1. Ordnung für , nämlich 0 = ( ) umwandeln und lösen. Aus erhält man dann durch Integration die gesuchte Funktion . Stellen Sie auf diese Weise die allgemeine Lösung der DGL 00 = 2 0 als ein Integral dar Lösung: Die DGL 0 = 2 führt auf = 2 ln = 2 + ln 2 () = 3 , daher wird = mit ∈ R. Z 2 + Beispiel 9: Betrachten Sie eine ideale Feder mit Federkonstante . Die Feder hängt an einem Block mit Masse , der auf einer horizontalen, reibungslosen Oberfläche liegt. Das Feder-Masse-System wird um () = () − 0 aus dem Gleichgewicht ausgelenkt (siehe Abbildung) und dann mit einer anfänglichen Geschwindigkeit 0 in Richtung Gleichgewichtsposition losgelassen. Die Bewegungsgleichung des Systems ist dabei gegeben durch das hookesche Gesetz mit der Federkonstante , − = 2 2 (1) x0 x v0 1. Berechnen Sie die Position des Masse-Feder Systems () als Funktion der Zeit, sowie (), die Geschwindigkeit dieses Systems. 2. Zeichnen Sie vollständigen Ort-Zeit und Geschwindigkeit-Zeit Diagramme. Lösung: 1. Die allgemeine Lösung für diese Differentialgleichung ist gegeben durch () = cos( 0 ) + sin( 0 ) Zweimal differenziert und in die Differenzialgleichung eingesetzt, erhalten wir die Kreisfrequenz 0 = − 0 sin( 0 ) + 0 cos( 0 ) 2 = − 20 cos ( 0 ) − 20 sin( 0 ) 2 −[ cos( 0 ) + sin( 0 )] = − 20 [ cos ( 0 ) + sin( 0 )] r 0 = 4 q Hier ist 0 = , also die Eigenkreisfrequenz eines harmonischen Oszillators. Die Koeffizienten und hängen von den gegebenen Anfangsbedingungen ab: ( = 0) = 0 ( = 0) = 0 wobei 0 eine positive Konstante ist. Um die Konstanten und zu ermitteln, setzt man = 0 in Gleichungen ein. 0 ≡ ( = 0) = 0 = ( = 0) = 0 Daher gilt =0 = 0 0 Also ist die gesuchte Position des Feder-Massen-Systems gegeben durch () = 0 + 0 sin( 0 ) 0 und die Geschwindigkeit: () = 0 cos( 0 ) 2. Ort-Zeit-Graph und Geschwindigkeit-Zeit-Graph: x(t) x0 v(t) T=2/ t t 5
