Kurzlösungen - Fachrichtung Mathematik

Sommersemester 2016
Fachrichtung Mathematik, Institut für Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. Jörg Wensch
Dr. Ute Feldmann
Kurzlösung
4. Übung zur Vorlesung Mathematik 4 (II/2) für Elektrotechniker etc.
1.
(a) p + q − r
(b) r − q
(c)
p+q−r
q
(d) Es gilt 0.1 = P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0.5 · 0.2 = 0.1 und damit sind A und B voneinander
unabhängig.
2.
p
(b) 4−3p
.
(a) p4
zu (b) Gesucht ist P (RIV | RI ∩ RII ∩ RIII ).
p(B|A)
p(A)
p
1-p
A
B
III IV
I
II
1
4
1
4
1
4
1
4
0
0
0
0
p(B ∩ A)
sonstwo
0
1
A
B
IV
I
II
III
p
4
p
4
p
4
p
4
0
0
0
0
sonstwo
0
1-p
- Fälle, in denen der Student nicht in den Räumen I-III angetroffen wird.
p(B|A)
3.
A=ges.
p(A)
0.6
0.4
•
—
p(B ∩ A)
B=empf.
•
—
0.94 0.06
0.04 0.96
A=ges.
- Fälle, in denen ein Punkt empfangen wurde.
P(Punkt gesendet | Punkt empfangen)=
4. (b) FX (x) =

0




1


3


 5









12
7
12
5
6
1
0.94·0.6
0.94·0.6+0.04·0.4
= 0.9724
−∞ < x < 1
1≤x<2
für 2 ≤ x < 3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<∞
5. (a) 0.9984

0
−∞ < x ≤ 1




1≤x<2
 0.80
0.96 für 2 ≤ x < 3
(b) FX (x) =


3≤x<4
 0.992


1
4≤x<∞
(c) E(X) = 1.248, var(X) = 0.2985.
6.
(a) a = 21 , b =
1
π
(b) fX (x) =
1 1
π 1+x2
(−∞ < x < ∞).
B=empf.
•
—
•
0.6 · 0.94
0.4 · 0.04
—
0.6 · 0.06
0.4 · 0.96
Zusatzaufgaben zum Festigen
7.
Ereignis
Schütze2 besser
Schützen gleich gut
Schütze1 besser
8.
(a) 0.032
Wert von Z
-1
0
1
Wahrscheinlichkeit P (Z)
(1 − p1 )p2
1 − p1 − p2 + 2p1 p2
p1 (1 − p2 )
(b) 0.3125 bzw. 0.3750 bzw. 0.3125.
Zusatzaufgaben für Fortgeschrittene
9. Es seien A und B zufällige Ereignisse und p = P (A), q = P (B) und r = P (A ∪ B).
(a) Zeigen Sie, dass für voneinander unabhängige Ereignisse A und B auch A und B, A und B
bzw. A und B Paare unabhängiger Ereignisse sind.
Lösung: Für A und B unabhängig:
P (A) · P (B) = P (A ∩ B)
da A,B unabhängig
P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
(2) − (1)
(1)
da ’rechte’ Ereignisse unvereinbar bzw. totale Wkt.
(2)
P (A)(1 − P (B)) = P (A) · P (B) = P (A ∩ B)
was zu zeigen war.
Nachweise für die anderen Paare analog.
(b) Welche Beziehung muss für die Wahrscheinlichkeiten p,q,r gelten, damit die Ereignisse A und
B unabhängig voneinander sind?
Lösung: Unter Nutzung von P (A ∩ B) = P (A)P (B) (unabhängige Ereignisse):
r = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) = p + q − pq.
10. Es seien A und B zufällige Ereignisse und p = P (A), q = P (B) und r = P (A ∪ B).
(a) Zeigen Sie, dass für voneinander unabhängige Ereignisse A und B auch A und B, A und B
bzw. A und B Paare unabhängiger Ereignisse sind.
Da B|A und B|A unvereinbar sind, B|A ∪ B|A = Ω und weiter A und B unabhängig, folgt
P (B|A) + P (B|A) = 1 = P (B) + P (B|A) und damit P (B|A) = 1 − P (B) = P (B). Also sind
A und B unabhängig voneinander. Analog zeigt man es für die anderen Paare.
(b) Welche Beziehung muss für die Wahrscheinlichkeiten p,q,r gelten, damit die Ereignisse A und
B unabhängig voneinander sind?
Es ist mit dem Ergebnis aus (a)
r = P (A ∪ B) = P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 − P (A)P (B) = 1 − (1 − p)(1 − q) = p + q − pq.
Alternativ bekommt man diese Beziehung auch über die Formel unter Nutzung von P (A∩B) =
P (A)P (B) für unabhängige Ereignisse:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) = p + q − pq.
11. Lösung:
(a) p(’Subjekt ist positiv’) =
ntp +nf n
ntp +nf p +nf n +ntn
(b) Sensitivität= p(’Test sagt positiv’|’Subjekt ist positiv’) =
(c) Spezifität= p(’Test sagt negativ’|’Subjekt ist negativ’) =
ntp
ntp +nf n
ntn
ntn +nf p
(d) Falsch-Negativ-Rate (miss-rate bzw. Type II error)= p(’Test sagt negativ’|’Subjekt ist positiv’) =
nf n
ntp +nf n = 1−Sensitivität
Falsch-Positiv-Rate (fall-out bzw. Type I error)= p(’Test sagt positiv’|’Subjekt ist negativ’) =
nf p
ntn +nf p = 1−Spezifität
(e) Deutet man ’positiv’ als ’krank’ und ’negativ’ als ’gesund’ so ist p(T K|P K) =Sensitivität und
p(T K|P G) = 1−Spezifität. Im Allgemeinen gilt nicht p(T K|P K) + p(T K|P G) = 1.
12. Lösung:
(a) Totale Wahrscheinlichkeit
p1 (1) =
3
X
p(z(1) = 1|z(0) = j) ∗ p(z(0) = j) =
j=1
3
X
p1j ∗ pj (0) =
j=1


0.32
(b) p(1) = P ∗ p(0) ≈ 0.41
0.26


0.36
(c) p(10) = P 10 ∗ p(0) ≈ 0.44
0.20
(d) Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 (die invariante Dichte):


−1/5 1/6
0
(P − E)v =  1/5 −2/6 3/8  v = 0
0
1/6 −3/8


5
v= 6 
8/3
v
normiert P
≈ p(10)
(v)
29
90