¨Ubungen zu Analysis auf Mannigfaltigkeiten WS10, 2. ¨Ubung

Übungen zu Analysis auf Mannigfaltigkeiten WS10, 2. Übung
1. Man zeige: Ist O ⊆ Rd offen und konvex, 0 ∈ O, und ist f ∈ C ∞ (O, R), so gibt es
f j ∈ C ∞ (O, R), sodass für alle y ∈ O
f (x) = f (0) +
d
X
x j f j (x),
j=1
wobei f j (x) =
R1
∂f
(tx)
0 ∂x j
dt.
2. Sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und x ∈ M. Wir versehen C ∞ (M, R) mit eine
Äquivalenzrelation:
f ∼ g :⇔ ∃U ∈ U(x) : f |U = g|U .
Die Äquivalenzklassen E x := C ∞ (M, R)/ ∼ heißen Keime. Man zeige, dass ∼
mit + und · verträglich ist, und dass damit die Keime ein Algebra abgeben.
Weiters zeige man, dass für ein offenes O ⊆ M mit x ∈ O die Abbildung [ f ] 7→
[ f |O ] von C ∞ (M, R)/ ∼ nach C ∞ (O, R)/ ∼ immer eine lineare Bijektion ist.
Schließlich zeige man, dass [ f ] 7→ f (x) ein wohldefiniertes lineares Funktional
auf C ∞ (M, R)/ ∼ ist.
3. Eine Derivation auf E x := C ∞ (M, R)/ ∼ ist ein ν ∈ E∗x , das neben der Linearität
auch
ν([ f ] · [g]) = g(x) · ν([ f ]) + f (x) · ν([g])
erfüllt. Seien D x alle Derivationen auf E x .
Man zeige, dass D x ein Unterraum von E∗x ist und dass ν([c]) = 0 für alle konstanten c.
Man zeige weiters, dass für jedes X ∈ T x M
νX : [ f ] 7→ X f (= t f (x) idR T x f (X))
eine Derivation ist.
4. Man zeige, dass X 7→ νX eine lineare Bijektion von T x M auf E x ist. Also ist E x
eine äquivalente Möglichkeit, den Tangentialraum einzuführen.
Hinweis: Wähle eine Karte mit x ∈ Uϕ und ϕ(x) = 0 und verwende die erste
P
Aufgabe. Wenn f (y) = f (x) + ϕ j (y) · f j (y), y ∈ M, eine Funktion aus C ∞ (M, R)
ist, was ist dann ν( f ) und was schließt man daraus für dim D x ?
5. Sei (M, A) eine C r -Mannigfaltigkeit. Weiters sei H eine endliche Gruppe (bzgl.
Hintereinanderausführung) von C r -Diffeomorphismen auf M. Wir nehmen an,
dass τ(x) , x für alle x ∈ M und alle τ ∈ H \ {id M }; daher die Fixpunktfreiheit
aller nichttrivialen C r -Diffeomorphismen in H.
Wir versehen M mit einer Äquivalenzrelation, indem wir sagen, dass x ∼ y,
wenn x = τ(y) für ein τ ∈ H. Man sagt: eine offene Menge O ⊆ M ist klein, falls
O ∩ τ(O) = ∅ für alle τ ∈ H.
Man zeige: M/H := M/ ∼ versehen mit den Finalen Topologie bzgl. π : x 7→
[x]∼ ist Hausdorff und erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Die Abbildung π
ist eingeschränkt auf jede kleine offene Menge ein Homöomorphismus. In Folge
ist π offen. Schließlich ist
à := {ϕ ◦ (π|Uϕ )−1 : ϕ ist mit A verträglich, Uϕ ist klein}
ein C r -Atlas auf M/ ∼.
6. Zeigen Sie, dass Pd (R) isomorph zu S d /{idS d , − idS d } (siehe letztes Beispiel) ist.
7. Zeigen Sie, dass g′ (s) = T s g ◦ (t s idI )−1 (1). Zeigen Sie weiters, dass für zwei
C r -Mannigfaltigkeiten M1 , M2 der Tangentialraum von M1 × M2 bei (x1 , x2 ) auf
kanonische Art und Weise mit T x1 M1 × T x2 M2 identifiziert werden kann. Wie
geht diese Identifizierung von statten?
8. Zeige: Für zwei C r -Mannigfaltigkeiten M1 , M2 ist die Produktmannigfaltigkeit
T M1 × T M2 C r -Diffeomorph zu T (M1 × M2 ) ist, wobei die Abbildung gemäß
der vorherigen AUfgabe zu wählen ist.