Ausarbeitung

Bäume und Wälder
Seminar: Graphentheorie
Sommersemester 2015
Dozent: Dr. Thomas Timmermann
Ida Feldmann
2-Fach Bachelor
Mathematik und Biologie
6. Fachsemester
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1. Bäume und Wälder
2
2. Ausspannende Bäume von Graphen
6
3. Satz von Cayley
9
Literatur
12
Einleitung
In dieser Ausarbeitung zum Seminarvortrag im Seminar “Graphentheorie“ geht es um
Bäume und Wälder.
Dabei beziehe ich mich auf Graph theory von Béla Bollobás, Combinatorics and graph
theory von John M. Harris, Jeffry L. Hirst, Michael J. Mossinghoff und Proofs from
The Book von Martin Aigner and Günter M. Ziegler.
1. Bäume und Wälder
Im ersten Teil geht es um die Definition und elementare Eigenschaften eines Baumes
und eines Waldes.
1.1 Definition: Ein Wald ist ein Graph ohne Kreise.
Abbildung 1: Ein Beispiel für einen Wald.
1.2. Definition: Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise.
Abbildung 2: Ein Beispiel für einen Baum.
1.3. Definition: Ein Blatt ist ein Knoten mit Grad 1.
Ein Wald ist also eine disjunkte Vereinigung von Bäumen. Wir können auch sagen, dass
ein Wald aus einem oder mehreren Bäumen besteht. Einen Baum können wir auch als
zusammenhängenden Wald bezeichnen.
In vielen Anwendungsbereichen gibt es Beispiele für Modellierungen durch Bäume. Hier
folgen drei kurze Beispiele.
1. Bäume und Wälder
3
1.4. Anwendungen:
• Bäume sind nützlich, um die möglichen Ergebnisse eines Experiments zu modellieren. Das Experiment, bei dem zuerst eine Münze geworfen und dann ein 6-seitiger
Würfel gewürfelt wird, kann durch den folgenden Baum dargestellt werden.
Abbildung 3: Ergebnisse eines Münz/Würfel Experiments.
• Programmierer können Bäume benutzen, um die Logik von Algorithmen zu modellieren. Zum Beispiel kann die Logik eines Programmes, welches die größte von
vier Zahlen (w, x, y, z) bestimmt, durch den folgenden Baum dargestellt werden.
Abbildung 4: Logik eines Programms.
• Im Bereich der Chemie beschreiben Bäume die Struktur der gesättigten Kohlenwasserstoffe. Dabei entsprechen die Knoten den Atomen und die Kanten den
Bindungen.
Abbildung 5: Einige gesättigte Kohlenwasserstoffe.
1. Bäume und Wälder
4
1.5. Satz: Ein Graph G = (V, E) ist ein Baum, wenn er zu jedem Paar verschiedener
Knoten x, y ∈ V genau einen einfachen Weg von x nach y enthält.
Beweis: Sei G ein Baum. Da G zusammenhängend ist, gibt es einen einfachen
Weg von x nach y. Gibt es mindestens zwei Wege von x nach y, enthält G
einen Kreis. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass G ein Baum ist. 1.6. Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent für einen Graphen G:
1. G ist ein Baum.
2. G ist ein minimal zusammenhängender Graph.
3. G ist ein maximal kreisfreier Graph.
Beweis: 1. ⇒2. Angenommen, G ist ein Baum. Sei {x, y} ∈ E(G). Der Graph
G − {x, y} kann keinen einfachen Weg x, z1 , ..., zk , y enthalten, da G sonst den
Kreis x, z1 , ..., zk , y, x enthält. Daher ist G − {x, y} unzusammenhängend und
so ist G ein minimal zusammenhängender Graph.
1. ⇒3. Wenn x und y nicht adjazente Knoten von einem Baum G sind, enthält G den einfachen Weg x, z1 , ..., zk , y und G + {x, y} enthält den Kreis
x, z1 , ..., zk , y, x. Also enthält G + {x, y} einen Kreis und deshalb ist G ein
maximal kreisfreier Graph.
2. ⇒1. Angenommen, G ist ein minimal zusammenhängender Graph. Wenn
G einen Kreis x, z1 , ..., zk , y, x enthält, dann ist G − {x, y} immer noch zusammenhängend. Da dies der Annahme, dass G minimal zusammenhängend
sein soll, widerspricht, folgern wir, dass G kreisfrei ist. Also ist G ein Baum.
3. ⇒1. Angenommen, G ist ein maximal kreisfreier Graph. Wäre G nicht zusammenhängend, würden mindestens zwei Komponenten existieren. Würden
x und y zu zwei verschiedenen Komponenten gehören, würde das Hinzufügen
von {x, y} zu G keinen Kreis x, z1 , ..., zk , y, x in G ergeben, da sonst der einfache Weg x, z1 , ..., zk , y in G wäre. Also ist G zusammenhängend und auch
ein Kreis.
1.7. Satz: Ein Baum T mit n Knoten hat n − 1 Kanten.
Beweis: Wir beweisen den Satz mittels Induktion über die Anzahl der Knoten
von T . Für n = 1 besteht der Baum aus nur einem Knoten und hat daher
0 Kanten. Angenommen, der Satz ist wahr für alle Bäume mit weniger als k
Knoten.
Sei T ein Baum mit k Knoten. Wir wählen eine Kante von T und nennen
sie e. Da T ein Baum ist, das heißt ein minimal zusammenhängender Graph,
ist T − e unzusammenhängend und besteht aus zwei Bäumen, T1 und T2 .
Die Bäume T1 und T2 haben jweils k1 und k2 Knoten. Es gilt k1 + k2 = k
und da k1 < k, gilt die Induktionsvoraussetzung für T1 . Deshalb hat T1 k1 − 1
Kanten. Ebenso hat T2 k2 −1 Kanten. Da die Kanten von T aus der disjunkten
1. Bäume und Wälder
Vereinigung der Kanten von T1 , T2 und der Kante e bestehen, gilt: |E(T )| =
|E(T1 )| + |E(T2 )| + |{e}| = (k1 − 1) + (k2 − 1) + 1 = k1 + k2 − 1 = k − 1 Dies
vollendet die Induktion.
1.8. Satz: Ein Baum mit mindestens zwei Knoten enthält mindestens zwei Blätter.
Beweis: Der Beweis erfolgt mittels Induktion über die Anzahl der Knoten.
Die Aussage ist wahr, falls n = 2, da in einem Baum, der aus zwei Knoten
besteht, beide Knoten auch Blätter sind. Angenommen, der Satz gilt für alle
Bäume mit 2 bis n − 1 Knoten.
Sei T ein Baum mit n ≥ 3 Knoten. Aus Satz 1.7. wissen wir, dass T n − 1
Kanten hat, und da wir n ≥ 3 annehmen, hat T mindestens zwei Kanten.
Wenn jede Kante von T mit einem Blatt verbunden ist, hat T mindestens zwei
Blätter und der Beweis ist vollständig. Sonst gibt es eine Kante e = {u, v} von
T , die nicht mit einem Blatt verbunden ist. Der Graph T −e enthält die beiden
Bäume T1 und T2 mit jeweils n1 und n2 Knoten. Es sei ohne Beschränkung
der Allgemeinheit u ∈ V (T1 ) und v ∈ V (T2 ). Da e nicht mit Blättern von T
verbunden ist, ist n1 ≥ 2 und n2 ≥ 2. Deshalb ist die Induktionsvoraussetzung
anwendbar auf T1 und T2 . Somit haben T1 und T2 je zwei Blätter. Das heißt,
dass T1 und T2 jeweils mindestens ein Blatt haben, das nicht mit der Kante
e verbunden ist. Deshalb hat der Graph (T − e) + e = T mindestens zwei
Blätter.
5
2. Ausspannende Bäume von Graphen
In dem zweiten Teil geht es um besondere Untergraphen, um aufspannende Bäume von
Graphen.
2.1 Definition: Ein Untergraph T ist ein aufspannender Baum von einem Graphen
G, wenn T ein Baum ist, der jeden Knoten von G enthält.
Abbildung 6: Ein aufspannender Baum (markiert) von einem Graphen.
2.2 Satz: Jeder zusammenhängende Graph enthält einen aufspannenden Baum.
Beweis: Sei G ein Graph mit n Knoten. Wir wählen x ∈ V (G). Sei T1 der
Untergraph von G, der nur aus x besteht. Dann ist T1 ein Baum. Wir konstruieren die Bäume T1 ⊂ T2 ⊂ ... ⊂ Tk ⊂ G, wobei Ti i Knoten hat. Wenn
k < n, dann gibt es einen Knoten y ∈ V (G) − V (Tk ), der in G adjazent ist zu
einem Knoten z ∈ Tk . Sei Tk+1 der Baum, der aus Tk durch Hinzufügen des
Knotens y und der Kante {y, z} entsteht. Dann ist Tk+1 zusammenhängend
und, da {y, z} nicht die Kante eines Kreises in Tk+1 sein kann, auch kreisfrei. Daher ist Tk+1 auch ein Baum und die Folge T0 ⊂ T1 ⊂ ... kann bis Tn
vollendet werden. Der Baum Tn enthält dann alle Knoten von G und ist ein
aufspannender Baum von G.
2.3 Anwendung: Minimierung von Verbindungskosten
Eine verbreitete Anwendung eines aufspannenden Baums von einem Graphen ist die
Minimierung von Verbindungskosten. In dem folgenden Beispiel soll zwischen verschiedenen Städten in einem Gebiet ein Zugschienennetz verlegt werden. Einige dieser Städte
sind bereits durch Straßen verbunden und die Schienen sollen neben den Straßen verlaufen. Da das Gebiet gebirgig ist, sind manche Straßen steil und kurvenreich, dort wäre
das Verlegen der Schienen schwierig und teuer. Die Straßen werden bewertet entsprechend ihrer Länge, Steigung und Kurvigkeit. Dabei entspricht ein hoher Wert hohen
Kosten. Ein Beispiel für einen solchen Graphen ist in der Abbildung 8 zu sehen.
2. Ausspannende Bäume von Graphen
7
Abbildung 7: Beispiel für einen Städte-Graphen.
Das Ziel ist, dass jede Stadt von jeder anderen Stadt aus mit dem Zug erreichbar ist
(aber nicht umbedingt direkt erreichbar). Da die Kosten minimiert werden sollen, wird
die beste Lösung keinen Kreis von Schienen enthalten, da in einem Kreis mindestens
entlang einer Strecke unnötigerweise Schienen verlegt werden. Um dieses Problem auf
ein Problem der Graphentheorie zurückzuführen, sollen bei einem Graphen die Knoten
den Städten entsprechen und die Kanten den Straßen dazwischen. Die Bewertung der
Straßen kann durch eine Gewichtungsfunktion, die jeder Kante eine positive reelle Zahl
zuordnet, umgesetzt werden. Dies motiviert die folgenden Definitionen.
2.4 Definition: Ein gewichteter Graph G = (V, E, w) wird durch einen Graphen (V, E)
und eine Gewichtungsfunktion w : E → R+ gegeben.
2.5 Definition: Ein aufspannender Baum T = (V, E 0 ) von einem Graphen G =
(V, E, w) heißt minimal, wenn
w(T ) =
X
w({x, y})
{x,y}∈E 0
minimal ist. Das heißt, w(T ) ≤ w(T 0 ) für jeden aufspannenden Baum T 0 von G.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen solchen minimal aufspannenden Baum zu
finden. Eine Methode heißt Kruskals Algorithmus.
2.6 Kruskals Algorithmus:
Gegeben ist ein zusammenhängender, gewichteter Graph G.
1. Finde eine Kante mit minimalem Gewicht und markiere sie.
2. Wähle aus den unmarkierten Kanten, die keinen Kreis mit einer der markierten
Kanten bilden, eine Kante mit minimalem Gewicht und markiere diese.
3. Wenn die Menge der markierten Kanten einen aufspannenden Baum von G bildet,
dann stoppe. Wenn nicht, dann wiederhole Schritt 2.
2. Ausspannende Bäume von Graphen
8
Wenn wir Kruskals Algorithmus auf den Graphen in Abbildung 7 anwenden, erhalten
wir beispielsweise den folgenden minimal aufspannenden Baum, der in der Abbildung
8 markiert ist.
Abbildung 8: Kruskals Algorithmus angewendet auf den Städte-Graphen aus Abbildung 7.
2.7 Satz: Kruskals Algorithmus produziert einen minimalen aufspannenden Baum von
einem zusammenhängenden, gewichteten Graphen G.
Beweis: Sei G ein zusammenhängender, gewichteter Graph mit n Knoten und
sei T ein aufspannender Baum, der durch die Anwendung von Kruskals Algorithmus entstanden ist. Kruskals Algorithmus bildet einen aufspannenden
Baum, indem nacheinander immer eine Kante hinzugefügt wird. Angenommen die Kanten, die T (in der folgenden Reihenfolge) hinzugefügt wurden,
heißen e1 , e2 , ..., en−1 . Dann angenommen, dass T kein minimal aufspannender Baum von G ist. Unter allen minimal aufspannenden Bäumen wählen wir
T 0 , welcher am längsten (das heißt für die meisten Anfangsschritte des Algorithmus) mit T übereinstimmt. Das bedeutet, dass ein k existiert, so dass
T 0 e1 , ..., ek enthält und kein minimal aufspannender Baum alle e1 , ..., ek , ek+1
enthält. (Da T laut der Annahme nicht minimal ist, ist k < n − 1.)
Da T 0 ein aufspannender Baum ist, muss T 0 + ek+1 einen Kreis K enthalten.
Da T keine Kreise enthält, muss K eine Kante e0 enthalten, die nicht in T ist.
Durch Entfernen der Kante e0 von T 0 + ek+1 wird der Kreis K unterbrochen
und es bleibt ein aufspannender Baum von G. Deshalb ist T 0 + ek+1 − e0 ein
aufspannender Baum von G und enthält die Kanten e1 , ..., ek , ek+1 . Da die
Kante e0 verfügbar gewesen sein muss, als ek+1 vom Algorithmus ausgewählt
wurde, muss w(ek+1 ) ≤ w(e0 ) gelten. Das heißt, dass T 0 + ek+1 − e0 ein aufspannender Baum ist, dessen Gewicht nicht mehr ist als das von T 0 , welcher
die Kanten e1 , ..., ek+1 enthält, was der Annahme widerspricht.
3. Satz von Cayley
In diesem Teil geht es um den Satz von Cayley. Dieser betrifft die Anzahl bezeichneter
Bäume. Dafür betrachten wir die feste Knotenmenge {1, 2, ..., n}. Dann steht Tn für die
Anzahl der bezeichneten Bäume auf dieser Menge. Für T1 , T2 , T3 , und T4 ergeben sich
die folgenden Bäume.
Abbildung 9: Bezeichnete Bäume auf 1, 2, 3 und 4 Knoten.
Bei vier Knoten existieren vier nicht isomorphe Baumtypen, mit jeweils vier Möglichkeiten, die Knoten anzuordnen, also ist T4 = 16. Allgemein gilt der folgende Satz.
3.1 Satz von Cayley: Es gibt nn−2 bezeichnete Bäume auf n Ecken.
Beweis: Der Satz wurde auf verschiedene Weisen bewiesen. In dem folgenden
Beweis wird für die Lösung des Problems eine Rekursion gefunden und aus
dieser dann die explizite Formel durch Induktion abgeleitet.
Um die richtige Rekursion zu finden, betrachten wir ein etwas allgemeineres
Problem. Sei A eine beliebige k-elementige Knotenmenge. Tn,k steht für die
Anzahl der bezeichneten Wälder auf der Knotenmenge {1, ..., n}, die in A
verwurzelt sind. Das heißt, die Wälder bestehen aus k Bäumen und jeder
Baum muss genau einen Knoten aus A enthalten. Dabei ist die Menge A für
die die Anzahl Tn,k nicht wichtig, sondern nur ihre Größe k.
Als Beispiel betrachten wir T4,2 = 8 für A = {1, 2}.
Abbildung 10: Beispiel: T4 , 2 = 8 für A = {1, 2}
3. Satz von Cayley
10
Sei also ein Wald F gegeben, der in A = {1, ..., k} verwurzelt ist. Dann gibt
es Tn,k solche Bäume. Angenommen, der Knoten 1 hat genau i Nachbarn.
Abbildung 11: Angedeutet: Wald F , der in {1, .., k} verwurzelt ist.
Durch das Entfernen des Knotens 1 entsteht F 0 auf {2, ..., n}, der in {2, ..., n}
∪{die Nachbarn von 1} verwurzelt ist. Denn durch das Entfernen von Knoten
1 werden die i Nachbarn der Menge A hinzugefügt und damit ändert sich die
Größe der Menge A von k zu k − 1 + i. Es gibt Tn−1,k−1+i solche Wälder.
Umgekehrt können wir den Wald F konstruieren, indem wir erst i festlegen
(0 ≤ i ≤ n − k) Dann wählen
wir die i Nachbarn von Knoten 1 in {k + 1, ..., n}
aus. Dafür gibt es n−k
Möglichkeiten.
Dann wird der Wald F 0 bestimmt.
i
Damit wurde gezeigt, dass für 1 ≤ k ≤ n die Rekursion
Tn,k =
n−k
X
i=0
!
n−k
Tn−1,k−1+i
i
(1)
erfüllt ist, wenn T0,0 := 1 und Tn,0 := 0 für n > 0 gesetzt werden, um Tn,n = 1
sicherzustellen.
Proposition: Es gilt
Tn,k = knn−k−1 ,
(2)
und insbesondere
Tn,1 = Tn = nn−2 .
Beweis: Wir beweisen die Proposition mittels Induktion, unter Verwendung
von (1) und des Binomischen Lehrsatzes.
Induktionsanfang: n = 1:
T1,0 = 0
T1,1 = 1 = 1 ∗ 1−1
Induktionsvoraussetzung: (2) gilt für n − 1.
3. Satz von Cayley
11
Induktionsschritt:
Tn,k =
=
=
n−k
X
i=0
n−k
X
i=0
0
X
i=n−k
=
=
n−k
X
i=0
n−k
X
i=0
!
n−k
Tn−1,k−1+i
i
!
n−k
(k − 1 + i)(n − 1)n−1−k−i
i
!
n−k
(n − 1 − i)(n − 1)i−1 |i → n − k − i
n−k−i
n−k
X n−k
n−k
(n − 1)i −
i(n − 1)i−1
i
i
i=0
!
!
n−k
X
n−k
(n − k)!
(n − 1)1n−k−1 −
i(n − 1)i−1
i
i!(n
−
k
−
i)!
i=1
!
= (n − 1 + 1)n−k − (n − k)
n−k
X
i=1
=n
n−k
=n
n−k
=n
n−k
− (n − k)
− (n − k)
n−k
X
!
n−k−1
(n − 1)i−1
i−1
i=1
n−k−1
X
i=0
(n − k − 1)!
(n − 1)i−1
(i − 1)!(n − k − i)!
!
n−k−1
(n − 1)i 1n−k−1−i |i → i + 1
i
− (n − k)(n − 1 + 1)n−k−1
= knn−k−1
Literatur
[1]
Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Proofs from The Book. Springer-Verlag,
Berlin, fourth edition, 2010.
[2]
Béla Bollobás. Graph theory, volume 63 of Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1979. An introductory course.
[3]
John M. Harris, Jeffry L. Hirst, and Michael J. Mossinghoff. Combinatorics and
graph theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, second
edition, 2008.