Exercise 9 - Institut für Theoretische Physik - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Roser Valentı́
Dr. Harald O. Jeschke
Frankfurt, 10. Dezember 2013
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik V – Thermodynamik und Statistische Mechanik
Wintersemester 2013/14
Blatt 9
(Abgabetermin: Montag, 16. 12. 2013)
Name(n), Übungsgruppe
Verwendete
Hilfsmittel
Aufgabe 25 (Energieflukutationen) (5 Punkte)
Zeigen Sie dass das Maß der Fluktuationen der Energie E um ihren Mittelwert hEi im kanonischen Ensemble, die Varianz σ2 = hE2 i − hEi2 gegeben ist durch
σ2 = kB T 2 CV .
Wie entwickelt sich damit die relative Breite der Energieverteilung
σ
für große TeilchenhEi
zahlen N?
Aufgabe 26 (Negative Temperaturen) (9 Punkte)
Es gibt physikalische Systeme, in denen in einer Übergangszeit, die zumindest Minuten
dauern kann, die Kernspins und das Kristallgitter unabhängig voneinander thermodynamische Gleichgewichtszustände erreichen können. Voraussetzung dafür ist, dass die SpinGitterrelaxationszeit τ lang ist im Vergleich zu den einzelnen Relaxationszeiten der Spins τs
und des Gitters τl . Wenn das System global im Gleichgewicht ist, dann wird eine plötzliche
Änderung eines externen Parameters (z.B. des Magnetfelds) einen transienten Zustand zur
Folge haben, in denen sich die zwei Teilsysteme isoliert voneinander equilibrieren und dadurch voneinander unabhängige Gleichgewichtzustände mit unterschiedlichen Temperaturen
zu erreichen, sogar einer negativen für das Spinsystem. Wir betrachten das Ising-Modell eines Paramagneten, N ungekoppelte Spins in einem Magnetfeld B = Bez , das o.B.d.A. k ez
gewählt ist:
N
X
H = −µB B
Si
i=1
Jeder Spinoperator Ŝzi (Quantisierungsachse ist auch z) hat Eigenwerte h2 Si mit Quantenzahlen Si = ±1. Nun ist keine quantenmechanische Information mehr erforderlich, und wir
können das Modell klassisch behandeln.
(a) Berechnen Sie die Zustandssumme Z(β, B) eines Einzelspins. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p+ (p− ) an, den Spin in einem Energieniveau ε+ = −µB B (ε− = µB B) zu finden,
sowie die zugehörige mittlere Zahl von Spins hN+ i and hN− i. Leiten Sie einen Ausdruck
für die mittlere Energie E ab. Berechnen Sie die Zustandssumme für N Spins ZN (β, B).
(b) Zeigen Sie mit m = p+ − p− , dass
βµB B = arctanh(m) =
1 1+m
ln
2 1−m
gilt. Verifizieren Sie die Entropie pro Spin
S
1+m 1+m 1−m 1−m
(1)
= −kB
ln
+
ln
N
2
2
2
2
(c) Wir gehen jetzt von einer festen Energie des Spinsystems aus. Skizzieren Sie S als Funktion
E
und zeigen Sie, dass es einen Bereich negativer Temperatur gibt. Skizzieren
von
NµB B
Sie die Magnetisierung M = NmµB als Funktion von βµB B und verifizieren Sie, das
negative Temperaturen mit negativen Magnetisierungen zusammenhängen. Berechnen
Sie die Gleichgewichtstemperatur des Spinsystems T (E) explizit und verifizieren Sie, dass
sie als
1
1
E
β(E) =
=−
tanh−1
kB T (E)
µB B
NµB B
geschrieben werden kann.
(d) Wir betrachten jetzt zwei solcher Kristalle, einen mit N1 magnetischen Momenten µ1 ,
und einen mit N2 magnetischen Momenten µ2 , wobei N1 µ1 > N2 µ2 . Die Kristalle sind ursprünglich isoliert und unabhängig im Gleichgewicht, mit inversen Temperaturen β1 (E1 )
und β2 (E2 ). Wir bringen die Kristalle in thermischen Kontakt und betrachten nur Wechselwirkungen zwischen den Spinsystemen. Skizzieren Sie in dieselbe Figur β1 (E1 ) und
β2 (E2 ). Wir nehmen an, dass zwei miteinander in Kontakt stehende Systeme mit unterschiedlicher Temperatur solange Wärme austauschen, bis ein energetisches Gleichgewicht
besteht. Der Fluss der Wärme erfolgt dabei vom heißeren zum kälteren System. Zeigen Sie
anhand der Skizze, dass ein System mit negativer Temperatur damit als heißer angesehen
werden kann als ein System mit positiver Temperatur.
Aufgabe 27 (Harmonische Oszillatoren) (6 Punkte)
Betrachten Sie ein kanonisches Ensemble von N unterscheidbaren harmonischen Oszillatoren
der Frequenz ω.
(a) Leiten Sie aus der klassischen Hamiltonfunktion her, dass die Zustandssumme für dieses
Ensemble durch
N
kB T
Z(T , V , N) =
hω
gegeben ist. Berechnen Sie die freie Energie F(T , V , N).
(b) Ermitteln Sie den Druck P, die Entropie S und das chemische Potential µ und diskutieren
Sie das Ergebnis.