Manuel Erdin Gymnasium Liestal, 2005

Grenzwert
Manuel Erdin
Gymnasium Liestal, 2005
Die Quadratpflanze
Ausgangsfigur ist ein
quadratischer Stängel
mit Seitenlänge 1 m.
Jeden Tag wachsen an
3 Seiten quadratische
Blätter nach, deren
Kantenlänge ein 1/3 der
letzten Blätter misst.
Die Raupe
Die Raupe
Eine äusserst hungrige Raupe frisst pro
Stunde 10 dm2 = 0.1 m2.
Wie lange würde die Raupe brauchen, um an
einem bestimmten Tag die ganze Pflanze zu
fressen?
Wieviel Zeit bräuchte sie maximal, um an
einem beliebigen Tag, die ganze Pflanze zu
fressen?
Die Raupe
Welche Grösse ist entscheidend für die Zeit,
welche die Raupe braucht?
Die Fläche der Pflanze!
Die maximale Fläche
Die Quadrate werden anders angeordnet.
Die maximale Fläche
Ist die Fläche
aller Blätter
maximal gerade
halb so gross
wie das erste
Quadrat?
Die maximale Fläche
Stufe
Flächeninhalt
1
3·1/32
1/3
2
9·1/92
1/9
3
27·1/272
1/27
n
3n·1/32n
1/3n
Geometrische Folge mit a1 = 1/3 und q = 1/3
·1/3
·1/3
Die maximale Fläche
Stufe
Flächeninhalt
1
1/3
1/2–1/6
1…2
4/9
1/2–1/18
1…3
13/27
1/2–1/54
1…n
1/2–1/(2·3n)
Geometrische Reihe mit a1 = 1/3 und q = 1/3
Die maximale Fläche
Die Gesamtfläche übertrifft also 1.5 m2 nie.
Andererseits kommt die Gesamtfläche den
1.5 m2 beliebig nahe.
1.5 m2 ist der Grenzwert der Gesamtfläche.
Offenbar ist die Tatsache, dass die Quadrate
immer kleiner werden wichtiger, als die
Tatsache, dass es immer mehr Quadrate sind.
Die Raupe
Wieviel Zeit benötigt nun die Raupe maximal,
um die ganze Pflanze zu fressen?
1.5 m2 / (0.1 m2/h) = 15 h
Die Raupe benötigt maximal 15 h.
Der Käfer
Der Käfer
Ein Käfer wandert pro Tag 10 m.
Wie lange würde der Käfer brauchen, um an
einem bestimmten Tag dem Rand entlang die
ganze Pflanze zu umrunden?
Wieviel Zeit benötigte er maximal, um an
einem beliebigen Tag die Pflanze zu
umrunden?
Der maximale Umfang
Stufe
Umfang
0
4·1
4
1
3·4·1/3
4
2
9·4·1/9
4
3
27·4·1/27
4
n
3n·4·1/3n
4
Der maximale Umfang
Stufe
Umfang
0
4
4
0…1
8–6·1/3
6
0…2
10–18·1/9
8
0…3
12–54·1/27
10
0…n
+2
+2
+2
4+n·2
Arithmetische Folge mit a0 = 4 und d = 2
Der maximale Umfang
Von Stufe zu Stufe wächst der Umfang
konstant. Er übertrifft so irgendwann jeden
beliebigen Wert.
Der Umfang hat keinen Grenzwert.
Der Käfer
An welchem Tag kann der Käfer gerade noch
die Pflanze umrunden?
4+n·2 = 10, also n = 3
Am dritten Tag. Vom vierten Tag an ist der
Umfang zu gross.
Quadratpflanze
Zusammengefasst:
Der Flächeninhalt bildet eine geometrische
Reihe und besitzt einen Grenzwert.
Der Umfang bildet eine arithmetische Folge
und besitzt keinen Grenzwert.
Quadratpflanze
Zusammengefasst:
In beiden Fällen wachsen die Werte an.
Während aber beim Flächeninhalt die
Summanden immer kleiner werden, bleiben
sie beim Umfang konstant.
Gibt es also dann einen Grenzwert, wenn die
Summanden kleiner werden?
Der hohe Zylinder
Der hohe Zylinder
Ein leerer Zylinder mit
einer Grundfläche von
1 dm2 wird mit Wasser
gefüllt.
In der n-ten Minute
fliessen 1/n Liter in den
Zylinder, d.h. 1 Liter in
der 1. Minute, 1/2 Liter
in der 2. Minute etc.
2.283
1.833
2.083
1.5
1
Der hohe Zylinder
Wie hoch muss der
Zylinder sein, damit er
nie überläuft?
Oder ist es möglich den
Zylinder in jedem Fall
zum Überlaufen zu
bringen?
2.283
1.833
2.083
1.5
1
Der hohe Zylinder
Zeit (Min) Höhe (dm)
10
2.929
100
5.187
2.283
1000
7.485
1.833
10000
9.788
Gibt es keine Maximalhöhe?
2.083
1.5
1
Der hohe Zylinder
Wir fassen die Summanden geschickt
zusammen:
Die ersten beiden bleiben einzeln: 1, 1/2.
Die folgenden Summanden werden in Gruppen
zu 2, 4, 8, 16, … Summanden
zusammengefasst.
Der hohe Zylinder
Summanden
Abschätzung von unten
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/3+1/4
2·1/4
1/2
1/5+…+1/8
4·1/8
1/2
1/9+…+1/16
8·1/16
1/2
Der hohe Zylinder
Die Summanden der Wasserhöhe sind
mindestens so gross wie die Summanden der
Abschätzung.
Die Summanden der Abschätzung bilden eine
konstante Folge. Die Summe wird zu einer
arithmetischen Folge.
Die Abschätzung hat keinen Grenzwert.
Damit hat auch die Wasserhöhe keinen
Grenzwert.
Der hohe Zylinder
Zusammengefasst:
Die Summe 1+1/2+1/3+…+1/n hat keinen
Grenzwert.
Diese Summe heisst harmonsche Reihe.
Obwohl die Summanden immer kleiner
werden, überschreitet die Summe jeden
beliebigen Wert und es gibt keinen
Grenzwert.